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%Tapuscrit et corrigé : François Hache
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
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pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Concours contrôleur des douanes session 2024},
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes - corrigé}
\lfoot{\small{Branche surveillance}}
\rfoot{\small{session 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche surveillance -- session 2024
}}

%\medskip
%
%\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

%\begin{list}{\textbullet}{Remarques préliminaires:}
%\item Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.
%\item Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur les copies destinées à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.
%\end{list}

\bigskip

\textbf{\Large{}Exercice 1}

\medskip


En 2020, M. DUFISC a fait sa première déclaration de revenus : il a déclaré un revenu annuel de \np{90000}~\euro, l'impôt correspondant s'est élevé à \np{8000}~\euro{} et son revenu après impôt a donc été de \np{82000}~\euro. Chacune des quatre années suivantes, son revenu annuel a augmenté de 2\;\% et l'impôt correspondant a augmenté de 3\;\%.
M. DUFISC souhaite étudier ce qu'il adviendrait de son revenu après paiement de l'impôt
si l'évolution constatée se poursuivait.
Dans ce but, on suppose que l'évolution constatée se poursuit et, pour tout entier $n$ positif ou nul, on note :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $R_n$ le montant exprimé en euros du revenu annuel de M. DUFISC en l'an $(2020+n)$;
\item $I_n$ le montant exprimé en euros de l'impôt correspondant;
\item $U_n = R_n - I_n$.
\end{list}

Ainsi $R_0=\np{90000}$ ; $I_0=\np{8000}$ ; $U_0=\np{82000}$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
 \item %Calculer $R_1$; $I_1$; $U_1$; $R_2$; $I_2$; $U_2$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $R_1 = R_0 + R_0\times \dfrac{2}{100} = \np{90000} + \np{90000}\times \dfrac{2}{100} = \np{90000} + \np{1800} = \np{91800}$
\item $I_1 = I_0 + I_0\times \dfrac{3}{100} = \np{8000} + \np{8000}\times \dfrac{3}{100} = \np{8000} + \np{240} = \np{8240}$
\item $U_1= R_1 - I_1 = \np{91800} - \np{8240} = \np{83560}$
\item $R_2 = R_1 + R_1\times \dfrac{2}{100} = \np{91800} + \np{91800}\times \dfrac{2}{100} = \np{91800} + \np{1836} = \np{93636}$
\item $I_2 = I_1 + I_1\times \dfrac{3}{100} = \np{8240} + \np{8240}\times \dfrac{3}{100} = \np{8240} + \np{247,20} = \np{8487,20}$
\item $U_2= R_2 - I_2 = \np{93636} - \np{8487,20} = \np{85148,80}$
\end{list} 
 
 \item  %Montrer que, pour tout entier $n$ positif on a: \\
% $R_n=\np{90000}\times (1,02)^n$ et  $I_n=\np{8000}\times (1,03)^n$
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Ajouter 2\;\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{2}{100}$, soit $1,02$.

La suite $(R_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q_R=1,02$ et de premier terme $R_0=\np{90000}$. On en déduit que pour tout $n$ positif, on a: \\
$R_n= R_0\times q_R^n = \np{90000}\times (1,02)^n$.

\item Ajouter 3\;\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{3}{100}$, soit $1,03$.

La suite $(I_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q_I=1,03$ et de premier terme $I_0=\np{8000}$. On en déduit que pour tout $n$ positif, on a: \\
$I_n= I_0\times q_I^n = \np{8000}\times (1,03)^n$.
\end{list}
 \end{enumerate} 
 
\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$ positif:
%$U_{n+1}-U_{n} = \np{1800}\times (1,02)^n - 240\times (1,03)^n$.

$U_{n+1}-U_{n}
= \left (R_{n+1} - I_{n+1}\right ) - \left (R_{n}- I_{n}\right )\\
\phantom{U_{n+1}-U_{n}}
= \left (\np{90000}\times (1,02)^{n+1} - \np{90000}\times (1,02)^n \right ) - \left ( \np{8000}\times (1,03)^{n+1} - \np{8000}\times (1,03)^n\right )\\
\phantom{U_{n+1}-U_{n}}
= \np{90000}\times (1,02)^n \left ( 1,02-1\right ) - \np{8000}\times (1,03)^n \left (1,03-1\right )\\
\phantom{U_{n+1}-U_{n}}
= \np{90000}\times (1,02)^n \times 0,02 - \np{8000}\times (1,03)^n \times 0,03\\
\phantom{U_{n+1}-U_{n}}
=\np{1800}\times (1,02)^n - 240\times (1,03)^n$

\item %Montrer que: $U_{n+1} < U_n$ équivaut à: $n\times \ln \left ( \dfrac{1,03}{1,02}\right ) > \ln \left ( \dfrac{15}{2} \right )$.
$U_{n+1} < U_n
\iff U_{n+1} - U_n<0
\iff \np{1800}\times (1,02)^n - 240\times (1,03)^n\\
\phantom{U_{n+1} < U_n}
\iff \np{1800}\times (1,02)^n < 240\times (1,03)^n
\iff \dfrac{\np{1800}}{240} < \dfrac{(1,03)^n}{(1,02)^n}\\
\phantom{U_{n+1} < U_n}
\iff \dfrac{15}{2} < \left (\dfrac{1,03}{1,02}\right )^n
\iff \ln \left ( \dfrac{15}{2} \right ) < \ln \left (\left (\dfrac{1,03}{1,02}\right )^n\right )\\
\phantom{U_{n+1} < U_n}
\iff \ln \left ( \dfrac{15}{2} \right ) < n\times \ln \left (\dfrac{1,03}{1,02}\right )
\iff n\times \ln \left ( \dfrac{1,03}{1,02}\right ) > \ln \left ( \dfrac{15}{2} \right )
$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

On admettra que les entiers $n$ supérieurs ou égaux à 207 vérifient $n\times \ln \left ( \dfrac{1,03}{1,02}\right ) > \ln \left ( \dfrac{15}{2} \right )$.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Si l'évolution que M. DUFISC a constatée concernant son revenu et l'impôt correspondant se poursuit, voit-il son revenu après l'impôt diminuer?
Si $n\geqslant 207$, alors $n\times \ln \left ( \dfrac{1,03}{1,02}\right ) > \ln \left ( \dfrac{15}{2} \right )$, ce qui veut dire que $U_{n+1}<U_{n}$.\\
Donc M.~DUFISC devrait attendre 207 ans pour voir son revenu après impôt diminuer, donc il ne le verra pas.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large{}Exercice 2}

\medskip

Depuis une décennie, le nombre de candidats admis au baccalauréat augmente régulièrement à Clermont-Ferrand. Les responsables du campus universitaire décident de mener une étude sur les besoins en infrastructures et équipements du campus puis une enquête auprès d'un échantillon d'étudiants sur leur préférence entre le renforcement du parc automobile et la construction de nouvelles résidences universitaires.

L'étude menée sur la période allant de 2015 à 2020 a permis de modéliser l'évolution du nombre de nouveaux étudiants demandeurs de logements dans les résidences universitaires par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
$u_n= \np{1000} \left [ \dfrac{1}{2}n+1 - \ln \left ( \dfrac{1}{2}n+1\right ) \right ],$

$(u_n)$ étant le nombre d'étudiants en $(2015+n)$.

Arthur, le premier responsable des étudiants, a pris connaissance des résultats de l'étude menée. Afin de connaître l'évolution du nombre d'étudiants demandeurs de logements dans les résidences universitaires, il se propose d'étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ par:
$f(x)=  \dfrac{1}{2}x+1 - \ln \left ( \dfrac{1}{2}x+1\right ).$

Il se propose également d'analyser les résultats issus de l'enquête.

\bigskip

\textbf{\large{}Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item % Déterminer le nombre de nouveaux étudiants demandeurs de logements dans les résidences en 2015 puis en 2020.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item L'année 2015 correspond à $n=0$.

Donc le nombre de nouveaux étudiants demandeurs de logements dans les résidences en 2015 est:

$u_0=\np{1000} \left [ 0+1-\ln(0+1)\strut\right ] =\np{1000}$.

\item L'année 2020 correspond à $n=5$.

Donc le nombre de nouveaux étudiants demandeurs de logements dans les résidences en 2020 est:

$u_5=\np{1000} \left [ \dfrac{1}{2}\times 5 +1-\ln\left (\dfrac{1}{2}\times 5+1\right )\right ] 
= \np{1000} \left [ \dfrac{7}{2}-\ln\left (\dfrac{7}{2}\right )\right ]
\approx \np{1000} \left (3,5 - \np{1,2528}\strut \right )$, \\
soit \np{2247} en arrondissant à l'unité.
\end{list}


%Vous pourrez utiliser les approximations suivantes pour exprimer les résultats:
%
%$\ln \left ( \dfrac{3}{2}\right ) \approx \np{0,4054}$ ; \hfill
%$\ln (2) \approx \np{0,6931}$; \hfill
%$\ln \dfrac{5}{2}\approx \np{0,9163}$; \hfill
%$\ln (3) \approx \np{1,0986}$; \hfill
%$\ln \left ( \dfrac{7}{2} \right ) \approx \np{1,2528}$;
%
%$\ln (4)\approx \np{1,3863}$; \hfill
%$\ln \left (\dfrac{9}{2}\right )\approx \np{1,5041}$; \hfill
%$\ln (5) \approx \np{1,6094}$; \hfill
%$\ln \left ( \dfrac{11}{2}\right )\approx \np{1,7047}$; \hfill
%$\ln (6) \approx \np{1,7918}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item La dérivée de $f$ pour tout $x$ appartenant à $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ est la fonction $f'$ définie par

$f'(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{ \frac{1}{2}}{ \frac{1}{2}x+1}
= \dfrac{1}{2} - \dfrac{ \frac{1}{2}}{ \frac{1}{2}\left (x+2\right )}
=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{x+2}
= \dfrac{x+2-2}{2\left (x+2\right )}
= \dfrac{x}{2x+4}$

\item %Étudier le sens de variation de $f ( x )$.
$x\in \left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ donc $x\geqslant 0$ donc $2x+4>0$ et donc $f'(x)\geqslant 0$.

On en déduit que la fonction $f$ est croissante sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$.

\end{enumerate}

\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f (x)$ sur l'intervalle $\left [0\;;\;10\strut\right ]$.
$f(0)= 1-\ln(1)=1$ et 
$f(10)=\dfrac{1}{2}\times 10 +1 -\ln\left (\dfrac{1}{2}\times 10 +1\right )
= 6-\ln(6)\approx 6-\np{1,7918} \approx \np{4,2082}$

On dresse le tableau de variations de la fonction $f $ sur l'intervalle $\left [0\;;\;10\strut\right ]$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
     % augmentation de la hauteur de toutes les lignes
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
     % paramètres
\def\esp{\hspace*{3cm}}
     % pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}
     % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0  & \esp & 10 \\
 \hline
f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
\hline
  &   &    & \Rnode{max}{\approx \np{4,2082}}   \\
f(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &     \Rnode{min}{1} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}


\item %Justifier que la suite $(u_n)$ est croissante.
$n$ est un entier naturel donc $n\in \left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ et $n+1\in \left [0\;;\;+\infty\strut\right [$.

$n<n+1$ et $f$ est croissante sur $ \left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ donc $f(n) < f(n+1)$. \\
Il en découle que $\np{1000}\times f(n) < \np{1000}\times f(n+1)$ et donc que $u_{n}<u_{n+1}$.

La suite $(u_n)$ est donc croissante.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Partie B}

\medskip

Un groupe de 100 étudiants composé de 60 garçons et 40 filles a participé à l'enquête sur la préférence entre le renforcement du parc automobile et la construction des résidences universitaires. 40\;\% des garçons sont favorables au renforcement du parc et 60\;\% des filles optent pour la construction des résidences universitaires.

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer:
\begin{enumerate}
\item Il y a 60 garçons dont 40\,\% favorables au renforcement du parc, donc 60\,\% optent pour la construction des résidences universitaires soit $60\times \dfrac{60}{100}=36$.

Le nombre de garçons ayant opté pour la construction de nouvelles résidences est donc 36.

\item Il y a 40 filles dont 60\,\%  qui optent pour la construction des résidences universitaires soit $40\times \dfrac{60}{100}=24$.

$36+24=60$ donc le nombre total d'étudiants ayant opté pour la construction des nouvelles résidences est 60.

\end{enumerate}

\item On interroge un étudiant au hasard. 
%Déterminer la probabilité des événements suivants:

\begin{enumerate}
 \item Soit l'événement A : l'étudiant préfère la construction de nouvelles résidences.
 
Il y a un total de 100 étudiants dont 60 qui préfèrent la construction de nouvelles résidences.

La probabilité de A est donc $\dfrac{60}{100}$ soit $0,6$.
 
 \item Soit l'événement B : l'étudiant est une fille qui a opté pour le renforcement du parc automobile.
 
 Il y a 24 filles qui préfèrent la construction de nouvelles résidences sur 40 filles, donc il y en a 16 qui ont opté pour le renforcement du parc automobile.
 
 La probabilité de B est donc $\dfrac{16}{100}$ soit $0,16$.
 \end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\Large{}Exercice 3}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$ par $f(x)=x^2-8\ln(x)$.

On admet que $f$ est dérivable sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\begin{list}{\textbullet}{On détermine les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.}
\item Limite en 0

$\left .
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x\to 0} x^2=0\\
\ds\lim_{x\to 0} \ln(x)=-\infty 
\end{array}
\right \}$ 
donc $\ds\lim_{x\to 0} x^2-8 \ln(x) = +\infty$
donc $\ds\lim_{x\to 0} f(x) = +\infty$

\item Limite en $+\infty$

$f(x)=x^2-8\ln(x) = x \left ( x-8\dfrac{\ln(x)}{x} \right )$

$\left .
\begin{array}{r}
\left .
\begin{array}{r}
\ds\lim_{x\to +\infty} x=+\infty\\[7pt]
\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0
\end{array}
\right \}
\text{donc } \ds\lim_{x\to +\infty} x-8\dfrac{\ln(x)}{x}=+\infty\\
\ds\lim_{x\to +\infty} x= +\infty
\end{array}
\right \}
\text{donc } \ds\lim_{x\to +\infty} x \left ( x-8\dfrac{\ln(x)}{x} \right )=+\infty$\\
donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$
\end{list}

\item  %Calculer la dérivée de la fonction $f$.
$f'(x)=2x -8\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2-8}{x}=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}$

\item %Étudier les variations de $f$ sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$ et dresser son tableau de variation complet. On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$.
On étudie le signe de $f'$ sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | l *{4}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 2 & \esp  & +\infty \\
\hline
x-2 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
x+2 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
x & 0  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
f'(x) =\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}& \vline\;\vline  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

$f(2)= 2^2 - 8\ln(2) =4-8\ln(2)$; d'après l'exercice 2, $\ln(2)\approx 0,6931$. On en déduit que $f(2)\approx -1,54<0$.
On établit le tableau de variations de $f$ sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l *4{c} |}
\hline
 x & 0 & \esp & 2 & \esp & +\infty \\
 \hline
f'(x) & \vline\;\vline  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \vline\;\vline \Rnode{max1}{~+\infty}  &  &  &  & \Rnode{max2}{+\infty}   \\
f(x) &\vline\;\vline &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & \vline\;\vline & &   \Rnode{min}{4-8\ln(2)} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item %Démontrer que sur l'intervalle $\left ]0\;;\;2\strut \right ]$, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).
On complète le tableau des variations de $f$ sur $\left ]0\;;\;2\strut \right ]$.
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{4cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l *2{c}|}
\hline
 x & 0   & \esp & 2 \\
\hline
  &\vline\;\vline  \Rnode{max}{~+\infty} &    &    \\
f(x) &\vline\;\vline &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &\vline\;\vline      & & \Rnode{min}{\approx -1,54} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
\rput*(-3.2,0.92){\Rnode{zero}{\red 0}}
\rput(-3.2,2.45){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

La fonction $f$ est dérivable donc continue sur $\left ]0\;;\;2\strut \right ]$, elle est strictement décroissante sur cet intervalle; de plus $\ds\lim_{x\to 0} f(x)>0$ et $f(2)<0$.
Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $\left ]0\;;\;2\strut \right ]$.

\item On admet que sur $\left [2\;;\;+\infty\strut \right [$, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\beta$.

On en déduit le signe de $f$ sur l'intervalle $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$.

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{0.8cm}}
$\begin{array}{|c | *{9}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp\esp & \alpha & \esp & 2 & \esp & \beta & \esp\esp & +\infty \\
\hline
f(x) &\vline\;\vline  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & & \pmb{-} & & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}


\item Pour tout réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$ par: \\
$g_k(x)=x^2-8\ln(x)+k$. Donc $g_k(x)=f(x)+k$.

%En s'aidant du tableau de variation de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l'intervalle $\left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$.

La fonction $f$ admet le nombre $4-8\ln(2)$ comme minimum; en prenant pour $k$ l'opposé du minimum soit  $k=-4+8\ln(2)$, la fonction $g_k$ sera tout le temps positive, sauf en $x=2$ où elle s'annulera.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large{}Exercice 4}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On dispose d'une urne contenant 6 jetons indiscernables au toucher dont:}
\item trois jetons numérotés 1;
\item deux jetons numérotés 2;
\item un jeton numéroté 3.
\end{list}

et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées 1, 1, 2, 2, 2, 3.

L'épreuve $(E)$ consiste à tirer au hasard et simultanément deux jetons de l'urne et à lancer une fois le dé.\\
On effectue une épreuve. On suppose que tous les événements élémentaires sont équiprobables.

\begin{list}{\textbullet}{On résume la situation avec des arbres pondérés.}
\item Le dé comporte 6 faces qui peuvent faire apparaître  les numéros 1, 2 ou 3. On note respectivement $D_1$, $D_2$ et $D_3$ l'apparition du 1, du 2 ou du 3

\begin{list}{$\circ$}{}
\item Le numéro 1 est présent deux fois donc sa probabilité d'apparition est $\dfrac{2}{6}$.
\item Le numéro 2 est présent trois fois donc sa probabilité d'apparition est $\dfrac{3}{6}$.
\item Le numéro 3 est présent une fois donc sa probabilité d'apparition est $\dfrac{1}{6}$.
\end{list}

Voici l'arbre pondéré représentant le lancer du dé.

\begin{center}
%\bigskip
\psset{treemode=R,treesep=.8cm,levelsep=4cm,nodesepB=4pt}
\pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}}
           {
           \TR{$D_1$}\ncput*{\blue $2/6$}
		   \TR{$D_2$}\ncput*{\blue $3/6$}
		   \TR{$D_3$} \ncput*{\blue $1/6$}
	        }
%\bigskip
\end{center}

\newpage

\item On extrait simultanément deux numéros parmi six dans l'urne.

\begin{list}{$\circ$}{Les résultats possibles sont:}
\item deux 1 (événement noté $U_{11}$) avec une probabilité de $\dfrac{\binom{2}{3}}{\binom{2}{6}} = \dfrac{3}{15}$;
\item un 1 et un 2 (événement noté $U_{12}$) avec une probabilité de $\dfrac{\binom{1}{3}\times \binom{1}{2}}{\binom{2}{6}} = \dfrac{6}{15}$;
\item un 1 et un 3 (événement noté $U_{13}$) avec une probabilité de $\dfrac{\binom{1}{3}\times \binom{1}{1}}{\binom{2}{6}} = \dfrac{3}{15}$;
\item deux 2 (événement noté $U_{22}$) avec une probabilité de $\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{2}{6}} = \dfrac{1}{15}$;
\item un 2 et un 3 (événement noté $U_{23}$) avec une probabilité de $\dfrac{\binom{1}{2}\times \binom{1}{1}}{\binom{2}{6}} = \dfrac{2}{15}$.
\end{list}

On représente cette situation par un arbre pondéré.

\begin{center}
%\bigskip
\psset{treemode=R,levelsep=4cm, treesep=15mm,nodesepB=4pt}
\pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}}
       {
		\TR{$U_{11}$}\ncput*{\blue $3/15$}
		\TR{$U_{12}$}\ncput*{\blue $6/15$}
		\TR{$U_{13}$}\ncput*{\blue $3/15$}
		\TR{$U_{22}$}\ncput*{\blue $1/15$}
		\TR{$U_{23}$}\ncput*{\blue $2/15$}
      }
%\bigskip
\end{center}

\item On peut donc représenter le jeu complet: voir l'arbre 1 page \pageref{arbre1}.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item  On va calculer les probabilités des événements ci-dessous

\begin{list}{\textbullet}{}
\item A : \og   le produit des trois numéros obtenus est égal à 4  \fg{}

Voir l'arbre 2 page \pageref{arbre2}; les trajets favorables sont en rouge. 

$P(\text A)
=P\left (U_{12}\cap D_2\right ) + P\left (U_{22} \cap D_1\right )
= \dfrac{6}{15}\times \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{15}\times \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{15}+ \dfrac{2}{90} = \dfrac{18}{90} + \dfrac{2}{90} = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}$

\item B : \og   la somme des trois numéros obtenus est égale à 5  \fg{}

Voir l'arbre 3 page \pageref{arbre3}; les trajets favorables sont en rouge. 

$P(\text B)
=P\left (U_{11}\cap D_3\right )  + P\left (U_{12}\cap D_2\right ) + P\left (U_{13}\cap D_1\right ) + P\left (U_{22}\cap D_1\right ) \\[7pt]
\phantom{P(\text B)}
=\dfrac{3}{15} \times \dfrac{1}{6} + \dfrac{6}{15} \times \dfrac{3}{6}  + \dfrac{3}{15} \times \dfrac{2}{6}  + \dfrac{1}{15} \times \dfrac{2}{6}  
= \dfrac{3}{90} + \dfrac{18}{90} + \dfrac{6}{90} + \dfrac{2}{90}
= \dfrac{29}{90}$
\end{list} 

\newpage

\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de numéro 2 lors d'une épreuve. 
%Donner la loi de probabilité de $X$ et en dresser le tableau.

Voir l'arbre 4 page \pageref{arbre4}.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Nombre de 2 égal à 0

$P(X=0) = P\left (U_{11}\cap D_1\right ) + P\left (U_{11}\cap D_3\right ) + P\left (U_{13}\cap D_1\right ) + P\left (U_{13}\cap D_3\right )\\[7pt]
\phantom{P(X=0)}
= \dfrac{3}{15} \times \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{15} \times \dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{15} \times \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{15} \times \dfrac{1}{6}
= \dfrac{3}{15} \times \dfrac{6}{6}
= \dfrac{3}{15}
= \dfrac{1}{5}$

\item Nombre de 2 égal à 1

$P(X=1) = P\left (U_{11}\cap D_2\right ) + P\left (U_{12}\cap D_1\right ) + P\left (U_{12}\cap D_3\right ) + P\left (U_{13}\cap D_2\right ) + P\left (U_{23}\cap D_1\right )\\[7pt]
\phantom{P(X=1)}
 + P\left (U_{23}\cap D_3\right )\\[7pt]
\phantom{P(X=1)}
= \dfrac{3}{15} \times \dfrac{3}{6} +\dfrac{6}{15} \times \dfrac{2}{6} +\dfrac{6}{15} \times \dfrac{1}{6} +\dfrac{3}{15} \times \dfrac{3}{6} +\dfrac{2}{15} \times \dfrac{2}{6} +\dfrac{2}{15} \times \dfrac{1}{6}\\[7pt]
\phantom{P(X=1)}
= \dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{15} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{45} + \dfrac{1}{45}
= \dfrac{9+12+6+9+4+2}{90}
= \dfrac{42}{90}
=\dfrac{7}{15}$

\item Nombre de 2 égal à 2

$P(X=2) = P\left (U_{12}\cap D_2\right ) + P\left (U_{22}\cap D_1\right ) + P\left (U_{22}\cap D_3\right ) + P\left (U_{23}\cap D_2\right )\\[7pt]
\phantom{P(X=2)}
= \dfrac{6}{15} \times \dfrac{3}{6} +\dfrac{1}{15} \times \dfrac{2}{6} +\dfrac{1}{15} \times \dfrac{1}{6} +\dfrac{2}{15} \times \dfrac{3}{6}
= \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{45} + \dfrac{1}{90} + \dfrac{1}{15}\\[7pt]
\phantom{P(X=2)}
= \dfrac{18+2+1+6}{90} 
= \dfrac{27}{90} = \dfrac{3}{10}$

\item Nombre de 2 égal à 3

$P(X=3) = P\left (U_{22}\cap D_2\right )
= \dfrac{1}{15} \times \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{30}$
\end{list}

On en déduit la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline
$x_i$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$\\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\dfrac{1}{5}$ &$\dfrac{7}{15}$ &$\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{1}{30}$ \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Lors d'une épreuve, on appelle \og   succès  \fg{} l'obtention de trois numéros impairs. 
%Montrer que la probabilité d'avoir un succès est égale à $\dfrac{1}{5}$.

Voir l'arbre 5 page \pageref{arbre5}. La probabilité $p$ du succès est:

$p= P\left (U_{11}\cap D_1\right ) + P\left (U_{11}\cap D_3\right ) + P\left (U_{13}\cap D_1\right ) + P\left (U_{13}\cap D_3\right )\\[7pt]
\phantom{p}
= \dfrac{3}{15}\times \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{15}\times \dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{15}\times \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{15}\times \dfrac{1}{6}
= \dfrac{3}{15}\times \dfrac{2+1+2+1}{6}
= \dfrac{1}{5} \times 1
= \dfrac{1}{5}$

\item Soit $n\in\N\setminus \left \lbrace0\;;\;1\strut\right \rbrace$. On répète $n$ fois de suite et d'une manière indépendante l'épreuve $(E)$. Soit l'événement $A_n$: \og   obtenir au moins un succès lors des $n$ épreuves  \fg{}, de probabilité $P_n$.

Chaque épreuve $(E)$ n'a que deux issues et on répète $n$ fois de suite et d'une manière indépendante cette épreuve. Donc la variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de succès sur $n$ épreuves suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{1}{5}$.

Donc: $P_n = P\left (A_n\right ) = P(Y\geqslant 1) = 1- P(Y=0) = 1- \ds\binom{0}{n} \left (\frac{1}{5}\right )^0 \left (1-\dfrac{1}{5}\right )^{n-0}=1-\left (\dfrac{4}{5}\right )^n$


\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Arbre 1}\label{arbre1}
\end{center}

\begin{center}
\bigskip
{
\psset{treemode=R,levelsep=4cm, treesep=8mm,nodesepB=4pt}%labelsep=2pt,
\pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{11}$}\ncput*{\blue $3/15$}}
	                        {
	                        \TR{$D_1$}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$} \ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{12}$}\ncput*{\blue $6/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$} \ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{13}$}\ncput*{\blue $3/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$} \ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{22}$}\ncput*{\blue $1/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$} \ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{23}$}\ncput*{\blue $2/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$} \ncput*{\blue $1/6$}
	                        }	                        	                        	                        
      }
}
%\bigskip
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Arbre 2}\label{arbre2}
\end{center}

\begin{center}
\bigskip
%%% produit
{
\def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]}
\psset{treemode=R,levelsep=4cm, treesep=8mm,nodesepB=4pt}%labelsep=2pt,
\pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{11}$}\ncput*{\blue $3/15$}}
	                        {
	                        \TR{$D_1$}~{produit 1}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{produit 2}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{produit 3}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{12}$}\ncput*{\blue $6/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}~{produit 2}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR[edge=\ARouge]{$D_2$}~{\red produit 4}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{produit 6}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{13}$}\ncput*{\blue $3/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}~{produit 3}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{produit 6}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{produit 9}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{22}$}\ncput*{\blue $1/15$}}
                            {
	                        \TR[edge=\ARouge]{$D_1$}~{\red produit 4}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{produit 8}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{produit 12}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{23}$}\ncput*{\blue $2/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}~{produit 6}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{produit 12}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{produit 18}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }	                        	                        	                        
      }
}
%\bigskip
\end{center}


\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Arbre 3}\label{arbre3}
\end{center}

\begin{center}
\bigskip
%%% somme
{
\def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]}
\psset{treemode=R,levelsep=4cm, treesep=8mm,nodesepB=4pt}%labelsep=2pt,
\pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{11}$}\ncput*{\blue $3/15$}}
	                        {
	                        \TR{$D_1$}~{somme 3}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{somme 4}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR[edge=\ARouge]{$D_3$}~{\red somme 5}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{12}$}\ncput*{\blue $6/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}~{somme 4}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR[edge=\ARouge]{$D_2$}~{\red somme 5}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{somme 6}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{13}$}\ncput*{\blue $3/15$}}
                            {
	                        \TR[edge=\ARouge]{1}~{\red somme 5}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{somme 6}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{somme 7}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{22}$}\ncput*{\blue $1/15$}}
                            {
	                        \TR[edge=\ARouge]{$D_1$}~{\red somme 5}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{somme 6}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{somme 7}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{23}$}\ncput*{\blue $2/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}~{somme 6}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{somme 7}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{somme 8}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }	                        	                        	                        
      }
}
%\bigskip
\end{center}


\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Arbre 4}\label{arbre4}
\end{center}

\begin{center}
\bigskip
{
\newrgbcolor{vb}{0 0.545 0}
\psset{treemode=R,levelsep=4cm, treesep=8mm,nodesepB=4pt}%labelsep=2pt,
\pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{11}$}\ncput*{\blue $3/15$}}
	                        {
	                        \TR{$D_1$}~{\vb nombre de 2: 0}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{nombre de 2: 1}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{\vb nombre de 2: 0}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{12}$}\ncput*{\blue $6/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}~{nombre de 2: 1}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{\blue nombre de 2: 2}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{nombre de 2: 1}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{13}$}\ncput*{\blue $3/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}~{\vb nombre de 2: 0}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{nombre de 2: 1}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{\vb nombre de 2: 0}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{22}$}\ncput*{\blue $1/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}~{\blue nombre de 2: 2}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{\red nombre de 2: 3}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{\blue nombre de 2: 2}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{23}$}\ncput*{\blue $2/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}~{nombre de 2: 1}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{\blue nombre de 2: 2}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{nombre de 2: 1}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }	                        	                        	                        
      }
}
%\bigskip
\end{center}


\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Arbre 5}\label{arbre5}
\end{center}

\begin{center}
\bigskip
{
\def\ARouge{\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]}
\psset{treemode=R,levelsep=4cm, treesep=8mm,nodesepB=4pt}%labelsep=2pt,
\pstree[nodesepA=0pt]{\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{11}$}\ncput*{\blue $3/15$}}
	                        {
	                        \TR[edge=\ARouge]{$D_1$}~{\red{}nb numéros impairs: 3}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{nb numéros impairs: 2}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR[edge=\ARouge]{$D_3$}~{\red{}nb numéros impairs: 3}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{12}$}\ncput*{\blue $6/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}~{nb numéros impairs: 2}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{nb numéros impairs: 1}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{nb numéros impairs: 2}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR[edge=\ARouge]{$U_{13}$}\ncput*{\blue $3/15$}}
                            {
	                        \TR[edge=\ARouge]{$D_1$}~{\red{}nb numéros impairs: 3}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{nb numéros impairs: 2}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR[edge=\ARouge]{$D_3$}~{\red{}nb numéros impairs: 3}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{22}$}\ncput*{\blue $1/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}~{nb numéros impairs: 1}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{nb numéros impairs: 0}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{nb numéros impairs: 1}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$U_{23}$}\ncput*{\blue $2/15$}}
                            {
	                        \TR{$D_1$}~{nb numéros impairs: 2}\ncput*{\blue $2/6$}
			                \TR{$D_2$}~{nb numéros impairs: 1}\ncput*{\blue $3/6$}
		                    \TR{$D_3$}~{nb numéros impairs: 2}\ncput*{\blue $1/6$}
	                        }	                        	                        	                        
      }
}
%\bigskip
\end{center}

\end{document}
