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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Concours contrôleur des douanes session 2025},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
%Corrigé : François Hache
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Branche opérations commerciales}}
\rfoot{\small{session 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche Contrôle des opérations commerciales - session 2025
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

%\textbf{Remarque préliminaire :
%\begin{itemize}
%\item \textbf{Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont
%demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.}
%\item \textbf{Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet. Le sujet et les feuilles de brouillon ne seront ni ramassés ni corrigés.}
%\end{itemize}}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

On note $D$ la droite passant par les points A\,$(3~;~- 3~;~0)$ et B\,$(4~;~- 1~;~-1)$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $D$ sachant que $t \in \R$, est :
La droite $D$ est l'ensemble des points M\,$(x\;,\;y\;,\;z)$ tels que $\vectt{AM}$ et $\vectt{AB}$ soient colinéaires, c'est-à-dire tels que $\vectt{AM} = t\,\vectt{AB}$ avec $t\in\R$.

$\vectt{AM}$ a pour coordonnées 
$\begin{pmatrix} x-3 \\ y-(-3) \\ z-0\end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} x-3 \\ y+3 \\ z\end{pmatrix}$

$\vectt{AB}$ a pour coordonnées 
$\begin{pmatrix} 4-3 \\ -1-(-3) \\ -1-0\end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}$

$\vectt{AM} = t\,\vectt{AB}
\iff
\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
x-3 & t\times 1\\
y+3 & t \times 2\\
z & t \times (-1)
\end{array}
\right .
\iff
\left \{
\begin{array}{l !{=} r}
x & 3+t\\
y & -3 + 2t\\
z & -t
\end{array}
\right .$

$D$ a donc pour représentation paramétrique:
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l l}
x&\phantom{-}3+ \phantom{2}t & \\
y&-3+ 2t & \text{où } t\in\R\\
z&\phantom{-3 +}- t &
\end{array}\right.$

\item $D'$ est la droite de représentation paramétrique:
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l l}
x&\phantom{- }3k + 1 & \\
y&\phantom{3}-k + 3 & \text{où } k\in\R\\
z&\phantom{- 3}k - 2&
\end{array}
\right.$

	\begin{enumerate}
		\item % Donner un vecteur directeur $\vect{u}$ de la droite $D'$
La droite $D'$ a pour vecteur directeur  $\vect{u}\,(3\;,\;-1 \;,\; 1)$
		
		\item %Démontrer que les droites $D'$ et $D$ sont orthogonales.
$\vect{u}\cdot \vectt{AB}= 3 \times 1+ (-1)\times 2+ 1\times 	(-1)=3-2-1=0$ donc les vecteurs $\vect{u}$ et  $\vectt{AB}$ sont orthogonaux.
Les droites $D'$ et $D$ ont leurs vecteurs directeurs orthogonaux donc elles sont orthogonales.
		
		\item %Démontrer que les droites $D'$ et $D$ ne sont pas sécantes.
Les droites $D'$ et $D$ sont sécantes si et seulement si on peut trouver un couple $(k\,,\,t)$ de réels tel que:
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l }
3k+1 & 3+t  \\
-k+3 & -3+ 2t  \\
k-2 & - t 
\end{array}\right.$

Ce système équivaut à:
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l }
3k+1 & 3+(-k+2)  \\
-k+3 & -3+ 2(-k+2)  \\
-k+2 &  t 
\end{array}\right.$

ou encore:
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l }
3k+1 & 3-k+2  \\
-k+3 & -3- 2k+4  \\
-k+2 &  t 
\end{array}\right.$
soit:
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l }
4k & 4 \\
k & -2  \\
-k+2 &  t 
\end{array}\right.$
	\end{enumerate}
	
Les deux premières équations sont incompatibles, donc le système n'a pas de solution, et donc les droites $D'$ et $D$ ne sont pas sécantes.	
	
\item On considère le plan $P$ d'équation $2x+ y+ 4z-3=0$

	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que le plan $P$ contient la droite $D$
Tout point de la droite $D$ a pour coordonnées $(3+t\,,\, -3+2t\,,\, -t)$ où $t\in\R$.

On regarde si ces coordonnées vérifient l'équation du plan $P$:\\
$2\left (3+t\right ) + \left (-3+2t \right ) +4\left ( -t\right )-3
= 6+2t -3+2t -4t -3=0$.

Donc tout point de la droite $D$ appartient au plan $P$  donc  le plan $P$ contient la droite $D$
		
		\item %Démontrer que le plan $P$ et la droite $D'$ se coupent en un point C dont vous préciserez les coordonnées.
Tout point M de la droite $D'$ a pour coordonnées $(3k+1\,,\, -k+3\,,\, k-2)$ où $k\in\R$.		

On regarde s'il existe une valeur de $k$ pour laquelle le point M appartient à $P$.

Dans ce cas:
$2\left (3k+1\right ) + \left ( -k+2 \right ) +4 \left (k-2 \right ) -3=0$
soit
$6k+2 -k+2 +4k-8-3=0$
soit
$9k=6$
soit
$k=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$
		
On a alors: 		
$(3k+1\,,\, -k+3\,,\, k-2)
= \left (3\times \dfrac{2}{3}+1\,,\, -\dfrac{2}{3}+3\,,\, \dfrac{2}{3}-2\right )
= \left (3\,,\, \dfrac{7}{3}\,,\, -\dfrac{4}{3}\right )$.

Donc le plan $P$ et la droite $D'$ se coupent au point C de coordonnées $\left (3\,,\, \dfrac{7}{3}\,,\, -\dfrac{4}{3}\right )$.
		
	\end{enumerate}

\item On considère la droite $\Delta$ passant par le point C et de vecteur directeur
$\vect{v}(1~;~2~;~-1)$.

	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{list}{\textbullet}{On démontre que les droites $\Delta$ et $D$ sont strictement parallèles.}
\item La droite $D$ a pour vecteur directeur $\vectt{AB}$ de coordonnées  $( 1 \,,\, 2 \,,\, -1)$, et la droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vect{v}$ de coordonnées  $( 1 \,,\, 2 \,,\, -1)$.

Donc les droites $\Delta$ et $D$ sont parallèles.
\item Par définition le point C appartient à la droite $\Delta$. On sait aussi que C appartient à la droite $D'$. Comme les droites $D$ et $D'$ ne sont pas sécantes, le point C n'appartient pas à la droite $D$. On en déduit que les droites $\Delta$ et $D$ ne sont pas confondues.
\end{list}		

Les droites $\Delta$ et $D$ sont parallèles non confondues, donc elles sont strictement parallèles.		

		\item
\begin{list}{\textbullet}{On démontre que les droites $\Delta$ et $D'$ sont sécantes.}
\item On a vu que le point C appartenait à $\Delta$ et  à $D'$, donc le point C appartient à leur intersection.
\item $\Delta$ et $D$ sont parallèles, et $D$ et $D'$ sont orthogonales, donc $\Delta$ et $D'$ sont orthogonales donc ne sont pas confondues.
\end{list}		 

Les droites $\Delta$ et $D$ ne sont pas confondues et ont le point C en commun, donc elles sont sécantes en C.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
$f(x)= x - \dfrac{\ln (x)}{x^2}$.

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\Oij.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par:  $u(x) = x^3 - 1 + 2 \ln (x)$.

	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
$u'(x)=3x^2-0+2\times \dfrac{1}{x}=3x^2+\dfrac{2}{x}>0$ sur  l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Donc la fonction $u$ est strictement croissante sur  l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		
		\item %Calculer $u(1)$ et en déduire le signe de $u(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$.
$u(1)=1^3 -1 +2\,\ln(1)=0$

On établit le tableau de variations de $u$ sur  l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\[\begin{tablvar}[12em]{1}
 \hline
 x & 0 & \vr{1}&  +\infty  \\
 \hline
 \variations{\mil{u(x)} & \bb\limg{3}{\phantom{0}} & \vr{0} &  \haut{\phantom{0}}}
 \hline
 \end{tablvar}\]		

On en déduit le signe de $u(x)$ sur $]0\,,\,+\infty[$.

\[ \begin{tablvar}{2}
 \hline
 x & 0 & & 1 & & +\infty\\
 \hline
u(x) & \bb & - & \barre[0] & + & \\
 \hline
 \end{tablvar}\]

	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{list}{\textbullet}{On détermine les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.}
\item $f(x)=x-\dfrac{\ln(x)}{x^2} = x - \dfrac{1}{x^2}\times \ln(x)$

$\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} \ln(x)=-\infty$ et
$\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} \dfrac{1}{x^2}=+\infty$; donc, par produit:
$\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} \dfrac{1}{x^2}\times \ln(x)=-\infty$.

On a donc $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} x - \dfrac{\ln(x)}{x^2}=+\infty$ et donc $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} f(x)=+\infty$

On en déduit que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$.

\item $f(x)=x-\dfrac{\ln(x)}{x^2}=x-\dfrac{1}{x}\times \dfrac{\ln(x)}{x}$

On sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$  et que $\ds\lim_{x\to +\infty}  \dfrac{1}{x}=0$. 

Donc, par produit, $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} x - \dfrac{\ln(x)}{x^2}=+\infty$.

On a donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.

\end{list}

%On remarquera que :
%
%$\dfrac{\ln(x)}{x^2} = \dfrac 1x \times \dfrac{\ln(x)}{x}$\: pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
%
%Interpréter graphiquement la limite de $f$ en 0.

		\item %Déterminer la fonction $f'$, dérivée de $f$ et construire le tableau de variation de la fonction $f$.
Pour tout $x>0$, on a:		
$\aligned[t]
f'(x)
& = 1 - \dfrac{\frac{1}{x}\times x^2 - \ln(x)\times 2x}{x^4}		
 = 1 - \dfrac{x - 2x\ln(x)}{x^4}\\
&  = 1 - \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^3}		
  = \dfrac{x^3 -1+2\ln(x)}{x^3}
  = \dfrac{u(x)}{x^3}
  \endaligned$
 
$x^3>0$ sur $]0\,,\,+\infty[$ donc $f'(x)$ est du signe de $u(x)$.

$f(1)=1-\dfrac{\ln(1)}{1^2}=1-0=1$

On construit le tableau de variations de la fonction $f$.

\[\begin{tablvar}[6em]{2}
\hline
x & 0 && 1 && +\infty\\
\hline
u(x) & \bb & - & \barre[0] & + & \\
\hline
x^3 & \barre[0] & + & \barre & + & \\
\hline
f'(x) & \bb & - & \barre[0] & + & \\
\hline
\variations{\mil{f} & \bb\limd{1}{+\infty} && \bas{1} &&  \haut{+\infty}} 
\hline
\end{tablvar}\]
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour déterminer la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y = x$, il faut déterminer le signe de $(f(x)-x)$ sur l'intervalle $]0\,,\,+\infty[$.

$f(x)-x = x-\dfrac{\ln(x)}{x^2}-x = -\dfrac{\ln(x)}{x^2}$

On détermine alors les positions relatives de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$.

\[\begin{tablvar}[intervalwidth=9em]{2}
\hline
 x & 0 && 1 && +\infty\\
\hline
\ln(x) & \bb & - & \barre[0] & + & \\
\hline
x^2 & \barre[0] & + & \barre & + & \\
\hline
f(x)-x & \bb & + & \barre[0] & - &\\
 \hline
 & \bb & \makecell{\mbox{$\mathcal{C}$  est}\\ \mbox{au dessus de  $\Delta$}} & \barre & \makecell{\mbox{$\mathcal{C}$  est}\\ \mbox{en dessous de  $\Delta$}} & \\
 \hline
 \end{tablvar}\]

		\item %Calculer $\lim [f(x) - x]$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
$\ds\lim_{x\to +\infty} \left | f(x)-x \strut \right |
= \ds\lim_{x\to +\infty} \left | -\dfrac{\ln(x)}{x^2} \right |
=0$ d'après la question \textbf{2.a.}

On en déduit que la droite d'équation $y=x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.		
		
%Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Amateur de mots croisés, Mathias s'entraîne sur un site internet.

40\,\% des grilles qui y sont proposées sont de niveau facile, 30\,\% sont de niveau moyen et 30\,\% de niveau difficile.

Mathias sait qu'il réussit les grilles de niveau facile dans 95\,\% des cas, de niveau moyen dans 60\,\% des cas et de niveau difficile dans 40\,\% des cas.

Une grille de mots croisés lui est proposée de façon aléatoire.

\begin{list}{\textbullet}{On considère les évènements suivants:}
\item $F$ : \og La grille de mots croisés est de niveau facile. \fg ;
\item $M$ : \og La grille de mots croisés est de niveau moyen. \fg;
\item $D$ : \og La grille de mots croisés est de niveau difficile. \fg;
\item $R$ : \og Mathias réussit la grille. \fg{} et $\overline{R}$ son évènement contraire.
\end{list}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On traduit les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

\begin{center}
{\small
\psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=8mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt,nrot=:U,levelsep=4cm]{\TR{$F$}\ncput*{$0,4$}}
	                        {
	                        \TR{$R$}\naput{$0,95$}
			                \TR{$\overline{R}$}\nbput{$1-0,95=0,05$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt,nrot=:U,levelsep=4cm]{\TR{$M$}\ncput*{$0,3$}}
	                        {
	                        \TR{$R$}\naput{$0,6$}
			                \TR{$\overline{R}$}\nbput{$1-0,6=0,4$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt,nrot=:U,levelsep=4cm]{\TR{$D$}\ncput*{$0,3$}}
	                        {
	                        \TR{$R$}\naput{$0,4$}
			                \TR{$\overline{R}$}\nbput{$1-0,4=0,6$}
	                        }	                        
      }
}% fin du \small
\end{center}


\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que la grille de mots croisés proposée soit de niveau difficile et que Mathias la réussisse.
La probabilité que la grille de mots croisés proposée soit de niveau difficile et que Mathias la réussisse est
$P(D\cap R)= P(D)\times P_{D}(R) = 0,3\times 0,4=0,12$.		
		
		\item %Calculer la probabilité que la grille de mots croisés proposée soit de niveau facile et que Mathias ne la réussisse pas.
La probabilité que la grille de mots croisés proposée soit de niveau facile et que Mathias ne la réussisse pas est
$P\left (F\cap \overline{R}\right ) = P(F)\times P_{F}\left (\overline{R}\right )
= 0,4\times 0,05=0,02$.
		
		\item %Montrer que la probabilité que Mathias réussisse la grille proposée est égale $0,68$.
La probabilité que Mathias réussisse la grille proposée est $P(R)$.

D'après la formule des probabilités totales:

$P(R)=P(F\cap R) + P(M\cap R) + P(D\cap R)
= 0,4\times 0,95+0,3\times 0,6+0,3\times 0,4=0,68$

	\end{enumerate}

\item Sachant que Mathias n'a pas réussi la grille proposée, la probabilité que ce soit une grille de mots croisés de niveau moyen est

$P_{\overline{R}}(M) = \dfrac{P\left ( M\cap \overline{R}\right )}{P\left (\overline{R}\right )}
= \dfrac{0,3\times 0,4}{1-0,68} = \dfrac{0,12}{0,32} = 0,375$

\item Mathias a réussi la grille proposée. \\
Sa petite sœur Elyne affirme : \og Je pense que ta grille était facile \fg.

On cherche la probabilité que la grille soit facile, sachant que Mathias l'a  réussie:

$P_{R}(F)= \dfrac{P(F\cap R)}{P(R)} = \dfrac{0,4\times 0,95}{0,68}
= \dfrac{0,38}{0,68}>\dfrac{1}{2}$

Elyne a plus d'une chance sur deux d'avoir raison.

%Dans quelle mesure a-t-elle raison ?
%
%Justifier la réponse à l'aide d'un calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Le nombre d'arbres de la forêt de Xivry, en milliers d'unités, est modélisé par la suite $(u_n)$ où $u_n$ désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année $(2024 + n)$.

En 2024, la forêt de Xivry possède \np{50000}~arbres.

Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, l'ONF, l'Office National des Forêts, décide d'abattre chaque année 5\,\% des arbres existants et de replanter \np{3000}~arbres.

%\begin{list}{}{Pour cette exercice, on donne les données suivantes :}
%\item $0,95^5 \approx \np{0,7737}$; $\quad 0,95^6 \approx \np{0,7350}$; $\quad 0,95^7 \approx \np{0,6983}$;
%\item $0,94^4 \approx \np{0,7807}$; $\quad 0,94^5 \approx \np{0,7339}$; $\quad \dfrac{\ln (0,4)}{\ln (0,95)} \approx 17,86$; $\quad \dfrac{\ln (0,6)}{\ln (0,95)} \approx 9,95$;
%\item $\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)} \approx 13,5$;
%$\quad \dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,94)} \approx 11,20 $
%\end{list}
%
%\textbf{N. B :} toutes ces données ne sont pas nécessairement utilisables.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la situation peut être modélisée par : 

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
% u_0&=&50\\
%u_{n+1}&=&0,95u_n + 3 \:\:\text{ pour tout entier naturel }\:n
%\end{array}\right.\]

\begin{list}{\textbullet}{D'après le texte}
\item Il y a \np{50000} arbres en 2024 donc $u_0=50$.
\item Abattre 5\,\% des arbres, revient à en garder 95\,\%, donc à multiplier par $0,95$.
\item Planter \np{3000} arbres revient à ajouter 3.
\item On multiplie par $0,95$ puis on ajoute 3 donc $u_{n+1}=0,95 u_n+3$.
\end{list}

Donc  la situation peut être modélisée par: 
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
 u_0&50\\
u_{n+1}&0,95u_n + 3 \:\:\text{ pour tout } n
\end{array}\right.$

\item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout $n$ par la relation:
$v_n = 60 - u_n$.

Il en découle que $u_n=60-v_n$.

	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95.
$v_n = 60 - u_n$ donc
$\aligned[t]
v_{n+1} 
& = 60-u_{n+1}
= 60 - \left ( 0,95u_n +3\right )		
= 60-0,95u_n - 3\\
& = 57 - 0,95 \left (60-v_n\right )
= 57 - 0,95\times 60 + 0,95v_n\\
& = 57 - 57 + 0,95v_n
= 0,95v_n
\endaligned$

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,95$.
		
		\item $v_0 = 60-u_0=60-50=10$
		
%Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,95$ et de premier terme $v_0=10$ donc, pour tout $n$, on a:
$v_n=v_0\times q^n=10\times (0,95)^n$.

		\item Pour tout entier naturel $n$, on a:
$u_n = 60 - v_n$ donc $u_n = 60 - 10 \times (0,95)^n$.
	\end{enumerate}

\item %Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2029. On donnera une valeur approchée arrondie à l'unité.
$2029=2024+5$;
$u_5=60-10\times 0,95^5 \approx 60-10 \times \np{0,7737}\approx 60 -7,737 \approx 52,263$

Le nombre d'arbres de la forêt en 2029 est estimé à \np{52263}.

	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que pour tout entier naturel $n$ on a l'égalité $u_{n+ 1} - u_n = 0,5 \times (0,95)^n$.
Pour tout $n$ on a: 
$\aligned[t]
u_{n+ 1} - u_n 
& = \left ( 60 - 10 \times (0,95)^{n+1} \right ) - \left ( 60 - 10 \times (0,95)^n\right )\\
& =  60 - 10 \times (0,95)^{n+1} - 60 + 10 \times (0,95)^n\\
& = 10\times (0,95)^n \left ( 1-0,95\right )\\
& = 10\times (0,95)^n \times 0,05
= 0,5\times (0,95)^n
\endaligned$

		\item %En déduire la monotonie de la suite.
Pour tout $n$, $0,5\times (0,95)^n>0$ donc $u_{n+1}-u_n>0$, donc la suite $(u_n)$ est croissante.
		\end{enumerate}
		
\item On veut déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10\,\% celui de 2024.

Le nombre d'arbres de 2024 est \np{50000}; si on augmente de 10\,\%, cela donne \np{55000} arbres. On cherche donc le plus petit entier $n$ vérifiant $u_n>55$. On résout cette inéquation.

$\aligned
u_n>55
& \iff  60-10\times (0,95)^n > 55
\iff 5> 10\times (0,95)^n
\iff 0,5 > (0,95)^n\\
& \iff \ln \left (0,5\right ) > \ln \left ( (0,95)^n \right )
\iff \ln \left (0,5\right ) > n\times \ln \left ( 0,95 \right )
\iff \dfrac{\ln \left (0,5\right )}{\ln \left ( 0,95 \right )}<n
\endaligned$

$\dfrac{\ln \left (0,5\right )}{\ln \left ( 0,95 \right )} \approx 13,51$ donc on prendra $n=14$.

$2024+14=2038$ donc c'est  à partir de 2038 que le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10\,\% celui de 2024.

\item %Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
$0<0,95<1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} (0,95)^n=0$, et donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 60 - 10\times (0,95)^n=60$.

La limite de la suite $(u_n)$ est donc 60.

À long terme, le nombre d'arbres va tendre vers \np{60000}.
\end{enumerate}

\end{document}