\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,pstricks-add}% \usepackage{color,colortbl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Tapuscrit : Denis Vergès % Corrigé : François Hache \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength\headheight{14pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion corrigé}, pdftitle = {Métropole - 16 mai 2025}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BTS Polynésie - corrigé} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{16 mai 2025}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet de Technicien Supérieur Polynésie~\decofourright\\[7pt]16 mai 2025 - Comptabilité et gestion}} \bigskip {\Large \textbf{MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES \qquad 2 heures}} \end{center} \medskip \textbf{Exercice \no 1 \hfill 10 points} \medskip %Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. On s'intéresse à quelques données sur le changement climatique et ses conséquences dans le monde. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'augmentation du niveau moyen des océans en prenant pour référence le niveau moyen lors de l'année 1995. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{5.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1995 &2000 &2005 &2010 &2015 &2020\\ \hline Rang de l'année $x_i$ &0 &5 &10 &15 &20 &25\\ \hline Augmentation du niveau moyen des océans $y_i$ (en centimètre) &0 &$1,7$ &$3,1$ &$4,8$ &$6,8$ &$8,7$\\ \hline \multicolumn{7}{r}{(\scriptsize source : E.U. Copernicus Marine Service Information)}\\ \end{tabularx} \end{center} %Lecture : entre l'année 1995 et l'année 2005, le niveau moyen des océans a augmenté de $3,1$~cm. %\medskip \begin{enumerate} \item Avec la calculatrice, on donne l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés: $y=0,346x -0,138$. \item Dans cette question, on décide d'ajuster le nuage de points de cette série statistique $(x_i~;~y_i)$ par la droite d'équation : $y = 0,35x - 0,14$. %Utiliser ce modèle pour répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item %Estimer pour l'année 2025 l'augmentation du niveau moyen des océans par rapport à son niveau moyen de 1995. L'année 2025 correspond au rang $x=30$; on a alors: $y=0,35\times 30-0,14=10,36$. Pour l'année 2025 l'augmentation du niveau moyen des océans par rapport à son niveau moyen de 1995 peut être estimée à $10,36$~cm. \item L'année à partir de laquelle l'augmentation du niveau moyen des océans dépassera 20 centimètres par rapport à son niveau moyen de 1995 correspond au plus petit entier $x$ tel que $y>20$. On résout cette inéquation. $y>20 \iff 0,35x-0,14 > 20 \iff 0,35x > 20,14 \iff x> \dfrac{20,14}{0,35}$ $\dfrac{20,14}{0,35} \approx 57,5$, donc on prendra $x= 58$ qui correspond à l'année 2053. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul d'un tableur, donne la superficie mensuelle moyenne des glaces arctiques en septembre sur la période de 1980 à 2020. La plage de cellules C3 à F3 est au format pourcentage à une décimale. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|>{\cellcolor{lightgray}} c |p{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \rowcolor{lightgray} &A&B&C&D&E&F\\ \hline 1&Année&1980&1990&2000&2010&2020\\ \hline 2&Superficie (en millions de km$^2$)&$7,7$&$6,4$&$6,2$&$4,9$&$4$ \rule[-2mm]{0mm}{6mm}\\ \hline 3&Taux d'évolution par rapport à l'année 1980 (en \%)&&&&&\\ \hline \multicolumn{7}{r}{(\emph{source : National Snow and Ice Data Center})} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Une formule à saisir en C3 et qui permet, par recopie vers la droite, de calculer les taux d'évolutions successifs des superficies par rapport à l'année 1980 est: \begin{center} \verb!= (C2 - $B$2) / $B$2! \end{center} \item \begin{enumerate} \item $\dfrac{4-7,7}{7,7}\times 100 \approx 48,052$ donc, sur la période 1980 à 2020, la superficie moyenne des glaces arctiques en septembre a diminué d'environ 48,1\,\%. \item On appelle $p$ le taux d'évolution annuel moyen. On a: $\aligned \left (1+\dfrac{p}{100}\right )^4=1+\dfrac{48,1}{100} \text{ donc } & 1+\dfrac{p}{100}=\left (1+\dfrac{48,1}{100}\right )^{\frac{1}{4}}\\ & \dfrac{p}{100}=\left (1+\dfrac{48,1}{100}\right )^{\frac{1}{4}}-1\\ & p=100 \left (\left ( 1+\dfrac{48,1}{100} \right )^{\frac{1}{4}}-1\right )\\ & p \approx 10,3 \endaligned$ Donc le taux d'évolution annuel moyen est de $10,3\,\%$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On suppose dans cette partie qu'à partir de l'année 2020, la superficie moyenne des glaces arctiques en septembre diminue tous les ans de $1,6\,\%$. La suite $(u_n)$ modélise la superficie moyenne, exprimée en million de km$^2$, des glaces arctiques en septembre pour l'année $(2020 + n)$ . On a ainsi : $u_0 = 4,0$. %\medskip \begin{enumerate} \item% Calculer $u_1$ puis $u_2$. Arrondir à 0,01 million de km$^2$. $u_1= u_0 - u_0 \times \dfrac{1,6}{100} = 4 - 4 \times \dfrac{1,6}{100} \approx 3,94$ $u_2= u_1 - u_1 \times \dfrac{1,6}{100} = 3,94 - 3,94 \times \dfrac{1,6}{100} \approx 3,88$ \item %Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Justifier et donner sa raison. Diminuer de $1,6\,\%$, c'est multiplier par $1-\dfrac{1,6}{100}$ soit $0,984$. Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,984$ et de premier terme $u_0=4$. \item% Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. On en déduit que, pour tout $n$, on a: $u_n=u_0\times q^n=4\times 0,984^n$. %Selon ce modèle : \item Septembre 2025 correspond à $n=5$, et $u_5 = 4 \times 0,984^5 \approx 3,69$. Donc la superficie moyenne des glaces arctiques en septembre 2025 peut être estimée à $3,69$~km$^2$. %Arrondir à 0,01 million de km$^2$. \item La superficie moyenne des glaces arctiques en septembre passera pour la première fois en dessous de 2 millions de km$^2$ quand on aura $u_n<2$. On résout cette inéquation. $\aligned u_n<2 & \iff 4\times 0,984^n < 2 \iff 0,984^n < \dfrac{2}{4} \iff \ln \left ( 0,984^n \right ) < \ln \left (0,5 \right )\\ & \iff n\times\ln \left ( 0,984 \right ) < \ln \left (0,5 \right ) \iff n > \dfrac{\ln \left (0,5 \right )}{\ln \left ( 0,984 \right )} \endaligned$ $\dfrac{\ln \left (0,5 \right )}{\ln \left ( 0,984 \right )} \approx 42,97$ donc on prendra $n=43$ qui correspond à septembre 2063. \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice \no 2 \hfill 10 points} \medskip %\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante} % %\medskip Un institut a réalisé un sondage sur l'intérêt des Français pour les Jeux Olympiques qui ont eu lieu à Paris en août 2024. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Ce sondage a donné les résultats suivants : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item $8,8\,\%$ des sondés ont acheté des places pour ces Jeux Olympiques. \item Parmi les sondés ayant acheté des places pour ces Jeux Olympiques, $95\,\%$ ont déclaré avoir également suivi ces Jeux Olympiques à la télévision. \item Parmi les sondés n'ayant pas acheté des places pour ces Jeux Olympiques, $75\,\%$ ont déclaré avoir également suivi ces Jeux Olympiques à la télévision. \end{itemize} \medskip On choisit au hasard une personne interrogée lors de ce sondage. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. \begin{list}{\textbullet}{On s'intéresse alors aux évènements suivants :} \item $B$ : \og la personne sondée a acheté des places pour ces Jeux Olympiques \fg. \item $S$ : \og la personne sondée a suivi ces Jeux Olympiques à la télévision \fg. \end{list} \medskip On note respectivement $\overline{B}$ et $\overline{S}$ les évènements contraires de $B$ et $S$. %\medskip \begin{enumerate} \item On complète l'arbre pondéré suivant. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepB=4pt,treesep=1cm]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=4pt,levelsep=3cm]{\TR{$B$} \ncput*{\blue $\frac{8,8}{100}$}} {\TR{$S$} \ncput*{\blue $\frac{95}{100}$} \TR{$\overline{S}$} \ncput*{\blue $\frac{5}{100}$} } \pstree[nodesepA=4pt,levelsep=3cm]{\TR{$\overline{B}$} \ncput*{\blue $\frac{91,2}{100}$}} {\TR{$S$} \ncput*{\blue $\frac{75}{100}$} \TR{$\overline{S}$} \ncput*{\blue $\frac{25}{100}$} } } \end{center} \item La probabilité que la personne sondée ait acheté des places et ait également suivi ces Jeux Olympiques à la télévision est: $P(B\cap S) = \dfrac{8,8}{100}\times \dfrac{95}{100}= \np{0,0836}$. \item %Montrer que $P(S) = \np{0,7676}$. D'après la formule des probabilités totales; $P(S)=P(B\cap S) + P \left (\overline{B}\cap S\right )= \np{0,0836} + \dfrac{91,2}{100}\times \dfrac{75}{100} = \np{0,0836} + \np{0,6840} = \np{0,7676}$. \item Le responsable du sondage affirme que, parmi les personnes n'ayant pas suivi ces Jeux Olympiques à la télévision, moins de $2\,\%$ ont déclaré avoir acheté des places. On cherche la probabilité des personnes ayant déclaré avoir acheté un billet sachant qu'elles n'ont pas suivi les jeux à la télévision, c'est-à-dire $P_{\overline{S}}(B)$. $P_{\overline{S}}(B) = \dfrac{P \left (B\cap \overline{S}\right ) }{P \left (\overline{S}\right )} = \dfrac{0,088\times 0,05}{1-\np{0,7676}} = \dfrac{\np{0,0044}}{\np{0,2324}} \approx 0,0189 < 0,02$ Le responsable du sondage a raison. \end{enumerate} \newpage \textbf{Partie B} \medskip On choisit au hasard $200$ personnes interrogées lors de ce sondage. Le nombre de personnes interrogées est assez grand pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $200$ personnes interrogées, associe le nombre de personnes disant avoir suivi ces Jeux Olympiques à la télévision. On admet que la probabilité pour qu'une personne interrogée dise avoir suivi ces Jeux Olympiques à la télévision est égale à $0,77$. %\medskip \begin{enumerate} \item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. On exécute 200 fois une expérience élémentaire qui n'a que deux issues: le succès avec une probabilité $p=0,77$, et l'échec. De plus, le nombre de personnes interrogées est assez grand pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. Donc la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $200$ personnes interrogées, associe le nombre de personnes disant avoir suivi ces Jeux Olympiques à la télévision, suit une loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0,77$. \item %Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation dans le cadre de cet exercice. L'espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=np=200\times 0,77=154$. Cela veut dire que dans chaque lot de 200 personnes, il y en a en moyenne 154 qui disent avoir suivi ces Jeux Olympiques à la télévision. \item La probabilité pour que, dans un tel prélèvement, exactement $155$ personnes disent avoir suivi ces Jeux Olympiques à la télévision est: $P(X=155) \approx 0,066$. %Arrondir le résultat au millième. \item $P(X \leqslant 149) \approx 0,223$ %Arrondir le résultat au millième. \item La probabilité pour que, dans un tel prélèvement, au moins $150$ personnes disent avoir suivi ces Jeux olympiques à la télévision est $P(X\geqslant 150) = 1 - P(X\leqslant 149) \approx 0,777$. %Arrondir le résultat au millième. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Le sondage s'intéressait également au temps passé par les sondés à suivre ces Jeux Olympiques sur les divers médias possibles (télévision, internet, radio...). On note $Y$ la variable aléatoire qui modélise le temps passé par chaque personne interrogée à suivre ainsi ces Jeux olympiques. $Y$ est exprimée en heure. Selon les résultats de ce sondage, on admet que $Y$ suit une loi normale d'espérance 30 dont on donne ci-dessous la courbe représentative de sa fonction densité. On sait de plus que $P(Y \leqslant 12) = 0,025$. %courbe en cloche \begin{center} \scalebox{0.8}{ \psset{xunit=0.2cm,yunit=120cm,arrowsize=2pt 3,comma=true} \begin{pspicture}(-3,-0.005)(64,0.05) \psgrid[xunit=0.4cm,yunit=1.20cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(32,5) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=purple] {\psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{12} \psline(12,0.006)(12,0)(0,0)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.02]{->}(0,0) (0,0)(64,0.05) \psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{64} \rput(8,0.022){$P(Y \leqslant 12) = 0,025$} \psline{->}(8,0.02)(9,0.001) \end{pspicture} } \end{center} \begin{enumerate} \item %Quel est le pourcentage de personnes interrogées à avoir passé plus de 30 heures à suivre ainsi ces Jeux olympiques ? Justifier. La variable aléatoire $Y$ suit une loi normale d'espérance 30, donc la droite d'équation $x=30$ est axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction densité.\\ \begin{minipage}{5cm} On en déduit que\\ $P(Y\geqslant 30) = P(Y\leqslant 30) = 0,5$.\\ \\ Le pourcentage de personnes interrogées à avoir passé plus de 30 heures à suivre ainsi ces Jeux Olympiques est donc de 50\,\%. \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{8cm} \scalebox{0.6}{ \psset{xunit=0.2cm,yunit=120cm,arrowsize=2pt 3,comma=true} \begin{pspicture}(-3,-0.005)(64,0.05) \psgrid[xunit=0.4cm,yunit=1.20cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(32,5) %%% texte \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=purple]{\psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1pt]{0}{12} \psplot{12}{0}{0} \closepath} %%% question 1 \pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=purple]{\psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{30}{64} \psplot{64}{30}{0} \closepath} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.02]{->}(0,0) (0,0)(64,0.05) \psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{64} \rput(8,0.022){$P(Y \leqslant 12) = 0,025$} \psline{->}(8,0.02)(9,0.001) \rput*(36,0.015){$50\,\%$} \end{pspicture} } \end{minipage} \smallskip \item On cherche la probabilité $P(Y \geqslant 12)$. \begin{minipage}[t]{5cm} $\aligned P(Y \geqslant 12) & = 1-P(Y\leqslant 12) \\ & = 1 - 0,025\\ & = 0,975 \endaligned$ \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{8cm} \scalebox{0.6}{ \psset{xunit=0.2cm,yunit=120cm,arrowsize=2pt 3,comma=true} \begin{pspicture}(-3,-0.005)(64,0.05) \psgrid[xunit=0.4cm,yunit=1.20cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(32,5) %%% texte \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=purple]{\psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1pt]{0}{12} \psplot{12}{0}{0} \closepath} %%% question 2 \pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=purple] {\psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{12}{64} \psplot{64}{12}{0} \closepath} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.02]{->}(0,0) (0,0)(64,0.05) \psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{64} \rput(8,0.022){$P(Y \leqslant 12) = 0,025$} \psline{->}(8,0.02)(9,0.001) \rput*(30,0.01){$P(Y \geqslant 12) = 0,975$} \end{pspicture} } \end{minipage} \item On cherche la probabilité $P(30 \leqslant Y \leqslant 48)$. \begin{minipage}{5cm} Pour des raisons de symétrie:\\ $P(Y\geqslant 30+18) = P(Y\leqslant 30-18)$\\ donc $P(Y\geqslant 48) = P(Y\leqslant 12)$,\\ et donc $P(Y\geqslant 48) = 0,025$.\\ \\ $P(30 \leqslant Y \leqslant 48)\\ \quad = P(Y\geqslant 30) - P(Y\geqslant 48)\\ \quad = 0,5 - 0,025 = 0,475$ \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{8cm} \scalebox{0.6}{ \psset{xunit=0.2cm,yunit=120cm,arrowsize=2pt 3,comma=true} \begin{pspicture}(-3,-0.005)(64,0.05) \psgrid[xunit=0.4cm,yunit=1.20cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(32,5) %%% texte \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=purple]{\psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1pt]{0}{12} \psplot{12}{0}{0} \closepath} %%% question 3 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=purple]{\psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1pt]{48}{64} \psplot{64}{48}{0} \closepath} \pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=purple]{\psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{30}{48} %\psline(12,0.006)(12,0)(0,0) \psplot{48}{30}{0} \closepath} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.02]{->}(0,0) (0,0)(64,0.05) \psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{64} \rput(8,0.022){$P(Y \leqslant 12) = 0,025$} \psline{->}(8,0.02)(9,0.001) \rput*(38,0.006){\parbox{2.5cm}{\centering $P(30 \leqslant Y \leqslant 48)$\\$ = 0,475$}} \end{pspicture} } \end{minipage} \item% Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte. On cherche le temps qu'une personne interrogée doit avoir passé à suivre ces Jeux Olympiques pour faire partie des 16\,\% de celles ayant ainsi passé le plus de temps. \begin{minipage}{5.2cm} On sait que si la variable aléatoire $Y$ suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$: \\ $P\left (Y \in \left [ \mu-\sigma\,; \mu+\sigma\strut \right ]\right ) = 0,68$. Pour des raisons de symétrie: \\ $P\left (Y \leqslant \mu-\sigma\right ) = 0,16$ et \\ $P\left ( Y\geqslant \mu+\sigma\right ) = 0,16$. \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{8cm} \scalebox{0.6}{ \psset{xunit=0.2cm,yunit=120cm,arrowsize=2pt 3,comma=true} \begin{pspicture}(-3,-0.005)(64,0.05) \psgrid[xunit=0.4cm,yunit=1.20cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(32,5) %%% texte \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=purple]{\psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1pt]{0}{21} \psplot{21}{0}{0} \closepath} %%% question 4 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=purple]{\psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1pt]{39}{64} \psplot{64}{39}{0} \closepath} %%% \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.02]{->}(0,0) (0,0)(64,0.05) \psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{64} \rput(8,0.022){$P(Y \leqslant \mu-\sigma) = 0,16$} \psline{->}(8,0.02)(16,0.005) \rput(52,0.022){$P(Y \geqslant \mu+\sigma) = 0,16$} \psline{->}(52,0.02)(44,0.005) \rput(30,0.022){$68\,\%$} \end{pspicture} } \end{minipage} \medskip On a $\mu=30$. Il faut déterminer $\sigma$ en utilisant l'égalité $P(Y \leqslant 12) = 0,025$. On sait que si $Y$ suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, alors la variable aléatoire $Z$ définie par $Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite. $Y\leqslant 12 \iff Y-30 \leqslant 12-30 \iff Y-30 \leqslant -18 \iff \dfrac{Y-30}{\sigma} \leqslant \dfrac{-18}{\sigma} \iff Z\leqslant -\dfrac{18}{\sigma}$ Donc $P(Y\leqslant 12)=0,025$ équivaut à $P\left (Z\leqslant -\dfrac{18}{\sigma}\right )=0,025$, sachant que $Z$ suit la loi normale centrée réduite. À la calculatrice, on cherche le réel $b$ tel que $P(Z\leqslant b)=0,025$, et on trouve $b\approx -1,96$. Donc $-\dfrac{18}{\sigma}=-1,96$ donc $\sigma=\dfrac{18}{1,96}\approx 9,2$. On en déduit que $\mu+\sigma \approx 39,2$. Le temps qu'une personne interrogée doit avoir passé à suivre ces Jeux Olympiques pour faire partie des 16\,\% de personnes interrogées ayant ainsi passé le plus de temps est donc d'environ $39,2$~heures. %Justifier votre résultat. \end{enumerate} \end{document}