\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,pstricks-add}% \usepackage{color,colortbl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Tapuscrit : François Hache %Relecture Denis Vergès \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength\headheight{14pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion}, pdftitle = {Métropole - 16 mai 2025}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion - corrigé}} \rfoot{\small{15 mai 2025}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[7pt]15 mai 2025 - Comptabilité et gestion}} \bigskip {\Large \textbf{MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES \qquad 2 heures}} \end{center} \medskip %\emph{L'ensemble du sujet fait référence à un écoparc, dédié à la conservation de la biodiversité et des espèces menacées.} \medskip \textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip La feuille de calcul d'un tableur, dont un extrait est proposé ci-dessous, donne l'évolution du nombre annuel d'entrées dans cet écoparc pour la période 2013--2019, avant la crise sanitaire. \emph{La ligne $3$ est au format pourcentage, arrondi à $0,01\,\%$} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{| >{\cellcolor{lightgray}} c|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \rowcolor{lightgray} &A&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline 1 &Année&2013&2014&2015&2016&2017&2018&2019\\ \hline 2 &Nombre d'entrées au parc&\np{35645}&\np{36258}&\np{38630}&\np{42524}&\np{47641}&\np{53392}&\np{60410}\\ \hline 3 &Taux d'évolution annuel arrondi à 0,01\,\%& \cellcolor{lightgray} &1,72\,\% &6,54\,\% &&12,03\,\%&12,07\,\%&13,14\,\%\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La formule à saisir en \texttt{C3} puis à recopier vers la droite pour obtenir les différents taux d'évolution annuels du nombre d'entrées au parc est: \texttt{= (C2 - B2)/B2}. \item $\dfrac{(\np{42524} - \np{38630}}{\np{38630}} \approx \np{0,100802}$ donc le taux d'évolution figurant dans la cellule \texttt{E3} est: $10,08\;\%$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\dfrac{\np{60410} - \np{35645}}{\np{35645}} \approx \np{0,69477}$ donc sur la période 2013--2019, le nombre d'entrées dans l'écoparc a augmenté d'environ 69,5\,\%. \item %Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'entrées dans l'écoparc sur la période 2013--2019. Arrondir à 0,01\,\% Entre 2013 et 2019, il y a 6 ans. Si $t$ est le taux d'évolution annuel moyen, on a: $\np{35645} \times \left (1+t\right )^{6} = \np{60410}$ donc $\left (1+t\right )^{6} = \dfrac{\np{60410}}{\np{35645}}$ et donc $t= \left (\dfrac{\np{60410}}{\np{35645}}\right )^{\frac{1}{6}}-1 \approx \np{0,091905}$ Le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'entrées dans l'écoparc sur la période 2013--2019, arrondi au centième, est de $9,19\;\%$. \item On suppose que le nombre d'entrées dans l'écoparc augmente d'environ 9,2\,\% par an à partir de 2019. Donc le coefficient multiplicateur à appliquer annuellement est $1+\dfrac{9,2}{100}=1,092$. Entre 2019 et 2025, il y a 6 ans. $\np{60410}\times 1,092^6\approx \np{102434,1}$ Selon ce modèle, on peut estimer à \np{102430} le nombre d'entrées dans l'écoparc pour 2025, en arrondissant à la dizaine d'entrées. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Un hôtelier souhaite reprendre la gérance d'un hôtel \og quatre étoiles \fg{} à proximité de l'écoparc. Une enquête sur un échantillon représentatif d'agences de voyage travaillant avec des établissements \og quatre étoiles \fg{} lui a permis de connaître l'évolution de la demande de nuitées en fonction du prix proposé : \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{3.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Prix TTC en \euro{} : $x_i$&80&100&120&140&160&180\\ \hline Demande mensuelle\newline en nuitées : $y_i$&540&452&335&188&120&88\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, on détermine une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, selon la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$, en arrondissant $a$ et $b$ au centième: $y=-4,86x+919,15$. \item On décide d'ajuster le nuage de points de cette série statistique $(x_i~;~y_i)$ par la droite d'équation $y = - 4,9x + 919$. %Selon ce modèle: \begin{enumerate} \item $-4,9\times 110 +919=380$ Le nombre de nuitées que le gérant peut espérer réaliser par mois, s'il propose un tarif de 110~\euro{} la nuitée est donc de 380. \item $110\times 380 = \np{41800}$ Le chiffre d'affaires correspondant est donc de \np{41800}\;\euro. \item Pour que la demande mensuelle soit d'au moins 300 nuitées, il faut déterminer $x$ pour que $y\geqslant 300$; on résout donc l'inéquation $y\geqslant 300$: $-4,9x+919\geqslant 300 \iff 919-300 \geqslant 4,9x \iff 619 \geqslant 4,9x \iff \dfrac{619}{4,9}\geqslant x$ Or $\dfrac{619}{4,9} \approx 126,33$. En arrondissant à l'unité, on trouve qu'il faut un prix maximum de 126\;\euro{} pour que la demande mensuelle soit d'au moins 300 nuitées. \end{enumerate} \item Le chiffre d'affaire mensuel en euro que le gérant peut espérer réaliser, est modélisé par la fonction $R$ définie sur [80~;~180] par : $R(x) = -4,9x^2 + 919x$, où $x$ désigne le prix en euros d'une nuitée dans cet hôtel. \begin{enumerate} \item La fonction $R$ est dérivable sur [80~;~180] et on note $R'$ sa dérivée. %Donner l'expression de $R'(x)$. $R(x) = -4,9x^2 + 919x$ donc $R'(x)=-4,9\times 2x +919=-9,8x + 919$. \item $R'(x)=0 \iff -9,8x+919=0 \iff 919=9,8x \iff \dfrac{919}{9,8}=x$ Or $\dfrac{919}{9,8}\approx 93,8$ donc on prendra $x=94$ comme valeur entière qui annule $R'(x)$. On établit le tableau de variations de le fonction $R$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.2} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 80&\esp & 94 & \esp & 180 \\ \hline R'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & &\Rnode{max}{R(94)} & & \\ R(x) & && & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{~} & & & & \Rnode{min2}{~} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} En arrondissant à l'euro, la valeur $x_0$ du prix d'une nuitée qui permettrait au gérant de rendre maximal le chiffre d'affaires mensuel de son hôtel \og quatre étoiles \fg{} est 94\;\euro. \item $R(94)= \np{43089,60}$ donc le chiffre d'affaires maximal correspondant est de \np{43090}\;\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip %\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \textbf{Partie A} \medskip À l'entrée de l'écoparc, il est possible d'acheter des petits sachets de nourriture à proposer aux animaux. Le responsable de l'accueil a constaté que : \begin{itemize}[label= $\bullet~$] \item 75\,\% des visiteurs adultes viennent accompagnés d'un ou plusieurs enfants. \item Parmi les visiteurs venant accompagnés d'un ou plusieurs enfants, 80\,\% achètent un sachet de nourriture pour les animaux. \item Parmi les visiteurs venant sans enfant. 40\,\% achètent un sachet de nourriture pour les animaux. \end{itemize} On choisît au hasard un visiteur arrivant à l'accueil. On note alors les évènements : \begin{itemize}[label= $\bullet~$] \item $F$ : \og le visiteur est venu accompagné d'un ou plusieurs enfants \fg ; \item $A$ : \og le visiteur achète un sachet de nourriture pour les animaux. \fg \end{itemize} %On notera $\overline{E}$ l'évènement contraire d'un évènement $E$. \begin{enumerate} \item On complète l'arbre de probabilité suivant : \begin{center} {%\bigskip \psset{levelsep=3.5cm,nodesepB=4pt, treesep=1.5cm,nrot=:U} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right {\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$F$}\naput{$0,75$}} { \TR{$A$}\naput{$0,80$} \TR{$\overline{A}$}\nbput{$1-0,80=0,20$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{F}$}\nbput{$1-0,75=0,25$}} { \TR{$A$}\naput{$0,40$} \TR{$\overline{A}$}\nbput{$1-0,40=0,60$} } } } %\bigskip \end{center} \item \begin{enumerate} \item %Définir par une phrase l'évènement $F \cap A$. $F \cap A$ est l'évènement \og le visiteur est venu accompagné d'un ou plusieurs enfants, et le visiteur a acheté un sachet de nourriture pour les animaux. \fg{}. \item %Calculer la probabilité de cet évènement. $P(F\cap A) = P(F)\times P_F(A)=0,75\times 0,80 = 0,6$ \item %Montrer que $P(A) = 0,7$. D'après la formule des probabilités totales: $P\left (A\right ) = P\left (F\cap A\right ) + P \left ( \overline{F}\cap A\right ) = 0,6+ 0,25\times 0,4 = 0,6+0,1=0,7$ \item On croise dans le parc un visiteur ayant acheté un sachet de nourriture pour les animaux. La probabilité qu'il soit venu sans enfant est: $P_A\left (\overline{F}\right ) = \dfrac{P\left (\overline{F}\cap A \right )}{P\left (A\right )} = \dfrac{0,25\times 0,4}{0,7}\approx 0,14$ %Arrondir le résultat au centième. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour un visiteur la durée nécessaire pour parcourir l'ensemble de l'écoparc. exprimée en minutes. est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 90$ et d'écart type $\sigma = 15$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D'après la calculatrice: $P(30 \leqslant T \leqslant 60)\approx \np{0,023}$. %Arrondir le résultat au millième. \item %Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. On peut estimer à $2,3\;\%$ le pourcentage de visiteurs qui restent dans le parc entre 30 minutes et une heure. \end{enumerate} \item La probabilité qu'un visiteur mette au moins 2 heures pour parcourir l'ensemble de l'écoparc est: $P(T\geqslant 120) = 1-P (T < 120) \approx 1- \np{0,97725} \approx 0,023$. %Arrondir le résultat au millième. \item Pour déterminer deux nombres $a$ et $b$ tels que que $P(a \leqslant T \leqslant b) \approx 0,95$, il faut se rappeler que, si $T$ suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, on a: $P(\mu - 2\sigma \leqslant T \leqslant \mu +2\sigma)\approx 0,95$. $2\sigma=30$ et $\mu=90$, donc $P(60 \leqslant T \leqslant 120)\approx 0,95$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Pour augmenter l'attractivité de l'écoparc, le directeur souhaite créer un site d'accrobranche en profitant d'une partie boisée de son terrain. Il fait appel à une entreprise spécialisée qui lui livrera l'installation clé en main, moyennant un budget de \np{130 000}~\euro. Le directeur dispose d'un apport de \np{20000}~\euro{} pour cet investissement. %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\np{130000} - \np{20000} = \np{110000}$ donc il doit emprunter \np{110000}\,\euro. \item Pour cet emprunt la banque lui propose un prêt remboursable sur 4 ans par annuité constante, au taux annuel constant de 3,9\,\%. $V_0=\np{110000}$, $n=4$ et $t=0,039$ donc le montant de l'annuité est, arrondi au centime: $\np{110000}\times \dfrac{0,039}{1-(1+0,039)^{-4}}\approx \np{30232,52}$ %Vérifier que le directeur devra rembourser \np{30232,50}~\euro{} par an. \end{enumerate} %\emph{On rappelle que pour calculer une annuité constante $a$, on a la formule : %\[a = V_0 \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}\] %où $V_0$~ est le montant emprunté, $t$ le taux annuel et $n$ le nombre d'annuités.} \item On a construit le tableau d'amortissement du prêt contracté par le directeur: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{| >{\cellcolor{lightgray}} c|c|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|} c|c| *{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \rowcolor{lightgray} &A&B&C&D&E&F\\ \hline 1&\small période&\small dette en début de période&intérêts&\small amortissement&\small annuité&\small dette en fin de période\\ \hline 2&1&\np{110000,00}~\euro&\np{4290,00}~\euro&&\np{30232,52}~\euro&\np{84057,48}~\euro\\ \hline 3&2&&&&\np{30232,52}~\euro&\\ \hline 4&3&&&&\np{30232,52}~\euro&\\ \hline 5&4&&&&\np{30232,52}~\euro&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Dans la cellule \texttt{F5} se trouve la somme restant à payer au bout de 4 ans donc ça doit être 0\;\euro. \item %Quelles formules doit-on saisir, puis recopier vers le bas, dans les cellules \texttt{C2} et \texttt{F2} pour compléter ce tableau d'amortissement ? La cellule \texttt{C2} indique le montant des intérêts annuels à payer sur la dette en début de période; donc on entre dans \texttt{C2} la formule: \texttt{=B2*0,039} La dette en fin de période est calculée comme différence entre la dette en début de période et l'amortissement, soit \texttt{=B2-D2}. L'annuité est la somme des intérêts de la période et de la part d'amortissement; donc \texttt{E2=C2+D2}. Donc \texttt{D2=E2-C2}. La formule qu'il faut rentrer dans \texttt{F2} est \texttt{=B2-D2}, c'est-à-dire \texttt{=B2-(E2-C2)}, soit \texttt{=B2-E2+C2}. \item La valeur de la cellule \texttt{D2} est donnée par \texttt{=E2-C2}. $\np{30232,52} - \np{4290,00} = \np{25942,52}$ donc la valeur de la cellule \texttt{D2} est \np{25942,52}\;\euro. \item $4 \times \np{30232,52} = \np{120930,08}$ et $\np{120930,08}-\np{110000} = \np{10930,08}$, donc le coût total du crédit est de \np{10930,08}\;\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}