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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Relecture et corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\newenvironment{changemargin}[2]
{\begin{list}{}{%
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%%% pour changer les marges gauche et droite sur un paragraphe
%%% \begin{changemargin}{marge gauche}{marge droite}
%%% ...
%%% \end{changemargin}

\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur - corrigé}
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{Corrigé du Brevet de technicien supérieur\\[5pt] Conception de produits industriels -- septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large{}Exercice 1\hfill 10 points}

\medskip

%\textbf{Un formulaire est fourni en fin d'exercice}
%
%\medskip

Une entreprise fabrique une pièce métallique pour la construction automobile.
Pour fabriquer cette pièce métallique, il est nécessaire de chauffer le métal à haute température puis de le faire refroidir.
On s'intéresse dans cette partie à la température de la pièce métallique lors de la phase de refroidissement.

On pose $t =0$ l'instant de début de refroidissement. La pièce métallique a alors une température de $200$~\degres C.

On décide de modéliser la température de la pièce métallique lors de la phase de refroidissement par une fonction $f$ du temps $t$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, solution de l'équation différentielle d'inconnue $y$ :
$(E) :\quad  y'(t) + 0,05y(t) = 1,05$,
telle que $f(0) = 200$, où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

L'unité du temps $t$ est la minute et l'unité de $f(t)$, température de la pièce, est le degré Celsius (\degres C).

\bigskip

\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle

$(E) :\quad y'(t) + 0,05y(t) = 1,05$, où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle $\left(E_0\right) : \quad y'(t) + 0,05y(t) = 0$.
Les solutions de l'équation différentielle homogène $ay'(t) + by(t) = 0$ sont les fonctions $y$ définies par:
$y(t) = k\e^{-\frac{b}{a}t}$, avec $k$ constante réelle, donc
les solutions de l'équation différentielle $y'(t) + 0,05y(t) = 0$ sont les fonctions $y$ définies  par:
$y(t) = k\e^{-\frac{0,05}{1}t}$ soit $y(t) = k\e^{-0,05t}$ avec $k$  constante réelle.

\item Soit $g$ la fonction constante solution de l'équation différentielle $(E)$.

\begin{list}{\textbullet}{On a donc:}
\item $g$ solution de $(E)$ donc $g'(t) + 0,05 g(t) = 1,05$;
\item $g$ fonction constante donc $g'(t)=0$.
\end{list}

Donc $0,05 g(t)=1,05$ et donc $g(t)=\dfrac{1,05}{0,05}= 21$.

La fonction constante $g$ solution de $(E)$ est donc définie par $g(t)=21$.

\item %En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
D'après le cours, on peut en déduire que les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions $f$ définies  par:
$f(t) = k\e^{-0,05t} +21$ avec $k$  constante réelle.

\item %On rappelle que $f(0) = 200$.% En déduire l'expression de $f(t)$ pour $t \in [0~;~+\infty[$.
$f(0)=200 \iff k\e^{-0,05\times 0} +21= 200 \iff k=200-21 \iff k=179$

Donc $f(t)=179\e^{-0,05t}+21$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}
 
\medskip

Dans cette partie, on admet que $f(t) = 179\e^{-0,05t} + 21$ pour $t \in [0~;~+\infty[$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item La température de la pièce métallique $60$ minutes après sa sortie du moule est de:\\
$f(60)= 179\e^{-0,05\times 60} +21 = 179\e^{-3} +21 \approx 29,91$ soit $30\degres$C en arrondissant au degré.

% Arrondir le résultat au degré le plus proche.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-t}=0$ donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,05t}=0$ donc  $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)=21$
		
		\item %Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.
La température de la pièce métallique va tendre vers $21\degres$C quand le temps $t$ augmente indéfiniment.		
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
Sur $[0~;~+\infty[$, $f'(t)=179\times (-0,05)\e^{-0,05t}+0= -8,95\e^{-0,05t}$.
		
		\item On établit  le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{4cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 t & 0   & \esp & +\infty \\
 \hline
\e^{-0,05t} &   & \pmb{+} & \\  
 \hline
f'(t)=-8,95 \e^{-0,05t} &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  &  \Rnode{max}{200} &    &    \\
f(t) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &      & & \Rnode{min}{21} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
%\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
		
		
	\end{enumerate}
\item  La pièce peut être manipulée dès que sa température est inférieure à $40$~\degres.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier qu'il existe un instant $t_0$ à partir duquel on peut manipuler la pièce.
$200>40>21$ donc à partir d'un moment $t_0$, la température deviendra inférieure à 40.
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{4cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 t & 0   & \esp & +\infty \\
% \hline
%f'(x) &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  &  \Rnode{max}{200} &    &    \\
f(t) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &      & & \Rnode{min}{21} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
\rput*(-2.5,0.6){\Rnode{zero}{\red 40}}
\rput(-2.5,1.75){\Rnode{alpha}{\red t_0}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
		
				\item $t_0$ est la solution de l'équation $f(t)=40$; on résout cette équation.
				
$f(t)=40
\iff 179\e^{-0,05t}+21 = 40
\iff 179\e^{-0,05t} = 19
\iff \e^{-0,05t} = \dfrac{19}{179}\\
\phantom{f(t)=40}
\iff -0,05t = \ln \left ( \frac{19}{179} \right )
\iff t= - \dfrac{\ln \left ( \frac{19}{179} \right )}{0,05}
\iff t= - 20\ln \left ( \frac{19}{179} \right )$
		
$- 20\ln \left ( \frac{19}{179} \right ) \approx 44,86$ donc on pourra manipuler la pièce au bout de 45 minutes.
				
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%
%\bigskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{FORMULAIRE}
%
%\smallskip\\
%\textbf{Équation différentielle d'ordre 1}\\
%Les solutions de l'équation différentielle homogène $\left(E_0\right) :\quad  ay'(t) + by(t) = 0$ sont les fonctions $y$ définies sur un intervalle $I$ par:
%
%\[y(t) = k\text{e}^{-\frac{b}{a}t},\quad  \text{avec }\:k\: \text{ constante réelle}.\]
%
%\smallskip
%\textbf{Formule de dérivation}\\
%Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur $I$ et on a :
%
%\[\left(\text{e}^{u}\right)' = u'\text{e}^{u}.\]
%\\ \hline
%\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 2\hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise produit des pièces à l'aide d'une machine-outil.

\bigskip

\textbf{Partie A: Évolution du chiffre d'affaires}

\medskip

Depuis 2012, l'entreprise a développé une nouvelle démarche commerciale qui lui a permis d'améliorer son chiffre d'affaires.
Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{3.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017 	&2018 	&2019\\ \hline
Rang $x_i$ de l'année	& 0 	&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7\\ \hline
Chiffre d'affaires $y_i$
 en millions d'euros	&4,41 	&4,59 	&4,76 	&5,1 	&5,34 	&5,59 	&5,67 	&5,82\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On représente le nuage de points M$_i\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal d'unités: 2 cm pour 1 an en abscisse, et 2 cm pour 1 million en ordonnée.
	
\begin{figure}[t]		
\begin{changemargin}{-1cm}{0pt}
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {7.5}
\def\ymin {-0.5}   \def\ymax {6.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] (-1,-1)(15,13)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=gray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
%\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0}{\xmax}{0.2 x mul 4.4 add}
%\psplot[linewidth=1.2pt]{0}{\xmax}{0.2143 x mul 4.41 add}
\listplot[plotstyle=dots,linecolor=red]{0 4.41 	1 4.59 	2 4.76 	3 5.1 4 5.34 5 5.59 	6 5.67 	7 5.82}
\psdots(3.5,5.16)(0.5,4.5)(5.5,5.5)
 \uput[u](3.5,5.16){G} \uput[u](0.5,4.5){A} \uput[u](5.5,5.5){B}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{changemargin}
\end{figure}

		\item Les points étant à peu près alignés, on peut envisager un ajustement affine de ce nuage de points.
	\end{enumerate}
	
\newpage	
	
\item 
\begin{list}{\textbullet}{Le point moyen G a pour coordonnées:}
\item $x=\dfrac{0+1+2+3+4+5+6+7}{8}=\dfrac{28}{8}=3,5$
\item $y=\dfrac{4,41+4,59+4,76+5,1+5,34+5,59+5,67+5,82}{8}=\dfrac{41,28}{8}=5,16$
\end{list}

Donc G\,$(3,5\;;\;5,16)$.

\item À l'aide de la calculatrice, on détermine une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$ où $a$ et $b$ sont arrondis au centième: $y=0,21x+4,41$.

\item Pour cette question, on prendra la droite d'équation $y = 0,2x + 4,4$ qui réalise un ajustement de l'évolution du chiffre d'affaire sur cette période.

	\begin{enumerate}
		\item On trace cette droite en utilisant les coordonnées des points A et B.
		
\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
		\hline
		$x$ & $0,5$& $5,5$  \\
		\hline
		$y=0.2x + 4,4$ & $4,5$ & $5,5$\\
		\hline
		point & A & B \\
		\hline
		\end{tabular}
		\end{center}		
		
		\item L'année 2021 correspond au rang 9.
		
		Si cette évolution se poursuit, le chiffre d'affaires de cette entreprise en 2021, au dixième de million près, peut être estimé à: $0,2\times 9 +4,4=6,2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Pannes de la machine-outil}

\medskip

L'entreprise étudie régulièrement le nombre de pannes survenant sur sa machine-outil.
On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute période de $100$ jours consécutifs tirés au hasard, associe le nombre de pannes de la machine-outil.
Une étude menée par l'entreprise permet d'admettre que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 4$.

%On rappelle que pour tout nombre $k$ entier, on a $P(X = k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}\text{e}^{-\lambda}$.
%
%Donner les résultats arrondis au centième près.

\begin{enumerate}
\item $P(X = 2) = \dfrac{4^2}{2!}\e^{-4} \approx  0,15$

\item La probabilité de l'évènement: \og la machine a strictement plus de 5 pannes pendant la période de 100 jours consécutifs \fg{} est 
$P(X>5) = 1 - P(X\leqslant 4)$.  

$P(X\leqslant 4)
= P(X=0)  + P(X=1)  + P(X=2)  + P(X=3)  + P(X=4) \\[7pt]
\phantom{P(X\leqslant 4)}
=\dfrac{4^0}{0!}\e^{-4} + \dfrac{4^1}{1!}\e^{-4} + \dfrac{4^2}{2!}\e^{-4} + \dfrac{4^3}{3!}\e^{-4} + \dfrac{4^4}{4!}\e^{-4}
= \left ( \dfrac{1}{1} + \dfrac{4}{1} + \dfrac{16}{2} + \dfrac{64}{6} + \dfrac{256}{24}\right ) \e^{-4}\\[7pt]
\phantom{P(X\leqslant 4)}
= \left ( \dfrac{3}{3} + \dfrac{12}{3} + \dfrac{24}{3} + \dfrac{32}{3} + \dfrac{32}{3}  \right ) \e^{-4}
= \dfrac{103}{3}\e^{-4}$

$P(X>5) = 1 - P(X\leqslant 4) = 1- \dfrac{103}{3}\e^{-4} \approx 0,37$

\item %Déterminer le plus petit entier $n$ tel que : $P(X\leqslant n) > 0,99$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
À la calculatrice, on trouve que $P(X\leqslant 8)\approx 0,979$ et que $P(X\leqslant 9)\approx 0,992$; donc  le plus petit entier $n$ tel que  $P(X\leqslant n) > 0,99$ est $n=9$.

Cela veut dire qu'il y a plus de 99\;\% de chances que sur une période de 100 jours, il y ait au plus 9 pannes.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Test de validité d'hypothèse}

\medskip

Parmi les pièces produites, cette entreprise fabrique des tubes métalliques.
On s'intéresse à la fabrication de tubes métalliques dont la longueur doit être de $165$ millimètres.
On souhaite vérifier la qualité de la production concernant les dimensions de cette pièce.
On propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler la moyenne $m$ des longueurs en millimètre des tubes produits.

On note $Z$ la variable aléatoire qui à chaque tube prélevé dans la production associe sa longueur en mm. $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $m$ et d'écart type $\sigma = 0,6$.
On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $100$ tubes prélevé dans la production, associe la moyenne des longueurs de tube.

L'hypothèse nulle $H_0$ est: \og $m = 165$ \fg. Dans ce cas la production est dite conforme pour la longueur. 

Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'hypothèse alternative $H_1$ ?
Le test étant bilatéral, l'hypothèse alternative $H_1$ est \og $m\neq 165$ \fg{}.

\item Sous l'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $m' = 165$ et d'écart-type $\sigma' = 0,06$.
On sait qu'alors: $P(m'-2\sigma' \leqslant \overline{Z} \leqslant m'+2\sigma')\approx 0,95$, autrement dit: \\
$P(165-0,12 \leqslant \overline{Z} \leqslant 165 + 0,12)\approx 0,95$.

Donc, sous l'hypothèse $H_0$, le réel positif $h$ tel que $P(165- h \leqslant \overline{Z} \leqslant 165 + h) = 0,95$ est $h=0,12$.

Cela veut dire que: $P\left ( \overline{Z} \in \left [ 164,88\;;\;165,12 \strut \right ] \right )\approx 0,95$.

\newpage

\item% Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\begin{list}{\textbullet}{On peut énoncer la règle de décision:}
\item si la moyenne $m$ des longueurs en millimètre des tubes produits de l'échantillon  n'appartient pas à l'intervalle
$\left [ 164,88\;;\;165,12 \strut \right ]$, alors on rejette l'hypothèse nulle, au risque de 5\,\%;
\item sinon, on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle.
\end{list}

\item On prélève un échantillon aléatoire de $100$ tubes dans la production.

La moyenne des longueurs des $100$ tubes de cet échantillon est $164,91$mm.

$164,91 \in \left [ 164,88\;;\;165,12 \strut \right ]$
donc on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle, et  on peut donc juger que la qualité de la production est bonne.
\end{enumerate}
\end{document}