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%Tapuscrit : Nicolas Baeyens
%Corrigé De'nis Vergès et François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du brevet de technicien supérieur}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{Polynésie mai 2012}}
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\pagestyle{fancy}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS session 2012~\decofourright\\Polynésie  Comptabilité et gestion des organisations}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{A. Ajustement affine}

\medskip
 
%Pour les besoins d'une usine qui fabrique des puces, l'entreprise TERRARE extrait du minerai rare. Sa production annuelle $X$ (en tonnes) n'excède pas 2 tonnes et le coût total annuel de la production est noté $Y$ en milliers d'euros (on notera 1 k\euro{} $= 10^3$ \euro).
% 
%Les résultats des premières années d'exploitation sont consignés dans le tableau suivant.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%année 				&2006 	&2007 	&2008 &2009 &2010\\ \hline 
%$x_{i}$ (en tonnes) &0,52 	&0,77 	&1,01 &1,36 &1,81\\ \hline 
%$y_{i}$ (en k\euro)	&186,7 	&230,9 	&283,1&381,3&558,9\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Le plan est muni d'un repère orthogonal.
 
%Unités graphiques : 1 cm pour 0,1 unité sur l'axe des abscisses et 2~cm pour 100~unités sur l'axe des ordonnées.
 
%Construire le nuage de points associé à cette série statistique sur une feuille de papier millimétré.
\begin{center}
\psset{xunit=5cm,yunit=0.01cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-50)(2,600)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=50]{->}(0,0)(2,600)
\psdots(0.52,186.7)(0.77,230.9)(1.01,283.1)(1.36,381.3)(1.81,558.9)
\uput[u](1.9,0){$x$} \uput[r](0,590){$y$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %La nature de l'activité et le graphique laissent penser qu'un ajustement exponentiel est approprié.
 
%On pose $z = \ln y$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Compléter le tableau donnée en annexe à rendre avec la copie.
Voir à la fin		
%Arrondir à $10^{-3}$ les valeurs de $z_{i}$. 
		\item %Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $z$. Arrondir à $10^{-3}$.
Le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $z$ est égal à 1.
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$. Les coefficients seront arrondis à $10^{- 2}$.
La calculatrice donne $z = 0,85x + 4,79$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déduire du 2. c. une expression de $y$ en fonction de $x$, de la forme $y = B\text{e}^{ax}$. Arrondir $B$ à l'entier le plus proche.
On a $z = \ln y =   0,85x + 4,79$, donc $y = \text{e}^{0,85x + 4,79} = \text{e}^{4,79} \times \text{e}^{0,85x} \approx 120,3\text{e}^{0,85x}$. 
		\item %En déduire une estimation du coût de production pour 2~tonnes.
Pour $x = 2$, la droite d'ajustement donne $y \approx 120,3 \text{e}^{0,85 \times 2} = 120,3 \text{e}^{1,7} \approx 658,16$, soit environ \np{658200}~\euro. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 0,4\text{e}^{0,3x}.\]
 
%On désigne par $C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal et par $f'$ sa fonction dérivée. 

%Unités graphiques : 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 2~unités sur l'axe des ordonnées.
 
\begin{enumerate}
\item %Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{0,3x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
On a $f'(x) = 0,4 \times 0,3\text{e}^{0,3x} = 0,12\text{e}^{0,3x}$.
		 
%Étudier le signe de $f'(x)$ et donner le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^{0,3x} > 0$, donc $f'(x) > 0$ sur $[0~;~+\infty[$.

On a $f(0) = 0,4\text{e}^0 =  0,4$.

Conclusion : la fonction est strictement croissante de 0,4 à plus l'infini.
%Tracer $C$ sur une deuxième feuille de papier millimétré.

\begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=0.4cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(10,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(10,9)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{2.71828 0.3 x mul exp 0.4 mul}
\uput[u](9.5,0){$x$} \uput[r](0,19.5){$f(x)$}\uput[l](0,0.4){0,4}
\end{pspicture*}
\end{center} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Calcul intégral et applications}

\medskip
 
%On admet que le poids moyen de matière extraite, entre l'année 2006 de rang 1 et l'année 2010 de rang 5, est donné par 

\[P_{m} = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{1}^5 f(x)\:\text{d}x.\] 
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $P_{m} = \dfrac{1}{3}\left(\text{e}^{1,5}  - \text{e}^{0,3}\right)$.
On sait qu'une primitive de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{0,3x}$ est la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{0,3}\text{e}^{0,3x}$. Donc une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie par $x \longmapsto F(x) = \dfrac{0,4}{0,3}\text{e}^{0,3x} = \dfrac{4}{3}\text{e}^{0,3x}$.

On a donc $P_{m} = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{1}^5 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{4}{3}\text{e}^{0,3x}  \right]_1^5 = \dfrac{1}{4} \times\dfrac{4}{3}\text{e}^{0,3\times 5} - \dfrac{1}{4}\times\dfrac{4}{3}\text{e}^{0,3\times 1} = \dfrac{1}{3}\text{e}^{1,5} - \dfrac{1}{3}\text{e}^{0,3} = \dfrac{1}{3}\left(\text{e}^{1,5}  - \text{e}^{0,3}\right)$.
\item %Donner la valeur approchée de $P_{m}$ arrondie à $10^{-3}$.
La calculatrice donne $P_m \approx \np{1,0439}$ soit 1,044 au millième près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip
 
%Un fabricant d'ampoules fluocompactes dispose de trois chaînes de montage A, B, C :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item la chaîne de montage A fournit 20\,\% de la production totale de l'usine, 
%\item la chaîne de montage B fournit 20\,\% de la production totale de l'usine, 
%\item la chaîne de montage C fournit 60\,\% de la production totale de l'usine.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Les ampoules qui sortent des trois chaînes sont testées :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item le pourcentage d'ampoules défectueuses issues de la chaîne de montage A est 1,2\,\%, 
%\item le pourcentage d'ampoules défectueuses issues de la chaîne de montage B est 3,3\,\%, 
%\item le pourcentage d'ampoules défectueuses issues de la chaîne de montage C est 1,5\,\%.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On note : 
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item A l'événement \og l'ampoule est issue de la chaîne de montage A \fg 
%\item B l'événement \og l'ampoule est issue de la chaîne de montage B \fg 
%\item C l'événement \og l'ampoule est issue de la chaîne de montage C \fg 
%\item D l'événement \og l'ampoule est défectueuse\fg
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
On peut dresser l'arbre suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A}\naput{0,2}}
	{\TR{D}\naput{0,012}
	\TR{$\overline{\text{D}}$}
	}
\pstree{\TR{$B$}\naput{0,2}}
	{\TR{D}\naput{0,033}
	\TR{$\overline{\text{D}}$}
	}
\pstree{\TR{C}\nbput{0,6}}
	{\TR{D}\naput{0,015}
	\TR{$\overline{\text{D}}$}
	}
}	
\end{center}  
\begin{enumerate}
\item %Montrer que le pourcentage d'ampoules défectueuses sur la production totale de l'usine s'élève à 1,8\,\%.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(\text{D}) = p(\text{A}) \times p_{\text{A}}(\text{D}) + p(\text{B}) \times p_{\text{B}}(\text{D}) + p(\text{C}) \times p_{\text{C}}(\text{D}) =  0,2 \times 0,012 + 0,2 \times 0,033 + 0,6 \times 0,015 = 0,018$, soit 1,8\,\%. 
\item %Calculer la probabilité qu'une ampoule provienne de la chaîne B sachant qu'elle est défectueuse. Arrondir le résultat à $10^{-2}$.
Il faut trouver $p_{\text{D}}(\text{B}) = \dfrac{p(\text{D} \cap \text{B})}{p(\text{D})}
= \dfrac{0,2 \times 0,033}{0,018} \approx 0,366$ soit 0,37 au centième près.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip
 
\textbf{Dans cette partie les résultats seront arrondis à \boldmath$10^{-2}$\unboldmath}

\medskip
 
%On prélève au hasard 50 ampoules dans la production totale d'une journée de l'usine. 
%
%On assimile ce tirage à un tirage avec remise. 
%
%On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50 ampoules, associe le nombre d'ampoules qui sont défectueuses. 
%
%On rappelle que la probabilité pour qu'une ampoule prise au hasard soit défectueuse est de $0,018$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale, dont on déterminera les paramètres.
Les tirages avec remise sont in dépendants et la production est assez importante pour que la probabilité de tirer une ampoule défectueuse ne varie pas : la variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0,018$. 
\item %Calculer $P(X = 2)$.
On a  $P(X = 2) = \dfrac{50 \times 49}{2} \times 0,018^2 \times (1 - 0,018)^{48} \approx \np{0,1659}$ soit 0,17 au centième près.
\item %Calculer la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse.
La probabilité qu'il n'y ait aucune pièce défectueuse est : $0,018^0 \times (1 - 0,018)^{50} \approx 0,403$.

Donc la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse est égale à $1 - 0,403 = 0,597$ soit 0,60 au centième près.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{C. Loi normale}

\medskip
 
\textbf{Dans cette partie les résultats seront arrondis à } \boldmath $10^{-4}$

\medskip
 
%On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à toute ampoule prélevée au hasard dans la production journalière de l'usine, associe sa durée de vie en heures.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On admet que $Y$ suit une loi normale de moyenne \np{8300} et d'écart type $250$.
 
%Calculer la probabilité $P(Y \leqslant \np{8615})$.
La calculatrice livre $P(Y \leqslant \np{8615}) \approx \np{0,89616}$ soit environ \np{0,8962}.
\item %Ces ampoules sont vendues dans le commerce, mais les informations concernant leur durée de vie ont dû être légèrement modifiées pour tenir compte du nombre moyen d'allumages et d'extinctions.
 
On admet que $Y$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $\sigma$. 

%On trouve, avec les précisions fournies par la table ou la calculatrice, que $P(Y \leqslant  \np{7436}) = \np{0,2912}$ et  $P(Y \leqslant  \np{8204}) = \np{0,8531}$.

	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $m$ et $\sigma$ vérifient l'équation $1,05\sigma + m = \np{8204}$.
Tout repose sur le théorème suivant :

si la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $\sigma$, alors la variable aléatoire $\dfrac{Y-m}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

$Y\leqslant \np{8204} \iff Y-m \leqslant \np{8204}-m \iff \dfrac{Y-m}{\sigma} \leqslant \dfrac{\np{8204}-m}{\sigma}$ donc

$P(Y\leqslant \np{8204}) = \np{0,8531}
\iff
P\left ( \dfrac{Y-m}{\sigma} \leqslant \dfrac{\np{8204}-m}{\sigma}\right ) = \np{0,8531}\\
\iff
P\left ( T \leqslant \dfrac{\np{8204}-m}{\sigma}\right ) = \np{0,8531}$
où $T=\dfrac{Y-m}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

On cherche donc $\beta$ tel que $P( T \leqslant \beta)=\np{0,8531}$ où $T$ suit la loi normale centrée réduite.

La calculatrice donne $\beta \approx 1,05$ (par \texttt{invNorm}).

On a donc $\dfrac{\np{8204}-m}{\sigma} = 1,05$ ce qui équivaut à $1,05\sigma + m = \np{8204}$.

\bigskip

En faisant la même chose pour $P(Y \leqslant \np{7436}= \np{0,2912}$, on arrive à 

$- 0,55 \sigma + m = \np{7436}$.		 
		\item %En admettant que $m$ et $\sigma$ vérifient également l'équation $- 0,55 \sigma + m = \np{7436}$, déterminer $m$ et $\sigma$.
		On a donc le système :
		
$\left\{\begin{array}{r c l}
1,05\sigma + m &=& \np{8204}\\
- 0,55 \sigma + m &=& \np{7436}
\end{array} \right.$ d'où par différence membres à membres 
		
		$1,6\sigma = 768 \iff \sigma = \dfrac{768}{1,6} = 480$, puis $m = \np{8204} - 1,05 \times 480 = \np{7700}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{3cm}
 
\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
A. 2.  a. \textbf{tableau 1}
\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
année 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009 	&2010 \\ \hline
$x_{i}$	&0,52 	&0,77 	&1,01 	&1,36 	&1,81 \\ \hline 
$y_{i}$	&186,7 	&230,9 	&283,1 	&381,3 	&558,9 \\ \hline 
$z_{i}$	&5,230	&5,442	&5,646	&5,944	&6,326 \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}