\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François hache %Relecture : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-coil,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement D}, pdftitle = {Métropole -- Antilles--Guyane -- Polynésie 15 mai 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{e}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur - corrigé } \lfoot{\small{Groupement D}} \rfoot{\small{15 mai 2023}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{\Large{\decofourleft~Corrigé du BTS Groupement D1\footnote{Analyses de biologie médicale, Bio analyses et contrôles, Biotechnologies, Europlastics et composites, Bioqualité} -- 15 mai 2023~\decofourright\\[7pt]Métropole -- Antilles--Guyane -- Polynésie}} \medskip Durée : 2 heures %\medskip % %\textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.} % %\textbf{L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\large{}EXERCICE 1 \hfill 10 points} \medskip %\emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées indépendamment} % %\medskip Afin de vérifier la bonne isolation thermique d'un spa, on porte la température de l'eau, du spa à 38~\degres C puis on coupe l'alimentation électrique du spa qui sert à chauffer l'eau. On s'intéresse à l'évolution de cette température en fonction du temps écoulé à partir de cette coupure. La température de l'eau du spa est modélisée par une fonction $f$ qui, à tout temps $t$ (en heures) écoulé depuis la coupure de l'alimentation électrique, associe la température $f(t)$, en degré Celsius (\degres C), de l'eau du spa au temps $t$. On admet que $f(0) = 38$. Lors de cette vérification, la température ambiante extérieure au spa reste constante et égale à 25~\degres C. On remarque que la température de l'eau du spa est de $37$~\degres C au bout de $1,5$~h. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On admet que la fonction $f$ est la solution sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$ d'inconnue $y$ de la variable réelle $t$ : $y' + 0,05y = 1,25$, et qui vérifie la condition $f(0) =38$. % \medskip \begin{enumerate} \item% On détermine les solutions de l'équation différentielle $y' + 0,05y = 0$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. L'équation différentielle $ay'+by=0$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-\frac{b}{a}t}$ où $k$ est un réel quelconque. Donc, sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, l'équation différentielle $y' + 0,05y = 0$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-0,05t}$ où $k$ est un réel quelconque. \item% Déterminer sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ une fonction constante solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. Soit $c$ une fonction constante solution de $(E)$; alors sa dérivée est nulle et on a:\\ $0+0,05c=1,25$ donc $c=\dfrac{1,25}{0,05}=25$. \item Les solutions de l'équation différentielle $(E) :\: y' + 0,05y = 1,25$ sont donc les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-0,05t}+25$, où $k$ est un réel quelconque. \item% Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$,\: \[f(t) = 13\text{e}^{-0,05t} +25.\] $f(0)=38 \iff k\e^{0}+25=38 \iff k=13$ Donc pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, on a $f(t) = 13\text{e}^{-0,05t} +25$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, $f(t) = 13\text{e}^{-0,05t} +25$. %\smallskip \begin{enumerate} \item La valeur arrondie à $10^{-1}$ de $f(24)$ est $28,9$ %Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. Cela signifie qu'au bout de 24 heures après la coupure de l'alimentation électrique, la température de l'eau du spa est d'environ $28,9$~\degres C. \newpage \item \begin{enumerate} \item Pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, $f'(t) = 13\times (-0,05)\e^{-0,05t}= -0,65\e^{-0,05t}$. \item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. Pour tout $t$, on a $\e^{-0,05t}>0$ donc $f'(t) = - 0,65\e^{-0,05t} <0$; la fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[0~;~ +\infty[$. Il semble cohérent que, quand le chauffage du spa est coupé, la température de l'eau diminue. %Ce sens de variation paraît-il cohérent avec le contexte de l'exercice ? % %Argumenter. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. $\ds\lim_{T\to +\infty}\e^{-T}=0$ donc $\ds\lim_{t\to +\infty}\e^{-0,05t}=0$; on en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)=25$. \item %Interpréter la valeur de cette limite dans le contexte de l'exercice. La fonction $f$ est décroissante et a pour limite 25 donc la température du spa, une fois l'alimentation électrique coupée, va décroitre et tendre vers 25 \degre C. \end{enumerate} \item Une alarme sonore est émise quand la température de l'eau du spa devient strictement inférieure à une température programmée par l'utilisateur. \begin{enumerate} \item L'utilisateur programme la température de l'eau du spa à $36$~\degres C. On cherche donc $t$ pour que $f(t)<36$; on résout cette inéquation: $f(t)<36 \iff 13\e^{-0,05t} + 25 < 36 \iff 13\e^{-0,05t}<11 \iff \e^{-0,05t} < \dfrac{11}{13}\\ \phantom{f(t)<36} \iff -0,05t < \ln \left (\dfrac{11}{13}\right ) \iff t>- \dfrac{\ln \left (\frac{11}{13}\right )}{0,05}$ Or $- \dfrac{\ln \left (\frac{11}{13}\right )}{0,05} \approx 3,34$ et $\dfrac{34}{100} = \dfrac{20,4}{60}$ Donc l'alarme sonore retentira environ 3~h 20~min après la coupure de l'alimentation électrique. % %Déterminer, par le calcul, combien de temps après la coupure de l'alimentation électrique cette alarme sonore retentira. % %On donnera la valeur exacte de cette durée, puis la valeur arrondie à la minute. \item Soit l'algorithme: \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline $H \gets 0$\\ $T \gets 38$\\ Tant que $T \geqslant 34$\\ \qquad $H \gets H + 1$\\ \qquad $T\gets 13\text{e}^{-0,05H} +25$\\ Fin du tant que \\ Afficher $H$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} $f(7)\approx 34,16\geqslant 34$ et $f(8)\approx 33,71<34$, donc la valeur numérique affichée par cet algorithme est 8. \item %Expliquer ce que cet algorithme permet de déterminer dans le contexte de l'exercice. Cet algorithme permet de déterminer le nombre d'heures qu'il faut après la coupure de l'alimentation électrique pour que la température du spa devienne strictement inférieure à 34 \degre C. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\large{}EXERCICE 2 \hfill 10 points} \medskip %\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} % %\medskip Une minoterie (établissement qui fabrique des farines de céréales) reçoit chaque jour des camions de blé. Ce blé est destiné à être transformé en farine. La farine fabriquée est ensuite vendue à des boulangers industriels ou à des artisans boulangers. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Dans la minoterie, on procède à deux contrôles qualité à l'arrivée d'une livraison de blé : l'un sur l'extensibilité d'une pâte obtenue à partir de la farine fabriquée avec un échantillon du blé livré, l'autre sur le taux d'humidité du blé livré. %\medskip \begin{enumerate} \item Un technicien broie une quantité de blé représentatif d'une livraison. Il obtient une farine, avec laquelle il fabrique cinq échantillons de quantité identique de pâte. Il mesure l'indice d'extensibilité, en mm, de chacun de ces échantillons. Voici les résultats obtenus: \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|}\hline &Indice d'extensibilité en mm\\ \hline Échantillon \no 1 &104\\ \hline Échantillon \no 2 &81\\ \hline Échantillon \no 3 &83\\ \hline Échantillon \no 4 &57\\ \hline Échantillon \no 5 &55\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item La moyenne de cette série est $\overline{x}=76$, et son écart-type arrondi au centième est $\sigma = 18,22$. \item Dans cette question, on considère que l'écart-type de la série est $\sigma = 18$ mm. Le processus qualité impose de procéder à un test sur cinq nouveaux échantillons de pâte si l'une des cinq valeurs de la série précédente est en dehors de l'intervalle $\left[ \overline{x} - 2\sigma~;~\overline{x} + 2 \sigma \right]$. $\left[ \overline{x} - 2\sigma~;~\overline{x} + 2 \sigma \right] = \left[ 76-2\times 18~;~76+2\times 18 \right] = \left[ 40~;~112 \right]$ Chacune des valeurs du tableau appartient à cet intervalle, donc le technicien n'a pas besoin de procéder à un test sur cinq nouveaux échantillons de pâte. \end{enumerate} \item Deux camions, en provenance d'une même exploitation agricole, sont arrivés. Le technicien utilise un humidimètre qui indique le taux d'humidité, mesuré en pourcentage, du blé livré dans chaque camion: \begin{itemize} \item le premier contient \np{29540}~kg de blé présentant un taux d'humidité global de 12,4\,\% ; \item le second contient \np{14540} kg de blé présentant un taux d'humidité global de 14,1\,\%. \end{itemize} Le cahier des charges exige un taux d'humidité inférieur à $13$\,\% dans un même silo. Lors du déchargement des deux camions dans un même silo, les blés seront mélangés. Le taux moyen d'humidité du mélange est: $\dfrac{\np{29540}\times \frac{12,4}{100} + \np{14540}\times \frac{14,1}{100}}{\np{29540} + \np{14540}}\times 100 \approx 12,96$. Le taux d'humidité est inférieur à 13\,\%, donc le technicien peut autoriser le déchargement des deux camions dans un même silo vide. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La farine fabriquée par la minoterie est conditionnée dans des sacs destinés à être vendus aux boulangers. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque sac de farine, associe son poids en kg. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $25,2$~kg et d'écart-type $0,1$. On prélève un sac au hasard dans la production. \medskip \begin{enumerate} \item Un sac ne peut pas être vendu s'il a une masse inférieure à $25$~kg. La probabilité $P(\leqslant 25)$, à $10^{-3}$ près, pour que ce sac ait une masse inférieure à $25$~kg est égale à $0,023$. \item \begin{enumerate} \item D'après le cours, $P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma)\approx 0,95$, donc on peut prendre $h = 2\sigma = 0,2$ pour que : $P(25,2 - h \leqslant X \leqslant 25,2 + h) \approx 0,95$ à $10^{-2}$ près. \item On a tracé ci-dessous la représentation graphique d'une fonction de densité. %Expliquer pourquoi cette représentation ne peut pas être celle de la fonction de densité de la variable aléatoire $X$. On représente $P(25 \leqslant X \leqslant 25,4)$ qui est l'aire de la région comprise entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=25$ et $x = 25,4$. \begin{center} \scalebox{0.9}{ \psset{xunit=2.75cm,yunit=7cm,comma} \begin{pspicture}(22.7,-0.1)(27.7,0.7) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,labelFontSize=\scriptstyle,Ox=22.8](22.8,0)(27.7,0) \psGauss[mue=25.2,sigma=0.6,linecolor=red,linewidth=2pt]{22.8}{27.7} \def\inf{25} \def\sup{25.4} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45] { %\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \psGauss[mue=25.2,sigma=0.6]{\inf}{\sup} \psplot{\sup}{\inf}{0} \closepath % indispensable ! } \end{pspicture} } \end{center} Cette zone hachurée ne représente visiblement pas 95\,\% de l'aire située sous la courbe, donc cette représentation ne peut pas être celle de la fonction de densité de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Un commercial de la minoterie présente à ses clients une nouvelle farine appelée \emph{La Romaine}. On dispose des données suivantes: \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]70\,\% des clients de la minoterie sont des artisans boulangers, les autres sont des boulangers industriels ; \item[$\bullet~~$]parmi les artisans boulangers, 38\,\% acceptent de tester la farine \emph{La Romaine} ; \item[$\bullet~~$]parmi les boulangers industriels, 25\,\% acceptent de tester la farine \emph{La Romaine}. \end{itemize} On choisit un client de la minoterie au hasard. On note $A$ l'évènement \og le client est un artisan boulanger\fg{} et $T$ l'évènement \og le client accepte de tester la farine \emph{La Romaine} \fg. \newpage \begin{enumerate} \item On représente la situation décrite par un arbre pondéré. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,treesep=1cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$0,7$}} { \TR{$T$}\naput{$0,38$} \TR{$\overline{T}$}\nbput{$\blue 1-0,38=0,62$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline A$}\nbput{$\blue 1-0,7=0,3$}} { \TR{$T$}\naput{$0,25$} \TR{$\overline{T}$}\nbput{$\blue 1-0,25=0,75$} } } \bigskip \end{center} \item \begin{enumerate} \item La probabilité de l'évènement \og le client est un artisan boulanger et il accepte de tester la farine \emph{La Romaine} \fg{} est: $P(A\cap T)=P(A)\times P_{A}(T)=0,7\times 0,38=0,266$. \item La probabilité de l'évènement \og le client accepte de tester la farine \emph{La Romaine} \fg est $P(T)$. D'après la formule des probabilités totales: $P(T)= P(A\cap T) + P\left ( \overline A \cap T\right ) = 0,266+0,3\times 0,25 = 0,341$. \end{enumerate} \item Un client ayant testé la farine \emph{La Romaine} reprend contact avec le commercial de la minoterie. La probabilité que ce soit un artisan boulanger est: $P_{T}(A)=\dfrac{P(A\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,266}{0,341}\approx 0,780$. \item On choisit au hasard $200$~clients de la minoterie. Les clients de la minoterie sont suffisamment nombreux pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $200$~clients, associe le nombre de clients qui ont testé la farine \emph{La Romaine}. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, avec $n = 200$ et $p = 0,341$. \begin{enumerate} \item La probabilité $P(Y\leqslant 60)$, arrondie à $10^{-3}$, qu'au plus $60$ des $200$~clients choisis aient testé la farine \emph{La Romaine} est $0,125$. \item L'espérance de la variable aléatoire $Y$ est $E(Y)=np=200\times 0,341=68,2$. Sur 200 clients, il y en a en moyenne $68,2$ qui ont testé la farine \emph{La Romaine}. %et interpréter dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}