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%Tapuscrit et corrigé : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
% Merci à Philippe Vercruysse et Ronan Charpentier pour le sujet
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {BTS Groupement C1-C2 Corrigé},
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\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement C1-C2 -- Corrigé}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2020 -- Groupement C1 - C2}}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\bigskip

À la sortie d'un four, un solide dont la température est de 70~\degres{}C est placé, pour le refroidir, dans une pièce dont la température ambiante reste constante et égale à $T_{amb}= 20~$\degres{}C.
Le solide peut être emballé pour expédition dès que sa température passe au-dessous de
40\degres{}C.

On désigne par $T(t)$, la température, en degré Celsius (\degres{}C), du solide à l'instant $t$ ($t$ exprimé en minute).

$T'(t)$ représente la vitesse de refroidissement à l'instant $t$. La loi de Newton établit que cette vitesse est proportionnelle à la différence entre la température du solide et la température ambiante, soit :

\hfill$T'(t) = k\left (T(t)-T_{amb}\strut\right )$\hfill{}

où $k$ est une constante et $T_{amb}$ la température ambiante, en degré Celsius, de la pièce.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La constante $k$ dépend des matériaux. Pour le solide qui nous intéresse, $k = -0,07$.
%Montrer que $T$ est solution de l'équation différentielle:
%
%\[(E)\;:\quad y'+0,07y=1,4\]
%
%où $y$ désigne une fonction de la variable $t$ définie et dérivable sur $\left [0~;~+\infty\strut\right [$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

On sait que $T_{amb}=20$~\degres{}C.

$T'(t) = k\left (T(t)-T_{amb}\strut\right )
\iff T'(t) = -0,07 \left (T(t) - 20\right )
\iff T'(t) = -0,07 T(t) + 1,4\\
\phantom{T'(t) = k\left (T(t)-T_{amb}\strut\right )}
\iff T'(t) + 0,07 T(t) = 1,4$

donc $T$ est solution de l'équation différentielle $(E)\;:\quad y'+0,07y=1,4$.

\item  La solution générale de l'équation différentielle $ay'+by=0$ pour $a$ et $b$ deux réels non nuls, est la fonction $g$ définie par $g(t)=k \e^{-\frac{b}{a}t}$ où $k\in\R$. 

Donc la solution, dans $\left [0~;~+\infty\strut\right [$, de l'équation différentielle
$(E_0) :\quad y'+0,07y=0$
est la fonction $g$ définie par $g(t) = k \e^{-0,07 t}$ où $k\in\R$.

\item
% \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule des trois réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. La bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent de point.\\
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}
%
%\smallskip
%
On cherche parmi les solutions proposées ci-dessous une solution particulière de $(E)$.

\smallskip

{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{a.~~}$f(t)=20$ & \textbf{b.~~}$f(t)=1,4$ & \textbf{c.~~}$f(t)=20t$\\ 
\hline
\end{tabularx}
}

\smallskip

Si $f(t)=20$, alors $f'(t)=0$ donc $f'(t) + 0,07 f(t) = 0 + 0,07\times 20 = 1,4$; donc la fonction $f$ définie par $f(t)=20$ est une solution particulière de $(E)$.

\item La solution générale de l'équation différentielle $(E)$ est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre $(E_0)$ et d'une solution particulière de $(E)$;\\ c'est donc la fonction $f$ définie par $f(t) = k\e^{-0,07t} + 20$ où $k\in\R$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item  D'après l'énoncé, $T(0)=70$.
		\item %Déterminer une expression de la température $T(t)$ du solide, à l'instant $t$. 
$T(0)=70
\iff k\e^{0}+20=70
\iff k=50$

Donc $T(t)= 50\e^{-0,07t} + 20$ pour $t\in\left [0~;~+\infty\strut\right [$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on admet que pour tout réel $t$ de l'intervalle $\left [0~;~+\infty\strut\right [$, $T(t)=50\e^{-0,07t}+20$.

On donne ci-dessous $\mathcal C$, la courbe représentative de la fonction $T$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{xunit=0.425cm, yunit=0.1cm, runit=1cm}
\def\xmin {-2}   \def\xmax {32}
\def\ymin {-5}   \def\ymax {80}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=0,  gridlabels=0, gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray]
\multido{\i=0+2}{46}{\psline[linecolor=lightgray](0,\i)(\xmax,\i)}
\multido{\i=0+10}{18}{\psline[linecolor=gray](0,\i)(\xmax,\i)}
\multido{\n=0+0.2}{175}{\psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,\ymax)}
\multido{\n=0+1}{36}{\psline[linecolor=gray](\n,0)(\n,\ymax)}
\multido{\i=2+2}{15}{\uput[d](\i,0){\footnotesize \i}}
\multido{\i=10+10}{7}{\uput[l](0,\i){\footnotesize \i~\degres{}C}}
\psaxes[ticks=none, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}
\def\f{50 2.7183 0.07 neg x mul exp mul 20 add}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{0}{\xmax}{\f}
\uput[u](29,0){\textbf{Temps (en min)}}
\uput[r](0,75){\textbf{Température}}
%%% corrigé
\psset{linecolor=blue,linestyle=dashed}
\psline(10,0)(10,44.83)(0,44.83) \uput[l](0,44.83){\blue \footnotesize $45~\degres{}C$}
\psline[linecolor=red](13.09,0)(13.09,40)(0,40) \uput[d](13.09,0){\red \footnotesize $13$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique ci-dessus :
\begin{enumerate}
\item La température du solide au bout de 10 minutes est d'environ 45~\degres{}C.
\item Le solide peut être emballé pour expédition quand sa température descend en dessous de 40~\degres{}C, soit après environ 13 minutes.
\end{enumerate}

\item Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats ci-dessous que l’on pourra
utiliser dans les questions suivantes :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c| l c c c}
\hline
1 & \texttt{f(x):=exp((-0,07)*x)} & \hspace*{1.5cm} & & \hspace*{0.5cm} \\
\cline{2-5}
   & & & \emph{x} -> exp(-0,07*\emph{x}) & \\
\hline\hline
2 & \texttt{deriver(f(x))} &  & & \\
\cline{2-5}
   & & &  -0.07*exp(-0,07*\emph{x}) & \\
\hline\hline
3 & \texttt{limite(f(x),x,+infinity)} &  & & \\
\cline{2-5}
   & & & 0 &\\
\hline\hline
4 & \texttt{integration(f(x),x,0,10)} &  & & \\
\cline{2-5}
   & & & 7,19163851727\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item% En reliant $T$ à \texttt{f}, établir les variations de la fonction $T$ sur $\left [0~;~+\infty\strut\right [$.
$f(x)=\e^{-0,07x}$ donc $T(t) = 50 f(t) +20$; \\
on en déduit que $T'(t)=50f'(t)= 50\times \left (-0,07\e^{-0,07t}\right ) <0$ sur $\left [0~;~+\infty\strut\right [$.

Donc la fonction $T$ est strictement décroissante sur $\left [0~;~+\infty\strut\right [$.

\item% Expliquer pourquoi la température du solide ne peut atteindre 18~\degres{}C .
D'après le logiciel,
$\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
donc
$\ds\lim_{x\to +\infty} 50 f(x) + 20=20$
donc
$\ds\lim_{t\to +\infty} T(t)=0$.

La fonction $T$ est décroissante et a pour limite 20, donc pour tout $t$, $T(t)\geqslant 20$, ce qui prouve que la température du solide ne peut atteindre 18~\degres{}C.

\item La température moyenne du solide lors des dix premières minutes est

$\dfrac{1}{10-0} \ds\int_{0}^{10} T(t) \d t
= \dfrac{1}{10} \ds\int_{0}^{10} 50 f(t)+20 \d t
=  \dfrac{1}{10} \left [\ds\int_{0}^{10} 50 f(t) \d t + \ds\int_{0}^{10} 20 \d t \right ]\\
\phantom{\dfrac{1}{10-0} \ds\int_{0}^{10} T(t) \d t}
= \dfrac{1}{10}\times 50 \ds\int_{0}^{10} f(t) \d t + \dfrac{1}{10} \left [ 20t \strut\right ]_{0}^{10}
$

D'après le logiciel, $\ds\int_{0}^{10} f(t) \d t \approx \np{7,19163851727}$.
De plus $\left [ 20t\strut\right ]_{0}^{10} = 200$.

Donc $\dfrac{1}{10-0} \ds\int_{0}^{10} T(t) \d t \approx \dfrac{1}{10}\times 50 \times  \np{7,19163851727} + \dfrac{1}{10}\times 200 \approx 55,958$.

\smallskip

La température moyenne du solide lors des dix premières minutes est d'environ 56~\degres{}C.

%\emph{On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $g$ sur un intervalle $\left [a~;~b \strut\right ]$ est:}
%
%\hfill$\dfrac{1}{b-a} \ds\int_{a}^{b} g(t) \d t$.\hfill\,
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

%\bigskip
%
%\emph{Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution des ventes de vélos à assistance électrique en France entre 2007 et 2017.

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{6cm}|*{6}{c|}}
\hline
Année & 2007 & 2009 & 2011 & 2013 & 2015 & 2017\\
\hline
Rang de l'année: $x_i$ & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10\\
\hline
Nombre de vélos à assistance électrique vendus (en milliers): $n_i$ & 10 & 23 & 37 & 57 & 102 & 278\\
\hline
\multicolumn{1}{l}{\emph{\footnotesize Données: Observatoire du Cycle}}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On a représenté ci-dessous le nuage des trois premiers points associés à la série $(x_i~;\, n_i)$.
\begin{enumerate}
\item On complète le nuage de points:

\begin{center}
\scalebox{0.7}{
\psset{xunit=1cm, yunit=0.05cm}
\def\xmin {-0.99}   \def\xmax {13}
\def\ymin {-15}   \def\ymax {284}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=0.5cm,subgriddiv=0,  gridlabels=0, griddots=5,gridcolor=black](-2,-20)(26,57)
\psaxes[arrowsize=3pt 3,tickstyle=bottom,Dy=20]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput{9pt}[dl](0,0){ 0}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,10)(2,23)(4,37)
\uput[u](11,0){\textbf{Rang de l'année}}
\uput[r](0,280){\textbf{Nombre de vélos à assistance vendus}}
%%% corrigé
\psset{linecolor=blue}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](6,57)(8,102)(10,278)
\end{pspicture*}
}
\end{center}

\item Un ajustement affine ne semble pas envisageable car les points ne sont pas du tout alignés.
\end{enumerate}
\item On pose $y_i=\ln(x_i)$. On complète au centième près le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|m{6cm}|*{6}{c|}}
\hline
Année & 2007 & 2009 & 2011 & 2013 & 2015 & 2017\\
\hline
Rang de l'année: $x_i$ & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10\\
\hline
Nombre de VAE vendus (en milliers): $n_i$ & 10 & 23 & 37 & 57 & 102 & 278\\
\hline
$y_i=\ln(n_i)$ & $2,3$ & $3,14$ & $3,6$1 & \textcolor{blue}{$4,04$} & \textcolor{blue}{$4,62$}  & \textcolor{blue}{$5,63$} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On s'intéresse à l'ajustement affine de $y_i$ en fonction de $x_i$.

Voici le résultat obtenu à l'aide d'une calculatrice:

\smallskip

\hspace*{4cm} \texttt{LinearReg}\\
\hspace*{5cm} \texttt{a = 0,30742857}\\
\hspace*{5cm} \texttt{b = 2,35285714}\\
\hspace*{5cm} \texttt{r = 0,98986741}\\
\hspace*{5cm} \texttt{r$^2$= 0,9798375}\\
\hspace*{4.6cm} \texttt{MSe = 0,03403428}\\
\hspace*{4cm} \texttt{y = ax + b}

\smallskip

Une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, avec les coefficients arrondis au
dixième est
$y=0,3 x + 2,4$.

\item L'année 2020 correspond au rang 13; pour $x=13$, $y=0,3\times 13+2,4=6,3$.

On cherche $n$ tel que $\ln(n)=6,3$ donc $n=\e^{6,3}\approx 545$.

Si l'évolution se poursuit de la même façon, le nombre de vélos à assistance électrique vendus en France en 2020 serait de 545 milliers.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise produit en grande série des vélos à assistance électrique équipés de batteries au lithium-ion.

On propose d'étudier l'autonomie en kilomètre de ces vélos à assistance électrique en se plaçant dans des conditions usuelles de fonctionnement.

Soit $X$, la variable aléatoire qui, à chaque vélo à assistance électrique pris au hasard dans la production, associe son autonomie en kilomètre.

On admet que cette variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=81$ et d'écart type $\sigma = 4$.

%\smallskip
%
%\textbf{Dans cette partie toutes les probabilités seront arrondies au millième.}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que l'autonomie d'un vélo à assistance électrique pris au hasard dans la production soit supérieure à 84 kilomètres est  $P(X\geqslant 84)\approx 0,227$

\item
\begin{enumerate}
\item  %\emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule des trois réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. La bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent de point.\\
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}
%
%\smallskip
%
On cherche une valeur approchée à l'unité du réel $d$ tel que: $P(X\leqslant d)  = 0,1$ parmi:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{a.~~}$88$ & \textbf{b.~~}$81$ & \textbf{c.~~}$76$\\ 
\hline
\end{tabularx}
}
\end{center}

\textbullet~~$\mu=81$ donc $P(X \leqslant 81)=0,5$; on peut éliminer la réponse \textbf{b.}

\textbullet~~$88> \mu$ donc $P(X \leqslant 88)> 0,5$; on peut éliminer la réponse \textbf{a.}

Donc la bonne réponse est la \textbf{c}: $P(X\leqslant 76) = 0,1$. 

\item On peut interpréter ce résultat ainsi: il y a 10\,\% des vélos qui ont une autonomie inférieure à 76 minutes.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, on considère que 4\,\% des batteries au lithium-ion présentent un défaut et sont qualifiées de \og non conformes\fg.

Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à tout lot de 100 batteries pris au hasard dans la production, associe le nombre de batteries non conformes.

La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler un tel prélèvement de 100
batteries à un tirage avec remise.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour une batterie prise au hasard, il y a deux possibilités: elle est non conforme avec une probabilité de $p=0,04$, ou elle est conforme.
\item On prend 100 batteries au hasard ce qui est assimilé à un tirage avec remise.
\end{list}

La variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de batteries non conformes suit donc une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,04$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item On trouve à la calculatrice: $P(Y \leqslant 5) \approx 0,788$..
		\item On peut donc estimer qu'il y a $78,8\,\%$ de chances qu'il y ait au plus 5 batteries non conformes sur le lot de 100.
	\end{enumerate}
 
\item La probabilité que, dans un prélèvement au hasard de 100 batteries, toutes les batteries soient conformes est $P(Y=0)\approx 0,017$.

\item $E(Y) = np = 100\times 0,04 = 4$.% Interpréter le résultat.

Dans un lot de 100 batteries, il y a en moyenne 4 batteries non conformes.
\end{enumerate} 
\end{document}