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%Tapuscrit : Mohamed Hassnaoui
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Éléments de correction du BTS}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{14 mai 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~BTS Métropole--Antilles--Guyane groupement B~\decofourright\\[5pt] 14 mai 2018 Éléments de correction}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}



\textbf{Exercice 1 }

\medskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

 $(E) :y' - 0,2y = 3 t$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur $[0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle $\left(\text{E}_0\right)$ :
\[y'- 0,2y = 0.\]

A pour solution générale : \colorbox{yellow}{$y=k\text{e}^{0,2t}$} où $k$ est une constante réelle quelconque


\item  La fonction $g$, définie sur [0~;~3] par $g(t) = - 15 t - 75$, est  solution de l'équation différentielle (E), si $g'(t) - 0,2g(t) = 3 t$

$g(t) = - 15 t - 75$, donc $g'(t) = - 15$ et $$g'(t) - 0,2g(t) = -15-0,2\times (-15 t)-0,2\times(-75)=-15+3t+15=3t$$, cqfd
\item  L'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) est :

\colorbox{yellow}{$ \{t\mapsto -15t-75+k\text{e}^{0,2t},\ t\geq 0 , k \ \text{constante réelle }\}$ }.
\item  La fonction $f$ est solution de (E), donc $f(t)=-15t-75+k\text{e}^{0,2t}, \ t\in \R^+$

$f$ vérifie la condition initiale $f(0) = 0$, donc $-15\times 0-75+k\text{e}^{0,2\times 0}=0$, d'où $k=75$ et 

\colorbox{yellow}{$f(t)=-15t-75+75\text{e}^{0,2t}=-15t+75\left(\text{e}^{0,2 t} - 1\right)$}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. \'Etude de fonction et application}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~3] par

\[f(t) = 75\left(\text{e}^{0,2 t} - 1\right) - 15 t.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

	\begin{enumerate}
		\item \colorbox{yellow}{$f'(t)=15\text{e}^{\frac{1}{5}t} - 15$}
		
		Sur [0~;~3], l'inéquation $f'(t) \geqslant 0\iff 15\text{e}^{\frac{1}{5}t} \geqslant 15 \iff \text{e}^{\frac{1}{5}t} \geqslant 1$, c'est-à-dire $t\geqslant 0$, ainsi $f'(t)$ est positive sur [0~;~3].
		\item $f'(t)\geqslant 0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~3].
 	\end{enumerate}
\item  On rappelle que $f(t)$ correspond à  la distance parcourue par le wagon, en km, à  l'instant $t$, en minute.

Au bout d'une minute.le wagon va prcourir $f(1)$ km, soit \colorbox{yellow}{1,605 km} environ
\item
	\begin{enumerate}
		\item La vitesse du wagon, en kilomètre par minute, à  l'instant $t$, correspond à  $f'(t)$.

En 2 minutes la vitesse du wagon s'élève $f'(2)$ soit \colorbox{yellow}{$7,38$ km par min}.
		\item En 2 min, la vitesse du wagon est de $7,38$ km$\cdot$min$^{-1}$ soit \colorbox{yellow}{$7,38 \times 60$ km par heure}, c'est-à-dire \colorbox{yellow}{$442,67$ km$\cdot$h$^{-1 }$}, l'objectif des ingénieurs  qui est de 400 km$h^{-1 }$ est largement atteint.
	\end{enumerate}
\item  

\medskip

Une équation de la tangente $T$ à  la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est : $$y=f'(2)(t-2)+ f(2)= f'(2)t-2f'(2) + f(2)$$

$f(2) = 75(\text{e}^{0,4}-1) - 30$, $f'(2) = 15(\text{e}^{0,4}- 1) -2f'(2)+f(2) = -30(\text{e}^{0,4}-1) + 75(\text{e}^{0,4}-1)-30 =$

$f(2) = 45\text{e}^{0,4} + 30 - 75 - 30$

Donc la tangente en 2 a pour équation : \colorbox{yellow}{$y = \left(\text{e}^{0,4} - 1\right)t + 45 \text{e}^{0,4} - 75$ }

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Calcul intégral}

\medskip

Afin d'aménager les futures gares dédiées à  ce train à  très haute vitesse, les architectes ont dessiné la pièce suivante, représentée dans un repère orthonormé avec pour unité%
graphique $1$ mètre sur les deux axes.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-0.5)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,griddots=6]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-3.2,-0.5)(3.2,3.5)
\psline(-3,2.25)(3,2.25)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{27 x mul x dup mul 2 mul 18 add div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{0}{27 x neg mul x dup mul 2 mul 18 add div}
\uput[dr](0,0){O}\uput[dr](3,0){P} \uput[ur](3,2.25){Q} \uput[ur](0,2.25){R}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{0}{27 x neg mul x dup mul 2 mul 18 add div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{27 x mul x dup mul 2 mul 18 add div}
\psline(3,2.25)(-3,2.25)}
\end{pspicture*}
\end{center}

On désire calculer de façon précise l'aire $\mathcal{A}$ de la surface hachurée sur le dessin. Pour cela on dispose des données suivantes :

\begin{itemize}
\item la pièce est symétrique par rapport à  l'axe des ordonnées;
\item le bord supérieur correspond à  la droite d'équation $y = 2,25$ ;
\item le bord inférieur droit correspond à  la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~3] par :

\[g(x)  = \dfrac{27 x}{2x^2 + 18}.\]
\end{itemize}

\medskip

 \begin{enumerate}
\item 
L'aire $\mathcal{A}_1$ du rectangle OPQR, en unité d'aire (u. a.) est \colorbox{yellow}{$\mathcal{A}_1=2,25\times 3=6,75$}


\item Une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~3] est  \colorbox{yellow}{$G:x\to \frac{27}{4} \ln \left(x^2 + 9\right)$}

L'aire, en unité d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe représentative de la fonction $g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 3$ est \colorbox{yellow}{$\mathcal{A}_2=G(3)-G(0)$}.

$G(3)=\frac{27}{4} \ln 18$ et 
$G(0)=\frac{27}{4} \ln 9$

\colorbox{yellow}{$\mathcal{A}_2=\frac{27}{4}\left(\ln 18-\ln 9\right)=\frac{27}{4}\ln 2\approx 4,679$}
\item  L'aire $\mathcal{A}$, en unité d'aire, vaut \colorbox{yellow}{$ 2(\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2)\approx 6,75 -4,679 \approx 4,143$u.a.}.
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse à  l'obsolescence programmée de certains modèles de
smartphone. L'obsolescence programmée consiste à  limiter volontairement la durée de vie
d'un produit afin d'augmenter le taux de remplacement et accroître les profits.

\medskip


\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip

Une association de consommateurs a observé deux types d'obsolescence programmée sur
une population de $200$ smartphones.

La première est l'obsolescence technique, lorsqu'un composant tombe en panne et ne peut
être remplacé. Cela concerne 3\,\% des smartphones étudiés.

La seconde est l'obsolescence logicielle, quand un produit est trop vieux pour être mis à  jour et devient inutilisable ou incompatible. Cela concerne 8\,\% des smartphones étudiés.

De plus, parmi les smartphones touchés par l'obsolescence logicielle, on compte 12,5\,\% de
smartphones également touchés par l'obsolescence technique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé, on obtient le tableau d'effectifs suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Smartphones&touchés par l'obsolescence logicielle&non touchés par l'obsolescence logicielle&Total\\ \hline
touchés par l'obsolescence technique	&12,5\%$\times$ 16=2&4		&3\%$\times$ 200=6\\ \hline
non touchés par l'obsolescence technique&14					&180	&194\\ \hline
Total 									&8\%$\times$ 200 =16&184	&200\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item On prélève au hasard un smartphone parmi les $200$ étudiés.

On note $T$ l'évènement : \og le smartphone prélevé est touché par l'obsolescence technique \fg et $L$ l'évènement : \og le smartphone prélevé est touché par l'obsolescence logicielle \fg.

\smallskip

D'après les informations figurant dans l'énoncé, on a immédiatement: $P(T)=0,03$, $P(L)=0,08$ et $P_L(T)=0,125$.


\item 
	\begin{enumerate}
		\item \colorbox{yellow}{$P(T \cap L)= \dfrac{2}{200}=0,01 $}.
		\item  \colorbox{yellow}{$P(T \cup L)=P(T)+P(L)-P(T \cap L)=0,1$}.
		\item  \colorbox{yellow}{$P_T(L)=\dfrac{P(T \cap L)}{P(T)}=\dfrac{0,01}{0,03}=\dfrac{1}{3}$}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale}



\medskip

\begin{enumerate}
\item Le prélèvement d'un smartphone est une épreuve de Bernoulli, avec :

\begin{itemize}
  \item succès:le smartphone non réparable et P(succès )=0,045
  \item echec : le smartphone est réparable
\end{itemize}

Cette même épreuve est répétée 50 fpis de ma nière indépendante, car les prélèvements sont assimilés à des tirages avec remise, on est donc en présence d'un schéma de Bernoulli, 
la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres \colorbox{yellow}{$n=50$ et $p=0,045$}.
\item Tous les smartphones sont réparables signifie que $X=0$, et \colorbox{yellow}{$P(X=0)=0,1$}.
\item  

	\begin{enumerate}
		\item L'exécution de l'algorithme donne les résultats suivants:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$i$& 0&1 &2 &3\\ \hline
$P(X = i)$& 0,100& 0,236& 0,272&0,205\\ \hline
$S$& 0,100 &0,336& 0,608& 0,813\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item \'A  la fin de l'algorithme \colorbox{yellow}{$S\approx 0,813$ . $S=P(X\leqslant 3)$}
 	\end{enumerate}
\item  L'espérance de la variable aléatoire $X$ est \colorbox{yellow}{$E(X)=50\times 0,045=2,25$}. Ce résultat indique que pour tout lot de 50 smartphone, on  aura, en moyenne, 2,25 smartphone non réparables .
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Test d'hypothèse}

D'après un sondage issu de la presse écrite, 55\,\% des français pensent
que la marque B pratique l'obsolescence programmée.

L'hypothèse nulle $H_0$ est: \og $p = 0,55$ \fg, le résultat du sondage est validé%

L'hypothèse alternative $H_1$ est : \og $p \neq 0,55$ \fg, le résultat du sondage n'est pas valide

Le seuil de signification du test est fixé à  $5$\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \colorbox{yellow}{$h=0,07$}

\item  \colorbox{yellow}{La règle de décision du test}.
Dans un échantillon de 180 personnes, si la fréquence des personnes déclarant que la marque B pratique l'obsolescence programmée est dans l'intervalle [0,48\ ;\ 0.62], $H_0$ est acceptée avec un niveau de confiance de 95\%, sinon $H_0$ est réjetée et $H_1$ est acceptée avec un risque de 5\%.
\item  On sait que, sur un échantillon aléatoire de $180$ personnes interrogées, $76$, soit \colorbox{yellow}{42\%},  pensent que la marque B pratique l'obsolescence programmée. On peut conclure que l'hypothèse 

\colorbox{yellow}{$H_0$ est rejetée} et dire, avec un risque de 5\%,  que \colorbox{yellow}{le résultat du sondage n'est pas validé}.


\end{enumerate}
\end{document}
