%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Mohamed Hassnaoui \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-node,pst-circ,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement B}, pdftitle = {14 mai 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} %\usepackage{Sweave} \begin{document} %\input{BTS_gr_B_2018_corrige-concordance} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Éléments de correction du BTS} \lfoot{\small{Groupe B}} \rfoot{\small{14 mai 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~BTS Métropole--Antilles--Guyane groupement B~\decofourright\\[5pt] 14 mai 2018 Éléments de correction}} \end{center} \vspace{0,25cm} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \textbf{Exercice 1 } \medskip \textbf{A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip $(E) :y' - 0,2y = 3 t$ \medskip \begin{enumerate} \item Sur $[0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle $\left(\text{E}_0\right)$ : \[y'- 0,2y = 0.\] A pour solution générale : \colorbox{yellow}{$y=k\text{e}^{0,2t}$} où $k$ est une constante réelle quelconque \item La fonction $g$, définie sur [0~;~3] par $g(t) = - 15 t - 75$, est solution de l'équation différentielle (E), si $g'(t) - 0,2g(t) = 3 t$ $g(t) = - 15 t - 75$, donc $g'(t) = - 15$ et $$g'(t) - 0,2g(t) = -15-0,2\times (-15 t)-0,2\times(-75)=-15+3t+15=3t$$, cqfd \item L'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) est : \colorbox{yellow}{$ \{t\mapsto -15t-75+k\text{e}^{0,2t},\ t\geq 0 , k \ \text{constante réelle }\}$ }. \item La fonction $f$ est solution de (E), donc $f(t)=-15t-75+k\text{e}^{0,2t}, \ t\in \R^+$ $f$ vérifie la condition initiale $f(0) = 0$, donc $-15\times 0-75+k\text{e}^{0,2\times 0}=0$, d'où $k=75$ et \colorbox{yellow}{$f(t)=-15t-75+75\text{e}^{0,2t}=-15t+75\left(\text{e}^{0,2 t} - 1\right)$}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. \'Etude de fonction et application} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~3] par \[f(t) = 75\left(\text{e}^{0,2 t} - 1\right) - 15 t.\] On désigne par $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \colorbox{yellow}{$f'(t)=15\text{e}^{\frac{1}{5}t} - 15$} Sur [0~;~3], l'inéquation $f'(t) \geqslant 0\iff 15\text{e}^{\frac{1}{5}t} \geqslant 15 \iff \text{e}^{\frac{1}{5}t} \geqslant 1$, c'est-à-dire $t\geqslant 0$, ainsi $f'(t)$ est positive sur [0~;~3]. \item $f'(t)\geqslant 0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~3]. \end{enumerate} \item On rappelle que $f(t)$ correspond à la distance parcourue par le wagon, en km, à l'instant $t$, en minute. Au bout d'une minute.le wagon va prcourir $f(1)$ km, soit \colorbox{yellow}{1,605 km} environ \item \begin{enumerate} \item La vitesse du wagon, en kilomètre par minute, à l'instant $t$, correspond à $f'(t)$. En 2 minutes la vitesse du wagon s'élève $f'(2)$ soit \colorbox{yellow}{$7,38$ km par min}. \item En 2 min, la vitesse du wagon est de $7,38$ km$\cdot$min$^{-1}$ soit \colorbox{yellow}{$7,38 \times 60$ km par heure}, c'est-à-dire \colorbox{yellow}{$442,67$ km$\cdot$h$^{-1 }$}, l'objectif des ingénieurs qui est de 400 km$h^{-1 }$ est largement atteint. \end{enumerate} \item \medskip Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est : $$y=f'(2)(t-2)+ f(2)= f'(2)t-2f'(2) + f(2)$$ $f(2) = 75(\text{e}^{0,4}-1) - 30$, $f'(2) = 15(\text{e}^{0,4}- 1) -2f'(2)+f(2) = -30(\text{e}^{0,4}-1) + 75(\text{e}^{0,4}-1)-30 =$ $f(2) = 45\text{e}^{0,4} + 30 - 75 - 30$ Donc la tangente en 2 a pour équation : \colorbox{yellow}{$y = \left(\text{e}^{0,4} - 1\right)t + 45 \text{e}^{0,4} - 75$ } \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Calcul intégral} \medskip Afin d'aménager les futures gares dédiées à ce train à très haute vitesse, les architectes ont dessiné la pièce suivante, représentée dans un repère orthonormé avec pour unité% graphique $1$ mètre sur les deux axes. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-3.5,-0.5)(3.5,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,griddots=6] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-3.2,-0.5)(3.2,3.5) \psline(-3,2.25)(3,2.25) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{27 x mul x dup mul 2 mul 18 add div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{0}{27 x neg mul x dup mul 2 mul 18 add div} \uput[dr](0,0){O}\uput[dr](3,0){P} \uput[ur](3,2.25){Q} \uput[ur](0,2.25){R} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{0}{27 x neg mul x dup mul 2 mul 18 add div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{27 x mul x dup mul 2 mul 18 add div} \psline(3,2.25)(-3,2.25)} \end{pspicture*} \end{center} On désire calculer de façon précise l'aire $\mathcal{A}$ de la surface hachurée sur le dessin. Pour cela on dispose des données suivantes : \begin{itemize} \item la pièce est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées; \item le bord supérieur correspond à la droite d'équation $y = 2,25$ ; \item le bord inférieur droit correspond à la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~3] par : \[g(x) = \dfrac{27 x}{2x^2 + 18}.\] \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item L'aire $\mathcal{A}_1$ du rectangle OPQR, en unité d'aire (u. a.) est \colorbox{yellow}{$\mathcal{A}_1=2,25\times 3=6,75$} \item Une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~3] est \colorbox{yellow}{$G:x\to \frac{27}{4} \ln \left(x^2 + 9\right)$} L'aire, en unité d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe représentative de la fonction $g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 3$ est \colorbox{yellow}{$\mathcal{A}_2=G(3)-G(0)$}. $G(3)=\frac{27}{4} \ln 18$ et $G(0)=\frac{27}{4} \ln 9$ \colorbox{yellow}{$\mathcal{A}_2=\frac{27}{4}\left(\ln 18-\ln 9\right)=\frac{27}{4}\ln 2\approx 4,679$} \item L'aire $\mathcal{A}$, en unité d'aire, vaut \colorbox{yellow}{$ 2(\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2)\approx 6,75 -4,679 \approx 4,143$u.a.}. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip Dans cet exercice, on s'intéresse à l'obsolescence programmée de certains modèles de smartphone. L'obsolescence programmée consiste à limiter volontairement la durée de vie d'un produit afin d'augmenter le taux de remplacement et accroître les profits. \medskip \textbf{A. Probabilités conditionnelles} \medskip Une association de consommateurs a observé deux types d'obsolescence programmée sur une population de $200$ smartphones. La première est l'obsolescence technique, lorsqu'un composant tombe en panne et ne peut être remplacé. Cela concerne 3\,\% des smartphones étudiés. La seconde est l'obsolescence logicielle, quand un produit est trop vieux pour être mis à jour et devient inutilisable ou incompatible. Cela concerne 8\,\% des smartphones étudiés. De plus, parmi les smartphones touchés par l'obsolescence logicielle, on compte 12,5\,\% de smartphones également touchés par l'obsolescence technique. \medskip \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé, on obtient le tableau d'effectifs suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}c|}\hline Smartphones&touchés par l'obsolescence logicielle&non touchés par l'obsolescence logicielle&Total\\ \hline touchés par l'obsolescence technique &12,5\%$\times$ 16=2&4 &3\%$\times$ 200=6\\ \hline non touchés par l'obsolescence technique&14 &180 &194\\ \hline Total &8\%$\times$ 200 =16&184 &200\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \item On prélève au hasard un smartphone parmi les $200$ étudiés. On note $T$ l'évènement : \og le smartphone prélevé est touché par l'obsolescence technique \fg et $L$ l'évènement : \og le smartphone prélevé est touché par l'obsolescence logicielle \fg. \smallskip D'après les informations figurant dans l'énoncé, on a immédiatement: $P(T)=0,03$, $P(L)=0,08$ et $P_L(T)=0,125$. \item \begin{enumerate} \item \colorbox{yellow}{$P(T \cap L)= \dfrac{2}{200}=0,01 $}. \item \colorbox{yellow}{$P(T \cup L)=P(T)+P(L)-P(T \cap L)=0,1$}. \item \colorbox{yellow}{$P_T(L)=\dfrac{P(T \cap L)}{P(T)}=\dfrac{0,01}{0,03}=\dfrac{1}{3}$}. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Loi binomiale} \medskip \begin{enumerate} \item Le prélèvement d'un smartphone est une épreuve de Bernoulli, avec : \begin{itemize} \item succès:le smartphone non réparable et P(succès )=0,045 \item echec : le smartphone est réparable \end{itemize} Cette même épreuve est répétée 50 fpis de ma nière indépendante, car les prélèvements sont assimilés à des tirages avec remise, on est donc en présence d'un schéma de Bernoulli, la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres \colorbox{yellow}{$n=50$ et $p=0,045$}. \item Tous les smartphones sont réparables signifie que $X=0$, et \colorbox{yellow}{$P(X=0)=0,1$}. \item \begin{enumerate} \item L'exécution de l'algorithme donne les résultats suivants: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $i$& 0&1 &2 &3\\ \hline $P(X = i)$& 0,100& 0,236& 0,272&0,205\\ \hline $S$& 0,100 &0,336& 0,608& 0,813\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item \'A la fin de l'algorithme \colorbox{yellow}{$S\approx 0,813$ . $S=P(X\leqslant 3)$} \end{enumerate} \item L'espérance de la variable aléatoire $X$ est \colorbox{yellow}{$E(X)=50\times 0,045=2,25$}. Ce résultat indique que pour tout lot de 50 smartphone, on aura, en moyenne, 2,25 smartphone non réparables . \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Test d'hypothèse} D'après un sondage issu de la presse écrite, 55\,\% des français pensent que la marque B pratique l'obsolescence programmée. L'hypothèse nulle $H_0$ est: \og $p = 0,55$ \fg, le résultat du sondage est validé% L'hypothèse alternative $H_1$ est : \og $p \neq 0,55$ \fg, le résultat du sondage n'est pas valide Le seuil de signification du test est fixé à $5$\,\%. \medskip \begin{enumerate} \item \colorbox{yellow}{$h=0,07$} \item \colorbox{yellow}{La règle de décision du test}. Dans un échantillon de 180 personnes, si la fréquence des personnes déclarant que la marque B pratique l'obsolescence programmée est dans l'intervalle [0,48\ ;\ 0.62], $H_0$ est acceptée avec un niveau de confiance de 95\%, sinon $H_0$ est réjetée et $H_1$ est acceptée avec un risque de 5\%. \item On sait que, sur un échantillon aléatoire de $180$ personnes interrogées, $76$, soit \colorbox{yellow}{42\%}, pensent que la marque B pratique l'obsolescence programmée. On peut conclure que l'hypothèse \colorbox{yellow}{$H_0$ est rejetée} et dire, avec un risque de 5\%, que \colorbox{yellow}{le résultat du sondage n'est pas validé}. \end{enumerate} \end{document}