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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Merci à Biram Ndiaye pour le sujet
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%Corrigé Biram Ndiaye
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{13 mai 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large\textbf{Corrigé du brevet de technicien supérieur groupement B \\[5pt] 13 mai 2019 - Métropole--Antilles--Guyane--Polynésie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On sait que les solutions de $\left(E_0\right)$ sont les fonctions $y_0$ définies par : 
		
$y_0(t) = K\text{e}^{- 0,05t}$ où $K$ est une constante réelle.
		\item  $g$ définie par $g(t) = 40$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et $g'(t) = 0$. Donc 
		
$g'(t) + 0,05g(t) = 0 + 0,05 \times 40 = 0 + 2 = 2$, ce qui montre que $g$ est une solution de $(E)$.
		\item  Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions $y$ définies par :
		
$y(t) = K\text{e}^{-0,05t} + g(t) = K\text{e}^{-0,05t} + 40$ où $K$ est une constante réelle.
	\end{enumerate}
\item $f$ est une solution de $(E)$, donc

$f(t) = K\text{e}^{-0,05t} + 40$ ;  or $f(0) = 18 \iff  K\text{e}^{-0,05\times 0}  40 = 18 \iff K + 40 = 18  \iff K = 18 - 40 = - 22$.

On en déduit l’expression de $f$ :

$f(t) = - 22\text{e}^{-0,05t} + 40  = 40 - 22\text{e}^{-0,05t}$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- 0,05t} = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} - 22 \times \text{e}^{-0,05t} = 0$ et enfin $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)  = 40$.
		\item Le résultat précédent montre que, géométriquement la droite d'équation $y = 40$ est une asymptote horizontale à la courbe $C$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le logiciel donne $f'(t) = \dfrac{11}{10} \text{e}^{- \frac{1}{20}t}$.
		
Or quel que soit le réel $t$, \: $\text{e}^{- \frac{1}{20}t} > 0$  et par suite $f'(t) > 0$ pour tout $t \geqslant 0$ ;  $f$ est donc  strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.
		\item On en déduit le tableau de variations : avec $f(0) = 18$ et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 40$ :
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2.5)
\psframe(5,2.5)\psline(0,2)(5,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$t$} \uput[u](1.15,1.9){$0$} \uput[u](4.5,1.9){$+ \infty$} 
\rput(0.5,1){$f(t)$}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.5,1.5)
\uput[u](1.2,0){18}\uput[d](4.6,2){40}
\end{pspicture}
\end{center}	
	\end{enumerate}
\item Le logiciel de calcul formel donne, limité à l'ordre 2 au voisinage de $0$ :
		
$f(t) = 18 + \dfrac{11}{10}t - \dfrac{11}{400}t^2$.
	\begin{enumerate}
		\item L'équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse est le développement limité de $f$ à l'ordre 1, soit $y = 18 + \dfrac{11}{10}t$. (réponse 2)
		\item On a $f'(0) = \dfrac{11}{10} \text{e}^{- \frac{1}{20} \times 0} = \dfrac{11}{10} \times 1 = \dfrac{11}{10} = 1,1$~\degres/s. (réponse 2)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $t$&Valeur de $f(t)$ arrondie à $10^{-2}$&Condition
$f(t) \leqslant 21$\\ \hline
0&18&vraie\\ \hline
1&19,07&vraie\\ \hline
2&20,09&vraie\\ \hline
3&21,064&faux\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item $t = 3$.

À partir de 3 secondes, la température dépasse $21$\degres C
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $A$ et $B$ sont indépendants donc $p(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

L'évènement $E_1$ signifie que le pneumatique a validé les deux tests, donc $P\left(E_1\right) = P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,98 \times 0,85 = 0,833$.
\item $P\left(E_2\right) = P\left(\overline{E_1}\right)= 1 - P\left(E_1\right) = 1 - 0,833 = 0,167$. 
\item Un arbre pondéré de probabilités permet de repérer les évènements :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A~~$}\naput{0,98}}
	{\TR{$B$}\naput{0,85}
	\TR{$\overline{B}$} \nbput{0,15}
	}
	
\pstree{\TR{$\overline{A}~~$}\naput{0,02}}
	{\TR{$B$}\naput{0,85}
	\TR{$\overline{B}$} \nbput{0,15}
	}
}
\end{center}

\emph{Méthode } 1 : $P\left(E_3\right) = P\left(A \cap \overline{B}\right) + P\left(\overline{A} \cap B\right) = P(A)\times P\left(\overline{B}\right) + P\left(\overline{A}\right) \times P(B)$.

$P\left(E_3\right) = (1 - 0,98) \times 0,85 + 0,98 \times (1 - 0,85) = 0,164$.

\emph{Méthode } 2 : On a $P\left(E_3\right) = 1 - P(A \cap B) - P\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = 1 - 0,833 - 0,02 \times 0,05 = 0,0167 - 0,003 = 0,164$.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip
\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé, $E(T) = 10 = \dfrac{1}{\lambda}$. D'où $\lambda = \dfrac{1}{10} = 0,1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après la formule donnée : $P(T \leqslant 20) = 1 - \text{e}^{- 0,1\times 20} \approx 1 - \np{0,1353} \approx \np{0,8646}$, soit au millième $0,865$.
		\item On doit calculer $P(T > 15) = 1 - P(T \leqslant 15) = 1 - \left(1 - \text{e}^{-0,1\times 15}\right)  = \text{e}^{-0,1 \times 15} \approx   0,223.$
	\end{enumerate}
\item  Pour déterminer cette durée médiane, on peut résoudre l'équation :
$1- \text{e}^{-0,1t} = 0,5$, d'où   par  croissance de la fonction  logarithme, on obtient

$- 0,1t = \ln (0,5)$.
D’où $t = \dfrac{\ln (0,5)}{- 0,1} \approx  6,931$~(h) soit 6~h et $0,931 \times 60 = 55,86$~(min) soit à peu près 6~h 56~min.
\end{enumerate}
\bigskip 

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $f = \dfrac{44}{50} = \dfrac{88}{100} = 0,88$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après la formule donnée l'intervalle de confiance est [0,790~;~0,970].
		\item Par définition $p$ appartient à l'intervalle de confiance.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip

\textbf{EXERCICE 1 QUESTION B. 1. b.}

\medskip

\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.2cm}t 
\begin{pspicture}(-3,-3)(112,45)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=5](0,0)(0,0)(112,45)
\multido{\n=0+2}{57}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,45)}
\multido{\n=0+10}{12}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,45)}
\multido{\n=0+1}{46}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(112,\n)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(112,\n)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{112}{40 22 2.71828 0.05 x mul exp div sub}
\psline[linecolor=red](0,40)(112,40)\uput[u](108,40){\red $y = 40$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vfill Corrigé de Biram Ndiaye
\end{document}