%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Sujet aimablement fourni par Brigitte Bourgouin %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-all,pst-func} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement E}, pdftitle = {14 mai 2018 Concepteur en art et industrie céramique,Design de communication espace et volume, Design d'espace, Design de produits}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé - Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\footnotesize{Groupement E : Concepteur en art et industrie céramique,\\Design de communication espace et volume,\\ Design d'espace, design de produits}} \rfoot{\small{14 mai 2018}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de Technicien Supérieur~\decofourright\\[5pt] 14 mai 2018 Groupement E}} \vspace{0,25cm} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points} %\vspace{0,5cm} \begin{multicols}{2} Le but de cet exercice est d'étudier le pied de parasol représenté ci-contre. \columnbreak %\begin{center} \hfill{} \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,5.5) \pspolygon(1.8,5.2)(0.9,4.6)(3.8,5.2)%EMN \psline(0.9,4.6)(0,0)(5.8,1.2)(3.8,5.2)%MBDN \psline[linestyle=dashed](1.8,5.2)(1.8,1.2)(0,0)%EAB \psline[linestyle=dashed](1.8,1.2)(5.8,1.2)%AD \end{pspicture} \hfill{} %\end{center} \end{multicols} %\begin{center} %\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} %\end{center} \textbf{A. Volume du pied de parasol} \begin{multicols}{2} On considère le cube ABCDEFGH d'arête 20~cm. Soit M le milieu de [FE]. Pour réaliser le pied de parasol, on coupe le cube par le plan (BMD). On note S l'intersection de la droite (AE) avec le plan (BMD) et N le point d'intersection de la droite (EH) avec le plan (BMD). On admet que N est le milieu de [EH]. \columnbreak \hfill \scalebox{0.7} { \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,9.5) \psframe(4,4)%BCGF \psline(4,0)(5.8,1.2)(5.8,5.2)(4,4)%CDHG \psline(5.8,5.2)(1.8,5.2)(0,4)%HEF \psline[linestyle=dashed](1.8,1.2)(1.8,9.2)%AS \pspolygon(1.8,9.2)(0.9,4.6)(3.8,5.2)%SMN \psline[linestyle=dashed](0.9,4.6)(0,0)(5.8,1.2)(3.8,5.2)%MBDN \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,1.2)(5.8,1.2)%BAD \uput[u](1.8,9.2){S} \uput[ul](1.8,1.2){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4,0){C} \uput[r](5.8,1.2){D} \uput[ur](1.8,5.2){E} \uput[l](0,4){F} \uput[dl](4,4){G} \uput[ur](5.8,5.2){H} \uput[ul](0.9,4.6){M} \uput[ur](3.8,5.2){N} \psdots(4,4)(4,0)(5.8,1.2)(5.8,5.2)(5.8,5.2)(1.8,5.2)(0,4)(0.9,4.6)(3.8,5.2)(0,0)(1.8,1.2)(1.8,9.2) \end{pspicture} } \hfill{} \end{multicols} \medskip \begin{enumerate} \item On se place dans le triangle ABS qui est rectangle en A. %\begin{minipage}[t]{0.7\linewidth} \parbox{0.65\linewidth} { Les droites (AB) et (EM) sont toutes les deux perpendiculaires à (AS) donc elles sont parallèles.\\ D'après le théorème de Thalès: $\dfrac{\mathrm{SM}}{\mathrm{SB}} = \dfrac{\mathrm{SE}}{\mathrm{SA}} = \dfrac{\mathrm{EM}}{\mathrm{AB}}$.\\[5pt] On sait que M est le milieu de [FE] donc $\mathrm{ME} = \dfrac{1}{2}\,\mathrm{FE} = 10$.\\[5pt] On en déduit que $\dfrac{\mathrm{EM}}{\mathrm{AB}} = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2}$ donc que $\dfrac{\mathrm{SE}}{\mathrm{SA}} =\dfrac{1}{2}$ et donc que E est le milieu de [SA].\\[5pt] Or $\mathrm{EA} = 20$~cm donc $\mathrm{SA} = 40$~cm. }%\end{minipage} \hfill \parbox{0.28\linewidth} { \psset{unit=0.8cm,radius=0pt} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4.5,2.5) \Cnode*(0,0){A} \uput[dl](A){A} \Cnode*(2,0){E} \uput[d](E){E} \Cnode*(4,0){S} \uput[dr](S){S} \Cnode*(2,1){M} \uput[80](M){M} \Cnode*(0,2){B} \uput[ul](B){B} \pspolygon(A)(S)(B) \psline(E)(M) \psline(0,0.2)(0.2,0.2)(0.2,0) \psline(2,0.2)(2.2,0.2)(2.2,0) \end{pspicture} }%\end{minipage} \medskip \item% On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\dfrac{1}{3} \times B \times h$, où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur. \begin{enumerate} \item La pyramide SABD a pour base le triangle ABD et pour hauteur SA. L'aire en cm$^2$ du triangle ABD, rectangle en A, est $\dfrac{\mathrm{AB}\times \mathrm{AD}}{2} = \dfrac{20\times 20}{2} = 200$. Le volume, en cm$^3$, de la pyramide SABD est donc $V=\dfrac{1}{3}\times 200 \times 40 = \dfrac{\np{8000}}{3}$. \item %Calculer le volume $V'$ de la pyramide SEMN. La pyramide SEMN a pour base le triangle EMN et pour hauteur SE de longueur 20. L'aire du triangle EMN, rectangle en E, est $\dfrac{\mathrm{EM}\times \mathrm{EN}}{2}$.%% = \dfrac{20\times 20}{2} = 200$. Les points M et N sont les milieux respectifs de [FE] et [EH] donc $\mathrm{EM} = \mathrm{EN}= 10$. L'aire en cm$^2$ du triangle EMN est donc $\dfrac{10\times 10}{2} = 50$. Le volume, en cm$^3$, de la pyramide SEMN est donc $V'=\dfrac{1}{3}\times 50 \times 20 = \dfrac{\np{1000}}{3}$. \item Le pied de parasol a pour volume, en cm$^3$, $V-V'=\dfrac{\np{8000}}{3} - \dfrac{\np{1000}}{3} = \dfrac{\np{7000}}{3}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \bigskip \textbf{B. Aire d'un carreau de faïence} \medskip \begin{multicols}{2} Le pied de parasol est orné d'un carreau de faïence représenté par le triangle hachuré sur la figure ci-contre. \\ Le but de cette partie est de calculer l'aire de ce triangle.\\ L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AI}}, \vect{\text{AJ}}, \vect{\text{AK}}\right)$ d'unité graphique 1 cm tel que $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{20}\vect{\text{AB}}$,\: $\vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{20}\vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{AK}} = \dfrac{1}{20}\vect{\text{AE}}$ \smallskip Ainsi les coordonnées du point B dans ce repère sont : B(20~;~0~;~0). \columnbreak \hfill \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-0.7,-0.7)(6,6.5) %\psframe(4,4)%BCGF %\psline(4,0)(5.8,1.2)(5.8,5.2)(4,4)%CDHG %\psline(5.8,5.2)(1.8,5.2)(0,4)%HEF %\psline[linestyle=dashed](1.8,1.2)(1.8,9.2)%AS %\pspolygon(1.8,9.2)(0.9,4.6)(3.8,5.2)%SMN \pspolygon(1.8,5.2)(0.9,4.6)(0,0)(5.8,1.2)(3.8,5.2)(1.8,5.2)(0.9,4.6)(3.8,5.2)%EMBDNEMN \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,1.2)(5.8,1.2)%BAD \psline[linestyle=dashed](1.8,1.2)(1.8,5.2)%AE \psline{->}(0,0)(-0.9,-0.6)%Bx \psline{->}(5.8,1.2)(6.8,1.2)%Dy \psline{->}(1.8,5.2)(1.8,6.2)%Ez \uput[u](-0.9,-0.6){$x$}\uput[r](6.8,1.2){$y$}\uput[u](1.8,6.2){$z$} \pspolygon[fillstyle=vlines](5.8,1.2)(3.8,5.2)(0.45,2.3)%DNQ \uput[ul](1.8,1.2){A} \uput[d](0,0){B} \uput[ur](5.8,1.2){D} \uput[ur](1.8,5.2){E} \uput[ul](0.9,4.6){M} \uput[ur](3.8,5.2){N}\uput[l](0.45,2.3){Q} \psdots(5.8,1.2)(1.8,5.2)(0.9,4.6)(3.8,5.2)(0,0)(1.8,1.2)(0.45,2.3) \end{pspicture} \end{multicols} \medskip \begin{enumerate} \item% Donner les coordonnées des points M, N et D dans ce repère, \begin{list}{\textbullet}{} \item Comme l'espace est muni du repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AI}}, \vect{\text{AJ}}, \vect{\text{AK}}\right)$, le point J a pour coordonnées $(0\;;\;1\;;\;0)$; de plus $\vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{20}\vect{\text{AD}}$ donc le point D a pour coordonnées $(0\;;\;20\;;\;0)$. Par un raisonnement analogue, on prouve que les coordonnées du point E sont $(0\;;\;0\;;\;20)$. \item Le point M est le milieu de [FE] donc $\vectt{EM} = \dfrac{1}{2}\vectt{EF}$. Or $\vectt{EF} = \vectt{AB}$ de coordonnées $(20\;;\;0\;;\;0)$; donc $\vectt{EM}$ a pour coordonnées $(10\;;\;0\;;\;0)$. E a pour coordonnées $(0\;;\;0\;;\;20)$, donc $\vectt{EM}$ a pour coordonnées $\left (x_{\mathrm{M}}\;;\; y_{\mathrm{M}}\;;\;z_{\mathrm{M}}-20\right )$. On déduit que $\left (x_{\mathrm{M}}\;;\; y_{\mathrm{M}}\;;\;z_{\mathrm{M}}-20\right ) = (10\;;\;0\;;\;0)$ donc que M a pour coordonnées $(10\;;\;0\;;\;20)$. \item Par un raisonnement analogue, on prouve que les coordonnées du point N sont $(0\;;\;10\;;\;20)$. \end{list} \item Soit Q le milieu de [MB].% Déterminer les coordonnées du point Q. Q a pour coordonnées $\left ( \dfrac{x_{\mathrm{M}} + x_{\mathrm{B}}}{2}\;;\;\dfrac{y_{\mathrm{M}} + y_{\mathrm{B}}}{2}\;;\;\dfrac{z_{\mathrm{M}} + z_{\mathrm{B}}}{2}\right ) = \left ( \dfrac{10+20}{2}\;;\;\dfrac{0+0}{2}\;;\;\dfrac{20+0}{2}\right ) = \left ( 15\;;\;0\;;\;10\right )$ \item \begin{enumerate} \item% Calculer la valeur exacte des longueurs QN et QD. \begin{list}{\textbullet}{} \item Le vecteur $\vectt{QN}$ a pour coordonnées \\ $ \left (x_{\mathrm{N}} - x_{\mathrm{Q}}\;;\;y_{\mathrm{N}} - y_{\mathrm{Q} } \;;\; z_{\mathrm{N}} - z_{\mathrm{Q} } \right ) = \left ( 0-15\;;\;10-0\;;\; 20-10 \right ) = \left ( -15\;;\;10\;;\; 10 \right )$ Donc $\text{QN}^2 = \left (-15 \right )^2 +\left (10\right )^2 + \left (10 \right )^2 =225 + 100 + 100 = 425$ donc $\text{QN} = \ds\sqrt{425}$ \item Le vecteur $\vectt{QD}$ a pour coordonnées \\ $ \left (x_{\mathrm{D}} - x_{\mathrm{Q}}\;;\;y_{\mathrm{D}} - y_{\mathrm{Q} } \;;\; z_{\mathrm{D}} - z_{\mathrm{Q} } \right ) = \left ( 0-15\;;\;20-0\;;\; 0-10 \right ) = \left ( -15\;;\;20\;;\; -10 \right )$ Donc $\text{QD}^2 = \left (-15 \right )^2 +\left (20\right )^2 + \left (-10 \right )^2 =225 + 400 + 100 = 725$ donc $\text{QD} = \ds\sqrt{725}$ \end{list} \item $\vect{\text{QN}} \cdot \vect{\text{QD}} = (-15)\times (-15) + 10\times 20 + 10\times (-10) = 225+200-100 = 325$ \item% En déduire la valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{NQD}}$ arrondie au dixième de degré. $\vect{\text{QN}} \cdot \vect{\text{QD}} = \text{QN}\times \text{QD}\times \cos\left ( \widehat{\text{NQD}}\right )$ On en déduit que $325 = \ds\sqrt{425} \times \ds\sqrt{725} \times \cos\left ( \widehat{\text{NQD}}\right )$ et donc que $\cos\left ( \widehat{\text{NQD}}\right ) = \dfrac{325}{\ds\sqrt{425\times 725}}$. On trouve à la calculatrice que $\widehat{\text{NQD}} \approx 54,2$~\degres. \end{enumerate} \item %On rappelle la formule suivante. %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(5,3) %\pspolygon(0.5,0.5)(4.5,0.5)(2,2.5)%BCA %\uput[l](0.5,0.5){B}\uput[r](4.5,0.5){C}\uput[u](2,2.5){A} %\uput[d](2.5,0.5){$a$}\uput[ur](3.25,1.5){$b$}\uput[ul](1.25,1.5){$c$} %\end{pspicture} % %L'aire $\mathcal{A}$ du triangle ABC est donnée par : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} bc \sin \widehat{\text{A}}$ %\end{center} L'aire du triangle NQD est donnée par $\mathcal{A} = \text{QN} \times \text{QD} \times \sin \left ( \widehat{\text{NQD}}\right ) \approx \ds\sqrt{425}\times \ds\sqrt{725} \times \sin \left (54,2 \right ) \approx 450$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Représentation en perspective} \medskip La représentation en perspective centrale du cube et du pied de parasol est commencée en annexe 1. Trois arêtes y sont représentées, ainsi que la ligne d'horizon avec comme plan frontal le plan (BCF). On note \texttt{a}, \texttt{b}, \texttt{c}, \texttt{d}, \texttt{e}, \texttt{f}, \texttt{g}, \texttt{h}, \texttt{m} et \texttt{n} les images respectives des points A, B, C, D, E, F, G, H, M, N dans cette représentation en perspective centrale. \medskip \begin{enumerate} \item% Compléter soigneusement la représentation en perspective centrale en annexe 1, en laissant apparents les traits de construction, Repasser en couleur les arêtes du pied de parasol. Voir graphique. \item Le point d'intersection de la droite (\texttt{ef}) et de la ligne d'horizon s'appelle le point de fuite. %Justifier. C'est en ce point que les lignes qui s'éloignent du plan frontal convergent. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points} \bigskip Une des applications importantes des courbes de Bézier concerne la typographie et notamment les polices de caractère. Le but de cet exercice est de modéliser un caractère particulier en utilisant trois courbes de Bézier $\mathcal{C}_1$,\: $\mathcal{C}_2$,\: $\mathcal{C}_3$ et une symétrie axiale. \bigskip Dans tout l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. Une représentation du plan est fournie en annexe 2 sur laquelle les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_3$ sont déjà tracées. \bigskip \begin{enumerate} \item \textbf{Étude de la courbe} $\boldsymbol{\mathcal{C}_1}$ \medskip La courbe $\mathcal{C}_1$, tracée sur l'annexe 2, est une courbe de Bézier à trois points de contrôle A, B et C de telle sorte que : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item les coordonnées de A et C sont A(2~;~0) et C(1~;~3) ; \item la tangente en A à $\mathcal{C}_1$ est la droite d'équation $y = 2 - x$ ; \item la tangente en C est verticale. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip %\emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\ %Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\ %La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} %\medskip Les coordonnées du point B sont: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} (0~;~2)&(1~;~0)& \fbox{(1~;~1)} &(1~;~2)\\ \end{tabularx} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}} La tangente en C à la courbe $\mathcal{C}_1$ est verticale donc d'équation $x=x_{\text C}$ soit $x=1$. \\ La tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_1$ a pour équation $y=2-x$. Donc le point de contrôle B a ses coordonnées qui vérifient à la fois $x=1$ et $y=2-x$. \\ Le point B a donc pour coordonnées $(1\,; 1)$. \end{tabular} \medskip \item \textbf{Tracé de la courbe} $\boldsymbol{\mathcal{C}_2}$ \begin{enumerate} \item On place sur le graphique de l'annexe 2 les points C(1~;~3) ; D(4~;~1) et E(6~;~3). La courbe de Bézier $\mathcal{C}_2$, définie par les trois points de contrôle C, D et E, est l'ensemble des points $M(t)$ du plan tels que pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] : \[\vect{\text{O}M(t)} = (1 - t)^2 \vect{\text{OC}} + 2t(1 - t) \vect{\text{OD}} + t^2 \vect{\text{OE}}.\] \item %En quels points de la courbe $\mathcal{C}_2$ peut-on connaître sans calcul la (les) tangente(s) ? La courbe de Bézier $\mathcal{C}_2$ est définie par les trois points de contrôle C, D et E, donc la tangente en C à la courbe $\mathcal{C}_2$ est la droite (CD), et la tangente en E à la courbe $\mathcal{C}_2$ est la droite (ED). %Tracer ces tangentes sur la figure en annexe 2. \item $\vect{\text{O}M(t)} = (1 - t)^2 \vect{\text{OC}} + 2t(1 - t) \vect{\text{OD}} + t^2 \vect{\text{OE}} \iff \left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x & (1 - t)^2 x_{\text{C}} + 2t(1 - t) x_{\text{D}} + t^2 x_{\text{E}}\\ y & (1 - t)^2 y_{\text{C}} + 2t(1 - t) y_{\text{D}} + t^2 y_{\text{E}} \end{array} \right .\\[5pt] \iff \left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x & (1 - t)^2 \times 1 + 2t(1 - t) \times 4 + t^2 \times 6\\ y & (1 - t)^2 \times 3 + 2t(1 - t) \times 1 + t^2 \times 3 \end{array} \right . \iff \left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x & 1-2t + t^2 + 8t - 8t^2 + 6t^2\\ y & 3-6t + 3t^2 + 2t - 2t^2 + 3t^2 \end{array} \right .\\[5pt] \iff \left\lbrace \begin{array}{l !{=} l} x & -t^2 + 6t +1 \\ y & 4 t^2 -4t + 3 \end{array} \right .$ \smallskip Donc les coordonnées $x$ et $y$ des points $M(t)$ de la courbe $\mathcal{C}_2$ ont pour expression : \hfill{}$x = f(t) = - t^2 + 6 t + 1 \text{ et } y = g(t) = 4 t^2 - 4 t + 3$.\hfill{} \item On étudie les variations des fonctions $f$ et $g$ pour $t$ dans l'intervalle [0~;~1]. $f'(t) = -2t+6 >0$ sur $[0\,; 1]$ et $g'(t)=8t-4 >0$ sur $\left ]\dfrac{1}{2}\,; 1\right ]$ \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *4{c} c|} \hline t & 0 & \esp & \frac{1}{2} & \esp & 1 \\ \hline f'(t) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\ \hline & & & & & \Rnode{max}{\phantom{x}} \\ f(t) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min}{\phantom{x}} & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min}{max}\\ \hline g'(t) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\ \hline & \Rnode{max1}{\phantom{x}} & & & & \Rnode{max2}{\phantom{x}} \\ g(t) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min2}{\phantom{x}} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min2} \ncline{->}{min2}{max2}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} %\[f(t) = - t^2 + 6 t + 1 \quad \text{ et } \quad g(t) = 4 t^2 - 4 t + 3.\] %Rassembler les résultats dans un tableau unique. \item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point S obtenu pour $t= \dfrac{1}{2}$ est horizontale car $g'\left ( \frac{1}{2}\right )=0$ et $f'\left (\frac{1}{2}\right ) \neq 0$; un vecteur directeur de cette tangente est donc le vecteur $\vect{\imath}$. \item% Placer le point S, tracer la tangente à $\mathcal{C}_2$ en S puis tracer $\mathcal{C}_2$ sur l'annexe 2. Pour $t=\dfrac{1}{2}$, $f\left (\dfrac{1}{2}\right ) = -\dfrac{1}{4} + 6\times\dfrac{1}{2}+1 = 3,75$ et $g\left (\dfrac{1}{2}\right ) = 4\times\dfrac{1}{4} -4\times\dfrac{1}{2}+3=2$. Le point S a pour coordonnées $(3,75\,; 2)$. Voir tracés sur le graphique. \item La courbe $\mathcal{C}_1$ admet en C une tangente verticale. La courbe $\mathcal{C}_2$ admet en C pour tangente la droite (CD); or $x_{\text C} \neq x_{\text D}$ donc la droite (CD) n'est pas verticale. Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ n'admettent donc pas la même tangente en C. \end{enumerate} \medskip \item \textbf{Étude de la courbe} $\boldsymbol{\mathcal{C}_3}$ %\medskip La courbe $\mathcal{C}_3$, déjà tracée sur l'annexe 2, est la courbe de Bézier définie par les quatre points de contrôle E, F{}, G et H, où F(9~;~6) ; G(0~;~10) et H(0~;~12). \begin{list}{\textbullet}{} \item La courbe $\mathcal{C}_2$ admet pour tangente au point E la droite (EF). La droite (EF) a pour équation réduite $y=\dfrac{y_{\text F} - y_{\text E}}{x_{\text F} - x_{\text E}} \left ( x- x_{\text E}\right ) + y_{\text E} \iff y=\dfrac{6-3}{9-6} \left ( x- 6\right ) + 3 \iff y=x-3$. \item La courbe $\mathcal{C}_3$ admet pour tangente au point E la droite (ED). La droite (ED) a pour équation réduite $y=\dfrac{y_{\text E} - y_{\text D}}{x_{\text E} - x_{\text D}} \left ( x- x_{\text E}\right ) + y_{\text E} \iff y=\dfrac{3-1}{6-4} \left ( x- 6\right ) + 3 \iff y=x-3$. \end{list} Les courbes $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ admettent donc la même tangente en E, la droite d'équation $y=x-3$. \item Finalisation du tracé: voir graphique. %Sur l'annexe 2, appliquer aux courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$ la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées pour compléter le tracé du caractère étudié. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{3cm} \psset{unit=1cm,radius=0pt} \begin{pspicture}(-1,-1)(14,10) %\psgrid[subgriddiv=10] \psline(0,7.8)(14,7.8) \uput[u](12,7.8){Ligne d'horizon} \Cnode*(8.5,-0.5){c} \Cnode*(4,-0.5){b} \Cnode*(4,4){f} \Cnode*(5,5.5){e} \psline(c)(b)(f)(e) %cbfe \uput[r](c){\texttt{c}}\uput[l](b){\texttt{b}} \uput[l](f){\texttt{f}}\uput[ul](e){\texttt{e}} %%% \psset{dash=2pt 2pt,linecolor=red} \Cnode*(6.5,7.8){p} \psline(e)(p) %\psline(f)(p) \Cnode*(8.5,4){g} \uput[r](g){\texttt{g}} \psline(c)(g)(f) \psline(g)(p) \Cnode*(5,2.8){a} \uput[l](a){a} \Cnode*(7.7,5.5){h} \uput[r](h){h} \Cnode*(7.7,2.8){d} \uput[ur](d){d} \psline(e)(h) \psset{linestyle=dashed} \psline(c)(p) \psline(b)(p) %\psframe(e)(d) \psline(e)(a)(d)(h) \Cnode*(5,8.2){s}%% sommet \psline(b)(s)(d) \psline(e)(s) \Cnode*(4.62,4.9){m} \Cnode*(6.35,5.5){n} \psline[linestyle=solid](m)(s)(n) %%% Pied de parasol \psset{linecolor=blue,linestyle=solid} \psline(e)(m)(n)(e)(a)(b)(d)(a) \psline(b)(m) \psline(d)(n) \end{pspicture} \newpage \textbf{\large ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{3cm} \psset{unit=0.8cm,showpoints=false} \begin{pspicture}(-7,-0.5)(9,12.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-7,0)(9,12) \psBezier2[plotpoints=500,linecolor=blue,linewidth=1.5pt](2,0)(1,1)(1,3)% courbe C_1 \uput[r](1.2,1.5){\blue $\mathcal{C}_1$} \psbezier[linecolor=blue,linewidth=2pt](6,3)(9,6)(0,10)(0,12)%courbe C_3 \uput[ur](4,8){\blue $\mathcal{C}_3$} %%%% Corrigé \psdots(2,0)(1,1)% A B \uput[ur](2,0){A} \uput[ul](1,1){B} \psdots(1,3)(4,1)(6,3)% C D E \uput[ur](1,3){C} \uput[d](4,1){D} \uput[dr](6,3){E} \psdots(9,6)(0,10)(0,12)% F G H \uput[ul](9,6){F} \uput[ur](0,10){G} \uput[ur](0,12){H} \psBezier2[plotpoints=500,linecolor=red,linewidth=1.5pt](1,3)(4,1)(6,3)% courbe C_2 \uput[ul](5,2.2){\red $\mathcal{C}_2$} \psBezier2[plotpoints=500,linecolor=red,linewidth=1.5pt](-2,0)(-1,1)(-1,3)% courbe C'_1 \uput[l](-1.2,1.5){\red $\mathcal{C}'_1$} \psBezier2[plotpoints=500,linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-1,3)(-4,1)(-6,3)% courbe C'_2 \uput[ur](-5,2.2){\blue $\mathcal{C}'_2$} \psbezier[linecolor=red,linewidth=2pt](-6,3)(-9,6)(0,10)(0,12)%courbe C'_3 \uput[ul](-4,8){\red $\mathcal{C}'_3$} \psplot{0.5}{4.75}{x -2 mul 11 add 3 div} \psplot{3.25}{9}{x 3 sub} \psdots(3.75,2) \uput[u](3.75,2){S} \psline[linestyle=dashed](1.5,2)(6,2) \end{pspicture} \end{center} \end{document}