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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Laurent Sadoul 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{12 mai 2016}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[6pt] Groupement D 12 mai 2016}

Durée : 2 heures  
\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 1 }\hfill 11 points

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Coefficient multiplicateur : $\left(1 + \dfrac{50}{100}\right) = (1 + 0,5) =  1,5$. La suite est géométrique de raison $q = 1,5$.

Ce n'est pas réaliste sur du long terme, car les vers manqueront de pain à un moment donné.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Nombre de quinzaines $t_i$ :& 0 	&1 		&2 			&3 			&4			& 5 		&6 			&7 			&8 				&9\\ \hline
Nombre de vers $N_i$		&500 	&749 	&\np{1122} 	&\np{1681} 	&\np{2518} 	&\np{3772} 	&\np{5650} 	&\np{8464} 	&\np{12678} 	&\np{18992}\\ \hline
$y_i$						&4,17 	&3,76 	&3,35 		&2,92 		&2,49 		&2,05 		&1,58 		&1,06 		&0,47 			&$- 0,30$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item $y = - 0,48t + 4,31$.
		\item 7 mois donnent 14 quinzaines. De plus, on a $y = - 0,48t + 4,31$ et 

$y_i = \ln \left(\dfrac{\np{33000}}{N_i} - 1 \right)$ donc :

$\ln \left(\dfrac{\np{33000}}{N_i} - 1 \right) = - 0,48t + 4,31 \iff  
\dfrac{\np{33000}}{N_i} - 1  =  \text{e}^{-0,48t+4,31} \iff$

$ \dfrac{\np{33000}}{N_i} = \text{e}^{-0,48t+4,31} + 1$

d'où $N(t) = \dfrac{\np{33000}}{1 + \text{e}^{-0,48t+4,31}} $, donc $N(14) = \dfrac{\np{33000}}{1 + \text{e}^{-0,48\times 14+4,31}} \approx  \np{30280}$ soit environ  \np{30300}.
 	\end{enumerate}
\item Comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}  - 0,48t = - \infty$, $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{-0,48t} = 0$  et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \left(1 + 75 \text{e}^{-0,48t}\right) = 1$.
	Ceci nous donne : $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} N(t) = \dfrac{\np{33000}}{1} = \np{33000}$ :  non Kevin ne peut pas confirmer l' affirmation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Question préliminaire : en sortie du four, le pain se refroidit directement (il ne se chauffe pas tout seul) et sa température va se stabiliser à la température ambiante donc cela correspond à la courbe 1.

\textbf{I. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $y'(t) + 6y(t) = 0 \iff y'(t) = - 6y(t)$ donc $y(t) = K\text{e}^{-6t}$ avec $K \in \R$.
\item Soit $g(t) = k$ donc $g'(t) = 0$. On calcule $g' + 6g = 0 + 6 \times k = 6a$, ce qui  donne $k = a$.

La fonction $g(t) = a$ est bien une solution particulière de $(E)$.
\item $y(t) = y_0(t) + h(t) = K \text{e}^{-6}t + a$.
\item $y(0) = 180 \iff K \text{e}^0 + a = 180 \iff K = 180 - a$, donc $h(t) = (180 - a)\text{e}^{-6}t + a$.
\end{enumerate}

\textbf{II : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, par $f(t) = (2t + 1)\text{e}^{-0,1t}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le pain est entreposé à une température de 28\degres C et $a$ est la température de la pièce donc $a = 28$.

Donc $h(t)$ devient $f(t) = (180 - 28)\text{e}^{-6t} + 28 = 152\text{e}^{-6t} + 28$.
\item $f'Ct) = 152( -6)\text{e}^{-6t} = - 912\text{e}^{-6t}$. 

Or pour tout  $t \in [0~;~+\infty[, \text{e}^{-6t} > 0$ et $-912 < 0$, donc $f'(t) < 0$ sur $[0~;~+\infty[$. $f$ est décroissante sur $[0~;~+\infty[$.
\item $f(0,5) = \theta = 152\text{e}^{-6\times 0,5} + 28 = 152\text{e}^{-3} + 28 \approx  36$~\degres C.
\item On calcule $f(t) = 62 \iff  152\text{e}^{-6t} + 28 = 62 \iff  \text{e}^{-6t} = 62 - 28 \iff  \ln \left(\text{e}^{-6t}\right) = \ln \left(\dfrac{34}{152}\right)$

$\iff  - 6t = \ln \left(\dfrac{7}{61} \right) \iff  t = - \dfrac{1}{6}\ln \left(\dfrac{7}{61} \right) /approx  0,245$ soit environ  15 minutes.
\item On calcule $f(0,5) = 30 \iff  152\text{e}^{-3} + T_a = 30 \iff  T_a = 30 - 152\text{e}^{-3}$ soit environ  22\degres C.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2: \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(I) = p(A \cap I) + p(B \cap I) = 0,55 \times 0,026 + 0,45 \times 0,036 = \np{0,0305}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $X \to B(n~;~p)$ avec $n = 100$ et $p = 0,03$.
		
On veut savoir si une pipette a un défaut ou non, avec une probabilité de 3\,\% pour que la pipette ait
un défaut. D'où $X \to B(0,03)$.

On répète 100 fois de manière indépendante cette expérience de Bernoulli (le prélèvement est
assimilé à un tirage avec remise.).Donc $X \to B(100~;~0,03)$ et $p(X = k) = C_{100}^k \times 0,03^k \times 0,97^{100-k}$.
		\item $p(X \geqslant 1) = 1 - p(X < 1) = 1 - p(X = 0) \approx 0,952$.
	\end{enumerate}
\item On a $C \to \mathcal{N}(100~;~1,021)$.
	\begin{enumerate}
		\item $P(\text{Conformité}) = P(98 \leqslant C \leqslant 102) \approx 0,950$.
		\item On a $\np{1000} \times 0,950 = 950$, donc 950 pipettes sont conformes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On obtient $p_c = \dfrac{5}{200} = \dfrac{1}{40} = 0,025$.
\item $IC_{95\,\%} = \left[0,025 - 1,96 \sqrt{\dfrac{0,025 \times 0,975}{200}}~;~0,025 + 1,96 \sqrt{\dfrac{0,025 \times 0,975}{200}}\right]  \approx  [0,003~;~0,047]$.
\end{enumerate}
\end{document}