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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Rectifié par Y. Monceaux
%Correction de M. Hassnaoui
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du BTS}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{13 mai 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{Corrigé du BTS Métropole--Antilles--Guyane\\[6pt] 13 mai 2015 - groupement B}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $r^2+5r+4=0$ est une équation du second degré dont les solutions sont : $r_1 = -1$ et $r_2 = -4$
		\item D'après le rappel des formules, la solution générale, sur $[0~;~+\infty[$, de l'équation différentielle : 
    
\[y''+ 5y'+ 4y = 0~~\text{est }  y(x) = k_1\text{e}^{-x}+k_2\text{e}^{-4x}\]
    
où $k_1$ et $k_2$ sont deux constantes réelles.
	\end{enumerate}
\item Le résultat du logiciel de calcul formel permet de dire que $f$, la solution générale  sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle  

\[y'' + 5y' + 4y = 10\]

a pour expression :

\[f(x) = k_1\text{e}^{-x} + k_2\text{e}^{- 4x} + \dfrac{5}{2}\]

\text{où} $k_1$ \text{et} $k_2$ sont deux constantes réelles.

On a donc $f'(x) = - k_1\text{e}^{-x} + (- 4)k_2\text{e}^{- 4x} = - k_1\text{e}^{-x} - 4k_2\text{e}^{- 4x}$.

Déterminons la solution particulière telle que :

$\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)&=&5\\
f'(0)&=&- 1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
k_1 + k_2  + \dfrac{5}{2}&=&5\\
- k_1 - 4k_2&=&- 1
\end{array}\right.$, d'où par somme 

$- 3k_2 = \dfrac{3}{2} \iff k_2 = - \dfrac{1}{2}$.

Par substitution dans la première équation :

$k_1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}=5 \iff k_1 = 3$.

La solution particulière est définie par : $f(x) = 3\text{e}^{-x} -  \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 4x} + \dfrac{5}{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le graphique, la fonction $f : t\mapsto 3\text{e}^{-t}-0,5\text{e}^{-4t}+2,5$ semble décroissante sur $[0~;~+\infty[$
\item Pour tout $t \in  [0~;~+\infty[~~f'(t)=-\text{e}^{-4t}(3\text{e}^{3t}-2)$, comme $3\text{e}^{3t}-2>0$ sur $[0~;~+\infty[$, on sait également que pour tout $t\in [0~;~+\infty[,~~ \text{e}^{-4t}>0$, donc $f'(t)< 0$ sur $[0~;~+\infty[$, par conséquent $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$ 
\item Le développement limité de la fonction $f$, à l'ordre 2, au voisinage de $0$ est :
  $f(t)= 5 - t - \dfrac{5}{2}t^2+ t^2\epsilon(t)$, avec $\displaystyle\lim_{t\to 0}\epsilon(t) = 0$.
  \item $y = -t + 5$ est l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
  \item Pour l'étude de la positon relative de $T$ par rapport à $\mathcal{C}$, il suffit d'étudier le signe de $f(t) - (- t + 5)$ au voisinage de $0$.
  
D'après 2. a. $f(t)-(- t + 5)=-\dfrac{5}{2}t^2 + t^2\epsilon(t) = - t^2\left(\dfrac{5}{2} + \epsilon(t)\right)$, or $\dfrac{5}{2} + \epsilon(t)$ est positif car au voisinage de $0,~~\epsilon(t)$ est négligeable devant $\dfrac{5}{2}$. Donc signe 

($f(t) - (- t + 5)) = \text{signe}\left(- t^2\right)$, d'où $f(t) - (- t+ 5) \leqslant 0$, par conséquent $T$  est au dessus de $\mathcal{C}$.
\item $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}\text{e}^{-t}= \displaystyle\lim_{t\to +\infty}\text{e}^{- 4t} = 0$
      
par somme $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t) = 2,5$.
\item Cette limite indique que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote d'équation $y = 2,5$ au voisinage de $+ \infty$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf {C. Application au transfert de la pièce sur la tapis roulant}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item On peut observer que pour tout $t \in [0~;~+\infty[,~~ 2,5 < f(t)\leqslant 5$.
  
Le tapis est à 250 cm = 2,5 m du sol, la pièce peut être transférée dès qu'elle  se situe à 251~cm du sol soit 2,51~m. On cherche $t_0$ tel que $2,5\leqslant f(t)\leqslant 2, 51$, pour cela on trace la droite d'équation $y = 2,51$, cette droite coupe la courbe en un seul point d'abscisse $t_0$. Graphiquement on trouve $t_0 \simeq 5,7$
\item L'exécution de 3 étapes de cet algorithme donne les résultats suivants:
  
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  	
		&étape 1&étape 2 	&étape 3\\ \hline
$a$		&5		&	5,5		&5,5\\ \hline
$b$		&6		&	6		&5,75\\ \hline
$b - a$	&1	&0.5				&0,25\\ \hline
$m$		&	5,5	&	5,75	&5,625\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item L'amplitude de l'encadrement de $t_0$ fourni à l'issue des trois étapes vaut 0,25. Cette amplitude est supérieure à 0,1 ( condition d'arrêt de la boucle)
\end{enumerate}

La traduction  de cet algorithme avec \textbf{R-Project} donne :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\texttt{f<-function(x)\{3*exp(-x)-0.5*exp(- 4*x) + 2.5\}}\\
\texttt{a<-5; b<-6}\\
\texttt{while((b - a) > 0.1)\{m<-(a+b)/2; ifelse(f(m) > 2.51,a <- m,b <- m)\}}\\
\texttt{print(paste('a=',a,'et b=',b))}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
[1] \texttt{\og a= 5.6875 et b= 5.75 \fg}\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{A. Loi exponentielle}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on écrit: $T\sim > \mathcal{E}(\lambda=0,005)$, donc

$P(T\leqslant 100)=1-\text{e}^{- 0,005\times 100}\simeq 0,393$.
\item $E(T) = \dfrac{1}{0,005}=200$. Sur une longue période, la durée de fonctionnement moyenne entre deux calibrages est égale à 200 heures.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale et loi normale}
\bigskip

\begin{enumerate}
\item Chaque prélèvement d'un  rivet est une épreuve de Bernoulli, avec les deux évènements contraires : \textbf{succès} qui correspond à un rivet prélevé   \textbf{non conforme} et échec qui correspond à un rivet  conforme, d'après l'énoncé \textbf{P(succès)=0,01}. Cette \textbf{même épreuve} est \textbf{répétée 500 fois}, de plus les épreuves sont \textbf{indépendantes} car le prélèvement du lot de  500 rivets  est assimilé à un tirage avec remise. La variable aléatoire  $X$ qui est égale au nombre de succès, à l'issue de cette expérience aléatoire,  est la somme de 500 variables de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p = 0,01$. D'où $X$  suit la \textbf{loi binomiale de paramètres n =500 et p=0,01}. On écrit :$X\sim > \mathcal{B}(500~;~0,01)$
\item
\begin{enumerate}
\item $P(X= 0) = 0,007$. Il y a 7 chances sur \np{1000} d'avoir un rivet non conforme sur un lot de 500 rivets prélevés au hasard dans le stock.
\item On cherche $P(X\leqslant 7) = 0,868$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Si on approche $X$ par la variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale, celle-ci est caractérisée par ses paramètres $m=E(X)=np=500\times 0,01=5$ et $\sigma = \sqrt{np(1-p)}=\sqrt{5\times 0,99}\simeq 2,22$
\item $P(Y\leqslant 7,5)\simeq 0,870$, on sait que $P(X\leqslant 7)$ est approchée par $P(Y\leqslant 7,5)$ (correction de continuité). L'approximation est valable car l'écart est voisin de 0,002
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Test d'hypothèse}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\overline{Z}\sim>\mathcal{N}(45~;~0,015)$, d'après les résultats fournis $h = \np{0,0294}$
\item Règle de décision: On prélève un échantillon au hasard de taille $n = 100$ rivets, on calcule sa moyenne $\overline{z}$, si $\overline{z} \in [44,971~;~45,029]$, on accepte $H_0$ avec un risque de $5\%$, sinon on rejette $H_0$ avec le même risque.
\item Ici $\overline{z}= 45,03 \notin [44,971~;~45,029]$, on peut rejeter $H_0$ et conclure, avec un risque de $5\%$, que la livraison n'est pas conforme pour le diamètre.
\end{enumerate}
\end{document}