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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement A}}
\rfoot{\small{mai 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur ~\decofourright\\[5pt]Groupement A session 2008}}
  
\bigskip

\textbf{Spécialités CIRA, IRIST, Systèmes électroniques et TPIL}
\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}


\begin{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
 \item On a $e(t)=U(t)$ alors $E(p)=\frac{1}{p}$.\\
On obtient alors 
\begin{align*}
S(p)&=\frac{1}{p(1+2p)}\\
&=\frac{1}{2}\frac{1}{p\left(p+\dfrac{1}{2}\right)}
\end{align*}

\item On a, par réduction au même dénominateur,
\begin{align*}
\frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{p+\dfrac{1}{2}}&=\frac{\alpha\left(p+\dfrac{1}{2
} \right)+\beta p}{p\left(p+\dfrac{1}{2}\right)}\\
&=\frac{(\alpha+\beta)p+\dfrac{\alpha}{2}}{p\left(p+\dfrac{1}{2}\right)}
\end{align*}
Par identification avec la relation de la question précédente, on obtient le
système
\[\left\{
 \begin{aligned}
\alpha+\beta&=0\\
\frac{\alpha}{2}&=\frac{1}{2}
 \end{aligned}
\right.
\] 
d'où
\[\left\{\begin{aligned}
 \alpha&=1\\
\beta&=-1
 \end{aligned}
\right.\]

c'est-à-dire

\[S(p)=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+\dfrac{1}{2}}\]

\item L'originale de $\frac{1}{p}$ est la fonction échelon unité $U(t)$ et
l'originale de $\frac{1}{p+\dfrac{1}{2}}$ est $\text{e}^{-\frac{t}{2}}U(t)$. Alors

\[s(t)=\left(1-\text{e}^{-\frac{t}{2}}\right)U(t)\]

\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
 \item On a 
\begin{align*}
 F(z)&=H\left(\frac{10z-10}{z+1}\right)\\
&=\frac{1}{1+2\frac{10z-10}{z+1}}\\
&=\frac{z+1}{(z+1)+2(10z-10)}\\
&=\frac{z+1}{21z-19}
\end{align*}
\item On a $x(n)=U(0,2n)$ alors $X(z)=\frac{z}{z-1}$
\item On obtient alors $Y(z)=\frac{z(z+1)}{(z-1)(21z-19)}$.\\
On a, par réduction au même dénominateur,  
\begin{align*}
\frac{z}{z-1}-\frac{20}{21}\left(\frac{z}{z-\dfrac{19}{21}}\right)&=\frac{z}{z-1
}-\frac{20z}{21z-19}\\
&=\frac{z(21z-19)-20z(z-1)}{(z-1)(21z-19)}\\
&=\frac{z(z+1)}{(z-1)(21z-19)}\\
&=Y(z)
\end{align*}
L'originale de $\frac{z}{z-1}$ est $e(n)=1$ et l'originale de
$\frac{z}{z-\frac{19}{21}}$ est $\left(\frac{19}{21}\right)^n$, par conséquent,
on obtient
\[y(n)=1-\frac{20}{21}\left(\frac{19}{21}\right)^n\quad\text{pour tout nombre
entier naturel
}n\]
\end{enumerate}
\item Annexe complétée :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\hline
\hspace{0.5cm}$n$\hspace{0.5cm} &\hspace{1cm} $y(n)$\hspace{1cm} &\hspace{0.5cm}
$t=0,2n$ \hspace{0.5cm}&\hspace{1cm} $s(t)\hspace{1cm}$\\
\hline
0&0,048&0&0\\
\hline
1&0,138&0,2&0,095\\
\hline
5&0,423&1&0,393\\
\hline
10&0,650&2&0,632\\
\hline
15&0,788&3&0,777\\
\hline
20&0,871&4&0,865\\
\hline
25&0,922&5&0,918\\
\hline
50&0,994&10&0,993\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\textbf{Spécialités Électrotechnique et Génie optique}
\end{center}

\textbf{Exercice 2}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représentation graphique de la fonction $e$ :
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4.5,-1)(6.5,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](-4,-1)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-4.5,-1)(6.5,6)
%\grille{-4}{0}{6}{5}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.75pt]{-[}(-4,0)(0,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.75pt]{[-[}(0,4)(2,4)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.75pt]{[-}(2,0)(6,0)
\end{pspicture}
\end{center}

		\item On a 

\[\mathcal{L}{U(t)}=\frac{1}{p}\quad\text{et}\quad\mathcal{L}{U(t-2)}=\mathcal{L}{U(t)}
\text{e}^
{-2p}=\frac{1}{p}\text{e}^{-2p}\]
d'où
\[E(p)=\frac{4}{p}\left(1-\text{e}^{-2p}\right)\]
	\end{enumerate}
\item On a 
\begin{align*}
\mathcal{L}{s'(t)} & =pS(p)-s(0)\quad\text{avec } s(0)=0\\
& =pS(p)
\end{align*}
d'où, en prenant la transformée de Laplace de l'équation différentielle,
\begin{align*}
4pS(p)+S(p)&=E(p)\\
4\left(p+\frac{1}{4}\right)S(p)&=E(p)\\
4\left(p+\frac{1}{4}\right)S(p)&=\frac{4}{p}\left(1-\text{e}^{-2p}\right)\\
S(p)&=\frac{1}{p\left(p+\dfrac{1}{4}\right)}\left(1-\text{e}^{-2p}\right)
\end{align*}
\item On a, par réduction au même dénominateur,
\begin{align*}
\frac{a}{p}+\frac{b}{p+\dfrac{1}{4}}&=\frac{a\left(p+\dfrac{1}{4
} \right)+b p}{p\left(p+\dfrac{1}{4}\right)}\\
&=\frac{(a+b)p+\dfrac{a}{4}}{p\left(p+\dfrac{1}{4}\right)}
\end{align*}
Par identification avec la relation demandée, on obtient le système
\[\left\{\begin{aligned}
a+b&=0\\
\frac{a}{4}&=1
\end{aligned}
\right.\]

d'où

\[\left\{\begin{aligned}
a&=4\\
b&=-4
\end{aligned}\right.\]

c'est-à-dire

\[S(p)=\frac{4}{p}-\frac{4}{p+\dfrac{1}{4}}\]

\item Par lecture de la table des transformées de Laplace, on a :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
&&&&\\
$F(p)$&$\frac{1}{p}$&$\frac{1}{p}\text{e}^{-2p}$&$\frac{1}{p+\frac{1}{4}}$&$\frac{1}{
p+\frac{1}{4}}\text{e}^{-2p}$\\
&&&&\\\hline
&&&&\\
$f(t)$&$U(t)$&$U(t-2)$&$\text{e}^{-\frac{t}{4}}U(t)$&$\text{e}^{-\frac{t-2}{4}}U(t-2)$\\
&&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du tableau précédent, on obtient alors pour tout réel $t$,

\[s(t)=4\left[1-\text{e}^{-\frac{t}{4}}\right]U(t)-4\left[1-\text{e}^{-\frac{t-2}{4}}\right]U(t-2)\]

		\item Par conséquent,
\begin{itemize}
\item comme $U(t)=0$ pour $t<0$, on a $s(t)=0$ pour $t<0$ ;
\item $U(t)=1$ pour $t\geqslant 0$ et $U(t-2)=0$ pour $t<2$, alors
$s(t)=4\left(1-\text{e}^{-\frac{t}{4}}\right)$ pour $0\leqslant t<2$ ;
\item pour $t\geqslant 2$, $U(t)=1$ et $U(t-2)=1$, alors
\begin{align*}
s(t)&=4\left(1-\text{e}^{-\frac{t}{4}}\right)-4\left(1-\text{e}^{-\frac{t-2}{4}}\right)\\
&=-4\text{e}^{-\frac{t}{4}}+4\text{e}^{-\frac{t-2}{4}}\\
&=-4\text{e}^{-\frac{t}{4}}+4\text{e}^{-\frac{t}{4}}\text{e}^{\frac{1}{2}}\\
&=4\text{e}^{-\frac{t}{4}}\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}-1\right)
\end{align*}
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $s$ est dérivable sur $]0\,;\,2[$ et
$s'(t)=\text{e}^{-\frac{t}{4}}$, expression strictement positive sur $]0\,;\,2[$, par
conséquent la fonction $s$ est strictement croissante sur $[0\,;\,2[$.
		\item On a $\lim_{t\to 2}\text{e}^{-\frac{t}{4}}=\text{e}^{-\frac{1}{2}}$ alors
$\lim_{\substack{t \to 2 \\ t<2}}s(t)=4\left(1-\text{e}^{-\frac{1}{2}}\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $s$ est dérivable sur l'intervalle $]2\,;\,+\infty[$ et on a 

\[s'(t)=-\text{e}^{-\frac{t}{4}}\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}-1\right)\]

avec $\text{e}^{\frac{1}{2}}-1>0$, alors $s'(t)<0$ c'est-à-dire que la fonction $s$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$.
		\item On a, à l'aide du théorème sur la limite des fonctions composées, $\lim_{t\to +\infty}\text{e}^{-\frac{t}{4}}=0$ alors
\[\lim_{t\to +\infty}s(t)=0\]
	\end{enumerate}
\item Courbe représentative de la fonction $s$ :
\begin{center}
\psset{unit=0.85cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2.2,-1)(11.2,3)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](-2,-1)(11,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.2,-1)(11.2,3)
%\grille{-2}{0}{11}{2}
\psline[linecolor=red](-2,0)(0,0)
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{2}{4*(1-2.71828^(-.25*x))}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{2}{11}{4*2.71828^(-.25*x)*.6487}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\bigskip

\textbf{Partie A : }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comme $E = 2$, on a 

\[f(t)=\left\{
\begin{aligned}
&2\times t &\text{si } &0\leqslant t<1\\
&t+1 &\text{si } &1\leqslant t<2\\
&3 & \text{si } &2\leqslant t\leqslant\frac{5}{2}
\end{aligned}\right.\]

\item Représentation graphique :
\begin{figure}[!h]
\centering
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(11,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](-6,-1)(11,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-1)(11,4)
%\grille{-6}{-1}{11}{4}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.25pt](-5,0)(-4,2)(-3,3)(-2,3)(-1,2)(0,0)(1,2)(2,3)(3,3)(4,2)(5,0)(6,2)(7,3)(8,3)(9,2)(10,0)
\end{pspicture}
\end{figure}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a 
\begin{align*}
a_0 &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\:\text{d}t\\
&=\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t)\:\text{d}t \quad \text{la fonction est
paire}\\%
&=\frac{2}{5}\left[\int_0^1 Et\:\text{d}t+ \int_1^2\left[(3-E)t+2E-3\right]\:\text{d}t
+\int_2^{\frac{5}{2}} 3 \:\text{d}t\right]\\
&=\frac{2}{5}\left[\left[\frac{Et^2}{2}\right]_0^1+\left[(3-E)\frac{t^2}{2}
+(2E-3)t\right]_ 1^2+3\left(\frac{5}{2}-2\right)\right]\\
&=\frac{2}{5}(E+3)\\
&=2\frac{E+3}{5}
\end{align*}
\item Comme la fonction $f$ est paire, alors, pour tout nombre entier $n$
supérieur ou égal à 1, $b_n=0$.
\item
\begin{enumerate}
 \item On intègre par parties en posant 
\begin{align*}
 u(t)&=t &\text{ alors } &\quad u'(t)=1\\
v'(t)&=\cos \left(\frac{2n\pi}{5}t\right) & \text{ alors }& \quad
v(t)=\frac{5}{2n\pi}\sin \left(\frac{2n\pi}{5}t\right)
\end{align*}
d'où
\begin{align*}
\int_0^1 t\cos\left(\frac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}
t&=\left[\frac{5t}{2n\pi}\sin\left(\frac{2n\pi}{5}t\right)
\right]_ 0^1-\frac{5}{2n\pi}\int_0^1\sin\left(\frac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}
t\\
&=\frac{5}{2n\pi}\sin\left(\frac{2n\pi}{5}\right)-\frac{5}{2n\pi}\left[-\frac{5}
{2n\pi}\cos\left(\frac{2n\pi}{5}t\right)\right]_0^1\\
&=\frac{5}{2n\pi}\sin\left(\frac{2n\pi}{5}\right)+\frac{25}{4n^2\pi^2}\left(\cos
\left(\frac{2n\pi}{5}\right)-1\right)
\end{align*}
\item On a 
\begin{align*}
a_n&=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos\left(\frac{2n\pi}{5}
\right) \:\text{d} t\quad \text{or } f \text{ est paire }\\
&=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos\left(\frac{2n\pi}{5}
\right) \:\text{d} t\quad \text{ avec } T=5\\
&=\frac{4}{5}\int_0^{\frac{5}{2}}f(t)\cos\left(\frac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}
t\end{align*}
alors avec le résultat énoncé,
\[a_n=\frac{5}{n^2\pi^2}\left((2E-3)\cos\left(\frac{2n\pi}{5}
\right)+(3-E)\cos\left(\frac{4n\pi}{5}\right)-E\right).\]
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
 \item On a $u_5(t)=a_5\cos\left(\frac{2n\pi}{5}t\right)$ avec $a_5$ donné par
la formule précédente.
\begin{align*}
a_5&=\frac{5}{5^2\pi^2}\left((2E-3)\cos\left(\frac{2\times 5\pi}{5}
\right)+(3-E)\cos\left(\frac{4\times 5\pi}{5}\right)-E\right)\\
&=\frac{5}{5^2\pi^2}\left((2E-3)\cos(2\pi)+(3-E)\cos(4\pi)-E\right)\\
&=0 \quad \text{car }\cos(2\pi)=\cos(4\pi)=1
\end{align*}
\item On a 
\begin{align*}
a_3&=\frac{5}{9\pi^2}\left((2E-3)\cos\left(\frac{6\pi}{5}
\right)+(3-E)\cos\left(\frac{12\pi}{5}\right)-E\right)\\
&=\frac{5}{9\pi^2}\left[\left(2\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right)-\cos\left(\frac{
12\pi}{5}\right)-1\right)E-3\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right)+3\cos\left(\frac{
12\pi}{5}\right)\right]
\end{align*}
Et on veut que $u_3(t)=0$ pour tout réel $t$ alors 
\[\left(2\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right)-\cos\left(\frac{
12\pi}{5}\right)-1\right)E_0-3\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right)+3\cos\left(\frac{
12\pi}{5}\right)=0\]
D'où
\begin{align*}
E_0&=3\frac{\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right)-\cos\left(\frac{12\pi}{5}\right)}{
2\cos\left(\frac{6\pi}{5}\right)-\cos\left(\frac{12\pi}{5}\right)-1}\\
&\approx 1,15
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}