\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-func,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement E}, pdftitle = {septembre 2020 Concepteur en art et industrie céramique,Design de communication espace et volume, Design d'espace, Design de produits}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small Groupement E} \rfoot{\small{mai 2021}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur -- mai 2021~\decofourright\\[5pt] Groupement E -- }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Un créateur conçoit un flacon contenu dans un écrin en forme de pyramide. L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk{} d'unité graphique 1~cm. On considère les points A(6~;~0~;~0), B(6~;~6~;~0) et C(0~;~6~;~0). %On complètera, au fur à mesure, la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie. %\medskip \begin{enumerate} \item On considère la pyramide régulière SOABC d'arête de longueur 6 cm représentée sur la figure de l'annexe. \begin{enumerate} \item Le point S$'$au centre du carré OABC, est le point d'intersection de [OB] et de [AC]. Voir figure. \item On admet que la droite (SS$'$) est orthogonale au plan (OAB). %Calculer la valeur exacte de la distance SS$'$. Le triangle SS$'$B est rectangle en S$'$ donc, d'après le théorème de Pythagore, on a:\\ $\text{SS}'^2+\text{BS}'^2=\text{BS}^2$. OABC est un carré de côté 6 donc sa diagonale OB est égale à $6\sqrt{2}$; donc $\text{BS}'=3\sqrt{2}$. De plus $\text{BS}=6$; donc: $\text{SS}'^2+ \left (3\sqrt{2}\right )^2 = 6^2$ donc $\text{SS}'^2=36-18=18$ et donc $\text{SS}'=\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ \item %Déterminer les coordonnées du point S$'$ puis montrer que celles du point S sont S$\left(3~;~3~;~3\sqrt{2}\right)$. Le point B a pour coordonnées (3~;~3~;~0). Le point S$'$ est le milieu de [OB] donc $x_{\text{S}'} = \dfrac{x_{\text{O}}+x_{\text{B}}}{2}=\dfrac{6}{2}=3$; $y_{\text{S}'} = \dfrac{y_{\text{O}}+y_{\text{B}}}{2}=\dfrac{6}{2}=3$ et $z_{\text{S}'} = \dfrac{z_{\text{O}}+z_{\text{B}}}{2}= 0$ Le point S$'$ a donc pour coordonnées $\left (3~;~3~;~0\right )$. La droite (SS$'$) est orthogonale au plan (OAB) qui est le plan \Oij{}; donc la droite est parallèle à l'axe $\left (\text O~;~\vect k\right )$. Ce qui entraîne que les points S et S$'$ ont même abscisse et même ordonnée. La cote de S est égale à SS$'$ donc égale à $3\sqrt{2}$. Le point S a donc pour coordonnées $\left (3~;~3~;~3\sqrt{2}\right )$. \end{enumerate} \item M, N, P, Q sont définis par: $\vect{\text{SM}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{SO}} ~;~ \vect{\text{SN}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{SA}} ~;~ \vect{\text{SP}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{SB}}~;~\vect{\text{SQ}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{SC}}.$ \begin{enumerate} \item On place les points M, N, P et Q sur la figure. On admet que SMNPQ est une pyramide à base carrée de hauteur $h = \dfrac{1}{3} \text{SS}'$. \item% Calculer la longueur du côté du carré MNPQ. $\vect{\text{SM}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{SO}} ~;~ \vect{\text{SN}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{SA}}$ donc $\vect{\text{SN}} -\vect{\text{SM}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{SA}} - \dfrac{1}{3}\vect{\text{SO}}$ donc $\vect{\text{MN}} = \dfrac{1}{3} \vect{\text{OA}}$ On en déduit que ${\text{MN}} = \dfrac{1}{3} {\text{OA}}$ donc $\text{MN}=2$. La longueur, en cm, du côté du carré MNPQ est 2. \item Le volume de la pyramide SMNPQ est, en cm$^3$: $\mathcal{V}_{\text{SMNPQ}} = \dfrac{1}{3} \left (\text{aire MNPQ}\right )\times \left ( \text{hauteur}\right ) = \dfrac{1}{3}\times 2^2 \times \dfrac{1}{3}\text{SS}' = \dfrac{1}{3}\times 4 \times \dfrac{1}{3}\times 3\sqrt{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}$ %(On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\dfrac{1}{3} \times B \times h$ , où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.) \end{enumerate} \item On considère les points U(2~;~0~;~0), V(0~;~2~;~0) ainsi que le point W tel que $\vect{\text{OW}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{OS}}$. \begin{enumerate} \item %Déterminer les coordonnées du point W, puis celles des vecteurs $\vect{\text{WU}}$ et $\vect{\text{WV}}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\vectt{OW} = \dfrac{1}{3}\vectt{OS}$ donc $\left \lbrace \begin{array}{r !{=} l !{=} l !{=} l } x_{\text W} & \frac{1}{3} x_{\text S} & \frac{1}{3}\times 3 & 1\\[7pt] y_{\text W} & \frac{1}{3} y_{\text S} & \frac{1}{3}\times 3 & 1\\[7pt] z_{\text W} & \frac{1}{3} z_{\text S} & \frac{1}{3}\times 3\sqrt{2} & \sqrt{2}\\ \end{array} \right .$ Donc W a pour coordonnées $\left (1~;~1~;~\sqrt{2}\right )$. \item $\vectt{WU}$ a pour coordonnées $\left \lbrace \begin{array}{r !{=} l !{=} r} x_{\text U} - x_{\text W} & 2-1 & 1\\ y_{\text U} - y_{\text W} & 0-1 & -1\\ z_{\text U} - z_{\text W} & 0-\sqrt{2} & -\sqrt{2}\\ \end{array} \right .$ \item $\vectt{WV}$ a pour coordonnées $\left \lbrace \begin{array}{r !{=} l !{=} r} x_{\text V} - x_{\text W} & 0-1 & -1\\ y_{\text V} - y_{\text W} & 2-1 & 1\\ z_{\text V} - z_{\text W} & 0-\sqrt{2} & -\sqrt{2}\\ \end{array} \right .$ \end{list} \item %En déduire que le triangle UVW est rectangle isocèle. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\text{WU}^2 = \left |\left | \vectt{WU} \right |\right |^2=1^2+(-1)^2+\left (-\sqrt{2}\right )^2 = 4$ donc $\text{WU}=2$ \item $\text{WV}^2 = \left |\left | \vectt{WV} \right |\right |^2=(-1)^2+1^2+\left (-\sqrt{2}\right )^2 = 4$ donc $\text{WV}=2$ \item $\text{UV}^2 = \left (x_{\text V} - x_{\text U} \right )^2 + \left (y_{\text V} - y_{\text U} \right )^2 + \left ( z_{\text V} - z_{\text U} \right )^2 = \left ( 0-2\right )^2 + \left (2-0 \right )^2 + \left (0-0 \right )^2 = 8$ \end{list} On en déduit que $\text{WU} = \text{WV}$ donc que le triangle UVW est isocèle. Or $8=4+4$ donc $\text{UV}^2 = \text{WU}^2 + \text{WV}^2$ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle UVW est rectangle en W. On peut donc dire que le triangle UVW est isocèle rectangle en W. \item Le point R est le milieu du segment [UV] donc: $\left \lbrace \begin{array}{r !{=} l !{=} l !{=} l } x_{\text R} & \dfrac{x_{\text U} + x_{\text V}}{2} & \dfrac{2+0}{2} & 1\\[7pt] y_{\text R} & \dfrac{y_{\text U} + y_{\text V}}{2} & \dfrac{0+2}{2} & 1\\[7pt] z_{\text R} & \dfrac{z_{\text U} + z_{\text V}}{2} & \dfrac{0+0}{2} & 0\\ \end{array} \right .$ \item On admet que (OR) est une hauteur du tétraèdre OUVW. %Calculer l'aire du triangle UVW puis le volume du tétraèdre OUVW. \begin{list}{\textbullet}{} \item Le triangle UVW est rectangle en W donc son aire vaut en cm$^2$: $\mathcal{A}_{\text{UVW}}=\dfrac{\text{WU} \times \text{WV}}{2}=\dfrac{2\times 2}{2}=2$. \item Le volume du tétraèdre OUVW vaut $\mathcal{V}_{\text{OUVW}}=\dfrac{\mathcal{A}_{\text{UVW}}\times \text{OR}}{3}$. $\text{OR}^2 = \left (x_{\text R}-x_{\text O}\right )^2 + \left (y_{\text R}-y_{\text O}\right )^2 + \left (z_{\text R}-z_{\text O}\right )^2 = 1^2+1^2+0^2=2$ donc $\text{OR}=\sqrt{2}$ Donc $\mathcal{V}_{\text{OUVW}}= \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$~cm$^3$. \end{list} \end{enumerate} \item Par tronçonnage en chaque sommet O, A, B, C, on enlève à la pyramide initiale un tétraèdre analogue au tétraèdre OUVW. Par tronçonnage en S, on enlève la pyramide SMNPQ. On obtient ainsi un solide inscrit dans la pyramide initiale. Ce solide représente un flacon. \begin{enumerate} \item Sur la même figure, on dessine ce flacon en traits pleins en couleur. \item On calcule la valeur exacte du volume du flacon. \begin{list}{\textbullet}{} \item La pyramide SOABC a pour volume: $\mathcal{V}_{\text{SOABC}} = \dfrac{1}{3}\times \mathcal{A}_{\text{OABC}}\times\text{SS}'=\dfrac{1}{3}\times 6^2 \times 3\sqrt{2}= 36\sqrt{2}$. \item La pyramide SMNPQ a pour volume: $\mathcal{V}_{\text{SMNPQ}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$. \item Le tétraèdre OUVW a pour volume: $\mathcal{V}_{\text{OUVW}}= \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Il faut retirer 4 fois ce volume du volume total de la pyramide SOABC. \end{list} Le volume, en cm$^3$, du flacon est donc: $\mathcal{V} = \mathcal{V}_{\text{SOABC}} - \mathcal{V}_{\text{SMNPQ}} - 4\times \mathcal{V}_{\text{OUVW}}\\ \phantom{\mathcal{V}} = 36\sqrt{2} - \dfrac{4\sqrt{2}}{3} - 4\times \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = 36\sqrt{2} - \dfrac{4\sqrt{2} + 8\sqrt{2}}{3} = 36\sqrt{2} - \dfrac{12\sqrt{2}}{3} = 36\sqrt{2} - 4\sqrt{2}\\ \phantom{\mathcal{V}} = 32\sqrt{2}$. \item On détermine la nature géométrique de chacune des faces de ce flacon. \begin{list}{\textbullet}{} \item Le dessous du flacon est un carré de côté 6~cm auquel on a retiré les 4 coins; c'est donc un octogone. \item Les 4 faces latérales sont des triangles équilatéraux de côtés 6~cm auxquels on a retiré des triangles à chaque sommet; ce sont donc des hexagones. \item Les 4 faces latérales sont reliées au fond du flacon par 4 triangles isocèles rectangles. \item Enfin le dessus du flacon est un carré de côté 2~cm. \end{list} Voir le patron du flacon (non demandé dans ce devoir) en fin de document. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large EXERCICE 2 \hfill 10 points} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les points : \hfill$\text{A}(6~;~2)~;~\text{B}(3~;~5)~;~\text{C}(0~;~4)~ \text{et D}(9~;~- 1).$\hfill{} %L'objectif est de tracer la courbe de Bézier associée aux points de contrôles A, B, C et D. %\medskip \begin{enumerate} \item On note $\Gamma$ la courbe de Bézier associée aux points de contrôles A, B, C et D. \begin{enumerate} \item D'après la définition des courbes de Bézier à quatre points de contrôle, la courbe $\Gamma$ passe par les points A et D, et ne passe ni par B ni par C. \item \begin{list}{\textbullet}{D'après la définition des courbes de Bézier à quatre points de contrôle:} \item la droite (AB) est tangente en A à la courbe $\Gamma$; \item la droite (DC) est tangente en D à la courbe $\Gamma$. \end{list} \end{enumerate} \item La courbe $\Gamma$ est l'ensemble des points M$(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] : \hfill{}$\vect{\text{OM}(t)} = (1 - t)^3 \vect{\text{OA}} +3t(1 - t)^2\vect{\text{OB}} + 3t^2(1 - t)\vect{\text{OC}} + t^3 \vect{\text{OD}}.$\hfill{} \begin{enumerate} \item% Démontrer que les coordonnées $x$ et $y$ des points M$(t)$ de cette courbe ont pour expression: $\vect{\text{OM}(t)} = (1 - t)^3 \vect{\text{OA}} +3t(1 - t)^2\vect{\text{OB}} + 3t^2(1 - t)\vect{\text{OC}} + t^3 \vect{\text{OD}}$ $\iff \left\lbrace \begin{array}{l} x_{\text{M}(t)} = (1 - t)^3 x_{\text{A}} +3t(1 - t)^2 x_{\text{B}} + 3t^2(1 - t)x_{\text{C}} + t^3 x_{\text{D}}\\ y_{\text{M}(t)} = (1 - t)^3 y_{\text{A}} +3t(1 - t)^2 y_{\text{B}} + 3t^2(1 - t) y_{\text{C}} + t^3 y_{\text{D}} \end{array} \right .$ $\iff \left\lbrace \begin{array}{l} x_{\text{M}(t)} = (1 - t)^3 \times 6 +3t(1 - t)^2 \times 3 + 3t^2(1 - t)\times 0 + t^3 \times 9\\ y_{\text{M}(t)} = (1 - t)^3 \times 2 +3t(1 - t)^2 \times 5 + 3t^2(1 - t) \times 4 + t^3\times(-1) \end{array} \right .$ $\iff \left\lbrace \begin{array}{l} x_{\text{M}(t)} = 6\left (1-3t+3t^2-t^3\right ) +9t\left (1-2t+t^2\right ) + 0 + 9 t^3 \\ y_{\text{M}(t)} = 2\left (1-3t+3t^2-t^3\right ) +15t\left (1-2t+t^2\right ) + 12 \left (t^2 - t^3\right ) - t^3 \end{array} \right .$ $\iff \left\lbrace \begin{array}{l} x_{\text{M}(t)} = 6-18t+18t^2- 6t^3 +9t- 18t^2+9t^3+ 9 t^3 \\ y_{\text{M}(t)} = 2-6t+6t^2-2t^3 +15t-30t^2+15t^3 + 12 t^2 - 12t^3 -t^3 \end{array} \right .$ $\iff \left\lbrace \begin{array}{l} x_{\text{M}(t)} = 6-9t+ 12 t^3 \\ y_{\text{M}(t)} = 2+9t-12t^2 \end{array} \right .$ donc les coordonnées $x$ et $y$ des points M$(t)$ de cette courbe ont pour expression: \hfill{}$x = f(t)=12t^3- 9t + 6 \text{ et } y = g(t) = -12t^2 + 9t + 2.$\hfill{} \item On étudie les variations des fonctions $f$ et $g$ définies pour $t$ dans l'intervalle [0~;~1] par : $f(t) = 12t^3 - 9t + 6 $ et $g(t) = -12t^2 + 9t + 2$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $f'(t)=12\times 3t^2-9=36t^2-9 = 9\left (4t^2-1\right )=9\left (2t-1\right )\left (2t+1\right )$ \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{1.5cm}} $\begin{array}{|c | *{5}{c} |} \hline t & 0 & \esp & \frac{1}{2} & \esp & 1 \\ \hline 2t-1 & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\ \hline 2t+1 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \\ \hline f'(t)=9\left (2t-1\right )\left (2t+1\right ) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item $g'(t)=-12\times 2t +9 = -24t+9 = -3\left (8t-3\right )$ \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{1.5cm}} $\begin{array}{|c | *{5}{c} |} \hline t & 0 & \esp & \frac{3}{8} & \esp & 1 \\ \hline 8t-3 & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\ \hline g'(t)=-3\left (8t-3\right ) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\ \hline \end{array}$ \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} \end{list} On rassemble les résultats dans un tableau unique. $f(0)=6$; $f\left ( \frac{1}{2}\right )=3$; $f(1)=9$ et $g(0)=2$; $g\left (\frac{3}{8}\right )=\dfrac{59}{16}$; $g(1)=-1$ \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \def\esp{\hspace*{1.5cm}} \psset{radius=0pt,arrowscale=1.5,nodesep=5pt} $\begin{array}{|c | *{7}{c} |} \hline t & 0 & \esp & \frac{3}{8} & \esp & \frac{1}{2} & \esp & 1 \\ \hline f'(t) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\ \hline %%% & \Rnode{A}{6} & & & & & & \Rnode{C}{9}\\ f(t) & & & & & & &\\ & & & & &\Rnode{B}{3} & & \ncline{->}{A}{B} \ncline{->}{B}{C}\\ \hline g'(t) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} &\\ \hline & & & \Rnode{E}{\frac{59}{16}} & & & &\\ g(t) & & & & & & &\\ & \Rnode{D}{2} & & & & & &\Rnode{F}{-1} \ncline{->}{D}{E} \ncline{->}{E}{F}\\ \hline \end{array}$ \end{center} \item %\emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples.\\ %Une seule réponse est correcte.\\ %Recopier sur la copie la réponse qui vous parait correcte.\\ %On ne demande aucune justification.} % %\emph{La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} La courbe $\Gamma$ admet au point S, obtenu pour $t = \dfrac{1}{2}$, une tangente de vecteur directeur : \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $3\vect{\imath} + 3,5\vect{\jmath}$&$\dfrac{1}{2}\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$ \rule[-12pt]{0pt}{30pt} &$\vect{\imath}$& \fbox{$\blue\vect{\jmath}$} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} %\renewcommand\arraystretch{1} \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} $f'\left (\frac{1}{2}\right ) = 0$ et $g' \left (\frac{1}{2}\right ) =-3 \neq 0$ donc la courbe admet au point S une tangente verticale donc de vecteur directeur $\vect j$. \end{tabular} \end{enumerate} \item On trace les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$, les tangentes au point S et au point de paramètre $t = \dfrac{3}{8}$, puis la courbe $\Gamma$. \begin{center} \psset{unit=0.9cm,arrowscale=1.5,radius=2pt} \def\xmin {-1} \def\xmax {10} \def\ymin {-2} \def\ymax {6} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %%% Points de contrôle \Cnode*(6,2){A} \Cnode*(3,5){B} \Cnode*(0,4){C} \Cnode*(9,-1){D} \uput[ur](A){A} \uput[ur](B){B} \uput[ur](C){C} \uput[dr](D){D} %%% Tracé \psbezier[showpoints=false](A)(B)(C)(D) %%% Tracé en paramétrique %\parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=1000]{0}{1}{t 12 t t mul mul 9 sub mul 6 add t -12 t mul 9 add mul 2 add} %%% \psset{linecolor=blue} \psdots(3.25781,3.6875)(3,3.5) \uput[dl](3,3.5){\blue S} \psline{<->}(3,2.5)(3,4.5) \psline{<->}(1.5,3.6875)(5.5,3.6875) \psline[linestyle=dashed]{->}(A)(B) \psline[linestyle=dashed]{->}(D)(C) \end{pspicture} \end{center} \item Un étudiant a voulu tracer la courbe $\Gamma$ à l'aide d'un logiciel, en y entrant les points de contrôle. \textbf{Ce tracé, donné ci-dessous, est faux}. \begin{center} \psset{unit=0.9cm,radius=2pt,arrowscale=1.5} \begin{pspicture}(-1,-1.5)(10,6) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-1.5)(10,6) %%% Points de contrôle \Cnode*(6,2){A} \Cnode*(3,5){B} \Cnode*(0,4){C} \Cnode*(9,-1){D} \uput[ur](A){A} \uput[ur](B){B} \uput[60](C){C} \uput[dr](D){D} %%% Tracé de la courbe \psbezier[linecolor=blue](A)(C)(B)(D) %%% Tangentes \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](A)(C) \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](D)(B) \end{pspicture} \end{center} %En s'aidant de considérations graphiques, expliquer l'erreur que cet étudiant a pu commettre en entrant les informations dans le logiciel. D'après le graphique, les droites (AC) et (BD) (tracées en tirets rouges sur la figure) semblent tangentes à la courbe tracée, donc la courbe tracée est probablement la courbe de Bézier correspondant aux points de contrôle A, C, B, D; l'erreur vient de la permutation des points B et C. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Exercice 1} % %\vspace{1.5cm} \bigskip \psset{unit=1cm,arrowscale=1.6,radius=2pt} \begin{pspicture}(-5,-2)(8.5,5) %%% \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{->}(-5,0.544)(8.3,-0.903) \multido{\n=-4.412+1.103,\na=0.49+-0.12}{12}{\psdots(\n,\na)} \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=green]{->}(-3.8,-2)(4,2.23) \multido{\n=-3.02+0.50,\na=-1.57+0.27}{14}{\rput(\n,\na){\pscircle*[linecolor=green](0,0){0.05}}} \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=blue]{->}(0,-2.6)(0,5) \multido{\n=-2.3+1.2}{6}{\rput(0,\n){\pscircle*[linecolor=blue](0,0){0.05}}} %%% \Cnode*(-3.02,-1.57){A} \uput[d](A){A} \Cnode*(3.55,-2.3){B} \uput[d](B){B} \Cnode*(6.62,-0.72){C} \uput[d](C){C} \Cnode*(1.8,3.8){S} \uput[u](S){S} \Cnode*(0,0){O} \uput[ul](O){O} %%% \pspolygon[linewidth=1.25pt](A)(B)(C)(S)%ABCS \psline(B)(S)%BS \psline[linestyle=dashed](O)(S) %%%% \psset{linestyle=dashed,linecolor=blue} \psline(A)(C)%%% AC \psline(O)(B)%%% OB \Cnode*(1.8,-1.15){SS} \uput[-100](SS){\blue S$'$} \psline(S)(SS) \Cnode*(1.2,2.53){M} \uput[dr](M){\blue M} \Cnode*(0.193,2.01){N} \uput[dr](N){\blue N} \Cnode*(2.38,1.77){P} \uput[dl](P){\blue P} \Cnode*(3.41,2.29){Q} \uput[ur](Q){\blue Q} \psline(M)(N)(P)(Q)(M) %%%%%%%%%%%%%% \psset{radius=0pt,linecolor=red,linewidth=1.3pt,linestyle=solid} \Cnode*(-1.01,-0.523){X1} \Cnode*(-2.01,-1.047){X2} \Cnode*(-1.413,0.22){X3} \Cnode*(-0.83,-1.813){X4} \Cnode*(1.36,-2.057){X5} \Cnode*(2.97,-0.267){X6} \Cnode*(4.573,-1.773){X7} \Cnode*(5.597,-1.247){X8} \Cnode*(5.013,0.787){X9} \Cnode*(4.413,-0.48){X10} \Cnode*(2.207,-0.24){X11} \Cnode*(0.6,1.267){X12} \psline(X1)(X2)(X3)(X4)(X5)(X6)(X7)(X8)(X9)(X10)(X11)(X12)(X1) \psline(X3)(N)(M)(X12) \psline(X6)(P)(Q)(X9) \psline(N)(P) \psline(M)(Q) \psline(X2)(X4) \psline(X5)(X7) \psline(X8)(X10) \psline(X11)(X1) \end{pspicture} \vspace{1cm} Exercice 1 - Dessins du flacon (non demandés) \medskip \psset{unit=1cm,arrowscale=1.6,radius=0pt} \begin{pspicture}(-3,-2.5)(6,3) \Cnode*(1.2,2.53){M} % \uput[dr](M){\blue M} \Cnode*(0.193,2.01){N} % \uput[dr](N){\blue N} \Cnode*(2.38,1.77){P} % \uput[dl](P){\blue P} \Cnode*(3.41,2.29){Q} %\uput[ur](Q){\blue Q} %\psline(M)(N)(P)(Q)(M) %%%%%%%%%%%%%% \psset{radius=0pt,linecolor=black,linewidth=1pt,linestyle=solid} \Cnode*(-1.01,-0.523){X1} \Cnode*(-2.01,-1.047){X2} \Cnode*(-1.413,0.22){X3} \Cnode*(-0.83,-1.813){X4} \Cnode*(1.36,-2.057){X5} \Cnode*(2.97,-0.267){X6} \Cnode*(4.573,-1.773){X7} \Cnode*(5.597,-1.247){X8} \Cnode*(5.013,0.787){X9} \Cnode*(4.413,-0.48){X10} \Cnode*(2.207,-0.24){X11} \Cnode*(0.6,1.267){X12} %%%% %{\psset{fillstyle=solid,fillcolor=lightgray} %\pspolygon(X2)(X3)(X4) %\pspolygon(X5)(X6)(X7) %\pspolygon(X4)(X5)(X6)(P)(N)(X3) %\pspolygon(X6)(X7)(X8)(X9)(Q)(P) %\pspolygon(M)(N)(P)(Q) %} %%%% \psline(X1)(X2)(X3)(X4)(X5)(X6)(X7)(X8)(X9)(X10)(X11)(X12)(X1) \psline(X3)(N)(M)(X12) \psline(X6)(P)(Q)(X9) \psline(N)(P) \psline(M)(Q) \psline(X2)(X4) \psline(X5)(X7) \psline(X8)(X10) \psline(X11)(X1) \end{pspicture} \psset{unit=1cm,arrowscale=1.6,radius=0pt} \begin{pspicture}(-3,-2.5)(6,3) \Cnode*(1.2,2.53){M} % \uput[dr](M){\blue M} \Cnode*(0.193,2.01){N} % \uput[dr](N){\blue N} \Cnode*(2.38,1.77){P} % \uput[dl](P){\blue P} \Cnode*(3.41,2.29){Q} %\uput[ur](Q){\blue Q} %\psline(M)(N)(P)(Q)(M) %%%%%%%%%%%%%% \psset{radius=0pt,linecolor=black,linewidth=1pt,linestyle=solid} \Cnode*(-1.01,-0.523){X1} \Cnode*(-2.01,-1.047){X2} \Cnode*(-1.413,0.22){X3} \Cnode*(-0.83,-1.813){X4} \Cnode*(1.36,-2.057){X5} \Cnode*(2.97,-0.267){X6} \Cnode*(4.573,-1.773){X7} \Cnode*(5.597,-1.247){X8} \Cnode*(5.013,0.787){X9} \Cnode*(4.413,-0.48){X10} \Cnode*(2.207,-0.24){X11} \Cnode*(0.6,1.267){X12} %%%% \psline(X1)(X2)(X3)(X4)(X5)(X6)(X7)(X8)(X9)(X10)(X11)(X12)(X1) \psline(X3)(N)(M)(X12) \psline(X6)(P)(Q)(X9) \psline(N)(P) \psline(M)(Q) \psline(X2)(X4) \psline(X5)(X7) \psline(X8)(X10) \psline(X11)(X1) %%%%% {\psset{fillstyle=solid,fillcolor=lightgray} \pspolygon(X2)(X3)(X4) \pspolygon(X5)(X6)(X7) \pspolygon(X4)(X5)(X6)(P)(N)(X3) \pspolygon(X6)(X7)(X8)(X9)(Q)(P) \pspolygon(M)(N)(P)(Q) } \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \large Exercice 1 - Patron du flacon (non demandé) \end{center} \begin{center} \psset{unit=1cm,radius=0pt} \def\xmin {-4} \def\xmax {10} \def\ymin {-4} \def\ymax {12} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin} \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] %\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \Cnode*(0,0){O}% \uput[dl](O){O} \Cnode*(6,0){A}% \uput[dr](A){A} \Cnode*(6,6){B}% \uput[ur](B){B} \Cnode*(0,6){C}% \uput[ul](C){C} \psline(O)(A)(B)(C)(O) \Cnode*(2,0){U} %\uput[d](U){U} \Cnode*(0,2){V} %\uput[l](V){V} \Cnode*(4,0){U1} \Cnode*(6,2){V1} \Cnode*(6,4){U2} \Cnode*(4,6){V2} \Cnode*(2,6){U3} \Cnode*(0,4){V3} \psline(V)(U)(U1)(V1)(U2)(V2)(U3)(V3)(V) \Cnode*(1,-1.732){X1} \Cnode*(2,-3.464){X2} \Cnode*(4,-3.464){X3} \Cnode*(5,-1.732){X4} \psline(U)(X1)(X2)(X3)(X4)(U1) \Cnode*(7.732,1){Y1} \Cnode*(9.464,2){Y2} \Cnode*(9.464,4){Y3} \Cnode*(7.732,5){Y4} \psline(V1)(Y1)(Y2)(Y3)(Y4)(U2) \Cnode*(1,7.732){Z1} \Cnode*(2,9.464){Z2} \Cnode*(4,9.464){Z3} \Cnode*(5,7.732){Z4} \psline(U3)(Z1)(Z2)(Z3)(Z4)(V2) \Cnode*(2,11.464){ZZ2} \Cnode*(4,11.464){ZZ3} \psline(Z2)(ZZ2)(ZZ3)(Z3) \Cnode*(-1.732,1){T1} \Cnode*(-3.464,2){T2} \Cnode*(-3.464,4){T3} \Cnode*(-1.732,5){T4} \psline(V)(T1)(T2)(T3)(T4)(V3) \end{pspicture} \end{center} \end{document}