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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : François Hache
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur - corrigé}
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{16 mai 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Groupement D2\footnote{Métiers de l'eau} -- 16 mai 2022~\decofourright\\[6pt]Métropole -- Antilles--Guyane -- Polynésie}

%\medskip
%
%Durée : 2 heures

\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 1 \hfill 10 points}

\medskip

On s'intéresse dans cet exercice à l'évolution, dans un pays de $60$~millions d'habitants, du nombre de personnes équipées d'un certain implant médical. %On exploitera deux modèles distincts.

%\bigskip
%
%\begin{center}
%\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}
%\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau ci-dessous indique le nombre de personnes de ce pays équipées de l'implant médical depuis 2013.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021\\ \hline
Rang de l'année $k_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline
Nombre de personnes\newline $N_i$ (en milliers)\newline équipées de l'implant
&56,25 &58,1 &60,5 &63 &65,8 &68,7 &72 &75,5 &79,3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On décide de modéliser cette évolution par une fonction exponentielle et pour cela on effectue le changement de variable $y = \ln(N - 30)$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}. On arrondira les valeurs au millième.
On complète le tableau suivant en arrondissant les valeurs au millième.

\begin{center}
\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.7cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021\\ \hline
Rang de l'année $k_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline
Nombre de personnes $N_i$ (en milliers) équipées de l'implant
&56,25 &58,1 &60,5 &63 &65,8 &68,7 &72 &75,5 &79,3\\ \hline
$y_i=\ln \left(N_i - 30\right)$& $\blue 3,628$ & $\blue 3,336$ & $\blue 3,418$ & $\blue 3,497$ & $\blue 3,578$ & $\blue 3,656$ & $\blue 3,738$ & $\blue 3,818$ & $\blue 3,898$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, on détermine une équation de la droite d'ajustement du nuage de points $M_i\left(k_i,~y_i\right)$ par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au centième:
$y = 0,08 k + 3,26$.

		\item% En utilisant cette équation de droite, déduire que le nombre de personnes (en milliers) équipées de l'implant médical dans ce pays, en fonction du rang $k$, peut être modélisé par la fonction $N$ d'expression :
$y_i=\ln\left (N_i-30\right )$ signifie que $y=\ln\left (N(k)-30\right )$.		

$y=0,08 k + 3,26 \iff \ln\left ( N(k)-30\right )=	0,08 k + 3,26 
\iff N(k)-30 = \e^{0,08 k + 3,26 }\\
\phantom{y=0,08 k + 3,26}
\iff N(k) = 30 + \e^{0,08k}\times\e^{3,26}	
\iff N(k) = 30 + 26,05\e^{0,08k}$
	\end{enumerate}

\newpage

\item On formule l'hypothèse que le modèle proposé reste valide plusieurs années encore.
	\begin{enumerate}
		\item %Quel devrait être le nombre de personnes, au millier près, équipées de l'implant médical dans ce pays en 2026 ?
L'année 2026 correspond au rang $k=13$;
$N(13)= 30 + 26,05\e^{0,08\times 13}\approx 104$

Le nombre de personnes, au millier près, équipées de l'implant médical dans ce pays en 2026 est estimé à 104 milliers.
		
		\item On suppose que le nombre d'habitants du pays reste stable sur le long terme.
		
$\ds\lim_{k\to +\infty} 0,08k = +\infty$
et
$\ds\lim_{K\to +\infty} \e^{K} = +\infty$
donc
$\ds\lim_{k\to +\infty} \e^{0,08k} = +\infty$

On en déduit que $\ds\lim_{k\to +\infty} N(k) = +\infty$.

Donc au bout d'un certain nombre d'années, le nombre $N(k)$ de personnes équipées de l'implant médical sera supérieur à la population du pays qui reste stable à 60 millions; ce n'est pas possible donc ce modèle n'est pas pertinent à long terme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:

\[f(t) = \dfrac{450}{1 + 7\text{e}^{-0,05t}}.\]

On admet que cette fonction permet de modéliser l'évolution du nombre de personnes équipées de l'implant médical dans ce pays.

%Plus précisément, $f(t)$ représente le nombre de personnes, exprimé en milliers, équipées de l'implant médical dans ce pays, en fonction du temps $t$ mesuré en années depuis 2013.

%Par exemple, $f(1)$ représente le nombre de personnes équipées de l'implant médical en 2014.

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer, selon ce modèle, combien de personnes, au millier près, seront équipées de l'implant médical en 2026.
Selon ce modèle, le nombre de personnes qui seront équipées de l'implant médical en 2026 est, en milliers $f(13)\approx 96,68$ soit, arrondi au millier: $97$.

\item% Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
$\ds\lim_{t\to +\infty} -0,05t = -\infty$
et
$\ds\lim_{T \to -\infty} \e^{T}=0$
donc
$\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,05t}=0$

On en déduit que:
$\ds\lim_{t\to +\infty} \left ( 1+7\e^{-0,05t}\right ) = 1$
et que
$\ds\lim_{t\to +\infty} \dfrac{450}{1+7\e^{-0,05t}} = 450$.

Donc $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t) = 450$.

Cela veut dire que, lorsque le nombre d'années augmentera, le nombre de personnes équipées de l'implant tendra vers $\np{450000}$.

\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu:
$f'(t) = \dfrac{315 \e^{-0,05t}}{2\left(1+7 \e^{-0,05t}\right)^2}.$

%En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $t$ de $[0\;;\;+\infty[$, on a: $2\left(1+7 \e^{-0,05t}\right)^2>0$ et $\e^{-0,05t}>0$; on en déduit que pour tout $t$ de $[0\;;\;+\infty[$, on a: $f'(t)>0$.

$f(0)=\dfrac{450}{1+7\e^{0}}=\dfrac{450}{8}=56,25$ et  $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t) = 450$.

On établit le tableau des variations de $f$ sur $[0\;;\;+\infty[$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
     % augmentation de la hauteur de toutes les lignes
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
     % paramètres
\def\esp{\hspace*{4cm}}
     % pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}
     % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 t & 0   & \esp & +\infty \\
 \hline
f'(t) &   & \pmb{+} & \\  
\hline
  &   &    & \Rnode{max}{450}   \\
f(t) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &     \Rnode{min}{56,25} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\;;\;+\infty[$;
cela signifie que le nombre de personnes équipées de l'implant croît avec le temps.
 \end{enumerate}
 
\item Pour déterminer à partir de quelle année le nombre de personnes de ce pays équipées de cet implant médical dépassera \np{120000}, c'est-à-dire $120$ milliers, on résout dans $[0\;;\;+\infty[$ l'inéquation $f(t)>120$.

$f(t)>120 
\iff \dfrac{450}{1+7\e^{-0,05t}} > 120\\[7pt]
\phantom{f(t)>120}
\iff 450 > 120 \left (1+7\e^{-0,05t} \right )\qquad \left  (\text{car } 1+7\e^{-0,05t} >0\strut \right )\\[7pt]
\phantom{f(t)>120}
\iff \dfrac{15}{4} >1+7\e^{-0,05t}
\iff \dfrac{ \frac{15}{4} - 1}{7}>\e^{-0,05t}\\[7pt]
\phantom{f(t)>120}
\iff \dfrac{11}{28}> \e^{-0,05t}
\iff \ln\left ( \dfrac{11}{28} \right ) > -0,05t\\[7pt]
\phantom{f(t)>120}
\iff -\dfrac{\ln\left ( \frac{11}{28} \right ) }{0,05} <t \qquad \left  (\text{car } -0,05<0 \strut \right )$

Or $-\dfrac{\ln\left ( \frac{11}{28} \right ) }{0,05}\approx 18,7$ donc c'est à partir de $t=19$, donc de l'année 2032 que le nombre de personnes équipées de l'implant dépassera $\np{120000}$.

\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(t) = \dfrac{450}{1 + 21\text{e}^{-0,1t}}$.

On admet que cette fonction permet de modéliser l'évolution du nombre de personnes équipées  d'un modèle d'implant concurrent dans ce même pays.

%Plus précisément, $g(t)$ représente le nombre de personnes, exprimé en milliers, équipées de cet implant médical concurrent, dans ce pays,en fonction du temps $t$ mesuré en années depuis 2013.

\smallskip

On considère l'algorithme écrit en langage naturel ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$T$ prend la valeur 0 \\
Tant Que $g(T) < f(T)$\\
\qquad $T$ prend la valeur $T+1$\\ 
Fin Tant Que\\
Renvoyer $T$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item La valeur renvoyée dans le contexte de l'exercice est la première valeur de $T$ pour laquelle $g(T) \geqslant f(T)$, c'est-à-dire qu'on aura ainsi la première année pour laquelle l'implant médical concurrent équipera plus de personnes que le premier implant.
		
		\item% Proposer une démarche qui permet d'obtenir la valeur numérique renvoyée par cet algorithme. 
On va résoudre algébriquement l'inéquation $g(t) \geqslant f(t)$.

\item %Mettre en œuvre cette démarche et donner la valeur numérique renvoyée par cet algorithme.
$g(t) \geqslant f(t)
\iff \dfrac{450}{1+21\e^{-0,1t}} \geqslant \dfrac{450}{1+7\e^{-0,05t}}
\iff 1+21\e^{-0,1t} \leqslant 1+7\e^{-0,05t}\\
\phantom{g(t) \geqslant f(t)}
\iff 3\e^{-0,1t} \leqslant \e^{-0,05t}
\iff 3 \leqslant \dfrac{\e^{-0,05t}}{\e^{-0,1t}}
\iff 3 \leqslant \e^{-0,05t+0,1t}\\
\phantom{g(t) \geqslant f(t)}
\iff 3 \leqslant \e^{0,05t}
\iff \ln(3) \leqslant 0,05t
\iff \dfrac{\ln(3)}{0,05} \leqslant t$

$\dfrac{\ln(3)}{0,05} \approx 21,97$ donc la valeur numérique renvoyée par cet algorithme est 22.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

%\medskip
%
%\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

Dans une usine, une machine à embouteiller est alimentée par un réservoir d'eau et par une file d'entrée qui permet l'approvisionnement en bouteilles vides.

\medskip

\textbf{Partie A - Défaut d'approvisionnement}

\medskip


\begin{list}{\textbullet}{On considère qu'il y a un défaut d'approvisionnement lorsqu'au moins un des deux cas suivants est réalisé:}
\item la file d'entrée des bouteilles est vide ; 
\item le réservoir est vide.
\end{list}


\begin{list}{\textbullet}{On choisit au hasard un jour d'activité de l'entreprise dans l'année. On note:}
\item $A$ l'évènement: \og la file d'entrée des bouteilles est vide au moins une fois dans la journée \fg ;
\item  $B$ l'évènement: \og le réservoir est vide au moins une fois dans la journée \fg.
\end{list}

On admet que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.

Une étude statistique permet de dire que les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont respectivement données par $P(A) = 0,03$ et $P(B) = 0,02$.

Chaque phrase du tableau de gauche est associée à une unique information correspondante dans le tableau de droite.
%Pour chacune des quatre réponses, écrire sur la copie le numéro de la phrase avec la lettre qui correspond à l'information associée. 

%Aucune justification n'est demandée.

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\textbf{1}&La probabilité de l'évènement: \og La file d'entrée ne se vide pas dans la journée. \fg\\ \hline
\textbf{2}&L'évènement : \og La file d'entrée est vide au moins une fois  dans la journée mais pas le réservoir. \fg\\ \hline
\textbf{3}&La probabilité de l'évènement : \og La file d'entrée et le réservoir ont été tous les deux vides au moins une fois au cours de la journée.\fg \\ \hline
\textbf{4}& La probabilité de l'évènement : \og La machine a connu un défaut d'approvisionnement dans la journée. \fg\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.2\linewidth}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\textbf{A}&$\overline{A}  \cap B$\\ \hline
\textbf{B}&0,05\\ \hline
\textbf{C}&$A \cap \overline{B}$\\ \hline
\textbf{D}&\np{0,0494}\\ \hline
\textbf{E}&0,97\\ \hline
\textbf{F}&\np{0,0006}\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item \textbf{E}

L'évènement \og La file d'entrée ne se vide pas dans la journée. \fg{} est l'évènement $\overline{A}$ dont la probabilité est $P\left (\overline{A}\right ) = 1-P(A)=1-0,03=0,97$.

\item \textbf{C}

L'évènement \og La file d'entrée est vide au moins une fois  dans la journée mais pas le réservoir. \fg{} correspond à \og  la file d'entrée des bouteilles est vide au moins une fois dans la journée \fg{} et le contraire de  \og le réservoir est vide au moins une fois dans la journée \fg{}, soit $A\cap \overline{B}$.

\item \textbf{F}

L'évènement \og La file d'entrée et le réservoir ont été tous les deux vides au moins une fois au cours de la journée.\fg{} est l'évènement $A\cap B$. Comme les évènements $A$ et $B$ sont indépendants, $P(A\cap B) = P(A)\times P(B)=0,03\times 0,02 = \np{0,0006}$.

\item \textbf{D}

L'évènement \og La machine a connu un défaut d'approvisionnement dans la journée. \fg{} est l'évènement $A\cup B$ dont la probabilité est

$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0,03+0,02-\np{0,0006} =\np{0,0494}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Pannes de la machine à embouteiller sur une durée de 200 jours}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque la machine tombe en panne, elle est immobilisée pour le reste de la journée et réparée pour le lendemain. La probabilité qu'elle tombe en panne un jour quelconque est égale à $0,025$.

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute période de $200$ jours consécutifs choisie au hasard, associe le nombre de jours où la machine est tombée en panne.

On considère que les jours où les pannes surviennent sont indépendants les uns des autres.

%Donner, sans justifier, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.

Il s'agit d'une répétition de 200 épreuves indépendantes donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0,025$.

\item On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $\lambda= 5$.
Sous certaines conditions, la loi binomiale $\mathcal{B}(n\;;\;p)$ peut être approchée par la loi de Poisson de paramètre $\lambda = np$; or $n=200$ et $p=0,25$ donc $\lambda=200\times 0,025=5$.		
				
		\item %Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de la probabilité $P(Y \leqslant 10)$.
À la calculatrice on trouve: $P(Y\leqslant 10) \approx 0,986$.	
		
		\item On a représenté ci-dessous les valeurs de $P(Y = k)$ en fonction des premières valeurs de $k$ :

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=22cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-0.015)(16,0.22)
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,0.2)}
\multido{\n=0.00+0.02}{11}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.02,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(16,0.21)
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0.007) \psline[linewidth=1.25pt](1,0)(1,0.037) 
\psline[linewidth=1.25pt](2,0)(2,0.085) \psline[linewidth=1.25pt](3,0)(3,0.143) 
\psline[linewidth=1.25pt](4,0)(4,0.176) \psline[linewidth=1.25pt](5,0)(5,0.176) 
\psline[linewidth=1.25pt](6,0)(6,0.146) \psline[linewidth=1.25pt](7,0)(7,0.106) 
\psline[linewidth=1.25pt](8,0)(8,0.066) \psline[linewidth=1.25pt](9,0)(9,0.037) 
\psline[linewidth=1.25pt](10,0)(10,0.019) \psline[linewidth=1.25pt](11,0)(11,0.008) 
\psline[linewidth=1.25pt](12,0)(12,0.006) \psline[linewidth=1.25pt](13,0)(13,0.003) 
\psline[linewidth=1.25pt](14,0)(14,0.002) 
\uput[u](15.7,0){\footnotesize $k$}\uput[r](0,0.22){\footnotesize $P(Y  = k)$}
\end{pspicture}
\end{center}

Cette représentation graphique suggère que  $P(Y = 15) = 0$. 

On admet que pour tout entier $k \geqslant 1$, on a :
$P(Y = k) = \dfrac{5^k\text{e}^{-5}}{1 \times 2 \times \ldots \times k}$.

%La conjecture \og $P(Y = 15)$ est égale à 0\fg{} est-elle vraie ou fausse? Justifier.

À la calculatrice, on trouve $P(Y=15)\approx 1,572\times 10^{-4} \neq 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie C - Qualité de l'embouteillage}

\medskip

Un laboratoire analyse la qualité de l'emboutage en sortie de machine.

%\medskip

La machine est correctement réglée quand une bouteille remplie contient un volume d'eau dont l'arrondi au centilitre est $75$~cL.

On souhaite tester l'hypothèse \og La machine est correctement réglée\fg{} à l'aide d'un test bilatéral au seuil de confiance de $95$\,\%.	

\begin{list}{\textbullet}{On note :}
\item $m$ la quantité moyenne d'eau en centilitres dans une bouteille remplie par la machine;
\item $s$ l' écart type correspondant.
\end{list}

On réalise une mesure du volume d'eau arrondi au centilitre pour un échantillon de 100 bouteilles remplies par la machine. Les résultats obtenus figurent dans le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Quantité d'eau\newline contenue (cL)	&73 	&74 &75 &76 &77\\ \hline
Nombre de\newline bouteilles			&17 	&20 &43 &13 &7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, on trouve la moyenne $\overline{x}=74,73$ et l'écart type $\sigma\approx 1,10$ de cet échantillon.

%On donnera la valeur arrondie de l'écart type à $10^{-2}$.

\item On souhaite réaliser le test bilatéral suivant au seuil de confiance de 95\,\% :

\[ H_0 : \: \og m = 75 \fg{} \: \text{et} \quad  H_1 :\:  \og m \ne 75\fg.\]

On note $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $100$ bouteilles remplies par la machine associe la moyenne du volume d'eau contenue dans les bouteilles, mesuré en centilitres. On suppose que la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $s$.

Dans la suite, on remplace l'écart type $s$ des volumes d'eau contenue après remplissage par la machine  par son estimateur 0,11.

Sous l'hypothèse $H_0$,\: $\overline{Z}$ suit donc la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $0,11$.

	\begin{enumerate}
		\item On veut déterminer un nombre réel $h$ vérifiant $P(75 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 75 + h) \approx  0,95$ à $10^{-2}$ près.
		
On sait que pour une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$, on a: $P(m-2\sigma	\leqslant X \leqslant m+2\sigma) \approx 0,95$.

On pourra donc prendre $h=2\sigma = 2\times 0,11 =0,22$.

		\item La règle de décision du test est:
\og Si la moyenne de l'échantillon appartient à l'intervalle $I_{95}=\left [75-h\;;\;75+h\strut\right ]$, on accepte l'hypothèse $H_0$; sinon on rejette l'hypothèse $H_0$. \fg{} 		
		\item $I_{95}=\left [75-h\;;\;75+h\strut\right ] =\left [75-0,22\;;\;75+0,22\strut\right ] = \left [74,78\;;\;75,22\strut\right ]$
		
D'après les résultats de l'échantillon donné, on a $m=74,73$ et $74,73\notin I$.

Donc on ne peut pas accepter l'hypothèse $H_0 :\: \og m = 75 \fg$.
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

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\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021\\ \hline
Rang de l'année $k_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline
Nombre de personnes $N_i$ (en milliers) équipées de l'implant
&56,25 &58,1 &60,5 &63 &65,8 &68,7 &72 &75,5 &79,3\\ \hline
$y_i = \ln \left(N_i - 30\right)$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}