\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-coil,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement D1}, pdftitle = {Métropole septembre 2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur -- corrigé } \lfoot{\small{Groupement D1}} \rfoot{\small{mai 2021}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Groupement D1 -- mai 2021~\decofourright\\[7pt]Métropole -- Antilles--Guyane -- Polynésie} %\footnote{Analyses de biologie médicale, %Bio analyses et contrôles, %Biotechnologies, %europlastics et composites, %Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries, Métiers de l'eau } % %\medskip % %Durée : 2 heures \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\large EXERCICE 1 \hfill 10 points} \medskip Une usine agroalimentaire produit de la viande de bœuf hachée. On souhaite évaluer la durée de conservation de la viande de bœuf une fois hachée et conservée dans une chambre froide réglée à 0~\degres C. %\begin{center} %\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante} %\end{center} \textbf{Partie A} \medskip Voici le relevé du nombre de germes putréfiants par centimètre carré $\left(\text{cm}^2\right)$ tous les cinq jours à la surface d'un échantillon de viande de bœuf hachée conservée dans la chambre froide. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de jours de conservation $t_i$ &0 &5 &10 &15&20\\ \hline Nombre $N_i$ de germes putréfiants par cm$^2$ &\np{1000} &\np{4000} &\np{199000}&\np{5960000}&\np{48600000}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On effectue un changement de variable logarithmique : $z_i = \ln \left(N_i\right)$. On complète le tableau suivant en arrondissant les valeurs au dixième. \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.2}% \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de jours de conservation $t_i$ &0 &5 &10 &15 &20\\\hline Nombre $N_i$ de germes putréfiants par cm$^2$ &\np{1000}&\np{4000}&\np{199000}&\np{5960000}&\np{48600000}\\ \hline $z_i = \ln{N_i}$ & $\blue 6,9$ & $\blue 8,3$ & $\blue 12,2$ & $\blue 15,6$ & $\blue 17,7$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item À l'aide de la calculatrice, on détermine une équation de la droite d'ajustement du nuage de points $M_i\left(t_i~;~z_i\right)$ par la méthode des moindres carrés, sous la forme $z =at + b$. En arrondissant les réels $a$ et $b$ au centième, on trouve $z=0,58 t + 6,36$. \item% Sur le graphique donné en \textbf{annexe 2 à rendre avec la copie} : \begin{enumerate} \item On place les points $M_i\left(t_i~;~z_i\right)$ sur le graphique. \begin{figure}[h!] \centering \psset{unit=0.4cm,arrowscale=1.7} \begin{pspicture}(-2,-2)(30,27) \psgrid[unit=2cm,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,subgriddiv=5,](0,0)(6,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(30,25) \uput[d](22.5,-1.4){$t_i$ nombre de jours de conservation} \uput[r](0,26){$z_i = \ln N_i$} \psset{linecolor=blue} \psdots(0,6.9)(5,8.3)(10,12.2)(15,15.6)(20,17.7) \psset{linecolor=red} \psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1,7)(21,19) \psplot{0}{28}{0.6 x mul 6.4 add} \uput[ul](8,11.2){\red $D$} \psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](25,0)(25,21.4)(0,21.4) \uput[l](0,21.4){\red $21,4$} \end{pspicture} \end{figure} \item Pour tracer la droite $D$ d'équation $z = 0,6t + 6,4$, on calcule les coordonnées de deux points. \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c| *{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $t$ & 1 & 21\\ \hline $z=0,6t+6,4$ & 7 & 19\\ \hline point & (1~;~7) & (21~;~19)\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \item On considère que la droite $D$ est une droite d'ajustement du nuage de points $M_i\left(t_i~;~z_i\right)$ et que ce modèle reste valable jusqu'au 30\up{e} jour de conservation dans la chambre froide. %Donner une estimation du nombre de germes putréfiants par cm$^2$ sur l'échantillon de viande hachée si celui-ci est stocké et conservé pendant 25 jours dans la chambre froide. Arrondir au million On conserve un échantillon 25 jours donc $t=25$. On déduit $z=0,6\times 25+6.4 = 21,4$. Or $z=\ln(N)$ donc $\ln(N)=21,4$ et donc $N=\e^{21,4} \approx \np{1967441884}$. Donc \np{1967441884} est une estimation du nombre de germes putréfiants par cm$^2$ sur l'échantillon de viande hachée si celui-ci est stocké et conservé pendant 25 jours dans la chambre froide. \end{enumerate} \newpage \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 600\e^{0,6t}.$ On admet que la fonction modélise le nombre de germes, par cm$^2$ sur la surface de la viande hachée conservée en chambre froide. Plus précisément, $f(t)$ est le nombre de germes par cm$^2$ sur la viande hachée après $t$ jours de conservation dans la chambre froide à 0~\degres C %\medskip \begin{enumerate} \item% Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. $\ds\lim_{t \to +\infty} 0,6t = +\infty$ et $\ds\lim_{T\to +\infty} \e^{T}=+\infty$ donc, en posant $T=0,6t$ on peut dire que $\ds\lim_{t \to +\infty} \e^{0,6t}=+\infty$ et donc que $\ds\lim_{t \to +\infty} f(t)=+\infty$. Le nombre de germes par cm$^2$ sur la viande hachée tend vers l'infini quand $t$ augmente indéfiniment.. \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout réel $t \in [0~;~+\infty[$, $f'(t)= 600\times 0,6\times \e^{0,6t}= 360 \e^{0,6t}$. \item %Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. Pour tout réel $t \in [0~;~+\infty[$, $\e^{0,6t}>0$ donc $f'(t)>0$. Le nombre de germes par cm$^2$ sur la viande hachée augmente quand $t$ augmente. \item On définit le réel $m$ par $m = \dfrac{1}{10 - 5}\displaystyle\int_5^{10} f(t)\:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item% Sans la calculer interpréter la valeur du réel $m$ dans le contexte de l'exercice. Le réel $m$ représente la valeur moyenne de la fonction $f$ entre 5 et 10, donc le nombre moyen de germes entre le jour 5 et le jour 10. \item %Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Pour $a\neq 0$, le fonction $t\longmapsto \e^{at}$ a pour primitive la fonction $t\longmapsto \dfrac{1}{a} \e^{at}$, donc la fonction $t\longmapsto \e^{0,6t}$ a pour primitive la fonction $t\longmapsto \dfrac{1}{0,6} \e^{0,6t}$; on déduit que la fonction $f$ a pour primitive la fonction $F$ définie par $F(t)= 600\times \dfrac{1}{0,6} \e^{0,6t}$, c'est-à-dire $F(t)=\np{1000}\e^{0,6t}$. \item %En déduire que $m = 200\text{e}^6 - 200\text{e}^3$. $m=\ds\dfrac{1}{10-5}\int_{5}^{10} f(t) \d t =\dfrac{1}{5}\left [ F(10) - F(5)\rule[-5pt]{0pt}{15pt}\right ] = \dfrac{1}{5}\left [ \np{1000}\e^{0,6\times 10} - \np{1000}\e^{0,6\times 5} \right ] =200 \e^{6} - 200\e^{3}$. \end{enumerate} \item On admet que la viande hachée peut être commercialisée si, lorsqu'elle quitte l'usine, la concentration de germes putréfiants à sa surface est strictement inférieure à \np{3000} germes par cm$^2$. \begin{enumerate} \item On résout l'inéquation $f(t) < \np{3000}$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. $f(t) < \np{3000} \iff 600 \e^{0,6t} < \np{3000} \iff \e^{0,6t} < 5 \iff 0,6t < \ln(5) \iff t < \dfrac{\ln(5)}{0,6}$ Donc l'inéquation a pour ensemble solution $S=\left [ 0~;~\dfrac{\ln(5)}{0,6} \right [$. \item $\dfrac{\ln(5)}{0,6}\approx 2,7$ donc l'usine ne peut pas conserver la viande de bœuf hachée produite en chambre froide plus de deux jours avant de la commercialiser. \end{enumerate} \item La viande hachée pourra ensuite être vendue à des particuliers tant que le nombre de germes par cm$^2$ ne dépassera pas \np{27000}. On appelle durée limite de consommation le nombre maximal de jours pendant lesquels cette viande peut être vendue à des particuliers. \begin{enumerate} \item Soit l'algorithme ci-dessous : \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline $J \gets 0$\\ $N \gets 600$\\ Tant Que $N \leqslant \np{27000}$\\ \hspace{1cm} $J \gets J + 1$\\ \hspace{1cm} $N \gets 600*\text{e}^{0,6*J}$\\ Fin Tant Que\\ Afficher $J$\\ \hline \end{tabular} \end{center} La valeur de $J$ affichée en sortie est le premier jour à partir duquel le nombre de germes sera strictement supérieur à $\np{27000}$, donc tel que $f(J-1)\leqslant \np{27000}$ et $f(J)> \np{27000}$. En utilisant le tableau de valeurs de la fonction $f$ donné par la calculatrice, on trouve: $f(6) \approx \np{21959}\leqslant \np{27000}$ et $f(7) \approx \np{40012} > \np{27000}$. La valeur de $J$ affichée en sortie est 7. \item %Interpréter celle valeur dans le contexte de l'exercice On en déduit que la durée limite de consommation est de 6 jours. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large EXERCICE 2 \hfill 10 points} \medskip %\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante} % %\medskip Pour améliorer l'hygiène de baignade dans un spa, il est possible de traiter l'eau aux ultra-violets (UV). La lampe UV, placée dans une chambre de désinfection, diffuse des rayons ultra-violets en continu. En passant devant cette lampe, dans le système de filtration, l'eau est désinfectée et débarrassée des micro-organismes. %\begin{center} %\psset{unit=1cm,arrowsize=1.5pt 2} %\begin{pspicture}(7,5) %%\psgrid %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!30 ](0,0.8)(1.1,3.9) %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!30 ](5.9,0.8)(7,3.9) %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!50](1.1,1.1)(5.9,3.5) %\rput(1.7,4.3){ENTRÉE}\rput(5.1,4.3){ CHAMBRE DE DÉSINFECTION} %\rput(4.8,3.2){RAYONS UV}\rput(5.3,0.4){SORTIE} %\rput(5.3,0.1){(EAU DÉSINFECTÉE)} %\psframe[linewidth=0pt,fillstyle=solid,fillcolor=white](1.6,2)(5.9,2.5) %\pswedge[linewidth=0pt,fillstyle=solid,fillcolor=white](1.6,2.25){0.25}{90}{270} %\pslineByHand[linewidth=1.5pt](5.9,2.7)(1.8,2.7)(1.5,2.6)(1.2,2.5) %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!50](5.9,2)(6.2,2.5) %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!85](6.2,2)(6.5,2.5) %\pslineByHand[linewidth=1.5pt](5.9,1.8)(1.8,1.8)(1.5,1.9)(1.2,2)(1.2,2.6) %\multido{\n=3.5+0.1}{4}{\psline(1.4,\n)(2,\n)} %\psframe(1.4,3.5)(2,3.9) %\multido{\n=0.7+0.1}{4}{\psline(5.1,\n)(5.7,\n)} %\psframe(5.1,0.7)(5.7,1.1) %\psline[linewidth=2pt]{->}(1.7,3.3)(1.7,2.8) %\psline[linewidth=2pt]{->}(3,3)(4,3) %\psline[linewidth=2pt]{->}(3,1.4)(4,1.4) %\psline[linewidth=2pt]{->}(5.4,1.5)(5.4,1.1) %\end{pspicture} % %Figure 1. Schéma d'une chambre de désinfection équipée d'une lampe UV %\end{center} %\medskip \textbf{Partie A} \medskip %\emph{Les résultats seront donnés à } $10^{-3}$ \emph{ près.} % %\medskip \begin{list}{\textbullet}{Une étude effectuée sur l'ensemble des spas installés par un fabricant indique que :} \item 40\,\% des spas sont équipés de lampe UV et, parmi eux, 2\,\% présentent un problème de filtration ; \item Parmi les spas, non-équipés de lampe UV, 15\,\% présentent un problème de filtration. \end{list} On choisit un spa au hasard parmi ceux installés par le fabricant. \begin{list}{\textbullet}{On note :} \item $L$ l'évènement \og le spa est équipé d'une lampe UV\fg{} ; \item $F$ l'évènement \og le spa présente un problème de filtration \fg ; \item $\overline{L}$ et $\overline{F}$ les évènements contraires respectifs des évènements $L$ et $F$. \end{list} %\medskip \begin{enumerate} \item On complète l'arbre pondéré. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=4cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree{\TR{$L$~~}\naput{$\blue 0,40$}} { \TR{$F$}\naput{$\blue 0,02$} \TR{$\blue\overline{F}$}\nbput{$\blue 1-0,02=0,98$} } \pstree{\TR{$\overline{L}$~~}\nbput{$\blue 1-0,40=0,60$}} { \TR{\blue $F$}\naput{$\blue 0,15$} \TR{$\overline{F}$}\nbput{$\blue 1-0,15=0,85$} } } \end{center} \item %Montrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,098$. D'après la formule des probabilités totales: $P(F)= P\left (L\cap F\vphantom{\overline{L}}\right ) + P\left (\overline{L}\cap F\right ) = P(L)\times P_{L}(F) +P\left (\overline{L}\right )\times P_{\overline{L}}(F) = 0,40\times 0,02 + 0,69\times 0,15 = 0,098$ \item Le spa choisi au hasard présente un problème de filtration. La probabilité que ce spa ne possède pas de lampe UV est: $P_{F}\left (\overline{L}\right ) = \dfrac{P\left (\overline{L} \cap F\right )}{P(F)} = \dfrac{0,60\times 0,15}{0,098}\approx 0,918$ \item Lors d'une opération de maintenance sur un parc de $78$ spas installés par le fabriquant, un technicien comptabilise $12$ spas présentant un problème de filtration. \begin{enumerate} \item Une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ des spas installés par ce fabricant qui présentent un problème de filtration est $f=\dfrac{12}{78}=\dfrac{2}{13}\approx 0,154$. \item Un intervalle de confiance au seuil de 95\,\% cette proportion $p$ est: $\left [ f-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}}~;~ f+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}}\right] =\left [ \dfrac{2}{13}-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{\ts\frac{2}{13}\times\frac{11}{13}}{78}}~;~ \dfrac{2}{13}+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{\frac{2}{13}\times\frac{11}{13}}{78}}\right]\\ \approx \left [ 0,073~;~0,234 \rule[-5pt]{0pt}{15pt}\right ]$ \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On s'intéresse désormais à la durée de vie des lampes UV. Celle-ci, exprimée en heures, est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif. On rappelle que la fonction de densité $f$ d'une telle variable aléatoire est donnée pour tout réel $t \geqslant 0$ par : $f(t) = \lambda \e^{- \lambda t}$, dont la courbe ci-après est la représentation graphique. \begin{figure} \centering \psset{xunit=0.001cm,yunit=200cm,arrowsize=2pt 3,comma} \begin{pspicture}(-1000,-0.002)(12400,0.031) \multido{\n=0+200}{63}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,0.032)} \multido{\n=0+1000}{13}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,0)(\n,0.032)} \multido{\n=0.001+0.001}{32}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(12400,\n)} \multido{\n=0.005+0.005}{6}{\psline[linewidth=0.45pt](0,\n)(12400,\n)} \multido{\n=0.0000+0.005,\na=0.00000+0.00005}{7}{\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\na}}} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1000,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(12400,0.032) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1000,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(12400,0.03) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12400}{0.00026 2.71828 0.00026 x mul neg exp mul 100 mul} %%%%%%%%%%%%% \uput*[l](0,0.025){\white $\np{0,00025}$} \uput[l](0,0.026){\red\footnotesize $\np{0,00026}$} \end{pspicture} \end{figure} \begin{enumerate} \item %À l'aide du graphique, justifier que : $\lambda = \np{0,00026}$. $f(t) = \lambda \e^{- \lambda t}$ donc $f(0) = \lambda \e^{0}=\lambda$. Donc $\lambda$ est l'ordonnée du point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées, donc $\np{0,00026}$ (voir graphique). \item On considère la proposition suivante : \og en moyenne, une lampe UV tombe en panne au bout de \np{1000}~heures \fg. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$. Or $\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{\np{0,00026}}\approx \np{3846}$. Donc une lampe UV tombe, en moyenne, en panne au bout de $\np{3846}$ heures. La proposition est donc fausse. %Cette proposition est-elle vraie ? Justifier. \item %Montrer que la probabilité qu'une lampe n'ait pas eu de panne au cours des $500$ premières heures est égal à $\e^{-0,13}$. D'après le cours, on sait que si la variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on a: $P(X\leqslant a) = 1-\e^{-\lambda a}$ donc $P(X > a) = 1-\left (1-\e^{-\lambda a}\right )=\e^{-\lambda a}$. Donc la probabilité qu'une lampe n'ait pas eu de panne au cours des $500$ premières heures est:\\ $P(X>500) = \e^{-\np{0,00026}\times 500}=\e^{-0,13} \approx 0,878$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Lors de l'utilisation des lampes UV, on constate que la probabilité de la durée d'utilisation d'une lampe UV prise au hasard dépasse 1000 heures est $p = 0,77$. On prélève au hasard un lot de 50 lampes dans la production, jugée suffisamment importante pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de 50 lampes UV de la production, associe le nombre de lampes UV dont la durée d'utilisation dépasse 1000 heures. %\medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. Il y a deux possibilités pour une lampe: elle a une durée d'utilisation supérieure à \np{1000} heures, avec une probabilité de $p=0,77$, ou elle a une durée d'utilisation inférieure ou égale à \np{1000} heures. On prélève au hasard un lot de 50 lampes dans la production, jugée suffisamment importante pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. Donc la variable aléatoire $Y$ qui, à un échantillon de 50 lampes UV de la production, associe le nombre de lampes UV dont la durée d'utilisation dépasse 1000 heures suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,77$. \item% Déterminer l'arrondi à $10^{-3}$ de la probabilité $P(Y \geqslant 42)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. D'après la calculatrice, $P(Y \geqslant 42) \approx 0,156$. Sur un lot de 50 lampes, il y a une probabilité de $0,156$ qu'au moins 42 lampes dépassent \np{1000} heures de durée d'utilisation. \item %Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. L'espérance de la variable aléatoire $Y$ est $E(Y)=np=50\times 0,77 = 38,5$. Dans un lot de 50 lampes, il y en a, en moyenne, 39 dont la durée d'utilisation dépassera $\np{1000}$ heures. \end{enumerate} \end{document}