\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Hache %Corrigé : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-coil,pstricks-add} \newcommand{\R}{\textbf{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement D}, pdftitle = {Métropole 16 mai 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \newcommand{\e}{\text{\,e\,}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur - corrigé} \lfoot{\small{Groupement D}} \rfoot{\small{16 mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Groupement D\footnote{Analyses de biologie médicale, Bio analyses et contrôles, Biotechnologies, Europlastics et composites, Bioqualité} -- 16 mai 2022~\decofourright\\[6pt]Métropole -- Antilles--Guyane -- Polynésie} %\medskip % %Durée : 2 heures \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 1 \hfill 10 points} \medskip On s'intéresse dans cet exercice à l'évolution, dans un pays de $60$~millions d'habitants, du nombre de personnes équipées d'un certain implant médical. %On exploitera deux modèles distincts. %\bigskip % %\begin{center} %\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante} %\end{center} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Le tableau ci-dessous indique le nombre de personnes de ce pays équipées de l'implant médical depuis 2013. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021\\ \hline Rang de l'année $k_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline Nombre de personnes\newline $N_i$ (en milliers)\newline équipées de l'implant &56,25 &58,1 &60,5 &63 &65,8 &68,7 &72 &75,5 &79,3\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On décide de modéliser cette évolution par une fonction exponentielle et pour cela on effectue le changement de variable $y = \ln(N - 30)$. %\medskip \begin{enumerate} \item %Compléter le tableau donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}. On arrondira les valeurs au millième. On complète le tableau suivant en arrondissant les valeurs au millième. \begin{center} \small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.7cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021\\ \hline Rang de l'année $k_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline Nombre de personnes $N_i$ (en milliers) équipées de l'implant &56,25 &58,1 &60,5 &63 &65,8 &68,7 &72 &75,5 &79,3\\ \hline $y_i=\ln \left(N_i - 30\right)$& $\blue 3,628$ & $\blue 3,336$ & $\blue 3,418$ & $\blue 3,497$ & $\blue 3,578$ & $\blue 3,656$ & $\blue 3,738$ & $\blue 3,818$ & $\blue 3,898$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, on détermine une équation de la droite d'ajustement du nuage de points $M_i\left(k_i,~y_i\right)$ par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au centième: $y=0,08 k + 3,26$. \item% En utilisant cette équation de droite, déduire que le nombre de personnes (en milliers) équipées de l'implant médical dans ce pays, en fonction du rang $k$, peut être modélisé par la fonction $N$ d'expression : $y_i=\ln\left (N_i-30\right )$ signifie que $y=\ln\left (N(k)-30\right )$. $y=0,08 k + 3,26 \iff \ln\left ( N(k)-30\right )= 0,08 k + 3,26 \iff N(k)-30 = \e^{0,08 k + 3,26 }\\ \phantom{y=0,08 k + 3,26} \iff N(k) = 30 + \e^{0,08k}\times\e^{3,26} \iff N(k) = 30 + 26,05\e^{0,08k}$ \end{enumerate} \newpage \item On formule l'hypothèse que le modèle proposé reste valide plusieurs années encore. \begin{enumerate} \item %Quel devrait être le nombre de personnes, au millier près, équipées de l'implant médical dans ce pays en 2026 ? L'année 2026 correspond au rang $k=13$; $N(13)= 30 + 26,05\e^{0,08\times 13}\approx 104$ Le nombre de personnes, au millier près, équipées de l'implant médical dans ce pays en 2026 est estimé à 104 milliers. \item On suppose que le nombre d'habitants du pays reste stable sur le long terme. $\ds\lim_{k\to +\infty} 0,08k = +\infty$ et $\ds\lim_{K\to +\infty} \e^{K} = +\infty$ donc $\ds\lim_{k\to +\infty} \e^{0,08k} = +\infty$ On en déduit que $\ds\lim_{k\to +\infty} N(k) = +\infty$. Donc au bout d'un certain nombre d'années, le nombre $N(k)$ de personnes équipées de l'implant médical sera supérieur à la population du pays qui reste stable à 60 millions; ce n'est pas possible donc ce modèle n'est pas pertinent à long terme. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on considère la fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ qui vérifie $g(0) = 8$ et qui est solution de l'équation différentielle $(E)$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : \[(E) : \quad y' + 0,05y = 0,05\] \smallskip \begin{enumerate} \item Soit l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ : \quad $y' + 0,05y = 0$. On sait que l'équation différentielle $a y' + by = 0$ a pour solutions les fonctions $g_0$ définies par $g_0(t)= k \e^{-\frac{b}{a}t}$ où $k\in\R$; donc l'équation différentielle $y' + 0,05y = 0$ a pour solutions les fonctions $g_0$ définies par $g_0(t)= k \e^{-0,05t}$ où $k\in\R$. \item Soit $y$ une solution constante de l'équation différentielle $(E)$. Alors $y'=0$ et l'équation devient: $0,05y=0,05$ donc $y=1$. $y=1$ est une solution constante de l'équation différentielle $(E)$. \item Sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation différentielle $(E)$ a donc pour solutions les fonctions $g$ définies par: $g(t)=k\e^{-0,05 t} +1$. \item On rappelle que $g(0) = 8$. $g(0) = 8 \iff k\e^{-0,05 \times 0} +1 = 8 \iff k+1=8 \iff k=7$ On en déduit que sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a: $g(t)=1+7\e^{-0,05t}$. \end{enumerate} \end{enumerate} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $f(t) = \dfrac{450}{1 + 7\e^{-0,05t}}$. On admet que cette fonction permet de modéliser l'évolution du nombre de personnes équipées de l'implant médical dans ce pays. Plus précisément, $f(t)$ représente le nombre de personnes, exprimé en milliers, équipées de l'implant médical dans ce pays en fonction du temps $t$ mesuré en années depuis 2013. %Par exemple, $f(1)$ représente le nombre de personnes de ce pays équipées de l'implant médical en 2014. \begin{enumerate}[resume] \item %Déterminer, selon ce modèle, combien de personnes, au millier près, seront équipées de l'implant médical en 2026. Selon ce modèle, le nombre de personnes qui seront équipées de l'implant médical en 2026 est, en milliers $f(13)\approx 96,68$ soit, arrondi au millier, $97$. \item% Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. $\ds\lim_{t\to +\infty} -0,05t = -\infty$ et $\ds\lim_{T \to -\infty} \e^{T}=0$ donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,05t}=0$ On en déduit que: $\ds\lim_{t\to +\infty} \left ( 1+7\e^{-0,05t}\right ) = 1$ et que $\ds\lim_{t\to +\infty} \dfrac{450}{1+7\e^{-0,05t}} = 450$. Donc $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t) = 450$ Cela veut dire que, lorsque le nombre d'années augmentera, le nombre de personnes équipées de l'implant tendra vers $\np{450000}$. \item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu: $f'(t) = \dfrac{315 \e^{-0,05t}}{2\left(1+7 \e^{-0,05t}\right)^2}.$ %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et l'interpréter dans le contexte de l'exercice. Pour tout $t$ de $[0\;;\;+\infty[$, on a: $2\left(1+7 \e^{-0,05t}\right)^2>0$ et $\e^{-0,05t}>0$; on en déduit que pour tout $t$ de $[0\;;\;+\infty[$, on a : $f'(t)>0$. Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\;;\;+\infty[$. Cela signifie que le nombre de personnes équipées de l'implant croît avec le temps. \item Pour déterminer à partir de quelle année le nombre de personnes de ce pays équipées de cet implant médical dépassera \np{120000}, c'est-à-dire $120$ milliers, on résout dans $[0\;;\;+\infty[$ l'inéquation $f(t)>120$. $f(t)>120 \iff \dfrac{450}{1+7\e^{-0,05t}} > 120\\[7pt] \phantom{f(t)>120} \iff 450 > 120 \left (1+7\e^{-0,05t} \right )\qquad \left [\text{car } 1+7\e^{-0,05t} >0\strut \right ]\\[7pt] \phantom{f(t)>120} \iff \dfrac{15}{4} >1+7\e^{-0,05t} \iff \dfrac{ \frac{15}{4} - 1}{7}>\e^{-0,05t}\\[7pt] \phantom{f(t)>120} \iff \dfrac{11}{28}> \e^{-0,05t} \iff \ln\left ( \dfrac{11}{28} \right ) > -0,05t\\[7pt] \phantom{f(t)>120} \iff -\dfrac{\ln\left ( \frac{11}{28} \right ) }{0,05} }(0,0)(0,0)(16,0.21) \psline[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0.007) \psline[linewidth=1.25pt](1,0)(1,0.037) \psline[linewidth=1.25pt](2,0)(2,0.085) \psline[linewidth=1.25pt](3,0)(3,0.143) \psline[linewidth=1.25pt](4,0)(4,0.176) \psline[linewidth=1.25pt](5,0)(5,0.176) \psline[linewidth=1.25pt](6,0)(6,0.146) \psline[linewidth=1.25pt](7,0)(7,0.106) \psline[linewidth=1.25pt](8,0)(8,0.066) \psline[linewidth=1.25pt](9,0)(9,0.037) \psline[linewidth=1.25pt](10,0)(10,0.019) \psline[linewidth=1.25pt](11,0)(11,0.008) \psline[linewidth=1.25pt](12,0)(12,0.006) \psline[linewidth=1.25pt](13,0)(13,0.003) \psline[linewidth=1.25pt](14,0)(14,0.002) \uput[u](15.7,0){\footnotesize $k$}\uput[r](0,0.22){\footnotesize $P(Y = k)$} \end{pspicture} \end{center} Cette représentation graphique suggère que $P(Y = 15) = 0$. On admet que pour tout entier $k \geqslant 1$, on a : $P(Y = k) = \dfrac{5^k\text{e}^{-5}}{1 \times 2 \times \ldots \times k}$. %La conjecture \og $P(Y = 15)$ est égale à 0\fg{} est-elle vraie ou fausse? Justifier. À la calculatrice, on trouve $P(Y=15)\approx 1,572\times 10^{-4} \neq 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Qualité de l'embouteillement} \medskip Un laboratoire analyse la qualité de l'embouteillement en sortie de machine. %\medskip La machine est correctement réglée quand une bouteille remplie contient un volume d'eau dont l'arrondi au centilitre est $75$~cL. On souhaite tester l'hypothèse \og La machine est correctement réglée\fg{} à l'aide d'un test bilatéral au seuil de confiance de $95$\,\%. \begin{list}{\textbullet}{On note :} \item $m$ la quantité moyenne d'eau en centilitres dans une bouteille remplie par la machine; \item $s$ l' écart type correspondant. \end{list} On réalise une mesure du volume d'eau arrondi au centilitre pour un échantillon de 100 bouteilles remplies par la machine. Les résultats obtenus figurent dans le tableau ci-dessous: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Quantité d'eau\newline contenue (cL) &73 &74 &75 &76 &77\\ \hline Nombre de\newline bouteilles &17 &20 &43 &13 &7\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, on trouve la moyenne $\overline{x}=74,73$ et l'écart type $\sigma\approx 1,10$ de cet échantillon. %On donnera la valeur arrondie de l'écart type à $10^{-2}$. \item On souhaite réaliser le test bilatéral suivant au seuil de confiance de 95\,\% : \[ H_0 : \: \og m = 75 \fg{} \: \text{et} \quad H_1 :\: \og m \ne 75\fg.\] On note $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $100$ bouteilles remplies par la machine associe la moyenne du volume d'eau contenue dans les bouteilles, mesuré en centilitres. On suppose que la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $s$. Dans la suite, on remplace l'écart type $s$ des volumes d'eau contenue après remplissage par la machine par son estimateur 0,11. Sous l'hypothèse $H_0$,\: $\overline{Z}$ suit donc la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $0,11$. \begin{enumerate} \item On veut déterminer un nombre réel $h$ vérifiant $P(75 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 75 + h) \approx 0,95$ à $10^{-2}$ près. On sait que pour une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$, on a: $P(m-2\sigma \leqslant X \leqslant m+2\sigma) \approx 0,95$. On pourra donc prendre $h=2\sigma = 2\times 0,11 =0,22$. \item La règle de décision du test est: \og Si la moyenne de l'échantillon appartient à l'intervalle $I_{95}=\left [75-h\;;\;75+h\strut\right ]$, on accepte l'hypothèse $H_0$; sinon on rejette l'hypothèse $H_0$. \fg{} \item $I_{95}=\left [75-h\;;\;75+h\strut\right ] =\left [75-0,22\;;\;75+0,22\strut\right ] = \left [74,78\;;\;75,22\strut\right ]$ D'après les résultats de l'échantillon donné, on a $m=74,73$ et $74,73\notin I$. Donc on ne peut pas accepter l'hypothèse $H_0 :\: \og m = 75 \fg$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{2cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021\\ \hline Rang de l'année $k_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline Nombre de personnes $N_i$ (en milliers) équipées de l'implant &56,25 &58,1 &60,5 &63 &65,8 &68,7 &72 &75,5 &79,3\\ \hline $y_i = \ln \left(N_i - 30\right)$&&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document} %%%%%%%%%%%%%% ???