\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}% %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache % Merci à Philippe Vercruysse et Ronan Charpentier pour le sujet \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Groupement C1}, pdftitle = {2021}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur - corrigé} \lfoot{\small{Groupement C1}} \rfoot{\small{septembre 2020}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt] Métropole -- mai 2021 -- Groupement C1}} \end{center} \vspace{0.4cm} \textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points} \bigskip L'entreprise Boisneuf fabrique des charpentes en bois. Elle souhaite étudier la déformation des pièces de bois qu'elle utilise pour ses charpentes lorsque celles-ci sont soumises à une charge constante. Le jour de l'installation la poutre ne subit aucune déformation. On considère alors la fonction $f$, définie sur $[0~;~ +\infty[$, représentant la déformation en millimètres (mm) de la poutre en fonction du temps $t$ exprimé en jours à partir de l'installation. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item %Expliquer pourquoi $f(0) = 0$. Le jour 0, il n'y a aucune déformation donc $f(0)=0$. \item L'étude physique du phénomène de déformation (dans l'hypothèse où la pièce de bois étudiée ne présente pas de défaut de structure) montre que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E) :\quad 400y' + 5y = 20.$ \begin{enumerate} \item D'après le cours, l'équation différentielle $ay'+by=0$ a pour solutions les fonctions $t \longmapsto k\e^{-\frac{b}{a}t}$ où $k$ est un réel quelconque. Donc l'équation différentielle $(E_0)\;:\quad 400y' + 5y = 0$ a pour solutions les fonctions $t \longmapsto k\e^{-\frac{5}{400}t}$ où $k$ est un réel quelconque, soit les fonctions $t \longmapsto k\e^{-\np{0,0125}t}$ où $k$ est un réel quelconque. \item %Déterminer une solution constante de l'équation différentielle $(E)$. Si $y$ est une fonction constante solution de $(E)$, on a à la fois $400y'+5y=20$ et $y'=0$; on en déduit que $5y=20$ donc que $y=4$. La fonction $t\longmapsto 4$ est la solution constante de $(E)$. \item %Déduire des questions précédentes l'ensemble des solutions de $(E)$. D'après le cours, la solution générale de $(E)$ est la somme de la solution générale de $(E_0)$ et d'une solution particulière de $(E)$; donc la solution générale de $(E)$ est de la forme $t \longmapsto 4+k\e^{-\np{0,0125}t}$ où $k$ est un réel quelconque. \item La fonction $f$ solution de $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 0$ est telle que $4+k\e^{0}=0$; donc $k=-4$ et donc $f(t)=4-4\e^{-\np{0,0125}t}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que pour tout $t$ positif, \, $f(t) = 4\left(1 - \text{e}^{\np{-0,0125}t} \right)$. %La courbe représentative de la fonction est donnée ci-après. \begin{figure} \centering \psset{xunit=0.02cm,yunit=1.2cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-20,-0.25)(625,4.3) \multido{\n=0+10}{61}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,4.25)} \multido{\n=0+50}{13}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,4.25)} \multido{\n=0.0+0.1}{43}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(625,\n)} \multido{\n=0.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(625,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(625,4.3) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{600}{1 2.71828 0.0125 x mul neg exp sub 4 mul} %%%%%%%%%%%%%%%% \psset{linecolor=red} \psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2](150,0)(150,3.39) \psline[ArrowInside=->](150,3.39)(0,3.39) \uput*{9pt}[l](0,3.5){\large\white 000} \uput*{8.5pt}[l](0,3.39){\red $3,4$} %%%%%%%%%%%%%%%% \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.2pt](0,4)(600,4) \rput*(75,4){\red $y=4$} %%%%%%%%%%%%%%%% \newrgbcolor{vb}{0 0.545 0} \psset{linecolor=vb} \psline[ArrowInside=->](0,2)(55.45,2) \psline[ArrowInside=->](55.45,2)(55.45,0) \uput*{9pt}[d](55.45,0){\white 000} \uput*{9pt}[d](55.45,0){\vb $55$} \end{pspicture} \end{figure} \begin{enumerate} \item Avec la précision permise par le graphique, on peut dire que la déformation au bout de $150$ jours est d'environ $3,4$~mm. \item Avec la précision permise par le graphique, on peut dire que le nombre de jours nécessaire pour que la déformation atteigne $2$~mm est d'environ 55. \item% Déterminer, par le calcul, la déformation limite de la poutre à long terme. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat ? La déformation limite de la poutre à long terme est $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)$. On sait que $\ds\lim_{T\to +\infty} \e^{-T}=0$ donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-\np{0,0125}t}=0$, et donc $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)=4$. La déformation limite de la poutre à long terme est donc de 4~mm. On en déduit que la courbe représentant la fonction $f$ admet la droite d'équation $y=4$ comme asymptote horizontale en $+\infty$. \item Pour tout $t \in [0~;~ +\infty[$, $f(t)=4-4\e^{\np{-0,0125}t}$ donc\\ $f'(t) = 0-4\times (\np{-0,0125})\e^{\np{-0,0125}t} = 0,05\e^{\np{-0,0125}t}$ \item% Étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. Pour tout $T$, on sait que $\e^{T}>0$, donc pour tout $t$, $\e^{\np{-0,0125}t}>0$ donc $f'(t)>0$.\\ La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0\;;\;+\infty[$. \item Le nombre de jours à partir duquel la déformation atteint 90\,\% de sa valeur limite est le plus petit $t$ tel que $f(t) \geqslant 0,9\times 4$; on résout cette inéquation. $f(t) \geqslant 0,9\times 4 \iff 4\left (1-\e^{-\np{0,0125}t}\right ) \geqslant 0,9\times 4 \iff 1-\e^{-\np{0,0125}t} \geqslant 0,9 \iff 0,1 \geqslant \e^{-\np{0,0125}t}\\ \phantom{f(t) \geqslant 0,9\times 4} \iff \ln(0,1) \geqslant -\np{0,0125}t \iff -\dfrac{\ln(0,1)}{-\np{0,0125}} \leqslant t$ $-\dfrac{\ln(0,1)}{-\np{0,0125}} \approx 184,2$ donc c'est le 185\ieme{} jour que la déformation atteint 90\,\% de sa valeur limite. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip La scierie Bonbois réalise une étude sur sa production de planches. En sortie de production, elle constate deux types de défaut : des défauts de structure (nœuds, ...) et des défauts de rugosité de surface. %Aucun de ces défauts n'altère la résistance des planches. En revanche, pour des raisons esthétiques, l'utilisation des planches présentant au moins un défaut est proscrite par l'entreprise. On prélève au hasard une planche dans la production de l'entreprise. On note les évènements suivants : \begin{list}{\textbullet}{} \item $S$ : \og La planche présente un défaut de structure. \fg, de probabilité $0,03$ ; \item $R$ : \og La planche présente un défaut de rugosité. \fg, de probabilité $0,05$. \end{list} On admet que les évènements $S$ et $R$ sont indépendants. \begin{enumerate} \item L'évènement \og La planche présente les deux défauts \fg{} est l'événement \og La planche présente un défaut de structure et la planche présente un défaut de rugosité. \fg{}.\\ C'est donc l'événement $S\cap R$. Les évènements $S$ et $R$ sont indépendants donc\\ $P(S\cap R)=P(S)\times P(R)=0,03\times 0,05 = \np{0,0015}$. \item L'évènement $\overline{S} \cap \overline{R}$ décrit \og La planche ne possède pas de défaut de structure et la planche ne possède pas de défaut de rugosité. \fg{} . \\ Autrement dit: \og La planche ne possède aucun défaut. \fg{} . $P\left (\overline{S}\right ) = 1-P(S)=1-0,03=0,97$ et $P\left (\overline{R}\right ) = 1-P(R)=1-0,05=0,95$ Les évènements $S$ et $R$ sont indépendants donc les événements $\overline{S}$ et $\overline{R}$ le sont aussi, donc: $P\left (\overline S\cap \overline R\right )=P\left (\overline S\right )\times P\left (\overline R\right )= 0,97\times 0,95 = \np{0,9215}$. \item L'évènement $D$ : \og La planche présente au moins un défaut. \fg{} est l'événement contraire de \og La planche ne présente aucun défaut/ \fg{}. Donc $P(D)=1-P\left (\overline S\cap \overline R\right ) = 1-\np{0,9215}=\np{0,0785}$. \item On choisit une planche présentant au moins un défaut; la probabilité $p$ qu'elle présente les deux défauts est: $p= P_D(S\cap R) = \dfrac{P\left ((S\cap R)\cap D\right )}{P(D)}$. Mais si une planche possède les deux défauts, ça signifie qu'elle possède au moins un défaut donc $S\cap R \subset D$ et donc $(S\cap R)\cap D= S\cap R$. On en déduit que $p=\dfrac{P(S\cap R)}{P(D)} = \dfrac{\np{0,0015}}{\np{0,0785}} \approx 0,02$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %\emph{Dans cette partie les résultats seront arrondis au millième.} % %\medskip On admet pour la suite que la probabilité qu'une planche présente au moins un défaut est de \np{0,0785}. On prélève au hasard $15$ planches dans le stock de l'entreprise. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $15$ planches, associe le nombre de planches qui présentent au moins un défaut. %\medskip \begin{enumerate} \item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. Une planche n'a que deux possibilités: elle présente au moins un défaut, avec une probabilité $p=\np{0,0785}$, ou elle ne présente aucun défaut, avec une probabilité $1-p=\np{0,9215}$. On prélève au hasard $15$ planches dans le stock de l'entreprise. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. Donc la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $15$ planches, associe le nombre de planches qui présentent au moins un défaut suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=\np{0,0785}$. \item La probabilité que, dans un tel prélèvement, exactement deux planches présentent au moins un défaut est: $P(X=2) = \ds\binom{15}{2}\times \np{0,0785}^{2}\times \left (1-\np{0,0785}\right )^{15-2} \approx 0,224$. \item On cherche la probabilité que, dans un tel prélèvement, $12$ planches au moins ne présentent aucun des deux défauts. Si 12 planches au moins ne présentent aucun défaut, cela signifie que 3 planches au plus présentent au moins un défaut. La probabilité de cet événement est donc: $P(X\leqslant 3) \approx 0,974$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Une entreprise de meubles commande des planches de longueur 2 mètres à la scierie Bonbois. La scierie affirme que 94\,\% des planches de sa production sont conformes en longueur. L'entreprise doute de cette affirmation et réalise un test d'hypothèse bilatéral au seuil de risque de 5\,\% pour vérifier. On note l'hypothèse $H_0$ : \og $p = 0,94$ \fg. On appelle $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$ planches prélevées au hasard dans la production de la scierie, associe la fréquence des planches conformes. On admet que, sous l'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $F$ suit la loi normale de moyenne $0,94$ et d'écart-type $\sqrt{\dfrac{0,94(1 - 0,94)}{100}}$. %\medskip \begin{enumerate} \item Sous l'hypothèse $H_0$, l'intervalle $[m~;~M]$ centré en $0,94$ tel que $p(m \leqslant F \leqslant M) = 0,95$ est, d'après le cours, l'intervalle\\ $I=\left [ 0,94 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,94(1 - 0,94)}{100}}\;;\; 0,94 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,94(1 - 0,94)}{100}} \right ] \approx \left [ 0,89\;;\; 0,99\strut \right ]$. %On arrondira les valeurs à $10^{-2}$. \item L'hypothèse alternative $H_1$ du test est: \og $p\neq 0,94$ \fg{}. \item %Énoncer la règle de décision du test. \begin{list}{\textbullet}{On peut énoncer la règle de décision:} \item si la proportion de planches conformes dans l'échantillon n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation $I$, alors on rejette l'hypothèse nulle, au risque de 5\,\%; \item sinon, on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle. \end{list} \item Sur un échantillon de $100$ poutres, on a compté $92$ planches conformes en longueur, ce qui fait une fréquence de $0,92$. $0,92 \in \left [ 0,89\;;\; 0,99\strut \right ]$ donc il n'y a pas de raison de rejeter l'hypothèse nulle, au risque de 5\,\%. L'entreprise n'a donc pas de raison de douter de l'affirmation de la scierie. \end{enumerate} \end{document}