\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,mathrsfs,geometry} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{multicol,diagbox} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \usepackage{tikz} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{graphicx} %\usepackage{xcolor} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage[dvipsnames]{pstricks} \usepackage{pst-bezier,pst-solides3d,pstricks-add}%pst-solides pour la figure du début \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %echelon unité \newcommand{\U}{\mathscr{U}} \usepackage{pst-bezier,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement A1}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie - mai 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} %signe inferieur ou egal francais \renewcommand{\leq}{\leqslant} %signe superieur ou egal francais \renewcommand{\geq}{\geqslant} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %\pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} {\textbf{\large Brevet de technicien supérieur - Nouvelle Calédonie session 2017 - groupement A2}} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item Réponse \textbf{a.~~} : La fonction $v$ est impaire car sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. \item Réponse \textbf{a.~~} : La fonction $v$ est périodique de période $0,02$ donc $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{0,02}=100\pi$. \item Réponse \textbf{c.~~} : Le coefficient $a_0$ est égal à 0 car la fonction $v$ est impaire. \item Réponse \textbf{b.~~} : $V_{\text{ef}}^2 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T [v(t)]^2\:\text{d}t=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}} [v(t)]^2\:\text{d}t $ car $v$ est impaire et donc $v^2$ est paire.\\ $V_{\text{ef}}^2 = \dfrac{2}{0,02}\displaystyle\int_0^{0,01} [v(t)]^2\:\text{d}t=100\displaystyle\int_{0,002}^{0,008} 220^2\:\text{d}t=$ $100[220^2t]_{0,002}^{0,008}=100(220^2 \times 0,008-220^2 \times 0,002)= \np{29040}$. Ainsi $V_{\text{ef}} =\sqrt{\np{29040}} \simeq 170$ \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Partie A : Étude des dimensions des tablettes} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $P(241,9 \leqslant L \leqslant 243,1) \simeq \np{0,9973}$. \item $99,73$\,\% des tablettes ont une longueur compatible avec leur étui. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Tableau de valeurs : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $\alpha$& 0,27 &0,28 &0,29 &0,30\\ \hline $P(166,8 - \alpha \leqslant l \leqslant 166,8 + \alpha)$&0,9931&0.9949&0,9963&0,9973\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item $\alpha=0,29$ et $[166,8 - \alpha~;~166,8 + \alpha]=[166,51~;~167,09]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude d'un défaut de l'étui} \begin{enumerate} \item R suit une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,015$. \item $P(R = 2) \simeq 0,253$. La probabilité d'avoir exactement 2 étuis présentant un défaut de rigidité dans un lot est de 0,253. \item $P(R>5)=1-P(R\le 5) \simeq 0,004$ donc on peut affirmer que la probabilité qu'un lot de 100 étuis prélevés dans la production comporte plus de 5 étuis présentant un défaut de rigidité est inférieure à $0,02$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Étude des délais de livraison} \begin{enumerate} \item $P(0 \leqslant D \leqslant 15) = \displaystyle\int_0^{15} \dfrac{1}{8}\text{e}^{- \frac{1}{8}t} \:\text{d}t= [-\text{e}^{- \frac{1}{8}t}]_0^{15}=-\text{e}^{- \frac{15}{8}}+\text{e}^0=1-\text{e}^{- \frac{15}{8}} \simeq 0,847$. \item \begin{enumerate} \item Calculons la dérivée de $G$ : \\ $-t\text{e}^{- \frac{1}{8}t}$ est de la forme $uv$ avec $u(t)=-t$ et $v(t)=\text{e}^{- \frac{1}{8}t}$.\\ Ainsi $G'(t) = u'(t)v(t)+u(t)v'(t) - (8\text{e}^{- \frac{1}{8}t})'$ avec $u'(t)=-1$ et $v'(t)=-\dfrac{1}{8}\text{e}^{- \frac{1}{8}t}$.\\ On a alors : $G'(t)=-\text{e}^{- \frac{1}{8}t}+\dfrac{1}{8}t\text{e}^{- \frac{1}{8}t}+8\times \dfrac{1}{8}\text{e}^{- \frac{1}{8}t}=-\text{e}^{- \frac{1}{8}t}+\dfrac{1}{8}t\text{e}^{- \frac{1}{8}t}+\text{e}^{- \frac{1}{8}t}=\dfrac{1}{8}t\text{e}^{- \frac{1}{8}t}$\\ Donc la fonction $G$ est une primitive de la fonction $t \longmapsto \dfrac{1}{8}t\text{e}^{- \frac{1}{8}t}$. \item $I(x) = \displaystyle\int_0^x \dfrac{1}{8}t\text{e}^{- \frac{1}{8}t} \:\text{d}t=[G(t)]_0^x=G(x)-G(0)=-x\text{e}^{- \frac{1}{8}x}-8\text{e}^{- \frac{1}{8}x}-(0-8\text{e}^0)=-x\text{e}^{- \frac{1}{8}x}-8\text{e}^{- \frac{1}{8}x}+8$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$ donc $E(D)=8$. \item En moyenne, le client attendra 8 jours entre la commande et la livraison. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 3 \hfill 7 points} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Tableau de valeurs de $e$ :\\ \begin{center} \begin{tabular}{|p{3cm}|*{4}{p{1.5cm}|}} \hline \centering $t$ & $-\infty$ & 0 & 10 \hfill $+\infty$ \\ \hline $t \mathcal{U}(t)$ & 0 & t & t \\ \hline $(t-10) \mathcal{U}(t-10)$ & 0 & 0 & t-10 \\ \hline $e(t)$ & 0 & t & 10 \\ \hline \end{tabular} \end{center} Donc $e(t)= \left\{ \begin{array}{l c l} 0 &\quad \text{si }& t < 0\\ t &\quad \text{si }& 0 \le t < 10\\ 10 &\quad \text{si } & t \ge 10\\ \end{array}\right.$ \item Document réponse :\\ \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.6cm} \begin{pspicture}(-3,-0.5)(15,13) \multido{\n=-3+1}{19}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,13)} \multido{\n=0+2}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-3,\n)(15,\n)} \psline[linewidth=2pt](-3,0)(0,0) \psline[linewidth=2pt](0,0)(10,10) \psline[linewidth=2pt](10,10)(15,10) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,0)(15,13) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(-3,0)(15,13) \end{pspicture} \end{enumerate} \medskip \item $E(p)=\mathcal{L}(t\mathcal{U}(t))-\mathcal{L}((t-10)\mathcal{U}(t-10))=\dfrac{1}{p^2}-\dfrac{1}{p^2}\text{e}^{-10p}$\\ Ainsi $S(p)=H(p) \times E(p)=\dfrac{150}{10p+1} \left(\dfrac{1}{p^2}-\dfrac{1}{p^2}\text{e}^{-10p} \right)=\dfrac{150}{p^2(10p+1)}-\dfrac{150}{p^2(10p+1)}\text{e}^{-10p}$. \item On a : $F(p) = \dfrac{1}{p^2(10p+ 1)}=\dfrac{1}{p^2} - \dfrac{10}{p} + \dfrac{100}{10p + 1}=\dfrac{1}{p^2} - \dfrac{10}{p} + \dfrac{10}{p + 0,1}$.\\ Donc $f(t)=\mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{1}{p^2} \right)-\mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{10}{p} \right)+\mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{10}{p + 0,1} \right)=t\mathcal{U}(t)-10\mathcal{U}(t)+10\text{e}^{-0,1t}\mathcal{U}(t) $. \item \begin{enumerate} \item $s(t)=150 f(t)-150 f(t-10)$\\ $=150t\mathcal{U}(t)-1500\mathcal{U}(t)+1500\text{e}^{-0,1t}\mathcal{U}(t)-150(t-10)\mathcal{U}(t-10)+1500\mathcal{U}(t-10)-1500\text{e}^{-0,1(t-10)}\mathcal{U}(t-10)$ \item Ainsi, pour $t \geqslant 10$, $s(t)=150t-1500+1500\text{e}^{-0,1t}-150(t-10)+1500-1500\text{e}^{-0,1(t-10)}$\\ $=150t-1500+1500\text{e}^{-0,1t}-150t+1500+1500-1500\text{e}^{-0,1t+1}= 1500 + 1500\left(\text{e}^{-0,1t} - \text{e}^{-0,1t+1}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La limite de la fonction $s$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ semble être 1500. \item On a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,1t} = 0$ donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,1t+1}=\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,1t} \times \text{e}^1 = 0$. Ainsi, $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} s(t) = 1500+1500 \times 0= 1500$. \item La vitesse du moteur se stabilise à 1500 tours par minute au bout d'un certain temps. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}