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{\textbf{\large Brevet de technicien supérieur - Nouvelle Calédonie session 2017 - groupement A2}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réponse \textbf{a.~~} :   La fonction $v$ est impaire car sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère.
\item Réponse \textbf{a.~~} :   La fonction $v$ est périodique de période $0,02$ donc $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{0,02}=100\pi$. 
\item Réponse \textbf{c.~~} : Le coefficient $a_0$ est égal à 0 car la fonction $v$ est impaire.
\item Réponse \textbf{b.~~} :  $V_{\text{ef}}^2 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T [v(t)]^2\:\text{d}t=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}} [v(t)]^2\:\text{d}t $ car $v$ est impaire et donc $v^2$ est paire.\\
$V_{\text{ef}}^2 = \dfrac{2}{0,02}\displaystyle\int_0^{0,01} [v(t)]^2\:\text{d}t=100\displaystyle\int_{0,002}^{0,008} 220^2\:\text{d}t=$

$100[220^2t]_{0,002}^{0,008}=100(220^2 \times 0,008-220^2 \times 0,002)= \np{29040}$. Ainsi $V_{\text{ef}} =\sqrt{\np{29040}} \simeq 170$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude des dimensions des tablettes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $P(241,9 \leqslant L \leqslant 243,1) \simeq \np{0,9973}$. 
		\item $99,73$\,\% des tablettes ont une longueur compatible avec leur étui.
 	\end{enumerate}	
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Tableau de valeurs :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
$\alpha$& 0,27 &0,28 &0,29 &0,30\\ \hline
$P(166,8 - \alpha \leqslant l \leqslant 166,8 + \alpha)$&0,9931&0.9949&0,9963&0,9973\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item $\alpha=0,29$ et $[166,8 - \alpha~;~166,8 + \alpha]=[166,51~;~167,09]$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'un défaut de l'étui}


\begin{enumerate}
\item R suit une loi binomiale de paramètres  $n=100$ et $p=0,015$.
\item $P(R = 2) \simeq 0,253$. La probabilité d'avoir exactement 2 étuis présentant un défaut de rigidité dans un lot est de 0,253.
\item $P(R>5)=1-P(R\le 5) \simeq 0,004$ donc on peut affirmer que la probabilité qu'un lot de 100 étuis prélevés dans la production comporte plus de 5 étuis présentant un défaut de rigidité est inférieure à $0,02$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude des délais de livraison}






\begin{enumerate}
\item $P(0 \leqslant D \leqslant 15) = \displaystyle\int_0^{15} \dfrac{1}{8}\text{e}^{- \frac{1}{8}t} \:\text{d}t= [-\text{e}^{- \frac{1}{8}t}]_0^{15}=-\text{e}^{- \frac{15}{8}}+\text{e}^0=1-\text{e}^{- \frac{15}{8}} \simeq 0,847$.


\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la dérivée de $G$ : \\
		$-t\text{e}^{- \frac{1}{8}t}$ est de la forme $uv$ avec $u(t)=-t$ et $v(t)=\text{e}^{- \frac{1}{8}t}$.\\
		Ainsi $G'(t) = u'(t)v(t)+u(t)v'(t) - (8\text{e}^{- \frac{1}{8}t})'$ avec $u'(t)=-1$ et $v'(t)=-\dfrac{1}{8}\text{e}^{- \frac{1}{8}t}$.\\
		On a alors : $G'(t)=-\text{e}^{- \frac{1}{8}t}+\dfrac{1}{8}t\text{e}^{- \frac{1}{8}t}+8\times \dfrac{1}{8}\text{e}^{- \frac{1}{8}t}=-\text{e}^{- \frac{1}{8}t}+\dfrac{1}{8}t\text{e}^{- \frac{1}{8}t}+\text{e}^{- \frac{1}{8}t}=\dfrac{1}{8}t\text{e}^{- \frac{1}{8}t}$\\

Donc la fonction $G$ est une primitive de la fonction $t \longmapsto \dfrac{1}{8}t\text{e}^{- \frac{1}{8}t}$.
		\item $I(x) = \displaystyle\int_0^x \dfrac{1}{8}t\text{e}^{- \frac{1}{8}t} \:\text{d}t=[G(t)]_0^x=G(x)-G(0)=-x\text{e}^{- \frac{1}{8}x}-8\text{e}^{- \frac{1}{8}x}-(0-8\text{e}^0)=-x\text{e}^{- \frac{1}{8}x}-8\text{e}^{- \frac{1}{8}x}+8$
 	\end{enumerate}
\item  

	\begin{enumerate}
		\item On a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$ donc  $E(D)=8$. 
		\item  En moyenne, le client attendra 8 jours entre la commande et la livraison.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}



\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tableau de valeurs de $e$ :\\
		\begin{center}
\begin{tabular}{|p{3cm}|*{4}{p{1.5cm}|}} \hline
\centering $t$ & $-\infty$ & 0 & 10  \hfill $+\infty$ \\ \hline
$t \mathcal{U}(t)$ &  0 & t &  t  \\ \hline
$(t-10) \mathcal{U}(t-10)$ &  0 &  0 &  t-10  \\ \hline
 $e(t)$ &  0 &  t & 10  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Donc $e(t)= \left\{ \begin{array}{l c l}
0 &\quad  \text{si }& t < 0\\
t &\quad  \text{si }& 0 \le t < 10\\
10 &\quad  \text{si } & t \ge 10\\
\end{array}\right.$





		\item Document réponse :\\
	\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.5)(15,13)
\multido{\n=-3+1}{19}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,13)}
\multido{\n=0+2}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-3,\n)(15,\n)}
\psline[linewidth=2pt](-3,0)(0,0)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(10,10)
\psline[linewidth=2pt](10,10)(15,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,0)(15,13)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(-3,0)(15,13)
\end{pspicture}	
		
		
	\end{enumerate}	
		
\medskip





\item $E(p)=\mathcal{L}(t\mathcal{U}(t))-\mathcal{L}((t-10)\mathcal{U}(t-10))=\dfrac{1}{p^2}-\dfrac{1}{p^2}\text{e}^{-10p}$\\
Ainsi $S(p)=H(p) \times E(p)=\dfrac{150}{10p+1} \left(\dfrac{1}{p^2}-\dfrac{1}{p^2}\text{e}^{-10p} \right)=\dfrac{150}{p^2(10p+1)}-\dfrac{150}{p^2(10p+1)}\text{e}^{-10p}$.
\item On a : $F(p) = \dfrac{1}{p^2(10p+ 1)}=\dfrac{1}{p^2} - \dfrac{10}{p} + \dfrac{100}{10p + 1}=\dfrac{1}{p^2} - \dfrac{10}{p} + \dfrac{10}{p + 0,1}$.\\
Donc $f(t)=\mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{1}{p^2} \right)-\mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{10}{p} \right)+\mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{10}{p + 0,1} \right)=t\mathcal{U}(t)-10\mathcal{U}(t)+10\text{e}^{-0,1t}\mathcal{U}(t) $.



\item 
	\begin{enumerate}
		\item $s(t)=150 f(t)-150 f(t-10)$\\
		$=150t\mathcal{U}(t)-1500\mathcal{U}(t)+1500\text{e}^{-0,1t}\mathcal{U}(t)-150(t-10)\mathcal{U}(t-10)+1500\mathcal{U}(t-10)-1500\text{e}^{-0,1(t-10)}\mathcal{U}(t-10)$ 
		\item Ainsi, pour $t \geqslant 10$,  $s(t)=150t-1500+1500\text{e}^{-0,1t}-150(t-10)+1500-1500\text{e}^{-0,1(t-10)}$\\
		$=150t-1500+1500\text{e}^{-0,1t}-150t+1500+1500-1500\text{e}^{-0,1t+1}= 1500 + 1500\left(\text{e}^{-0,1t} - \text{e}^{-0,1t+1}\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La limite de la fonction $s$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ semble être 1500.
		\item On a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,1t} = 0$ donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,1t+1}=\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,1t} \times \text{e}^1 = 0$. Ainsi, $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} s(t) = 1500+1500 \times 0= 1500$.
		\item La vitesse du moteur se stabilise à 1500 tours par minute au bout d'un certain temps.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}
