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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Anne Marchand
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}

%\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\textbf{\Large Corrigé du brevet de technicien supérieur - Métropole session 2017\\[6pt] groupement A2}}
\end{center}


\vspace{0,25cm}


\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textbf{Partie A: Étude de la vitesse de rotation du moteur lors de son démarrage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item A l'instant $t = 0$, $\omega=0$ tour/s.
		\item A l'instant $t = 1$, $\omega=9$ tour/s.
		\item La vitesse de rotation semble se stabiliser à $\omega_{\text{S}}=15$ tour/s.
		\item 95\% de la vitesse stabilisée donne : $0,95 \times 15=14,25$s.
		Graphiquement, on lit $t = 2,3$ pour $\omega=14,25$ tour/s.\\
		Donc la vitesse atteint 95\% de la vitesse stabilisée au bout de 2,3s.
		\end{enumerate}
\item 

	\begin{enumerate}
		\item $\omega$ est de la forme $15-uv$ où $u$ et $v$ sont définies par $u(t)=30t+15$ et $v(t)=\text{e}^{- 2t} $. \\
		On a alors $\omega'=0-\left(u'v+uv'\right)$ où $u'$ et $v'$ sont définies par $u'(t)=30$ et $v'(t)=-2\text{e}^{- 2t} $.\\
		Ainsi, pour tout $t\ge 0$, on a 
		
$\omega'(t) =-\left(30 \text{e}^{- 2 t}-2(30t+15)\text{e}^{- 2t}\right)=-30 \text{e}^{- 2 t}+60t \text{e}^{- 2 t}+30 \text{e}^{- 2 t}=60t \text{e}^{- 2 t}$.
		\item Pour tout $t\ge 0$, on a $60t\ge 0$ et $\text{e}^{- 2 t} > 0$. Donc sur $[0~;~+ \infty[$, $\omega'(t) \geq 0$ et la fonction $\omega$ est croissante.
		\item $\omega'(0)= 0$. Donc la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est parallèle à l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Résolution d'une équation différentielle permettant d'obtenir la vitesse de
rotation}

\medskip



\begin{enumerate}
\item On résout l'équation caractéristique associée : $\dfrac{1}{4}r^2 + r + 1  = 0$\\
On a $\Delta=1^2-4\times \dfrac{1}{4} \times 1=0$ donc l'équation admet une solution : $r=\dfrac{-1}{2 \times \dfrac{1}{4}}=\dfrac{-1}{ \dfrac{1}{2}}=-2$.\\
Les solutions de l'équation homogène sont : $t \longmapsto (At + B)\text{e}^{-2t}$, avec $A$ et $B$  constantes réelles.

\item $g$ est constante donc $g'(t)=g''(t)=0$. On a alors : $\dfrac{1}{4}g''(t) + g'(t) + g(t)= \dfrac{\text{U}}{k}$. L'égalité est vérifiée dont la fonction $g$ est une solution de l'équation $(E)$.
\item Les solutions de l'équation différentielle de $(E)$ sont définies sur $\R$ par $t \longmapsto (At + B)\text{e}^{-2t}+\dfrac{\text{U}}{k}$ avec $A$ et $B$  constantes réelles (solutions=solutions de l'équation homogène + solution particulière) .
\item On a $\dfrac{\text {U}}{k}=\dfrac{10}{\dfrac{2}{3}}=15$.\\
Dans ce cas, $\omega (t)=15-(30t+15)\text{e}^{- 2t}$ est bien de la forme $(At + B)\text{e}^{-2t}+\dfrac{\text{U}}{k}$ en prenant $A=-30$ et $B=-15$.\\
De plus, $\omega(0)=15-15\text{e}^0=0$ et $\omega'(0)=0$.\\
Donc la fonction $\omega$ est bien la solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$.
\end{enumerate}



\textbf{Partie C : Détermination de la vitesse de rotation d'un moteur à courant continu à 
partir des principes de la physique}

\medskip


\begin{enumerate}
\item On a $\Delta=0,36^2-4\times 0,09 \times 1=-0,2304<0$ donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

 $z_1=\dfrac{-0,36+j\sqrt{0,2304}}{2 \times 0,09}=\dfrac{-0,36+0,48j}{0,18}=-2+\dfrac{8}{3}j$ et $z_2=-2+\dfrac{8}{3}j$.
\item De ce qui précède, on déduit que les solutions de l'équation homogène associée à  $\left(E_1 \right)$ sont définies sur $\R$ par $t \longmapsto \text{e}^{-2 t} \left(A \cos \left(\dfrac{8}{3} t\right) + B \sin\left(\dfrac{8}{3} t\right)\right)$, avec $A$ et $B$ constantes réelles.

De plus la fonction constante définie par $f(t)=15$ est une solution particulière de l'équation $\left(E_1 \right)$.\\
Donc les solutions de l'équation $\left(E_1 \right)$ sont définies sur $\R$ par 

$t \longmapsto 15+ \text{e}^{-2 t} \left(A \cos \left(\dfrac{8}{3} t\right) + B \sin\left(\dfrac{8}{3} t\right)\right)$, avec $A$ et $B$ constantes réelles.

Les fonctions 1 et 3 ne sont pas de cette forme, elles ne conviennent pas.

En 0, la fonction 4 vaut $15-\text{e}^{0}(\cos(0)+0)=14$. La condition initiale $y(0) = 0$ n'est pas vérifiée donc la fonction 4 ne convient pas.

Donc la fonction 2 est la solution cherchée.
\item La vitesse maximale du moteur est d'environ 16,5 tour/s, elle est atteinte après environ 1,2s.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : Comportement d'un moteur soumis à différents sauts de tension}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les tensions ont été modifiées à $t=3s$ et à $t=7s$.
\item Document réponse :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.12,>=latex]
\draw [thick,->] (0,0) -- (15.1,0) ;
\draw [thick,->] (0,0) -- (0,47) ;
\draw [gray] (0,0) grid [xstep=1, ystep = 5] (15.1,47) ;
\draw [thick,-] (0,10) -- (3,10) ;
\draw [thick,-] (3,30) -- (7,30) ;
\draw [thick,-] (7,20) -- (15.1,20) ;
\foreach \i in {5,10,...,45} { \node at (0,\i) [ left] { \small \i} ; } ;
\foreach \i in {1,...,15} { \node at (\i,0) [ below ] {\small
  \np{\i}} ; } ;

\node at (0,47) [anchor = west ] {tension en Volt} ;
\node at (15,0) [anchor = south east ] {temps en secondes } ;

\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Document réponse :
		
		{\centering\begin{pspicture}(0,0)(11,2.5)
	\psframe(0,0)(11,2.5) \psline(3,0)(3,2.5) \psline(0,0.5)(11,0.5) \psline(0,1)(11,1)
	\psline(0,1.5)(11,1.5) \psline(0,2)(11,2) \psline(5,0)(5,2) \psline(7,0)(7,2) \psline(9,0)(9,2)
	\rput(1.5,2.25){$t$} \rput(1.5,1.75){$10 \mathcal{U}(t)$} \rput(1.5,1.25){$30 \mathcal{U}(t-3)$}
	\rput(1.5,0.75){$-20 \mathcal{U}(t-7)$} \rput(1.5,0.25){$e(t)$}
	\uput{0.1}[r](3,2.25){$-\infty$}  \uput{0.1}[l](11,2.25){$+\infty$}
	\rput(5,2.25){$0$} \rput(7,2.25){$3$} \rput(9,2.25){$7$}
	\rput(4,1.75){0} \rput(6,1.75){10} \rput(8,1.75){10} \rput(10,1.75){10}
	\rput(4,1.25){0} \rput(6,1.25){0} \rput(8,1.25){30} \rput(10,1.25){30}
	\rput(4,0.75){0} \rput(6,0.75){0} \rput(8,0.75){0} \rput(10,0.75){$-20$}
	\rput(4,0.25){0} \rput(6,0.25){10} \rput(8,0.25){40} \rput(10,0.25){20}
\end{pspicture}\par}

		\item Dans le tableau, sur $[3;7]$,  $e(t)=40V$ et non $30V$. L'expression est donc inexacte.
		\item $e(t)=10 \mathcal{U}(t)+20 \mathcal{U}(t-3)-10 \mathcal{U}(t-7)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 }

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe 3 représente la fonction $f$. 
\item 
\begin{enumerate}
      \item $f$ est paire donc $b_n = 0$ pour tout $n$ entier naturel supérieur
        ou égal à 1.
      \item Montrons que $g'(t)=t \sin t$ pour tout réel $t$ : \\
        $-t\cos(t) $ est de la forme $uv$ où $u$ et $v$ sont définies par $u(t)=-t$ et $v(t)=\cos t $.

On a alors $g'=u'v+uv'+(\sin t)'$ où $u'$ et $v'$ sont définies par $u'(t)=-1$ et 

$v'(t)=-\sin t $.

Ainsi $g'(t)=-\cos t+t \sin t+\cos t=t \sin t$. Donc $g$ est une primitive de $t \longmapsto t \sin t$.
      \item $a_0 = \frac2{\pi} \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2} f(t) \mathrm{d}t=\frac2{\pi} \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2} t \sin t \mathrm{d}t=\frac2{\pi} \left[g(t)\right]_0^{\frac{\pi}2}=\frac2{\pi} \left[-t \cos t+\sin t\right]_0^{\frac{\pi}2}=\frac2{\pi} \left(-\frac{\pi}2 \cos \frac{\pi}2+\sin \frac{\pi}2\right)=\frac2{\pi}$.
\end{enumerate}
\item $a_1 =
    \frac2{\pi}(-1)\left( \frac1{3^2} + \frac1{1^2}\right)=-\frac2{\pi}\left( \frac1{9} + 1\right)=\frac{-20}{9 \pi} \simeq -0,707$\\
$a_2 =
    \frac2{\pi}(-1)^2\left( \frac1{5^2} + \frac1{3^2}\right)=\frac2{\pi}\left( \frac1{25} +\frac1{9} \right)=\frac{68}{225 \pi} \simeq 0,096$\\
\item 
    \begin{enumerate}
		\item $f_e^2 \simeq a_0^2 + \frac12\displaystyle\sum_{n=1}^2\left(a_n^2 + b_n^2\right) \simeq \left( \dfrac{2}{\pi} \right)^2+\dfrac{1}{2}(0,707^2+0,096^2) \simeq 0,659817$. Donc $f_e \simeq 0,812$ 
		\item $f_e$ est la valeur efficace du signal sur une période.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B :}

\mzsqkip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $n = 10$ et $p=0,02$.
		\item $p_1=P(X=0) \simeq 0,817$ 
		\item $p_2=P(X \ge 2)=1-P(X < 2) \simeq 1-0,817-0,167 \simeq 0,016$ 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $P(14,4 \le D \le 15,9) \simeq 1-0,0098-0,0038 \simeq 0,9864$
		\item On sait que $P(\mu-2 \sigma \le D \le \mu+2 \sigma)=0,95$.
		
On choisit $\mathrm{L_{S_1}}=\mu-2 \sigma=15,20-2 \times 0,3=14,6$ et $\mathrm{L_{S_2}}=\mu+2 \sigma=15,20+2 \times 0,3=15,8$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\scriptsize $d=\dfrac{15,1 \times 1+ 15,12 \times 2+15,14 \times 3+15,16 \times 4+15,18 \times 3+15,2 \times 2+15,22 \times 2+15,24 \times 1 + 15,26 \times 1+15,28 \times 1}{20} }= 15,178$ \normalsize{}
		\item $d \in [\mathrm{L_{S_1}};\mathrm{L_{S_2}}]$ donc le service de maintenance n'intervient pas. 
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
