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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Ane Marchand
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\setlength\parindent{0mm}



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\thispagestyle{empty}

{\textbf{\large Corrigé du BTS groupement A - Métropole session 2016}

\medskip

\begin{multicols}{2}
  
\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $kR=0,115 \times 34,8=4,002$.\\
Ainsi $\theta(t) + kR\dfrac{\text{d}\theta}{\text{d}t}(t) = Rf(t) $ équivaut à $\theta(t) + 4,002~\theta'(t) = 0,115f(t) $.\\
On a alors $\mathcal{L}(\theta(t)) + 4,002\mathcal{L}(\theta'(t)) = 0,115\mathcal{L}(f(t)) $\\
$\Leftrightarrow T(p)+4,002(pT(p)-\theta(0^+))=0,115F(p)$\\
$\Leftrightarrow T(p)+4,002pT(p)=0,115F(p)$\\
$\Leftrightarrow T(p)(1+4,002p)=0,115F(p)$\\
$\Leftrightarrow T(p) = \dfrac{0,115}{4,002p + 1}F(p)$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item $F(p)=522 \mathcal{L}(\mathcal{U}(t))=\dfrac{522}{p}$.
		\item On en déduit que $T(p)=\dfrac{0,115}{4,002p + 1} \times \dfrac{522}{p}=\dfrac{60,03}{p(4,002p + 1)}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{60}{p}  - \dfrac{60}{p + 0,25}=\dfrac{60(p+0,25)}{p(p+0,25)}  - \dfrac{60p}{p(p + 0,25)}=\dfrac{60p+15-60p}{p(p + 0,25)}=\dfrac{15}{p(p + 0,25)}$.
		\item On en déduit que :
		
$\theta(t) = \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{60}{p}\right)- \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{60}{p+0,25}\right)=60 \mathcal{U}(t)-60 \text{e}^{-0,25t} \mathcal{U}(t)$.

Donc, pour tout $t\ge 0$, 

$\theta(t)=60 - 60\text{e}^{- 0,25t}=60\left(1 - \text{e}^{- 0,25t}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{- 0,25t} =0$ donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\theta(t)=60(1-0)=60$
		\item La courbe représentative de la fonction $\theta$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=60$.
		\item $\theta'(t)=0,25 \times 60\text{e}^{- 0,25t}=15\text{e}^{- 0,25t} $.
		
Pour $t \geqslant 0$, $\text{e}^{- 0,25t}>0$ donc $\theta'(t)>0$.

On en déduit que la fonction $\theta$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$. 
		\item Représentation de la fonction $\theta$ :\\
		
\newrgbcolor{uququq}{0.25098039215686274 0.25098039215686274 0.25098039215686274}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.08cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=2pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-7)(16,65)
\multips(0,0)(0,10){8}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(16,0)}
\multips(0,0)(1.0,0){16}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(0,65)}
\psaxes[linewidth=1.2pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(16.5,65)
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black,linestyle=dashed](0,57)(6,57)
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black,linestyle=dashed](6,0)(6,57)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=black,plotpoints=400]{0}{16}{60*(1-EXP(-x/4))}
%\begin{footnotesize}
%\rput(0.85,0.8){\red{$y=s(t)$}}
%\end{footnotesize}
\end{pspicture*}
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item $60 \times 0,95=57$.\\
		$\theta(t)=57 \Leftrightarrow  60\left(1 - \text{e}^{- 0,25t}\right)=57 \Leftrightarrow 1 - \text{e}^{- 0,25t}=\dfrac{57}{60} \Leftrightarrow \text{e}^{- 0,25t}=\dfrac{3}{60} \Leftrightarrow - 0,25t= \ln (0,05) \Leftrightarrow $
		
$t  =\dfrac{\ln(0,05)}{-0,25} \approx 11,98 $.\\
		Donc $\theta(t)$ atteint sa valeur finale au bout de 11,98 s. 
		\item La température du bain se stabilisera à 77\degres C , ce qui est conforme aux conditions décrites dans le préambule.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $T=2\pi$ et $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}=1$.
\item $a_0= \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} t(2\pi-t)\:\text{d}t=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} 2\pi t-t^2\:\text{d}t=\dfrac{1}{2\pi} \left[\pi t^2 - \dfrac{t^3}{3}\right]_{0}^{2\pi}=\dfrac{1}{2\pi} \left(4 \pi^3- \dfrac{8\pi^3}{3}-0\right)=\dfrac{1}{2\pi} \times \dfrac{4\pi^3}{3}=\dfrac{2\pi^2}{3} $.
\item $f$ est paire donc $b_n=0$  pour $n \geqslant 1$.\\
Pour $n \geqslant 1$, $a_n=\dfrac{2}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} t(2\pi-t) \cos(n  t)\:\text{d}t=\dfrac{1}{\pi} \left( \dfrac{-2n\pi \cos(n2\pi)+2\sin(n2\pi)}{n^3}-\dfrac{2\pi}{n^2}\right)$\\
$=\dfrac{1}{\pi} \left( \dfrac{-2n\pi }{n^3}-\dfrac{2\pi}{n^2}\right) $ car, pour $n \geqslant 1$, $\cos(n2\pi)=1$ et $\sin(n2\pi)=0$ (voir cercle trigonométrique).\\
Ainsi $a_n=\dfrac{1}{\pi} \left( \dfrac{-2\pi }{n^2}-\dfrac{2\pi}{n^2}\right)=\dfrac{1}{\pi} \times  \dfrac{-4\pi }{n^2}=\dfrac{-4}{n^2}$ 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représentation de la fonction $u$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$ :\\
\newrgbcolor{uququq}{0.25098039215686274 0.25098039215686274 0.25098039215686274}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=2pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.5,-2.5)(6.5,2.5)
\multips(0,-2)(0,1.0){8}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(-6,0)(6,0)}
\multips(-6,0)(1.0,0){13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,-2)(0,2)}
\psaxes[linewidth=1.2pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-2)(6,2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(-1,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(2,0)(4,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(5,0)(6,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(-6,0)(-5,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(-2,0)(-4,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(1,2)(2,2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(-1,-2)(-2,-2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(-5,2)(-4,2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(5,-2)(4,-2)
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{0}{11.5}{6*(1-EXP((-x)/2))}
%\begin{scriptsize}
%\rput(10.1,5.75){\red{$y=s(t)$}}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\item $U_{\text{moy}}=0$ car la fonction $u$ est impaire.
\item $U^2_{\text{eff}} = \dfrac{1}{6}\displaystyle\int_0^6 u^2(t)\:\text{d}t=\dfrac{2}{6}\displaystyle\int_0^3 u^2(t)\:\text{d}t$ car la fonction $u$ est impaire.\\
$U^2_{\text{eff}}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_1^2 4\:\text{d}t=\dfrac{1}{3} [4t]_1^2=\dfrac{1}{3}(8-4)=\dfrac{4}{3} \approx 1,33$ 

Donc $U_{\text{eff}}=\sqrt{\dfrac{4}{3} }\approx 1,15$ 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}





\begin{enumerate}
\item L'identification du développement permet d'obtenir :  $a_0=\dfrac{\pi}{4}$,  $a_n=\dfrac{(- 1)^n - 1}{\pi n^2}$ et $b_n=\dfrac{(- 1)^{n+1}}{n}$ pour $n$ entier supérieur ou égal à 1.
\item $S_2(t)=\dfrac{\pi}{4} + a_1 \cos (t) +b_1 \sin (t) + a_2 \cos (2t) +b_2 \sin (2t)$.\\
On a $a_1 =\dfrac{-1 - 1}{\pi }=\dfrac{-2}{\pi}$,  $a_2 =\dfrac{1 - 1}{4\pi }=0$, $b_1=\dfrac{(-1)^2}{1}=1$, $b_2=\dfrac{(-1)^3}{2}=0,5$.\\
On a alors $S_2(t)=\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{-2}{\pi} \cos (t) +\sin (t) +0,5 \sin (2t)$.


\item $A_0=|a_0|=\dfrac{\pi}{4} \approx 0,79$ donc les spectres 1 et 4 ne conviennent pas.\\
$A_1=\sqrt{\dfrac{4}{\pi^2}+1}\approx 1,19$ donc le spectre 2 ne convient pas.\\
Seul le spectre 3 peut être associé à $f$.

\end{enumerate}



\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
\begin{enumerate}
\item On prélève 75 cellules dans des conditions identiques et indépendantes. Chaque prélèvement possède deux issues, le succès étant "la cellule est inutilisable" de probabilité $p=0,015$. La variable aléatoire $X$, qui compte le nombre de cellules inutilisables, suit donc une loi binomiale de paramètres $n=75$ et $p=0,015$.
\item $P(X=0)\approx 0,322$
\item Pour pouvoir fabriquer un panneau, le lot doit contenir au plus 3 cellules inutilisables.\\
$P(X \leq 3)\approx 0,973$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tableau d'effectifs : \\
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		& $E$	& $\overline{E}$ & total\\ \hline
$S$	& 2	&3&5\\ \hline
$\overline{S}$	& 8	&487	&495\\ \hline
total	& 10	& 490 & 500	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item $p\left(\overline{E\cup S}\right)=p\left(\overline{E}\cap \overline{S}\right)=\dfrac{487}{500}=0,974$ 
\item $p(E)=\dfrac{10}{500}=0,02$, $p(S)=\dfrac{5}{500}=0,01$\\
et $p(E\cap S)=\dfrac{2}{500}=0,004 \neq 0,02 \times 0,01 $ donc $E$ et $S$ ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(6 \leq Y \le 12) \approx 0,683$.
\item La courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$, soit $x=9$ et l'aire sous la courbe sur $[6~;~12]$ doit être égale à 0,683 environ. Une seule courbe convient:\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=9.6cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(21,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(21,0.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt]{0}{21}{1/(3*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-9)/3)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linestyle=dashed]{0}{21}{1/(0.85*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-9)/0.85)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linestyle=dashed]{0}{21}{1/(3*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-12)/3)^2)/2)}
\end{pspicture}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $P(Y \geq 10) \approx 0,369$
		\item On cherche $y$ tel que $P(Y \geq y) \approx 0,9$. La calculatrice donne : $y \approx 5,2$ kWh.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{document}