\documentclass[11pt,landscape]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,mathrsfs,geometry} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{multicol,diagbox} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{graphicx} %\usepackage{xcolor} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : Ane Marchand \usepackage[dvipsnames]{pstricks} \usepackage{pst-bezier,pst-solides3d,pstricks-add}%pst-solides pour la figure du début \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %echelon unité \newcommand{\U}{\mathscr{U}} \usepackage{pst-bezier,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement A1}, pdftitle = {Métropole - mai 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} %signe inferieur ou egal francais \renewcommand{\leq}{\leqslant} %signe superieur ou egal francais \renewcommand{\geq}{\geqslant} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %\pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} {\textbf{\large Corrigé du BTS groupement A - Métropole session 2016} \medskip \begin{multicols}{2} \textbf{Exercice 1 \hfill 7 points} \medskip \begin{enumerate} \item $kR=0,115 \times 34,8=4,002$.\\ Ainsi $\theta(t) + kR\dfrac{\text{d}\theta}{\text{d}t}(t) = Rf(t) $ équivaut à $\theta(t) + 4,002~\theta'(t) = 0,115f(t) $.\\ On a alors $\mathcal{L}(\theta(t)) + 4,002\mathcal{L}(\theta'(t)) = 0,115\mathcal{L}(f(t)) $\\ $\Leftrightarrow T(p)+4,002(pT(p)-\theta(0^+))=0,115F(p)$\\ $\Leftrightarrow T(p)+4,002pT(p)=0,115F(p)$\\ $\Leftrightarrow T(p)(1+4,002p)=0,115F(p)$\\ $\Leftrightarrow T(p) = \dfrac{0,115}{4,002p + 1}F(p)$. \item \begin{enumerate} \item $F(p)=522 \mathcal{L}(\mathcal{U}(t))=\dfrac{522}{p}$. \item On en déduit que $T(p)=\dfrac{0,115}{4,002p + 1} \times \dfrac{522}{p}=\dfrac{60,03}{p(4,002p + 1)}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\dfrac{60}{p} - \dfrac{60}{p + 0,25}=\dfrac{60(p+0,25)}{p(p+0,25)} - \dfrac{60p}{p(p + 0,25)}=\dfrac{60p+15-60p}{p(p + 0,25)}=\dfrac{15}{p(p + 0,25)}$. \item On en déduit que : $\theta(t) = \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{60}{p}\right)- \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{60}{p+0,25}\right)=60 \mathcal{U}(t)-60 \text{e}^{-0,25t} \mathcal{U}(t)$. Donc, pour tout $t\ge 0$, $\theta(t)=60 - 60\text{e}^{- 0,25t}=60\left(1 - \text{e}^{- 0,25t}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{- 0,25t} =0$ donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\theta(t)=60(1-0)=60$ \item La courbe représentative de la fonction $\theta$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=60$. \item $\theta'(t)=0,25 \times 60\text{e}^{- 0,25t}=15\text{e}^{- 0,25t} $. Pour $t \geqslant 0$, $\text{e}^{- 0,25t}>0$ donc $\theta'(t)>0$. On en déduit que la fonction $\theta$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$. \item Représentation de la fonction $\theta$ :\\ \newrgbcolor{uququq}{0.25098039215686274 0.25098039215686274 0.25098039215686274} \newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.} \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.08cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=2pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2,-7)(16,65) \multips(0,0)(0,10){8}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(16,0)} \multips(0,0)(1.0,0){16}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,0)(0,65)} \psaxes[linewidth=1.2pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(16.5,65) %\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black,linestyle=dashed](0,57)(6,57) %\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black,linestyle=dashed](6,0)(6,57) \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=black,plotpoints=400]{0}{16}{60*(1-EXP(-x/4))} %\begin{footnotesize} %\rput(0.85,0.8){\red{$y=s(t)$}} %\end{footnotesize} \end{pspicture*} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $60 \times 0,95=57$.\\ $\theta(t)=57 \Leftrightarrow 60\left(1 - \text{e}^{- 0,25t}\right)=57 \Leftrightarrow 1 - \text{e}^{- 0,25t}=\dfrac{57}{60} \Leftrightarrow \text{e}^{- 0,25t}=\dfrac{3}{60} \Leftrightarrow - 0,25t= \ln (0,05) \Leftrightarrow $ $t =\dfrac{\ln(0,05)}{-0,25} \approx 11,98 $.\\ Donc $\theta(t)$ atteint sa valeur finale au bout de 11,98 s. \item La température du bain se stabilisera à 77\degres C , ce qui est conforme aux conditions décrites dans le préambule. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 7 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item $T=2\pi$ et $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}=1$. \item $a_0= \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} t(2\pi-t)\:\text{d}t=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} 2\pi t-t^2\:\text{d}t=\dfrac{1}{2\pi} \left[\pi t^2 - \dfrac{t^3}{3}\right]_{0}^{2\pi}=\dfrac{1}{2\pi} \left(4 \pi^3- \dfrac{8\pi^3}{3}-0\right)=\dfrac{1}{2\pi} \times \dfrac{4\pi^3}{3}=\dfrac{2\pi^2}{3} $. \item $f$ est paire donc $b_n=0$ pour $n \geqslant 1$.\\ Pour $n \geqslant 1$, $a_n=\dfrac{2}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} t(2\pi-t) \cos(n t)\:\text{d}t=\dfrac{1}{\pi} \left( \dfrac{-2n\pi \cos(n2\pi)+2\sin(n2\pi)}{n^3}-\dfrac{2\pi}{n^2}\right)$\\ $=\dfrac{1}{\pi} \left( \dfrac{-2n\pi }{n^3}-\dfrac{2\pi}{n^2}\right) $ car, pour $n \geqslant 1$, $\cos(n2\pi)=1$ et $\sin(n2\pi)=0$ (voir cercle trigonométrique).\\ Ainsi $a_n=\dfrac{1}{\pi} \left( \dfrac{-2\pi }{n^2}-\dfrac{2\pi}{n^2}\right)=\dfrac{1}{\pi} \times \dfrac{-4\pi }{n^2}=\dfrac{-4}{n^2}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Représentation de la fonction $u$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$ :\\ \newrgbcolor{uququq}{0.25098039215686274 0.25098039215686274 0.25098039215686274} \newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=2pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-6.5,-2.5)(6.5,2.5) \multips(0,-2)(0,1.0){8}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(-6,0)(6,0)} \multips(-6,0)(1.0,0){13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=uququq]{c-c}(0,-2)(0,2)} \psaxes[linewidth=1.2pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-2)(6,2) \psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(-1,0)(1,0) \psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(2,0)(4,0) \psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(5,0)(6,0) \psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(-6,0)(-5,0) \psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(-2,0)(-4,0) \psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(1,2)(2,2) \psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(-1,-2)(-2,-2) \psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(-5,2)(-4,2) \psline[linewidth=2pt,linecolor=black]{*-*}(5,-2)(4,-2) %\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{0}{11.5}{6*(1-EXP((-x)/2))} %\begin{scriptsize} %\rput(10.1,5.75){\red{$y=s(t)$}} %\end{scriptsize} \end{pspicture*} \item $U_{\text{moy}}=0$ car la fonction $u$ est impaire. \item $U^2_{\text{eff}} = \dfrac{1}{6}\displaystyle\int_0^6 u^2(t)\:\text{d}t=\dfrac{2}{6}\displaystyle\int_0^3 u^2(t)\:\text{d}t$ car la fonction $u$ est impaire.\\ $U^2_{\text{eff}}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_1^2 4\:\text{d}t=\dfrac{1}{3} [4t]_1^2=\dfrac{1}{3}(8-4)=\dfrac{4}{3} \approx 1,33$ Donc $U_{\text{eff}}=\sqrt{\dfrac{4}{3} }\approx 1,15$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \begin{enumerate} \item L'identification du développement permet d'obtenir : $a_0=\dfrac{\pi}{4}$, $a_n=\dfrac{(- 1)^n - 1}{\pi n^2}$ et $b_n=\dfrac{(- 1)^{n+1}}{n}$ pour $n$ entier supérieur ou égal à 1. \item $S_2(t)=\dfrac{\pi}{4} + a_1 \cos (t) +b_1 \sin (t) + a_2 \cos (2t) +b_2 \sin (2t)$.\\ On a $a_1 =\dfrac{-1 - 1}{\pi }=\dfrac{-2}{\pi}$, $a_2 =\dfrac{1 - 1}{4\pi }=0$, $b_1=\dfrac{(-1)^2}{1}=1$, $b_2=\dfrac{(-1)^3}{2}=0,5$.\\ On a alors $S_2(t)=\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{-2}{\pi} \cos (t) +\sin (t) +0,5 \sin (2t)$. \item $A_0=|a_0|=\dfrac{\pi}{4} \approx 0,79$ donc les spectres 1 et 4 ne conviennent pas.\\ $A_1=\sqrt{\dfrac{4}{\pi^2}+1}\approx 1,19$ donc le spectre 2 ne convient pas.\\ Seul le spectre 3 peut être associé à $f$. \end{enumerate} \textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip \begin{enumerate} \item On prélève 75 cellules dans des conditions identiques et indépendantes. Chaque prélèvement possède deux issues, le succès étant "la cellule est inutilisable" de probabilité $p=0,015$. La variable aléatoire $X$, qui compte le nombre de cellules inutilisables, suit donc une loi binomiale de paramètres $n=75$ et $p=0,015$. \item $P(X=0)\approx 0,322$ \item Pour pouvoir fabriquer un panneau, le lot doit contenir au plus 3 cellules inutilisables.\\ $P(X \leq 3)\approx 0,973$ \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip \begin{enumerate} \item Tableau d'effectifs : \\ \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline & $E$ & $\overline{E}$ & total\\ \hline $S$ & 2 &3&5\\ \hline $\overline{S}$ & 8 &487 &495\\ \hline total & 10 & 490 & 500 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item $p\left(\overline{E\cup S}\right)=p\left(\overline{E}\cap \overline{S}\right)=\dfrac{487}{500}=0,974$ \item $p(E)=\dfrac{10}{500}=0,02$, $p(S)=\dfrac{5}{500}=0,01$\\ et $p(E\cap S)=\dfrac{2}{500}=0,004 \neq 0,02 \times 0,01 $ donc $E$ et $S$ ne sont pas indépendants. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C} \medskip \begin{enumerate} \item $P(6 \leq Y \le 12) \approx 0,683$. \item La courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$, soit $x=9$ et l'aire sous la courbe sur $[6~;~12]$ doit être égale à 0,683 environ. Une seule courbe convient:\\ \begin{center} \psset{xunit=0.4cm,yunit=9.6cm,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1,-0.1)(21,0.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(21,0.5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt]{0}{21}{1/(3*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-9)/3)^2)/2)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linestyle=dashed]{0}{21}{1/(0.85*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-9)/0.85)^2)/2)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linestyle=dashed]{0}{21}{1/(3*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-12)/3)^2)/2)} \end{pspicture} \end{center} \item \begin{enumerate} \item $P(Y \geq 10) \approx 0,369$ \item On cherche $y$ tel que $P(Y \geq y) \approx 0,9$. La calculatrice donne : $y \approx 5,2$ kWh. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{multicols} \end{document}