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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}

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\begin{multicols}{2}

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%\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P.{}}}
%\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
%\lfoot{\small{Groupement A}}
%\rfoot{\small{13 mai 2015}}
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%\pagestyle{fancy}
%\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{Corrigé du BTS groupement A Métropole - session 2015}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A : cas du filtre F}\boldmath$_1$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\omega_1 \approx 190$.

\psset{xunit=0.01cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-50,-5.5)(800,0.5)
\multido{\n=0+10}{81}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,-5.5)}
\multido{\n=-5.0+0.5}{11}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan](0,\n)(800,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=6,xlabelPos=top]{->}(0,0)(0,-5.5)(800,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=6,xlabelPos=top]{->}(0,0)(800,0.5)
\multido{\n=0+-1}{6}{\uput[l](-20,\n){\np{\n}}}
\multido{\n=-0.5+-1.0}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\uput[u](750,0.275){$\omega$ (rad/s)}
\uput[r](0,-5.3){dB}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black,linestyle=dashed](0,-3)(190,-3)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black,linestyle=dashed](190,0)(190,-3)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{153}{800}{290 x 100 sub  div neg }
\end{pspicture}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f_1=\dfrac{\omega_1}{2\pi}=\dfrac{190}{2\pi}\approx 30$ Hz
		\item La bande passante du filtre F$_1$ est $[30;+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : cas du filtre F$_2$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $ \mathcal{L}(v_s(t)) + RC\mathcal{L}(v'_s(t)) = \mathcal{L}(v_e(t)) \Leftrightarrow V_s(p)+RC(pV_s(p)-v(0^+))=V_e(p) \Leftrightarrow V_s(p)+RCpV_s(p)=V_e(p) \Leftrightarrow V_s(p)(1+RCp)=V_e(p) \Leftrightarrow \dfrac{V_s(p)}{V_e(p)}=\dfrac{1}{1 + RCp}$.

Donc $H_2(p) = \dfrac{1}{1 +RCp}.$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $V_e(p)=\mathcal{L}(v_e(t)) = 5\mathcal{L}(\mathcal{U}(t))=\dfrac{5}{p}$\\
Ainsi $V_s(p)=V_e(p) \times \dfrac{1}{1 +RCp}=\dfrac{5}{p} \times \dfrac{1}{1 +RCp}=\dfrac{5}{p(1+RCp)}$
		\item $\dfrac{5}{p} - \dfrac{5}{p + \frac{1}{RC}}=\dfrac{5}{p} - \dfrac{5RC}{RCp + 1}=\dfrac{5(RCp+1)}{p(RCp+1)} - \dfrac{5RCp}{p(pRC + 1)}=\dfrac{5RCp+5-5RCp}{p(pRC + 1)}=\dfrac{5}{p(1+RCp)}=V_s(p)$.
		\item $v_s(t)=\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{5}{p}\right) - \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{5}{p + \frac{1}{RC}}\right)=5\mathcal{U}(t)-5 \text{e}^{\frac{-1}{RC}t}\mathcal{U}(t)$ 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\left|H_2(\text{j}\omega)\right|=\left|\dfrac{1}{1 + RC\text{j}\omega}\right|=\dfrac{1}{\left|1 + RC\text{j}\omega\right|}=\dfrac{1}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}}$ 
		\item $G_2(\omega) = 20\log \left|H_2(\text{j}\omega)\right|=20\log \dfrac{1}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}}=-20 \log (\sqrt{1+(RC\omega)^2})=-20 \times \dfrac{1}{2}\log (1+(RC\omega)^2)=-10 \times \dfrac{\ln (1+(RC\omega)^2)}{\ln (10)}= - \dfrac{10}{\ln (10)} \times \ln \left(1 + (RC)^2\omega^2\right)$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de la fonction} \boldmath$G_2$\unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item $G'_2(\omega) =- \dfrac{10}{\ln (10)} \times \dfrac{u'(\omega)}{u(\omega)}$ où $u(\omega)=1 + (RC)^2\omega^2$. On a alors $u'(\omega)= 2(RC)^2\omega$
		Donc $G'_2(\omega) =- \dfrac{10}{\ln (10)} \times \dfrac{2(RC)^2\omega}{1 + (RC)^2\omega^2} = \dfrac{1}{\ln (10)} \times \dfrac{- 20 (RC)^2\omega}{1 + (RC)^2 \omega^2}$.
		\item Sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a $G'_2(\omega)<0$ donc la fonction $G_2$ est strictement décroissante sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item $\displaystyle\lim_{\omega \to + \infty} 1 + (RC)^2\omega^2=+\infty$. Ainsi, 
		
$\displaystyle\lim_{\omega \to + \infty} \ln(1 + (RC)^2\omega^2)=+\infty$ et par conséquent $\displaystyle\lim_{\omega \to + \infty} G_2 (\omega)=-\infty$.
		
	\end{enumerate}
\item \textbf{Détermination de la bande passante du filtre F}\boldmath$_2$\unboldmath
	\begin{enumerate}
			\item $G_2\left(\dfrac{1}{RC}\right)= - \dfrac{10}{\ln (10)} \times \ln \left(1 + (RC)^2\times \dfrac{1}{(RC)^2}\right)= -\dfrac{10}{\ln (10)} \times \ln (2)\approx-3,0 $.

Donc la pulsation de coupure à $- 3$~dB du filtre F$_2$, notée $\omega_2$ est égale à $\dfrac{1}{RC}$ avec une bonne approximation.
			\item 
$\omega_2=\dfrac{1}{RC}=\dfrac{1}{160 \times 10^3 \times 3,4 \times  10^{-9}} \approx 1838$.

Ainsi : $f_2=\dfrac{\omega_2}{2\pi}=\dfrac{1838}{2\pi}\approx 293$ Hz
			\item $G_2$ étant une fonction strictement décroissante sur $[0~;~+ \infty[$, $G_2(\omega)>-3$ dB équivaut à $\omega<\omega_2$. Ainsi la bande passante du filtre F$_2$ est $[0~;~293]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : bilan}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La bande passante du bloc de filtres étudié est $[30~;~293]$
\item Le bloc de filtres étudié est associé au boomer.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A : série de Fourier associée à la fonction } \boldmath $s$\unboldmath

\medskip


\begin{enumerate}
\item Représentation graphique de la fonction $s$ : 

\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.5cm}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{pspicture}(-4.5,-1)(4.5,2.1)
\multido{\n=-4.5+0.5}{19}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,2)}
\multido{\n=-1+1}{4}{\psline[linestyle=dotted](-4.5,\n)(4.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4.5,-1)(4.5,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(4.5,2.2)
\multido{\n=-4.5+1.0}{10}{\uput[d](\n,-0.07){\footnotesize \np{\n}}}
\psline[linewidth=1pt](-4,0)(-3.5,1)(-2.5,1)(-2,0)(-1.5,1)(-0.5,1)(0,0)(0.5,1)(1.5,1)(2,0)(2.5,1)(3.5,1)(4,0)
\end{pspicture}

\item $a_0 =\dfrac{1}{\text{2}}\displaystyle\int_{- 1}^1 s(t)\:\text{d}t=\dfrac{1}{\text{2}}\times 2\displaystyle\int_0^1 s(t)\:\text{d}t$ car $s$ est paire.\\
 $a_0 =\displaystyle\int_0^{0,5} 2t\:\text{d}t+\displaystyle\int_{0,5}^1 1\:\text{d}t=[t^2]_0^{0,5}+[t]_{0,5}^1=$
 
 $0,25-0+1-0,5= \dfrac{3}{4}$.
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, $b_n=0$ car $s$ est paire.
\item On a $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$\\
$a_n =\dfrac{2}{\text{T}}\displaystyle\int_{- \frac{\text{T}}{2}}^{\frac{\text{T}}{2}} s(t)\cos (n \omega t)\:\text{d}t=\dfrac{2}{\text{2}}\times 2 \displaystyle\int_0^1 s(t)\cos (n \pi t)\:\text{d}t$ car $s$ est paire.

$a_n = 2\displaystyle\int_0^{0,5} 2t\cos (n \pi t)\:\text{d}t+2\displaystyle\int_{0,5}^1 \cos (n \pi t)\:\text{d}t$

$= 4\displaystyle\int_0^{0,5} t\cos (n \pi t)\:\text{d}t+2\displaystyle\int_{0,5}^1 \cos (n \pi t)\:\text{d}t$

On exploite les résultats du document réponse.

{\small $a_n= 4 \times \dfrac{n\pi \sin \left(\dfrac{n \pi}{2}\right)+2 \cos \left(\dfrac{n \pi}{2}\right)-2}{2n^2\pi^2}+2\times \dfrac{ \sin \left(n \pi\right)- \sin \left(\dfrac{n \pi}{2}\right)}{n\pi}$}

$=\dfrac{2}{n\pi}  \sin \left(\dfrac{n \pi}{2}\right) +\dfrac{4}{n^2\pi^2} \cos \left(\dfrac{n \pi}{2}\right)-\dfrac{4}{n^2\pi^2} -\dfrac{2}{n\pi}  \sin \left(\dfrac{n \pi}{2}\right)$\\
car pour tout $n$ entier non nul, $\sin \left(n \pi \right)=0$.

Donc $a_n=\dfrac{4\left(\cos \left(\frac{n\pi}{2}\right) - 1\right)}{n^2 \pi^2}$.
\item 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash\scriptsize}X|}}\hline
$n$		& 1			& 2 &3 	&4 	&5 	&6 	&7\\ \hline
$a_n$	& $- 0,405$	&$-0,203$	&	$-0,045$&	0&	$-0,016$&	$-0,023$&$-0,008$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : puissance du signal}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
$\text{P} = \dfrac{2}{\text{2}}\displaystyle\int_0^{1} (s(t))^2 \:\text{d}t=\displaystyle\int_0^{0,5} 4t^2\:\text{d}t+\displaystyle\int_{0,5}^1 1\:\text{d}t=$

$\left[\dfrac{4t^3}{3}\right]_0^{0,5}+[t]_{0,5}^1=\dfrac{4\times 0,125}{3}-0+1-0,5=\dfrac{2}{3}$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $\dfrac{99,9}{100} \times \dfrac{2}{3}=0,666$.

Calculons les différentes valeurs prises par la variable $S$ pour les comparer à 0,666.\\
Pour $n=0$, $S=0,5625$\\
Pour $n=1$, $S=0,6445$\\
Pour $n=2$, $S=0,6651$\\
Pour $n=3$, $S=0,6661$\\
On a alors $S\geq 0,666$, l'algorithme affiche $n=3$.
		\item La puissance moyenne du signal est atteinte à 99,9 \% en prenant la série de Fourier à l'ordre 3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{document}