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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P~.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P.{}}}
\lhead{\small Corrigé du brevet de technicien supérieur 2017}
\lfoot{\small{Systèmes numériques}}
\rfoot{\small{2017}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{Corrigé du brevet de technicien supérieur  2017\\[5pt] Métropole  Systèmes numériques}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Les questions de cet exercice à~ l'exception de la question 2.
de la Partie A sont des questions à~ choix multiples. Une seule réponse est exacte. On l'indiquera sur la copie. Aucune justification n'est
attendue.}

\medskip

On rappelle que la Transformée de Fourier Discrète (TFD) d'une séquence de nombres complexes $\left( x_{0}~;~x_{1}~;~x_{2}~;~\ldots
~;~x_{N-1}\right) $, où $N$ est un entier naturel non nul, est la séquence de nombres complexes $\left( X_{0}~;~X_{1}~;~X_{2}~;~\ldots
~;~X_{N-1}\right) $ définie par:

\begin{equation*}
X_{\ell} = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} x_kw^{-k \ell}
\end{equation*}

pour tout entier $\ell$ compris entre $0$ et $N - 1$, avec $w = \text{e}^{%
\frac{2\text{i}\pi}{N}}$. {\ }

Soit le signal, noté $f$, périodique de période $T$ défini
par : $\left\{ 
\begin{array}{lcl}
f(t) & = & t\quad \text{si }t\in \left[ 0~;~\frac{T}{2}\right] \\ 
f(t) & = & t-T\quad \text{si }t\in \left] \frac{T}{2}~;~T\right]
\end{array}
\right. $

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
%\FRAME{itbpF}{13.5641cm}{7.776cm}{5.0215cm}{}{}{Figure}{\special%
%{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
%TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 13.5641cm;height 7.776cm;depth
%5.0215cm;original-width 5.2875in;original-height 3.0217in;cropleft
%"0";croptop "0.9988";cropright "0.9993";cropbottom "0";tempfilename
%'PP8YZ601.bmp';tempfile-properties "XPR";}}%
%\begin{tabular}{l}
%\\ 
%\\ 
%\\ 
%\end{tabular}
\parbox{0.48\linewidth}{
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-2)(4,2)\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,-1)(-2,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{>-<}(-2,-1)(0,1)
\psline[linewidth=1.25pt](0,-1)(2,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{>-<}(2,-1)(4,1)
\rput(0,-2.5){figure 1}
\uput[ur](0,1){\footnotesize $\frac{T}{2}$}
\uput[d](2,-1){\footnotesize $\frac{T}{2}$}
\end{pspicture}}
\hfill\parbox{0.48\linewidth}{
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-2)(4,2)\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,1)(-2,-1)
\psline[linewidth=1.25pt]{>-<}(-2,1)(0,-1)
\psline[linewidth=1.25pt](0,1)(2,-1)
\psline[linewidth=1.25pt]{>-<}(2,1)(4,-1)
\rput(0,-2.5){figure 2}
\uput[l](0,1){\footnotesize $\frac{T}{2}$}
\uput[d](2,-1){\footnotesize $\frac{T}{2}$}
\end{pspicture}}

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-2)(4,2)\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,0)(-2,2)
\psline[linewidth=1.25pt]{>-}(-2,-2)(2,2)
\psline[linewidth=1.25pt]{>-}(2,-2)(4,0)
\rput(0,-2.5){figure 3}
\uput[l](0,2){\footnotesize $\frac{T}{2}$}
\uput[d](2,0){\footnotesize $\frac{T}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}

Remarquons d'abord d'après les expressions de $f$ sur les deux
intervalles, que le coefficient directeur de la fonction, pour chacun des
intervalles, est 1. Cela permet d'éliminer la fonction 2 pour laquelle
il est de $-1.$

La fonction 1 est à rejeter également puisqu'on peut y lire que $
f\left( 0\right) =\dfrac{T}{2}$ alors que le calcul donne $f\left( 0\right)
=0.$

\fbox{Il s'agit donc de la fonction 3}.

\item 
\begin{enumerate}
\item On lit facilement les valeurs sur le graphique 3.

Mais il est peut-être préférable de les obtenir par le calcul :

$0\in \left[ 0~;~\frac{T}{2}\right] \Rightarrow $ \fbox{$f\left( 0\right) =0$
} et de même : $\dfrac{T}{4}\in \left[ 0~;~\frac{T}{2}\right] \Rightarrow 
@\left[ 0~;~\frac{T}{2}\right] \Rightarrow $\fbox{$f\left( \dfrac{T}{2}\right) =\dfrac{T}{2}$}

Par contre $\dfrac{3T}{4}\in \left] \frac{T}{2}~;~T\right] \Rightarrow
f\left( \dfrac{3T}{4}\right) =\dfrac{3T}{4}-T=-\dfrac{T}{4}$ on a donc\fbox{ 
$f\left( \dfrac{3T}{4}\right) =-\dfrac{T}{4}$}\medskip 

\item Je propose de calculer tous les $X_{\ell }$ (même si on ne demande
que $X_{1}):$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

En entrée le signal temporel : $\qquad x_{0}=0\qquad x_{1}=0,0025\qquad
x_{2}=0.005\qquad x_{3}=-0,0025$

On pose : $w=\text{e}^{\tfrac{i\pi }{2}}=\allowbreak i$ et $X_{\ell
}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{3}x_{k}\left( w^{-\ell }\right) ^{k}$

On peut commencer par calculer les puissances négatives de $w:$

$w^{0}=\allowbreak 1\qquad \qquad w^{-1}=\allowbreak -i\qquad \qquad
w^{-2}=-1\qquad \qquad w^{-3}=i\qquad \qquad $

$w^{-4}=1\qquad \qquad w^{-6}=-1\qquad \qquad w^{-8}=1\qquad \qquad
w^{-9}=-i $

\bigskip

$X_{0}=x_{0}\times 1+x_{1}\times 1+x_{2}\times 1+x_{3}\times 1=0\times
1+\np{0,0025}\times 1+ 0,005\times 1- \np{0.0025}\times 1=0,005$

$X_{1}=x_{0}\times 1+x_{1}\left( w^{-1}\right) ^{1}+x_{2}\left(
w^{-1}\right) ^{2}+x_{3}\left( w^{-1}\right) ^{3}= 0\times 1+ \np{0,0025}\times
\left( -\text{i}\right) ^{1}+ \np{0,005}\times \left( - \text{i}\right) ^{2}- \np{0,0025}\times \left(
-i\right) ^{3}$

\fbox{$X_{1}= 0,005\,(-1 - \text{i})$.}

$X_{2}= x_{0}\times 1+x_{1}\left( w^{-2}\right) ^{1}+x_{2}\left(
w^{-2}\right) ^{2}+x_{3}\left( w^{-2}\right) ^{3}=0\times 1+0,0025\times
\left( -1\right) ^{1}+0,005\times \left( -1\right) ^{2}-0,0025\times \left(
-1\right) ^{3}=\allowbreak 0,005\,$

$X_{3}=x_{0}\times 1+x_{1}\left( w^{-3}\right) ^{1}+x_{2}\left(
w^{-3}\right) ^{2}+x_{3}\left( w^{-3}\right) ^{3} = 0\times 1+ \np{0,0025}\times
\left(\text{i}\right) ^{1}+0,005\times \left( i\right) ^{2}- \np{0,0025}\times \left(
i\right) ^{3}= 0,005\left( -1+\text{i}\right)$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le cours numérote les $N$ valeurs de la suite $\left( X_{\ell
}\right) $ de $X_{0}$ à $X_{N-1}$ de même que dans le cours le sigma
est $\sum\limits_{k=0}^{N-1}x_{k}w^{-k\ell }$ donc $k$ varie lui aussi de $0$
à $N-1.$ Il faut être un peu pervers pour faire des boucles pour de
1 à $N$ ; informatiquement parlant, ce serait une fort mauvaise idée
car ce décalage de 1 risquerait d'induire le lecteur en erreur. Mais il
s'agit d'un choix pour faire réfléchir le candidat ; du fait de ce décalage, il faut mettre en exposants $\ell -1$ et $k-1$.

\fbox{C'est donc la proposition a qu'il faut retenir.}
\medskip

\item \fbox{C'est bien entendu (voir cours) la proposition b}
\medskip

\item Il s'agit ni plus ni moins du $X_{3}$ calculé (en plus) au 2.2. de
la partie A c'est à dire 

\fbox{$X_{3}=- 0,005\,+0,005\,\text{i}$ proposition b}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis \~{A}~ $10^{-3}$.}

\smallskip

Lors de la fabrication de ces conducteurs ohmiques, on observe des
variations au niveau de la valeur de la résistance. On admet que la résistance, exprimée en Ohms ($\Omega $), d'un conducteur ohmique
peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit la
loi normale de paramètres $\mu =1000$ et $\sigma =40$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On cherche en fait, avec la loi normale de moyenne $\mu =\np{1000}$ et $
\sigma =40$ la probabilité $P\left( X\geqslant \np{1040}\right) .$ Cette probabilité s'obtient par la calculatrice en demandant $P\left(\np{1040}\leqslant X\leqslant
10^{99}\right) \approx 0,159$

\item La probabilité qu'il soit vendable est de $P\left(935\leqslant X\leqslant
1065\right) \approx $ $0,896$

\fbox{Celle qu'il soit invendable est donc de $1 - 0,896 =\allowbreak 0,104.$}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Lors de la fabrication de ces conducteurs ohmiques, 10\thinspace \% d'entre
eux sont non conformes à~ la vente.

Un contrôle qualité permet de rejeter 98\thinspace \% des composants
non conformes à~ la vente. Malheureusement, lors de ce contrôle
qualité, 3\thinspace \% des conducteurs ohmiques tout à~ fait
conformes sont également rejetés.

On utilisera les notations suivantes :

\setlength\parindent{3cm}

\begin{itemize}
\item[$\bullet ~~$] $C$ l'évènement \og le conducteur ohmique est
conforme à~ la vente\fg{} ;

\item[$\bullet ~~$] $R$ l'évènement \og le conducteur ohmique est
rejeté après le contrôle qualité \fg.
\end{itemize}

\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard un composant issu de la fabrication. 

\begin{enumerate}
\item On peut faire l'arbre suivant :.

%\FRAME{itbpF}{2.6636in}{3.2638in}{0in}{}{}{Figure}{\special{language
%"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
%"USEDEF";valid_file "T";width 2.6636in;height 3.2638in;depth
%0in;original-width 2.3999in;original-height 2.9473in;cropleft "0";croptop
%"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
%'PP8YZ602.wmf';tempfile-properties "XPR";}}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~~}\naput{0,9}}
	{\TR{$R$} \naput{0,03}
	\TR{$\overline{R}$}\nbput{0,97}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~~}\nbput{0,1}}
	{\TR{$R$} \naput{0,02}
	\TR{$\overline{R}$}\nbput{0,98}
	}	
}
\end{center}

\item On cherche $P\left( R\cap \overline{C}\right) =p\left( \overline{C}
\right) \times P_{\overline{C}}\left( R\right) $ donc $P\left( R\cap 
\overline{C}\right) =0,1\times 0,98=\allowbreak 0,098\,$

\fbox{La probabilité qu'il soit non conforme et rejeté est de $0,098$
}$\,.$

\item D'après la loi de probabilités totales, $P\left( R\right)
=P\left( R\cap C\right) +P\left( R\cap \overline{C}\right) $ donc 

$P\left(R\right) = 0,9\times 0,03+0,1\times 0,98=0,125$.

\fbox{La probabilité qu'il soit rejeté est bien de 0,125}

\item On cherche cette fois $P_{R}\left( C\right) =\dfrac{P\left( R\cap
C\right) }{P\left( R\right) }=\dfrac{0,9\times 0,03}{0,125} = 0,216$

\fbox{ La probabilité qu'il soit en fait conforme à~ la
vente sachant qu'il a été rejeté est de 0,216}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Des études ont montré que la durée de vie moyenne de ces
conducteurs ohmiques est de 2500~heures.

On modélise la durée de vie, en heures, de ces conducteurs ohmiques
par une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda $.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On sait que pour la loi exponentielle, la moyenne est égale à $
\dfrac{1}{\lambda }$. \fbox{On a donc $\lambda =\dfrac{1}{2500}= 0,000\,4$}

\item La probabilité que la durée de vie d'un conducteur
ohmique soit supérieure à~ 3000~heures vaut \fbox{$\text{e}^{- \np{0,0004}\times
\np{3000}}=\allowbreak 0,301$}$.$

En effet, $P\left( X\geqslant T\right) $ est la fonction de fiabilité et vaut
dans le cas général $\text{e}^{-\lambda T}.$

On peut aussi considérer que cette probabilité est égale à $%
1-P\left(X\leqslant T\right) =1 - \left(1 - \text{e}^{-^{\lambda T}}\right) $
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats numériques seront arrondis 
à~ }$10^{-2}$.

\medskip

Pour faire face à l'explosion des besoins de transmission de données, la fibre optique s'est imposée dans la plupart des réseaux de télécommunication.

Une des caractéristiques d'une fibre est son \emph{coefficient d'atténuation}, exprimé en décibels par kilomètre (dB/km), qui permet
de mesurer la perte de puissance d'un signal lumineux transmis, en fonction
de la longueur de la ligne.

Dans tout l'exercice on note : $L$ la longueur de la fibre en kilomètres, $P_{e}$ la puissance du signal lumineux à~ l'entrée de la
fibre et $P_{s}$ la puissance du signal lumineux à~ la sortie de la
fibre. Ces puissances sont exprimées en mW.

Le coefficient d'atténuation $A$ est donné par la formule :

\begin{equation*}
A = \dfrac{4,343}{L}\ln \left(\dfrac{P_e}{P_s}\right).
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Un fabricant de fibre annonce dans son catalogue un coefficient d'atténuation de $0,9$ dB/km. Un technicien procède à des vérifications sur des fibres de différentes longueurs. Pour cela, il
envoie un signal d'entrée de puissance $P_{e} = 5$~mW et mesure le signal
obtenu à~ la sortie d'une fibre de 5~km, puis d'une fibre de 10~km.

\begin{enumerate}
\item Le coefficient d'atténuation vaut alors : $A=\dfrac{4,343}{5}\ln
\left( \dfrac{5}{1,77}\right) \approx \allowbreak 0,90$ arrondi à $10^{-2}$

\fbox{Ce résultat est parfaitement cohérent avec l'annonce du
fabricant }\medskip 

\item Il me semble que le plus simple est de répondre d'abord à la
question suivante.

De l'expression$A = \dfrac{4,343}{L}\ln \left( \dfrac{P_{e}}{P_{s}}\right) $
on tire : $\ln \left( \dfrac{P_{e}}{P_{s}}\right) =\dfrac{AL}{4,343}$ donc $
\dfrac{P_{e}}{P_{s}}=\text{e}^{\tfrac{AL}{4,343}}$ et pour finir $P_{S}=\dfrac{P_{e}
}{\text{e}^{\tfrac{AL}{4,343}}}$, 
ou encore \fbox{$P_{S}=P_{e}\times \text{e}^{\tfrac{-AL}{4,343}}$}. On a donc ici $
P_{S}=5\times \text{e}^{\tfrac{-0,9\times 10}{4,343}}$ c'est à dire 

\fbox{$
P_{S}=5\times \text{e}^{\tfrac{-0,9\times 10}{4,343}}\approx \allowbreak 0,63$}
\medskip 

\item Voir ci-dessus.\medskip 
\end{enumerate}

\item La solution générale de l'équation différentielle $%
(E):\quad y'(x)=-0,21y(x)$ est $y\left( x\right) = C\text{e}^{-0,21x}$

La solution de l'équation $(E)$ vérifiant la condition initiale : $y(0)=5$ est donc donnée par 

$C\text{e}^{-0,21\times 0} = 5$ donc $C = 5.$

\fbox{Cette solution est donc $f\left( x\right) = 5\text{e}^{-0,21x}$.}\medskip 

\item On admet dans cette question que la puissance du signal mesurée 
à~ la sortie de la fibre est modélisée par la fonction $f$ définie par $f(x) = 5\text{e}^{-0,21x}$. 

Le signal doit être amplifié lorsqu'il a perdu 90\thinspace \% de sa
puissance initiale c'est à dire lorsque $5\text{e}^{-0,21x}\leqslant 0,1$ donc $\text{e}^{-0,21x}\leqslant \dfrac{0,1}{5}$ c'est à dire, 

\og en passant au ln \fg, la fonction $\ln $ étant croissante : $- 0,21x\leqslant
\ln \left( \dfrac{0,1}{5}\right) .$

En divisant par $- 0,21$ (nombre négatif) il faudra amplifier pour $x\geqslant 
\dfrac{\ln \left( \dfrac{0,1}{5}\right) }{- 0,21}= 18,629$ 

\fbox{c'est à dire à partir de $18,63$ km}\medskip 

\item Le signal transmis est maintenant modélisé par la fonction $S$
définie par : $S(t) = 5\sin (2t).$

L'énergie $E$ transportée sur une période par le signal $S$ est
donnée par la formule :

$ E = 2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}
}[5\sin (2t)]^{2}\:\text{d}t.$\medskip 

\begin{enumerate}
\item On a donc  $E=2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}[5\sin
(2t)]^{2}~\text{d}t=2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}25\sin ^{2}(2t)~\text{d}t=50\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{2}(2t)~\text{d}t$

Sachant : $\sin ^{2}(x)=\dfrac{1-\cos (2x)}{2}$ on a $\sin ^{2}(2t)=\dfrac{
1-\cos (2\times 2t)}{2}=\dfrac{1-\cos (4t)}{2}$

On a alors $E=50\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\dfrac{1-\cos (4t)}{2}~\text{d}t=50\left(
\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\dfrac{1}{2}~dt-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos (4t)}{2}~\text{d}t\right) $ donc 

$E = 50\left( \left[ \dfrac{t}{2}\right] _{0}^{\tfrac{\pi }{2}}-\left[ \dfrac{1}{2}\dfrac{\sin \left( 4t\right) }{4}\right]
_{0}^{\tfrac{\pi }{2}}\right) .$

Or $\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\sin \left( 2\pi \right) }{4}-\dfrac{\sin
\left( 0\right) }{4}\right) =0.$ \fbox{Il reste donc $E = 50\times \dfrac{\pi 
}{4}=\dfrac{25\pi }{2}$}

\item Une valeur approchée de E à $10^{-1}$ près est alors : 
\fbox{$E=\dfrac{25\pi }{2}\approx \allowbreak 39,3$}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage 

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{La variation du niveau de liquide dans un capteur capacitif fait
varier la fréquence de l'oscillateur dans lequel il est inséré.
Le signal de sortie de l'oscillateur est ensuite traité numériquement.}

\emph{Ce système peut être utilisé, par exemple pour mesurer la
quantité de carburant dans le réservoir d'un avion. Son objectif est
de \og lisser \fg{} les variations brutales du niveau de carburant dans le réservoir, qui pourraient être dues par exemple à des trous
d'air que traverserait l'avion.}

\emph{Le réservoir en mouvement autour d'une position moyenne
horizontale engendre des variations de niveau sur le capteur qu'il faut é%
liminer par traitement numérique. On utilise pour cela un filtre passe
bas (réalisant un moyennage sur $4$ échantillons).}

\medskip

$x$ représente le signal discret causal issu de la numérisation du
signal d'entrée et $y$ le signal discret causal correspondant au signal
de sortie. Une période d'échantillonnage $T_{e}$ étant choisie,
les signaux $x$ et $y$ vérifient pour tout entier $n$ la relation $(R)$
suivante :

\begin{equation*}
y(n) = \dfrac{1}{4} \left[x(n) + x(n - 1) + x(n - 2) + x(n - 3)\right]
\quad(R)
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Étude de cas particuliers

\begin{enumerate}
\item Dans le cas où $x$ est l'échelon unité discret : $\left\{ 
\begin{array}{lcl}
x(n) & = & 0\quad \text{si }n<0 \\ 
x(n) & = & 1\quad \text{si }n\geqslant 0
\end{array}%
\right. $, représenter sur la figure 1 en annexe, le signal discret $y$
pour $n$ entier tel que $-1\leqslant n\leqslant 5$.

On a $x\left( -4\right) =x\left( -3\right) =x\left( -2\right) =x\left(
-1\right) =0$ et $x\left( 0\right) =1$ puis pour $n\geqslant 1$ : $x\left(
n\right) =1$

Donc pour $n=-1:y\left( -1\right) =\dfrac{1}{4}\left( x\left( -1\right)
+x\left( -2\right) +x\left( -3\right) +x\left( -4\right) \right) =\dfrac{1}{4%
}\left( 0+0+0+0\right) =0$

pour $n=0:$ $y\left( 0\right) =\dfrac{1}{4}\left( x\left( 0\right) +x\left(
-1\right) +x\left( -2\right) +x\left( -3\right) \right) =\dfrac{1}{4}\left(
1+0+0+0\right) =\dfrac{1}{4}$

pour $n=1:$ $y\left( 1\right) =\dfrac{1}{4}\left( x\left( 1\right) +x\left(
0\right) +x\left( -1\right) +x\left( -2\right) \right) =\dfrac{1}{4}\left(
1+1+0+0\right) =\dfrac{1}{2}$

pour $n=2:$ $y\left( 2\right) =\dfrac{1}{4}\left( x\left( 2\right) +x\left(
1\right) +x\left( 0\right) +x\left( -1\right) \right) =\dfrac{1}{4}\left(
1+1+1+0\right) =\dfrac{3}{4}$

pour $n=3:$ $y\left( 3\right) =\dfrac{1}{4}\left( x\left( 3\right) +x\left(
2\right) +x\left( 1\right) +x\left( 0\right) \right) =\dfrac{1}{4}\left(
1+1+1+1\right) =1$

pour $n=4:$ $y\left( 4\right) =\dfrac{1}{4}\left( x\left( 4\right) +x\left(
3\right) +x\left( 2\right) +x\left( 11\right) \right) =\dfrac{1}{4}\left(
1+1+1+1\right) =1$

et pour $n$ $\geqslant 4$ on aura $y\left( n\right) = 1.$

D'où le graphique :

%\FRAME{itbpF}{6.6478in}{2.1465in}{0in}{}{}{Figure}{\special{language
%"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
%"USEDEF";valid_file "T";width 6.6478in;height 2.1465in;depth
%0in;original-width 13.415in;original-height 4.3085in;cropleft "0";croptop
%"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
%'PP8YZ603.bmp';tempfile-properties "XPR";}}

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1.2,-0.5)(5.5,1.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-1.2,-0.5)(5.5,1.5)
\psdots[linecolor=blue](-1,0)(0,0.5)(1,0.5)(2,0.75)(3,1)(4,1)
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{On peut ainsi vérifier que le filtre passe-bas laisse passer le
signal continu reçu en entrée}.

\item Une variation non significative du niveau de liquide dans le réservoir peut être assimilée à~ une entrée impulsionnelle.

Dans ce cas, $x$ est défini pour tout $n$ entier par: $\left\{ 
\begin{array}{lcl}
x(0) & = & 1\quad \\ 
x(n) & = & 0\quad \text{si }n\neq 0%
\end{array}%
\right. $

On a cette $x\left( -4\right) =x\left( -3\right) =x\left( -2\right) =x\left(
-1\right) =0$ et $x\left( 0\right) =1$ puis pour $n\geqslant 1$ $x\left(
n\right) =0$

Donc pour $n=-1:y\left( -1\right) =\dfrac{1}{4}\left( x\left( -1\right)
+x\left( -2\right) +x\left( -3\right) +x\left( -4\right) \right) =\dfrac{1}{4}\left( 0+0+0+0\right) =0$

pour $n=0:$ $y\left( 0\right) =\dfrac{1}{4}\left( x\left( 0\right) +x\left(
-1\right) +x\left( -2\right) +x\left( -3\right) \right) =\dfrac{1}{4}\left(
1+0+0+0\right) =\dfrac{1}{4}$

pour $n=1:$ $y\left( 1\right) =\dfrac{1}{4}\left( x\left( 1\right) +x\left(
0\right) +x\left( -1\right) +x\left( -2\right) \right) =\dfrac{1}{4}\left(
0+1+0+0\right) =\dfrac{1}{4}$

pour $n=2:$ $y\left( 2\right) =\dfrac{1}{4}\left( x\left( 2\right) +x\left(
1\right) +x\left( 0\right) +x\left( -1\right) \right) =\dfrac{1}{4}\left(
0+0+1+0\right) =\dfrac{1}{4}$

pour $n=3:$ $y\left( 3\right) =\dfrac{1}{4}\left( x\left( 3\right) +x\left(
2\right) +x\left( 1\right) +x\left( 0\right) \right) =\dfrac{1}{4}\left(
0+0+0+1\right) =\dfrac{1}{4}$

pour $n=4:$ $y\left( 4\right) =\dfrac{1}{4}\left( x\left( 4\right) +x\left(
3\right) +x\left( 2\right) +x\left( 1\right) \right) =\dfrac{1}{4}\left(
0+0+0+0\right) =0$

et pour $n$ $\geqslant 4$ on aura $y\left( n\right) =0.$

D'où le graphique :

%\FRAME{itbpF}{7.1408in}{1.7729in}{0in}{}{}{Figure}{\special{language
%"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
%"USEDEF";valid_file "T";width 7.1408in;height 1.7729in;depth
%0in;original-width 14.2556in;original-height 3.5103in;cropleft "0";croptop
%"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
%'PP8YZ604.bmp';tempfile-properties "XPR";}}

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1.2,-0.5)(5.5,1.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-1.2,-0.5)(5.5,1.5)
\psdots[linecolor=blue](-1,0)(0,0.25)(1,0.25)(2,0.25)(3,0.25)(4,0)(5,0)
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{On peut vérifier, dans ce cas, qu'une impulsion de $1$ en entrée se retrouve divisée par $4$ en sortie. En réalité le moyennage s'effectue sur $100$ échantillons, l'impulsion de $1$ en entrée est alors divisée par $100$.}
\end{enumerate}

\item Étude du cas général

On note respectivement $X$ et $Y$ les transformées en $Z$ de $x$ et de $y$.

\textbf{On rappelle dans le tableau en fin d'exercice les formules de
transformations}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La transformation en $z$ appliquée à la relation $(R)$, permet
d'écrire : 

$Y\left( z\right) =\dfrac{1}{4}\left( X\left( z\right)
+z^{-1}X\left( z\right) +z^{-2}X\left( z\right) +z^{-3}X\left( z\right)
\right) $

c'est à dire $Y\left( z\right) =\dfrac{1}{4}X\left( z\right) \left(
1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\right) $ donc \fbox{$F(z)=\dfrac{Y(z)}{X(z)}=\dfrac{1}{4}\left( 1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\right) $} .

\item On note $\omega $ la pulsation du signal d'entrée. $z=\text{e}^{\text{i}\omega
T_{e}}\Rightarrow z^{-1}=\text{e}^{-\text{i}\omega T_{e}}$, $z^{-2}=\text{e}^{-2\text{i}\omega T_{e}}$
et 

$z^{-3}=\text{e}^{-3i\omega T_{e}}$

\fbox{On a donc bien $F\left( \text{e}^{i\omega T_{e}}\right) =\dfrac{1}{4}\left[ 1+\text{e}^{-\text{i}\omega T_{e}}+\text{e}^{-2\text{i}\omega T_{e}}+\text{e}^{-3\text{i}\omega T_{e}}\right] $}$.$

\item En factorisant l'expression ci-dessus par $\text{e}^{-1,5\text{i}\omega
T_{e}},$ il vient : 

$F\left( \text{e}^{i\omega T_{e}}\right) =\dfrac{1}{4}\text{e}^{-1,5\text{i}\omega T_{e}}\left[
\text{e}^{+1,5i\omega T_{e}}+\text{e}^{0,5i\omega T_{e}}+\text{e}^{-0,5i\omega T_{e}}+\text{e}^{-1,5\text{i}\omega T_{e}}\right] $

En regroupant les termes : $F\left( \text{e}^{\text{i}\omega T_{e}}\right) =\dfrac{1}{4}\text{e}^{-1,5\text{i}\omega T_{e}}\left[ \text{e}^{+1,5\text{i}\omega T_{e}}+\text{e}^{-1,5\text{i}\omega
T_{e}}+\text{e}^{0,5\text{i}\omega T_{e}}+\text{e}^{-0,5\text{i}\omega T_{e}}\right] $

Or d'après la formule rappelée (formule d'Euler) $\text{e}^{-\alpha} + \text{e}^{-i\alpha }= 2\cos \left( \alpha \right) $ donc 

$\text{e}^{+1,5\text{i}\omega
T_{e}}+\text{e}^{-1,5\text{i}\omega T_{e}}=2\cos \left(1,5\omega T_{e}\right)$ et 
$\text{e}^{0,5\text{i}\omega T_{e}}+\text{e}^{- 0,5\text{i}\omega T_{e}}=2\cos \left(0,5\omega T_{e}\right).$

On en déduit que $F\left(\text{e}^{\text{i}\omega T_{e}}\right) =\dfrac{1}{4}\text{e}^{-1,5\text{i}\omega T_{e}}\left( 2\cos \left(1,5\omega T_{e}\right) + 2\cos
\left(0,5\omega T_{e}\right) \right) $

\fbox{donc $F\left(\text{e}^{\text{i}\omega T_{e}}\right) = 0,5\left(\cos \left(1,5\omega T_{e}\right) +\cos \left(0,5\omega T_{e}\right) \right)
\text{e}^{- 1,5\text{i}\omega T_{e}}$}

\item La période d'échantillonnage $T_{e}$ est suffisamment petite
pour que $\cos (1,5\omega T_{e})$ et $\cos \left(0,5\omega T_{e}\right)$ soient
positifs.

On a :$\left\vert F\left( \text{e}^{\text{i}\omega T_{e}}\right) \right\vert =\left\vert
0,5\left(\cos \left( 1,5\omega T_{e}\right) +\cos \left(0,5\omega
T_{e}\right) \right) \right\vert \times \left\vert \text{e}^{-1,5\text{i}\omega
T_{e}}\right\vert $

Or $\left\vert \text{e}^{-1,5\text{i}\omega T_{e}}\right\vert = 1$ et $\left\vert 0,5\left(
\cos \left(1,5\omega T_{e}\right) +\cos \left( 0,5\omega T_{e}\right)
\right) \right\vert =$

$0,5\left( \cos \left( 1,5\omega T_{e}\right) +\cos
\left(0,5\omega T_{e}\right) \right) > 0.$

Donc $F\left(\text{e}^{\text{i}\omega T_{e}}\right) =\left\vert F\left(\text{e}^{\text{i}\omega
T_{e}}\right) \right\vert \times \text{e}^{-1,5\text{i}\omega T_{e}}$ qui prouve que arg$\left(F\left(\text{e}^{\text{i}\omega T_{e}}\right) \right) = -1,5\text{i}\omega T_{e}$

\fbox{On a donc $\left\vert F\left( \text{e}^{\text{i}\omega T_{e}}\right) \right\vert
= 0,5\left( \cos \left(1,5\omega T_{e}\right) +\cos \left(0,5\omega
T_{e}\right) \right)$ et $\arg \left(F\left(\text{e}^{\text{i}\omega T_{e}}\right)
\right) =- 1,5\text{i}\omega T_{e}$}

\smallskip 

\emph{L'argument de }$F\left(\text{e}^{\text{i}\omega T_{e}}\right)$ \emph{permet
de lire le retard introduit par ce filtre dans la transmission des
informations.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $r$, le signal causal discret vérifiant $r(n)=n$ pour tout $n$
entier naturel.

Soit $t$ le signal causal discret vérifiant pour tout n entier naturel l'
équation aux différences:

\begin{equation*}
t(n + 2) + t(n + 1) - 6t(n) = r(n + 2) + r(n + 1).
\end{equation*}

Avec les conditions initiales suivantes: $t(0) = 0$ et $t(1) = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que : $a(n)=r(n+2)+r(n+1)$ on a $A\left( z\right) = z^{2}\left(
R\left( z\right) -r\left( 0\right) -z^{-1}r\left( 1\right) \right) +z\left(
R\left( z\right) -r\left( 0\right) \right) $

Or : $r\left( 0\right) =0$ et $r\left( 1\right) =1$ donc $A\left( z\right)
=z^{2}\left( R\left( z\right) -z^{-1}\right) +zR\left( z\right) $

C'est à dire  \fbox{$A\left( z\right) =\left( z^{2} + z\right) R\left(
z\right) -z$}

\item Soit $T$ la transformée en $Z$ de $t$. On admet que : $\dfrac{T(z)%
}{z}=\dfrac{z^{2}+z}{(z-1)^{2}(z-2)(z+3)}$.

Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous:

%\FRAME{itbpF}{4.8706in}{1.1459in}{0in}{}{}{Figure}{\special{language
%"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
%"USEDEF";valid_file "T";width 4.8706in;height 1.1459in;depth
%0in;original-width 9.3616in;original-height 2.1802in;cropleft "0";croptop
%"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
%'PP8YZ605.bmp';tempfile-properties "XPR";}}
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|}\hline
partfrac ((z $\wedge$ 2 + z) / ((z - 1) $\wedge$ 2 $\star$ (z - 2) $\star$ (z + 3)))\\ \hline
\multicolumn{1}{|r|}{$\dfrac{6}{(z - 2)\star 5} - \dfrac{1}{(z - 1)^2\star 2} - \dfrac{9}{(z - 1) \star 8} - \dfrac{3}{(z + 3) \star 40}$} \\ \hline 
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

On a donc $T\left( z\right) =\dfrac{6}{5}\dfrac{z}{z-2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{z}{\left( z-1\right) ^{2}}-\dfrac{9}{8}\dfrac{z}{z-1}-\dfrac{3}{40}\dfrac{z}{z+3}$

\fbox{D'après le formulaire : $t\left( n\right) =\left( \dfrac{6}{5}\times 2^{n}-\dfrac{1}{2}n-\dfrac{9}{8}-\dfrac{3}{40}\left( -3\right)
^{n}\right) \mathcal{U}_{n}$}

où $\mathcal{U}_{n}$ désigne l'échelon unité valant 1 pour $n\geqslant 0$.
\end{enumerate}

\underline{\textbf{Quelques développements}} : retrouvons l'expression $\dfrac{T(z)}{z}=\dfrac{z^{2}+z}{(z-1)^{2}(z-2)(z+3)}$

Posons $b_{n}=t(n+2)+t(n+1)-6t(n)$ on a donc $B\left( z\right) =z^{2}\left(
T\left( z\right) -t\left( 0\right) -z^{-1}t\left( 1\right) \right) +z\left(
T\left( z\right) -t\left( 0\right) \right) -6T\left( z\right) $

Avec $t(0)=0$ et $t(1)=1.$ On a donc : $B\left( z\right) =z^{2}\left(
T\left( z\right) -z^{-1}\right) +zT\left( z\right) -6T\left( z\right)
=T\left( z\right) \left( z^{2}+z-6\right) -z\medskip $

L'équation aux différences devient donc $T\left( z\right) \left(
z^{2}+z-6\right) -z=\left( z^{2}+z\right) R\left( z\right) -z\Rightarrow
T\left( z\right) \left( z^{2}+z-6\right) =\left( z^{2}+z\right) R\left(
z\right) $

C'est à dire $T\left( z\right) =\dfrac{z^{2}+z}{z^{2}+z-6}R\left(
z\right) .$ Or $r_{n}=n$ pour $n\geqslant 0.$ C'est \og la rampe \fg. Donc $R\left( z\right) =\dfrac{z}{\left( z-1\right) ^{2}}$

\bigskip 

On a alors $T\left( z\right) =\dfrac{z^{2}+z}{z^{2}+z-6}\times \dfrac{z}{
\left( z-1\right) ^{2}}$ c'est à dire $\dfrac{T\left( z\right) }{z}=
 \dfrac{z^{2}+z}{z^{2}+z-6}\times \dfrac{1}{\left( z-1\right) ^{2}}.$

Il suffit de remarquer que $z^{2}+z-6=\allowbreak \left( z+3\right) \left(
z-2\right) $ pour obtenir l'expression donnée par l'énoncé.

\bigskip 

Encore un effort : calculons les premiers termes de la suite $\left(
t_{n}\right) $ par l'équation récurrente puis par l'expression trouvée à la fin (pour confirmation).

$\left\{ 
\begin{array}{l}
t(n+2)+t(n+1)-6t(n)=r(n+2)+r(n+1) \\ 
t\left( 0\right) =0 \\ 
t\left( 1\right) =1 \\ 
r\left( n\right) =n\mathcal{U}_{n}
\end{array}
\right. $

pour $n=0$ : $t\left( 2\right) +t\left( 1\right) -6t\left( 0\right) =r\left(
2\right) +r\left( 1\right) \Rightarrow t\left( 2\right) +1=3\Rightarrow
t\left( 2\right) =2$

pour $n=1$ :  $t\left( 3\right) +t\left( 2\right) -6t\left( 1\right)
=r\left( 3\right) +r\left( 2\right) \Rightarrow t\left( 3\right)
+2-6=5\Rightarrow t\left( 3\right) =9$

pour $n=2$ : $t\left( 4\right) +t\left( 3\right) -6t\left( 2\right) =r\left(
4\right) +r\left( 3\right) \Rightarrow t\left( 4\right) +9-12=7\Rightarrow
t\left( 4\right) =10$

\bigskip 

Avec la formule trouvée : $t\left( n\right) =\left( \dfrac{6}{5}\times
2^{n}+\dfrac{1}{2}n-\dfrac{9}{8}-\dfrac{3}{40}\left( -3\right) ^{n}\right) 
\mathcal{U}_{n}$

$t\left( 0\right) =\dfrac{6}{5}\times 2^{0}-\dfrac{1}{2}\times 0-\dfrac{9}{8}
-\dfrac{3}{40}\times \left( -3\right) ^{0}=\allowbreak 0$

$t\left( 1\right) =\dfrac{6}{5}\times 2^{1}-\dfrac{1}{2}\times 1-\dfrac{9}{8}
-\dfrac{3}{40}\times \left( -3\right) ^{1}=\allowbreak 1$

$t\left( 2\right) =\dfrac{6}{5}\times 2^{2}-\dfrac{1}{2}\times 2-\dfrac{9}{8}
-\dfrac{3}{40}\times \left( -3\right) ^{2}=\allowbreak 2$

$t\left( 3\right) =\dfrac{6}{5}\times 2^{3}-\dfrac{1}{2}\times 3-\dfrac{9}{8}-\dfrac{3}{40}\times \left( -3\right) ^{3}=\allowbreak 9$

$t\left( 4\right) =\dfrac{6}{5}\times 2^{4}-\dfrac{1}{2}\times 4-\dfrac{9}{8}
-\dfrac{3}{40}\times \left( -3\right) ^{4}=\allowbreak 10$\bigskip 
\end{document}