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%Tapuscrit : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{SIO - Épreuve obligatoire - corrigé}}
\rfoot{\small{16 mai 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole -- 16 mai 2024~\decofourright\\[6pt]SIO -- Épreuve obligatoire}}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Aucune justification n'est demandée.\\
%Pour chaque question, une seule affirmation est exacte.\\
%Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante à l'affirmation
%exacte.\\
%Une réponse exacte vaut $1$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n'est
%pas pénalisée.}

\textbf{Question 1.} On pose $M = \begin{pmatrix}1&0&0\\0 &1& 0\\0&1&a\end{pmatrix}$ où $a$ désigne un réel quelconque. Alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\textbf{A :} $M^2 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0 &1& 0\\0&1&a^2\end{pmatrix}$&\textbf{\blue B :} $\blue M^2 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0 &1& 0\\0&a+1&a^2\end{pmatrix}$&\textbf{C :} $M^2 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0 &1& 0\\a&1&a\end{pmatrix}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\hfill\textbf{Réponse B}

\medskip

\textbf{Question 2.} Le nombre 323:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\textbf{\blue A :} \text{\blue est premier avec 420} &\textbf{B :} est un nombre premier &\textbf{C :} est divisible par 9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

$323=17\times 19$ donc 323 n'est ni premier ni divisible par 9.
\hfill\textbf{Réponse A}

\medskip

Les questions \textbf{3, 4} et \textbf{5} portent sur le graphe orienté de sommets $x, y, z$ et $t$, pris dans cet ordre, de matrice d'adjacence $M = \begin{pmatrix}0&1&0&1\\1&1&1&0\\0&1&0&1\\0&1&1&1 \end{pmatrix}$ . On donne $M^3 = \begin{pmatrix}2&6&3&4\\3&7&5&4\\2&6&3&4\\3& \blue 8&5&5 \end{pmatrix}$

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Le dessin du graphe est:
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=0.7cm,arrowscale=2}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\def\ray{2.5}
\psset{nodesep=0pt,radius=10pt,arcangle=20}
%\psgrid[gridcolor=orange]
%%% Définitions des noeuds
\Cnodeput(\ray;135){A}{$x$}   
\Cnodeput(\ray;225){B}{$y$} 
\Cnodeput(\ray;315){C}{$z$} 
\Cnodeput(\ray;45){D}{$t$} 

%%% arcs et poids
\psset{linecolor=blue}
\ncarc{->}{A}{B}  \ncline{->}{A}{D} 
\nccircle[angleA=90]{->}{B}{.4cm} 
\ncarc{->}{B}{A} \ncarc{->}{B}{C} 
\ncarc{->}{C}{B} \ncarc{->}{C}{D}
\nccircle[angleA=270]{->}{D}{.4cm} 
\ncline{->}{D}{B} \ncarc{->}{D}{C} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\textbf{Question 3.} Le sommet $y$ a :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\textbf{A :} 2 prédécesseurs &\textbf{B :} 3 prédécesseurs &\textbf{\blue C :} \text{\blue 4 prédécesseurs}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Il y a quatre 1 dans la deuxième colonne de la matrice $M$.
\hfill\textbf{Réponse C}

\medskip

\textbf{Question 4.} Le chemin suivant de longueur 4 est possible:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\textbf{A :} $z-y-t-x-y$&\textbf{\blue B :}  $\blue z- t- t - y- x$&\textbf{C :} $x-y-z-t-x$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\hfill\textbf{Réponse B}

\newpage
%\medskip

\textbf{Question 5.} Le nombre de chemins de longueur 3 d'origine $t$ et d'extrémité $y$ est égal à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\textbf{A :} 6 &\textbf{B :} 7 &\textbf{\blue C :} $\blue 8$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Il y a un 8 à l'intersection de la 4\ieme{} ligne (correspondant au $z$), et la 2\ieme{} colonne (correspondant au $y$), dans la matrice $M^3$.
\hfill\textbf{Réponse B}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

La norme de codage ASCII (American Standard Code for Information Interchange), défini aux États-Unis en 1963, associe aux caractères les plus utilisés dans les documents en langue anglaise un entier représentable en binaire sur 7 bits.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Combien de caractères peut-on ainsi encoder ?
On peut encoder $2^7= 128$ caractères.

\item Aux lettres majuscules A, B, \ldots, Z sont associés les nombres de 65 à 90, et aux lettres minuscules a, b, \ldots, z, ceux de 97 à 122.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'écriture binaire associée à la lettre "d",
Le \og   a minuscule \fg{} correspond au nombre 97 donc le \og   d minuscule\fg{} correspond au nombre 100.

$100 = 64 + 32 + 4 = 1\times 2^6 + 1\times 2^5 + 0\times 2^4 +0\times 2^3 + 1\times 2^2 + 0\times 2^1 +  0\times 2^0$ donc l'écriture binaire associée à la lettre \og   d minuscule\fg{} est $\overline{1100100}^{~2}$.
		
		\item %Quel caractère correspond à l'écriture binaire 1101101 ?
$\overline{1101101}^{~2} = 1\times 2^6 + 1\times 2^5 + 0\times 2^4 +1\times 2^3 + 1\times 2^2 + 0\times 2^1 +  1\times 2^0	=64+32+8+4+1=109$

Le nombre 109 correspond à la lettre \og m minuscule \fg{} donc c'est le \og m minuscule \fg{}  qui correspond à l'écriture binaire 1101101.
	\end{enumerate}
	
\item Lors de la transmission des données, pour éviter les erreurs, une méthode consiste
à ajouter pour chaque caractère, un bit de parité à la fin du codage en binaire.

Pour cela, on compte le nombre de 1 apparaissant dans le codage sur 7 bits d'un
caractère :
si le nombre obtenu est pair, on rajoute 0 à la fin du codage,
sinon on rajoute 1.
Chaque caractère est alors codé par un groupe de 8 bits appelé octet.

%Par exemple :
%\begin{itemize}
%\item la lettre "A" est codée par 1000001 en binaire. Ce codage contient un
%nombre pair de 1, donc on ajoute 0 à la fin, et la lettre "A" sera codée sur 8
%bits par 10000010 ;
%\item la lettre "C" est codée par 1000011 en binaire. Ce codage contient un
%nombre impair de 1, donc on ajoute 1 à 'a fin, et la lettre "C" sera codée sur
%8 bits par 10000111.
%\end{itemize}

%On considère l'algorithme ci-dessous écrit en langage naturel où ajoute\_bit\_parite est la fonction prenant en paramètre une chaine de caractères code de longueur 7 représentant un codage binaire et qui renvoie le codage obtenu en lui ajoutant le bit de parité à la fin.

%Ainsi ajoute\_bit\_parite("11011 00") renvoie "11011000" et ajoute\_bit\_parite("1100001") renvoie "11000011".

On complète l'algorithme pour qu'il renvoie le code binaire sous forme de chaine de caractères, complété par le bit de parité.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Fonction} ajoute\_bit\_parite(code)\\
\quad compt$\gets$ 0\\
\quad \textbf{Pour} i allant de 0 à 6 \textbf{Faire}\\
\quad \qquad \textbf{Si} code[i] est égal à "1"\\
\quad \qquad \textbf{Alors}\\
\quad \qquad \quad \blue compt $\gets$ compt + 1\\
\quad \qquad \textbf{Fin de Si}\\
\quad \textbf{Fin de Pour}\\
\quad \textbf{Si} le reste de la division de {\blue compt} par 2 est 0 \\
\quad \textbf{Alors}\\
\quad \qquad code $\gets$ code + "0"\\
\quad \textbf{Sinon}\\
\quad \qquad \blue code $\gets$ code + "1"\\
\quad \textbf{Fin de Si}\\
\quad Renvoyer code\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La directrice d'une entreprise doit recruter une personne pour son équipe. Ce poste requiert des compétences professionnelles et humaines.

L'évaluation du candidat attribue une note sur 10 points à ses compétences professionnelles et une note sur 10 points à ses compétences humaines. Le total des points du candidat
forme ainsi une note sur 20 appelée note finale.

Pour qu'un candidat soit sélectionné, il faut qu'au moins un des critères suivants soit respecté.

\begin{itemize}
\item le candidat a obtenu une note finale supérieure ou égale à 12 et il a eu au moins 5 points aux compétences humaines ;
\item le candidat a obtenu une note finale inférieure strictement à 12 et il a obtenu 10 points aux compétences professionnelles ; 
\item  le candidat n'a pas obtenu au moins 5 points aux compétences humaines et il a
obtenu 10 points aux compétences professionnelles.
\end{itemize}

\smallskip

On définit les trois variables booléennes $a$, $b$, $c$ de la façon suivante :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $a$ lorsque le candidat a obtenu une note finale supérieure ou égale à 12, $\overline{a}$ sinon ;
\item $b$ lorsque le candidat a obtenu au moins 5 points aux compétences humaines, $\overline{b}$ sinon:
\item $c$ lorsque le candidat a obtenu 10 points aux compétences professionnelles, $\overline{c}$ sinon.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la proposition \og Tous les candidats ont obtenu une note finale supérieure ou égale à 12 \fg. 

La négation de cette proposition \og Il y a au moins un candidat qui a obtenu une note strictement inférieure à 12. \fg{} 

\item On note $E$ l'expression booléenne correspondant aux critères de sélection d'un candidat.
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $E$ en fonction des variables booléennes $a, b, c$.
		
\begin{list}{\textbullet}{On exprime  $E$ en fonction des variables booléennes $a$, $b$, $c$:}
\item le candidat a obtenu une note finale supérieure ou égale à 12 et il a eu au moins 5 points aux compétences humaines, se  traduit par \og $a.b $\fg{} 
\item ou, se traduit par \og $+$\fg{};
\item le candidat a obtenu une note finale inférieure strictement à 12 et il a obtenu 10 points aux compétences professionnelles, se traduit par \og $\barre a.c$\fg{}  ; 
\item ou, se traduit par \og $+$\fg{};
\item  le candidat n'a pas obtenu au moins 5 points aux compétences humaines et il a
obtenu 10 points aux compétences professionnelles, se traduit par \og $\barre b.c$\fg{}.
\end{list}		

Donc $E= a.b + \barre{a}.c +\barre{b}.c$.
		
		\item On représente l'expression $E$ dans un tableau de Karnaugh.

\begin{multicols}{3}
\begin{center}
$a.b$
\end{center}

\scalebox{0.8}{
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & &  &  \\
 \hline
1 & & & \blue 1 & \blue 1 \\
 \hline
\end{tabular}
}

\columnbreak

\begin{center}
$\barre a.c$
\end{center}

\scalebox{0.8}{
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & \blue 1 & \blue 1 & \\
 \hline
1 &  &   &   &   \\
 \hline
\end{tabular}
}

\columnbreak


\begin{center}
$\barre{b}.c$
\end{center}


\scalebox{0.8}{
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & &  \blue 1 & & \\
 \hline
1 &   &  \blue 1 & & \\
 \hline
\end{tabular}
}
\end{multicols}

\begin{center}
$E= a.b + \barre a.c  + \barre b.c$

\medskip

\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & &  \blue 1 & \blue 1 & \\
 \hline
1 &   &  \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

On en déduit une écriture simplifiée de l'expression booléenne $E$ sous la forme d'une somme de deux termes.

\begin{pspicture}(-4,-3)(6,2.5)
%\psgrid[subgriddiv=5,gridcolor=orange]
\psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](3.4,-1.2)(4.8,-0.6)%%% a.b
\psline[linecolor=blue](4.8,-0.9)(5.2,-0.9) \uput[r](5.2,-0.9){\blue $a.b$}
\psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](2.2,-1.6)(4.2,0.7)%%% c
\psline(3.2,-1.6)(3.2,-2.1) \uput[d](3.2,-2.1){$c$}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10  \\ \hline
0 & &  \blue 1 & \blue 1 &   \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline
1 &  & \blue 1  & \blue 1  & \blue 1  \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline
\end{tabular}
\end{pspicture}

Donc $E=a.b+c$.
	
%En déduire une expression simplifiée de $E$ sous la forme d'une somme de deux termes.

		\item On traduit la forme simplifiée de $E$ à l'aide d'une phrase:
\og  le candidat a obtenu une note finale supérieure ou égale à 12 et  au moins 5 points aux compétences humaines, ou  le candidat a obtenu 10 points aux compétences professionnelles. \fg{}

		\item Un candidat a obtenu au moins 5 points aux compétences humaines, et il n'a pas obtenu 10 points aux compétences professionnelles.
Cela correspond à \og $b.\barre c$ \fg{}.

On place  cet événement dans la table de Karnaugh représentant $E$; il correspond aux cellules grisées.

\begin{center}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & \blue 1  & \blue 1 & \cellcolor{lightgray}\\
 \hline
1 &   &  \blue 1 & \blue 1 & \cellcolor{lightgray}\blue 1 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
		
		
Une des deux cellules grisées ne contient pas de 1, donc sa candidature ne peut être retenue; elle dépend de sa note finale: si elle est supérieure ou égale à 12 (codage $a. b.\barre c$), on peut retenir sa candidature. Sinon (codage $\barre a. b.\barre c$), on ne peut pas la retenir.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour équiper ses bureaux, l'entreprise a besoin de tables, d'armoires et de chaises.\\
Ayant demandé un devis à trois fournisseurs notés A, B, C,  l'entreprise a obtenu les renseignements suivants, où les prix sont en euros :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Fournisseur&Prix d'une armoire&Prix d'une table&Prix d'une chaise\\ \hline
A &240 	&120	&80\\ \hline
B &220	&140	&60\\ \hline
C &260 	&160	&40\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}240 &120&80\\
 220&140&60\\260 &160 &40\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'entreprise envisage de commander 8 armoires, 6 tables et 8 chaises. Cependant, elle se fixe un budget maximum de \np{3100}~\euro.

On considère la matrice colonne: $N = \begin{pmatrix}8\\6\\8 \end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le produit $M \times N$.
$M \times N = \begin{pmatrix}240 &120&80\\ 220&140&60\\260 &160 &40\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}8\\6\\8 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 240\times 8 + 120\times 6 + 80 \times  8\\
  220\times 8 + 140\times 6 + 60 \times  8\\
 260\times 8 + 160\times 6 + 40 \times  8
  \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\np{3280} \\ \np{3080} \\ \np{3360} 
\end{pmatrix}
$

		\item %Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
La première ligne de la matrice $M\times N$ correspond au coût total de la commande chez le fournisseur A. La deuxième ligne de la matrice correspond au fournisseur B, et la troisième ligne au fournisseur C.
		
		\item %Chez quel fournisseur l'entreprise peut-elle passer commande ?
Pour que le coût total soit inférieur à \np{3100}~\euro{}, il faut que l'entreprise passe commande auprès du fournisseur B.
		
	\end{enumerate}
\item Finalement, l'entreprise envisage une commande de \np{2960} euros avec le fournisseur A, de \np{2820} euros avec le fournisseur B et de \np{2980} euros avec le fournisseur C.

On note $x$ le nombre d'armoires, $y$ le nombre de tables et $z$ le nombre de chaises correspondant à cette commande.

On note $X$ la matrice $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
 et $Y$ la matrice $\begin{pmatrix}\np{2960}\\\np{2820}\\\np{2980}\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une relation entre $M, X$ et $Y$.
Il faut que $M\times X = Y$.
		
		\item Soit la matrice \renewcommand\arraystretch{1.4}$P = \begin{pmatrix}\frac{1}{60}&-\frac{1}{30}&\frac{1}{60}\\- \frac{17}{600}&\frac{7}{150}& - \frac{1}{75}\\\frac{1}{200}&\frac{3}{100}&-\frac{3}{100}\end{pmatrix}$\renewcommand\arraystretch{1} et la matrice identité $I = \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
		
On admet que $P \times M = I$.

On peut en déduire que la matrice $P$ est l'inverse de la matrice $M$.

		\item $M\times X = Y$ donc  $P\times \left (M\times X\right ) = P\times Y$
		donc  $\left ( P\times M \right )\times X = P\times Y$
		et donc $X = P\times Y$.
		
		\item %En déduire le nombre de tables correspondant à cette commande.
On cherche la matrice $X$ telle que $MX=Y$; on a vu que cela correspondait à $X=PY$.

On calcule:
$PY=
\begin{pmatrix}
5\\ 8\\10
\end{pmatrix}$

Le nombre de tables correspondant à cette commande est donc 8.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}