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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole - corrigé}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\Mathématiques approfondies}}
\rfoot{\small{17 mai 2023}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole 17 mai 2023~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}}

\medskip

\textbf{Mathématiques approfondies}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{Seuls les points supérieurs à \boldmath$10$\unboldmath sont pris en compte}
%
%\medskip
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\medskip

\textbf{\large{}Exercice 1  \hfill 10 points}

%\medskip
%
%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

En 2022, une usine a assemblé \np{300000} ordinateurs. L'entreprise souhaite optimiser les lignes de production dans les années futures et prévoit d'augmenter le nombre d'ordinateurs assemblés de 2\,\% par an.

On modélise la production annuelle de l'usine par une suite $\left(P_n\right)$ telle que pour tout entier naturel $n,\: P_n$ représente le nombre d'ordinateurs assemblés exprimé en milliers, au cours de l'année $2022 + n$. Ainsi $P_0 = 300$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $P_1$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
$P_1= P_0 + P_0\times \dfrac{2}{100} = 300 +300\times \dfrac{2}{100} = 300+6 = 306$

La production de l'usine en 2023 est, selon ce modèle, de \np{306000} ordinateurs.
		
		\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$.
Ajouter 2\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{2}{100}=1,02$.

Donc, pour tout $n$, on a $P_{n+1}=1,02\times P_n$.		
		
		\item La suite $\left(P_n\right)$ est donc une suite géométrique de premier terme $P_0=300$ et de raison $q=1,02$.
	\end{enumerate}
	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $P_n$ en fonction de $n$.
La suite $\left(P_n\right)$ est  une suite géométrique de premier terme $P_0=300$ et de raison $q=1,02$ donc, pour tout entier naturel $n$, on a:
$P_{n}= P_0\times q^n = 300\times 1,02^n$.
		
		\item %En déduire, à l'unité près, le nombre d'ordinateurs assemblés en 2030 selon ce modèle.
$2030 = 2022+8$; $P_8 = 300\times 1,02^8 \approx 351,498$

Le nombre d'ordinateurs assemblés en 2030 selon ce modèle est donc de \np{351498}.

	\end{enumerate}

\item On détermine le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $P_n > 400$.

$P_n>400
\iff 300\times 1,02^n > 400
\iff 1,02^n > \dfrac{400}{300}
\iff \ln \left ( 1,02^n\right ) > \ln \left ( \dfrac{4}{3} \right )\\
\phantom{P_n>400}
\iff n\times \ln \left ( 1,02\right ) > \ln \left ( \dfrac{4}{3} \right )
\iff n > \dfrac{\ln \left ( \frac{4}{3} \right )}{\ln(1,02)}$

$\dfrac{\ln \left ( \frac{4}{3} \right )}{\ln(1,02)} \approx 14,5$ donc  le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $P_n > 400$ est $n=15$.

$2022+15 = 2037$; c'est donc à partir de 2037 que la production de l'usine dépassera \np{400000} ordinateurs.

%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse plus précisément à l'une des lignes d'assemblage de l'usine. 

Cette ligne permet d'assembler entre \np{20000} et \np{40000} ordinateurs par an.

On admet que si cette ligne d'assemblage permet de produire $x$ milliers d'ordinateurs par an, le bénéfice associé, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [20~;~40] par:
$f(x) = (45 - x)\e^{0,1x} - 10$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète le tableau suivant en arrondissant les résultats au centième:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&20	&25	&30	&35	&40\\ \hline
$f(x)$	&	\textcolor{blue}{174,73} & \textcolor{blue}{233,65}	& \textcolor{blue}{291,28}	& \textcolor{blue}{321,15}	& \textcolor{blue}{262,99} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout $x$ appartenant à [20~;~ 40],\:$f'(x) = (-0,1x + 3,5)\e^{0,1x}$.
$f'(x)= -1 \e^{0,1x} + (45-x)\times 0,1\e^{0,1x} = -\e^{0,1x} +4,5 \e^{0,1x} -0,1x\e^{0,1x} = (-0,1x+3,5)\e^{0,1x}$
		
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [20~;~40].
On détermine le signe de  $f'(x)$ sur l'intervalle [20~;~40].

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 20 & \esp & 35 & \esp  & 40 \\
\hline
-0,1x+3,5 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\e^{0,1x} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
f'(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		
		
		\item $f(20)\approx 174,73$; $f(35)\approx 321,15$ et $f(40) \approx 262,99$
		
		On établit le tableau de variation de la fonction $f$ sur  [20~;~40].

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 20  & \esp & 35 & \esp & 40 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{321,15}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{174,73} &   &  &  &   \Rnode{min2}{262,99} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

%Les valeurs des images seront arrondies au centième.
	\end{enumerate}	

\item Le nombre d'ordinateurs que la ligne d'assemblage doit fabriquer par an afin d'obtenir un bénéfice associé maximal est donc \np{35000}.

La valeur de ce bénéfice maximal est, à la dizaine d'euros près de \np{321150}~\euro.

\item On considère la fonction $F$ définie sur [20~;~40] par 
$F(x) = (550 - 10x)\e^{0,1x} - 10x$.

On admet que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [20~;~40].
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la valeur exacte de $\displaystyle\int_{30}^{40} f(x)\: \text{d}x$ est $150\text{e}^4 - 250\text{e}^3 - 100$.
$\ds\int_{30}^{40} f(x) \d x
= F(40)-F(30)\\
\hphantom{\ds\int_{30}^{40} f(x) \d x}
= \left ((550 - 10\times 40)\e^{0,1\times 40} - 10\times 40\right ) -  \left ((550 - 10\times 30)\e^{0,1\times 30} - 10\times 30\right )\\
\hphantom{\ds\int_{30}^{40} f(x) \d x}
= \left ( (550-400)\e^{4} -400\right ) - \left ((550-300(\e^{3}-300 \right )\\
\hphantom{\ds\int_{30}^{40} f(x) \d x}
=  150\e^{4} -400 -250\e^{3}+300
=  150\e^{4} -250\e^{3}-100$		
		
		\item La valeur moyenne de la fonction entre 30 et 40 est:
		
$\dfrac{1}{40-30} \ds\int_{30}^{40} f(x) \d x 
= 	\dfrac{1}{10} \left ( 150\e^{4} -250\e^{3}-100 \strut\right )
= 15\e^{4} -25\e^{3}-10 \approx  306,83$.
		
Donc le bénéfice moyen réalisé lorsque la ligne d'assemblage produit entre \np{30000} et \np{40000} ordinateurs est, à la dizaine d'euros près, de \np{306830}~\euro.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large{}Exercice 2  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant, où $x_i$ désigne le rang de l'année mesuré à partir de l'année 2015, donne le nombre $y_i$ d'appareils connectés, exprimé en milliards, dans le monde entre 2015 et 2021.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&2015 	&2016 &2017 &2018	&2019&2020&2021\\ \hline
$x_i$ : rang de l'année 	&0 		&1 	  &2 	&3		&4& 5& 6\\ \hline
$y_i$ : nombre d'appareils
 (en milliards)				&15,4 	&17,7 &20,4 &23,1&26,7 &30,7 &35,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$ vaut environ $0,99$.  
		%Arrondir le résultat au centième.
		\item %Expliquer pourquoi le résultat obtenu permet d'envisager un ajustement affine.
Le coefficient de corrélation linéaire $r$ est voisin de 1, donc on peut envisager un ajustement linéaire de $y$ en $x$.		
		
	\end{enumerate}	
\item %Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, sous la forme $y = ax +b$. Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis au dixième.
En arrondissant les coefficients au dixième, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ est: $y=3,3x + 14,2$.

\item %À l'aide de l'équation de la droite de régression trouvée précédemment,  estimer le nombre d'appareils qui seront connectés en 2023.
L'année 2023 correspond au rang 8; pour $x=8$, on a: $y=3,3\times 8 + 14,2=40,6$.

On peut donc estimer à $40,6$ milliards le nombre d'appareils connectés en 2023.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un fabricant commercialise des montres connectées.
Les batteries utilisées pour fabriquer ces montres proviennent de deux fournisseurs différents, notés A et B. 
75\,\% des batteries du stock du fabricant proviennent du fournisseur A, les autres proviennent du fournisseur B.
Le fabricant remarque des défauts de charge parmi les batteries de son stock. 
Après analyse, il constate que 1,2\,\% des batteries provenant du fournisseur A et 2\,\% de celles provenant du fournisseur 8 sont défectueuses.
On prélève au hasard une batterie dans le stock du fabricant.

On considère les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og la batterie prélevée provient du fournisseur A \fg{}; 
\item[ ] $B$ : \og la batterie prélevée provient du fournisseur B \fg{} ;
\item[ ] $D$ : \og la batterie prélevée est défectueuse \fg.
\end{description}

On note $\overline{D}$ l'évènement contraire de l'évènement $D$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On modélise la situation par un arbre pondéré.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,75$}}
 	  { 
 		  \TR{$D$}\naput{$0,012$}
 		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-0,012=0,988$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\nbput{\blue $1-0,75=0,25$}}
 	  {
 		  \TR{$D$}\naput{$0,02$}
          \TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-0,02=0,98$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité de l'évènement $B \cap D$ est:
		
$P(B\cap D)=P(B)\times P_B(D)=0,25\times 0,02 = 0,005$.		
				
		\item %Interpréter le résultat obtenu par une phrase.
Cela veut dire que la probabilité que la batterie présente un défaut et provienne du fournisseur B est égale à $0,005$.		
		
	\end{enumerate}	
\item %Montrer que la probabilité que la batterie prélevée soit défectueuse est égale à $0,014$.
La probabilité que la batterie prélevée soit défectueuse est $P(D)$.

D'après la formule des probabilités totales:

$P(D)=P(A\cap D) + P(B\cap D)=0,75\times 0,012+0,005 = 0,014$.

\item Sachant que la batterie prélevée est défectueuse,  la probabilité que celle-ci provienne du fournisseur B est:
$P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)} = \dfrac{0,005}{0,014}\approx 0,357$.

%On arrondira le résultat au millième.
\item Le fabricant prélève au hasard $50$ batteries de son stock. 

Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. 
On note $X$ la variable aléatoire qui, a chaque lot de $50$ batteries, associe le nombre de batteries défectueuses.
	\begin{enumerate}
		\item %Sans justifier, préciser la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ainsi que les paramètres de cette loi.
La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,014$.		
		
		\item La probabilité qu'au moins une batterie soit défectueuse est: 
		
$P(X\geqslant 1) = 1-P(X=0) = 1-\ds\binom{50}{0} \times 0,014^0 \times (1-0,014)^{50-0} \approx 0,506$.
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}