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\setlist[itemize]{label=\textbullet}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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  pdfauthor = {François Hache},
  pdfsubject = {Corrigé du BTS},
  pdftitle = {Métropole 16 mai 2024},
  allbordercolors = white,
  pdfstartview=FitH}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
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\newcommand{\ts}{\textstyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole - corrigé}
\lfoot{\small Services informatiques aux organisations\\Épreuve de mathématiques approfondies}
\rfoot{\small 16 mai 2025}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole 16 mai 2025~\decofourright\\ [7pt]
Services informatiques aux organisations}}\\ [7pt]
\textbf{Épreuve de mathématiques approfondies}
%\vspace{0.25cm}

%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}
%
%\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

En $2023$, une entreprise jetait $20$ tonnes d'emballages cartonnés. Elle souhaite réduire la quantité d'emballages cartonnés qu'elle jette de $3\,\%$ par an en réutilisant les cartons les moins abîmés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de tonnes d'emballages cartonnés jetés par l'entreprise durant l'année $2023 + n$. Ainsi on a $u_0 = 20$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$u_1=u_0- u_0\times \dfrac{3}{100}= 20- 20\times \dfrac{3}{100} = 19,4$

En 2024, l'entreprise a jeté $19,4$ tonnes de cartons.

\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
Réduire de  3\;\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{3}{100}=0,97$.

Donc pour tout entier naturel  $n$, on a: $u_{n+1}      =0,97u_n$.

\item %Déterminer la nature de la suite $(u_n)$.
On peut donc dire que la suite $u_n)$ est géométrique de raison $q=0,97$ et de premier terme $u_0=20$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
La suite $u_n)$ est géométrique de raison $q=0,97$ et de premier terme $u_0=20$ donc, ppour tout entier naturel $n$, on a:
$u_n=u_0\times q^n = 20\times 0,97^n$.

\item% En déduire, à $0,001$ tonne près, le nombre de tonnes d'emballages cartonnés jetés en 2029.
L'année 2023 correspond au rang 0, donc l'année 2029 correspond au rang 6.

$u_6= 20\times 0,97^6\approx 16,659$ donc le nombre de tonnes d'emballages cartonnés jetés en 2029 est $16,659$~tonnes.

\item %Déterminer, en justifiant la réponse, l'année à partir de laquelle l'entreprise jettera moins de 15 tonnes d'emballages cartonnés par an.
L'année à partir de laquelle l'entreprise jettera moins de 15 tonnes d'emballages cartonnés par an est le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<15$. \\
On résout cette inéquation.

$\aligned
u_n<15
&
\iff 20\times 0,97^n < 15
\iff 0,97^n<\dfrac{15}{20}
\iff \ln\left (0,97^n\right ) < \ln \left (\dfrac{15}{20} \right )\\
&
\iff n\times \ln\left (0,97 \right ) <  \ln \left (\dfrac{15}{20} \right )
\iff n> \dfrac{\ln \left (\frac{15}{20} \right )}{\ln\left (0,97 \right )}
\endaligned$

Or $\dfrac{\ln \left (\frac{15}{20} \right )}{\ln\left (0,97 \right )} \approx 9,4$ donc il faut prendre $n=10$ qui correspond à l'année 2033.

C'est donc à partir de 2033 que l'entreprise jettera moins de 15 tonnes d'emballages cartonnés par an.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip

Après avoir trié et stocké les emballages en carton qu’elle pouvait réutiliser, l’équipe chargée du tri a constaté que :

\begin{itemize}
\item $22\,\%$ des emballages en carton réutilisables nécessitent d'être consolidés ;
\item parmi les emballages en carton qui ne nécessitent pas d'être consolidés, 83\,\% sont de petite taille ;
\item parmi les emballages en carton qui doivent être consolidés, 5\,\% sont de petite taille.
\end{itemize}

\medskip

On choisit au hasard un emballage en carton réutilisable dans le stock.

\begin{list}{\textbullet}{On considère les évènements suivants :}
\item $C$: « l'emballage doit être consolidé » ;
\item $T$: « l'emballage est de petite taille ».
\end{list}

%\medskip
%
%On rappelle que, quel que soit l’évènement $E$, on note $\overline{E}$ son évènement contraire.

\begin{enumerate}
\item On représente la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

\begin{center}
{%\bigskip
\psset{levelsep=3.5cm,nodesepB=4pt, treesep=1.2cm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C$}\naput{$\blue 0,22$}}
{
\TR{$T$}\naput{$\blue 0,05$}
\TR{$\overline{T}$}\nbput{$\blue 1-0,05=0,95$}
}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{C}$}\nbput{$\blue 1-0,22=0,78$}}
{
\TR{$T$}\naput{$\blue 0,83$}
\TR{$\overline{T}$}\nbput{$\blue 1-0,83=0,17$}
}
}
}
%\bigskip
\end{center}

\item
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité de $C \cap T$ et donner une interprétation du résultat trouvé.
$P\left (C\cap T\right ) = P\left (C\right )\times P_C\left (T\right ) = 0,22\times 0,05=0,011$

On en déduit que le pourcentage de cartons de petite taille à consolider est de $1,1\;\%$.

\item %Montrer que $P(T) = \np{0,6584}$ et donner une interprétation du résultat trouvé.
D'après la formule des probabilités totales:

$P\left ( T\right ) = P\left ( C\cap T\right ) + P\left (\overline{C}\cap T\right )
= 0,01+0,78\times 0,83 = \np{0,6584}$

On en déduit que le pourcentage de cartons de petite taille est de $65,84\;\%$.
\end{enumerate}

\item Un emballage en carton de petite taille est prélevé au hasard dans le stock.  

La probabilité qu'il nécessite d'être consolidé est:
$P_T\left (C\right ) = \dfrac{P\left ( C\cap T\right )}{P\left (T\right )}
= \dfrac{0,011}{0,6584}\approx 0,017$.

%%On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%Dans cette partie, les résultats seront arrondis au millième.

Les emballages en carton réutilisables sont rangés dans des caisses hermétiques pouvant contenir 20 cartons pliés. Pour constituer ces caisses, l'entreprise prélève au hasard 20 cartons réutilisables dans son stock. Ce stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout lot de 20 cartons, associe le nombre de ceux qui ont été consolidés.

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
Pour un carton, il y a deux possibilités: il doit être consolidé, avec une probabilité $p=0,22$, ou il n'a pas besoin d'être consolidé.

L'entreprise prélève au hasard 20 cartons réutilisables dans son stock et ce stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

Donc la variable aléatoire $X$ qui, à tout lot de 20 cartons, associe le nombre de ceux qui ont été consolidés suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,22$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun carton qui ait été consolidé.
La probabilité qu'il n'y ait aucun carton qui ait été consolidé est:

$P \left (X=0\right ) =\ds\binom{20}{0} \times 0,22^0 \times \left (1-0,22\right )^{(20-0}
= 0,78^{20}\approx 0,007$.

\item À la calculatrice, on trouve que  la probabilité qu'il y ait au plus 4 cartons consolidés dans le lot choisi au hasard est:
$P\left (X \leqslant 4\right )\approx 0,542$.      
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise de jardinage s'est lancée dans l'e-commerce depuis $2017$. On a répertorié son chiffre d'affaires en milliers d'euros (k\texteuro) réalisé chaque année jusqu’en $2023$.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{ | c|*{7}{>{\centering\arraybackslash} X|} }
\hline
Année & $2017$ & $2018$ & $2019$ & $2020$ & $2021$ & $2022$ & $2023$ \\
\hline
Rang de l'année : $x_i$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ \\
\hline
Chiffre d'affaires en k\texteuro\ : $y_i$ & $81,7$ & $120,3$ & $150,2$ & $200,3$ & $286,1$ & $402,1$ & $512,3$ \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

On souhaite estimer le chiffre d'affaires de cette entreprise en $2026$.

\begin{enumerate}
\item On complète le tableau suivant en arrondissant les valeurs à $0,01$.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{ |c | *{7}{>{\centering\arraybackslash} X|} }
\hline
Rang de l'année : $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
\hline
$z_i = \ln y_i$ & $\blue 4,40$ & $\blue 4,79$ & $\blue 5,01$ & $\blue 5,30$ & $\blue 5,66$ & $\blue 6,00$ & $\blue 6.24$ \\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À l'aide de la calculatrice, on donne une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$, en arrondissant les coefficients au centième:
$z=0,31x+4,12$.

\item %Justifier que le chiffre d'affaires $y$ pour l'année de rang $x$ peut être modélisé par l'expression

%\[y = A \e^{B x}\]

%où $A = 61{,}56$ et $B = 0{,}31$ à $0{,}01$ près.

$z=0,31x+4,12$ donc $\ln(y)=0,31x+4,12$
donc $y=\e^{0,31x+4,12}$
donc $y=\e^{0,31x}\times \e^{4,12}$

$\e^{4,12}\approx 61,56$ donc l'expression $y=61,56\e^{0,31x}$ modélise le chiffre d'affaires pour l'année de rang $x$.

\item %À l'aide de l'ajustement trouvé précédemment, estimer le chiffre d'affaires de cette entreprise en $2026$. Arrondir à $0{,}01$ près.
L'année 2026 correspond au rang 10 donc le chiffre d'affaires peut être estimé en 2026 à $61,56\e^{0,31\times 10}$ soir environ \np{1366,51}~k\euro.  

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Suite à une modernisation de son site de vente en ligne, l'entreprise étudie pendant $24$ heures le nombre de visites sur ce site, le jour d'ouverture des soldes. Le nombre de visites en milliers est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\;;\;24]$ par
$f(x) = 55x\e^{-0,4x}$,
où $x$ représente le nombre d'heures écoulées depuis 7 h du matin.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ appartenant à $[0\;;\;24]$, on a: $f(x) = 55x\e^{-0,4x}$ donc

$f'(x)= 55\times 1\times \e^{-0,4x} +55x\times (-0,4)\e^{-0,4x}
= \e^{-0,4x} \left (55 -22x\right ) = \e^{-0,4x}\left (-22x+55\right )$  
%  vérifier que  $f'(x) = \e^{-0,4x}(-22x + 55).$

\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0\;;\;24]$.
$-22x+55>0 \iff 55>22x \iff \dfrac{55}{22}>x \iff x<2,5$

De plus, pour tout $x$, $\e^{-0,4x}>0$.  
On établit le tableau de signes de $f'(x)$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x & 0 & \esp & 2,5 & \esp  & 24 \\
\hline
-22x+55 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\e^{-0,4x} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
f'(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item $f(0)=0$, $f(2,5)\approx 50,58$ et $f(24)\approx 0,09$

On dresse le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\;;\;24]$. 
%Arrondir la valeur des images au centième si besoin.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0 & \esp & 2,5 & \esp & 24 \\
\hline
f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\
\hline
 & &  & \Rnode{max}{\approx 50,58} & & \\
f(x) & & &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
& \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{\approx 0,09} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min1}{max}
\ncline{->}{max}{min2}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item La fonction $f$ admet pour maximum $50,58$, qui est atteint pour $x=2,5$.
\begin{enumerate}
\item Le nombre de visites maximal durant ces 24 heures est donc de $50,58$ milliers, soit \np{50580}.
\item Ce nombre de visites maximal est atteint pour $x=2,5$ donc au bout de 2 heures et demies.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}

\item %Démontrer que l'équation $f(x)=20$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0\;;\;2,5]$.
Sur $[0\;;\;2,5]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante, et passe de 0 à $50,58$.  Or $0<20<50,58$, donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=20$ admet une solution unique sur cet intervalle. On l'appelle $\alpha$.

\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée par excès à $0,1$ près de $\alpha$.
À l'aide de la calculatrice, on trouve: $f(0,4) \approx 18,75<20$ et $f(0,5)\approx 22,52>20$.

Donc $0,5$ est une valeur approchée par excès à $0,1$ près de $\alpha$.

\item On admet que l'équation $f(x)=20$ admet également une unique solution sur $[2,5\;;\;24]$ et qu'une valeur approchée à $0{,}1$ près  de cette solution est $7{,}5$.

On complète le tableau de variation de $f$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 2,5 & \esp & 24 \\
%\hline
%f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\
\hline
 & &  & \Rnode{max}{50,58}  &  & \\
f(x) & & &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  & \Rnode{min2}{0,09} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min1}{max}
\ncline{->}{max}{min2}
\rput*(-6.8,0.7){\Rnode{zero}{\blue 20}}
\rput(-6.8,2.5){\Rnode{alpha}{\blue 0,5}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
\rput*(-1.7,0.7){\Rnode{zero2}{\red 20}}
\rput(-1.7,2.5){\Rnode{beta}{\red 7,5}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

Entre $0,5$ et $7,5$, on a $f(x)>20$, soit pendant 7 heures.

Donc pendant 7 heures, il y a eu plus de $\np{20000}$ visites sur le site.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}