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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Tapuscrit corrigé : François Hache
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Métropole 16 mai 2024},
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\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\ts}{\textstyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS Polynésie - corrigé}
\lfoot{\small{SIO - Mathématiques approfondies}}
\rfoot{\small{16 mai 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Polynésie -- 16 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Services informatiques aux organisations}\\[7pt]}

\medskip

\textbf{Épreuve de mathématiques approfondies}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}
%
%\textbf{Durée : 2 heures}%

\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise fabrique entre \np{1000} et \np{15000} composants pour téléphones portables par jour. On admet que si l'entreprise fabrique $x$ milliers de composants par jour le bénéfice de l'entreprise en centaines d'euros est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par: $f(x) = - x \ln (x) + 2x$.

%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Un logiciel de calcul formel donne l'expression suivante pour la dérivée de la fonction $x \longmapsto  x \ln (x)$ :

\begin{center}	
\begin{tabular}{|m{1cm}|m{3cm}|}\hline
1&$x \ln (x)$\\ \hline
~&Dérivée : $\ln (x) + 1$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

%En déduire l'expression de $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~15].

Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~15],\\
$f'(x) = -\left ( \ln(x) +1 \strut\right ) +2 = -\ln(x)-1+2 = -\ln(x)+1$.

		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~15].
$-\ln(x)+1 >0 \iff 1>\ln(x) \iff \e > x$

On établit le tableau de signes de $f'(x)$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp & \e & \esp  & 15 \\
\hline
f'(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &    \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

		\item 
$f(1)=-1\times \ln(1) +2\times 1 = 2$,
$f(\e)=	-\e \times \ln(\e) +2\times \e = \e \approx 2,72$ et\\
$f(15)=-15\times \ln(15) +2\times 15 \approx -10,62$ 
		
On déduit le tableau de variation de la fonction $f$ sur [1~;~15].

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \esp & \e & \esp & 15 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\approx 2,72}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{2} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\approx -10,62} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	
		
		\item Le maximum de $f$ sur l'intervalle [1~;~15] est $f(\e) =\e \approx 2,72$.% et préciser pour quelle valeur ce maximum est atteint.
	\end{enumerate}
	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $a$ dans l'intervalle [1~;~15], puis en déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée au centième.
%\begin{list}{\textbullet}{}
%\item Sur l'intervalle [1~;~$\e$], la fonction $f$ est croissante et $f(1)=2>0$; donc $f(x)>0$ ce qui entraine que l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution.
%\item Sur l'intervalle [$\e$~;~15], la fonction $f$ est décroissante et passe d'une valeur positive à une valeur négative. De plus $f$ est dérivable donc continue. D'après le corollaire du  théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique.

\begin{list}{\textbullet}{D'après le tableau de variation de $f$:}
\item Sur l'intervalle [1~;~$\e$], la fonction $f$ est croissante et $f(1)=2>0$; donc $f(x)>0$ ce qui entraine que l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution.
\item Sur l'intervalle [$\e$~;~15], la fonction $f$ est décroissante et passe d'une valeur positive à une valeur négative; donc l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique.
\end{list}

On peut donc dire  que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle [1~;~15]; on l'appelle $a$.

D'après la calculatrice, $a \approx 7,39$.

\emph{Remarque du correcteur}

\begin{quote}
On peut trouver facilement la valeur exacte de $a$; sur l'intervalle [1~;~15]:\\
$f(x)=0 \iff -x\ln(x)+2x=0 \iff x\left (-\ln(x)+2\strut\right )=0 \iff -\ln(x)+2=0\\
\phantom{f(x)=0}
 \iff 2=\ln(x) \iff x=\e^{2}$
\end{quote}
		
		\item On déduit le signe de $f$ sur l'intervalle [1~;~15].
		
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp & a & \esp  & 15 \\
\hline
f(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &    \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}	
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la fonction définie sur [1~;~15], par $F(x) = x^2 \left(\dfrac54 - \dfrac12 \ln (x)\right)$.
		
$F'(x)=2x \times \left(\dfrac54 - \dfrac12 \ln (x)\right)+x^2\times \left (0-\dfrac{1}{2x}\right )
= \dfrac{5}{2}x - x\ln(x) -\dfrac{1}{2}x= -x \ln(x) +2x=f(x)$

Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur [1~;~15].
		
		\item %Donner une valeur approchée de l'intégrale 
$\begin{aligned}[t]
\displaystyle\int_2^6 f(x) \d x&
= F(6)-F(2)
= \left ( 6^2 \left ( \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2}\ln(6)\right ) \right ) - \left ( 2^2 \left ( \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2}\ln(2)\right )\right )\\
& =\left (45 - 18\ln(6)\strut \right ) - \left ( 5-2\ln(2)\strut\right )
= 40 - 18\ln(6) + 2 \ln(2)\approx 9,13
\end{aligned}$

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le bénéfice maximal à l'euro près réalisé par l'entreprise et le nombre de composants pour le réaliser.
Le bénéfice maximum est égal à $f(\e)=\e$, soit environ $2,72$ centaines d'euros, autrement dit 272~\euro.

Ce maximum est réalisé pour $x=\e$ milliers de composants soit \np{2720}.

\item On considère que la production journalière de l'entreprise est comprise entre \np{2000} et \np{6000} composants.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier alors que l'entreprise réalise un bénéfice positif.
La production est entre 2 et 6 milliers de composants. 

$6<a$ donc l'intervalle [2~;~6] est contenu dans l'intervalle $[1~;~a]$, donc $f$ est positive sur l'intervalle [2~;~6]. L'entreprise réalise donc un bénéfice positif.
		
		\item Pour une telle production, on admet que le bénéfice moyen de l'entreprise, en
centaines d'euros, est donné par:
$\mu = \dfrac14 \displaystyle\int_2^6 f(x)\d x$.

D'après la partie A, $\mu \approx \dfrac{1}{4}\times 9,13$ donc $\mu \approx \np{2,2825}$.

Le bénéficie moyen est donc d'environ 228~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise possède deux chaînes de fabrication, notées $a$ et $b$, qui produisent des composants électroniques.
La chaine $a$ produit 55\,\% des composants. On estime que 5\,\% des pièces produites par la chaîne $a$ sont défectueuses et 4\,\% des pièces produites par la chaîne $b$ sont défectueuses.

On choisit au hasard un composant électronique parmi ceux produits par cette entreprise. 

\begin{list}{\textbullet}{On considère les évènements suivants:}
\item $A$ : \og le composant est produit par la chaine $a$ \fg
\item $B$: \og le composant est produit par la chaîne $b$ \fg
\item $D$ : \og le composant présente un défaut \fg{};
\end{list}

%Dans cette partie les résultats seront arrondis à $10^{-4}$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On modélise cette situation par un arbre pondéré.
		
\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,55$}}
 	  { 
 		  \TR{$D$}\naput{$0,05$}
 		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-0,05=0,95$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\nbput{\blue $1-0,55=0,45$}}
 	  {
 		  \TR{$D$}\naput{$0,04$}
          \TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-0,04=0,96$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}
		
		
		\item% Déterminer les probabilités $P(A \cap D),\: P(B \cap D)$ et en déduire la probabilité qu'un composant soit défectueux.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $P(A \cap D) = P(A)\times P_A(D) = 0,55 \times 0,05 = \np{0,0275}$
\item $P(B \cap D) = P(B)\times P_B(D) = 0,45 \times 0,04 = \np{0,018}$
\item D'après la formule des probabilités totales:\\
$P(D)= P(A \cap D) + P(B \cap D) = \np{0,0275} + \np{0,018} = \np{0,0455}$
\end{list}
		
		\item On a prélevé un composant défectueux, la probabilité qu'il
provienne de la chaîne $a$ est:
$P_A(D) = \dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}= \dfrac{\np{0,0275}}{\np{0,0455}} \approx \np{0,6044}$
	\end{enumerate}
\item On constitue un lot de composants provenant des deux chaînes de fabrication en
prélevant $100$ composants.
On considère que le nombre de composants produits par les deux chaines de fabrication est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.
On considère que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est $p = \np{0,0455}$.
On note $X$ la variable aléatoire, qui a chaque lot de $100$ composants, associe le nombre de pièces défectueuses de ce lot.

	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
Un composant peut être défectueux, avec une probabilité $p=\np{0,0455}$,	ou pas; il y a donc deux issues possibles?

On suppose que le prélèvement de 100 composants est assimilé à un tirage avec remise.
Donc la variable aléatoire $X$, qui a chaque lot de $100$ composants, associe le nombre de pièces défectueuses de ce lot suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=\np{0,0455}$.
		\item %Déterminer les probabilités $P (X = 0)$ et $P(X \leqslant 10)$.
		\begin{list}{\textbullet}{À la calculatrice, on trouve:}
		\item $P(X=0) \approx \np{0,0095}$
		\item $P(X\leqslant 0) \approx \np{0,9941}$
		\end{list}
		
		\item La probabilité qu'il y ait entre 1 et 10 pièces défectueuses dans le lot est:\\
$P(1 \leqslant X \leqslant 10) = P(X\leqslant 10) - P(X=0) =   \np{0,9941} - \np{0,0095}  = \np{0,9846}$

		\item L'espérance de la variable aléatoire $X$ est:
		$E(X)=np = 100 \times \np{0,0455} = 4,55$
		
Sur un échantillon de 100 composants, il y aura, en moyenne, $4,55$ pièces défectueuses.
		
% et interpréter ce résultat dans le cadre de cet exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une société commercialise des liseuses utilisant les composants électroniques étudiés dans la partie A.
Le tableau ci-dessous, où $x_i$ désigne le rang de l'année mesuré à partir de l'année 2015, donne le nombre $y_i$ de liseuses de cette marque vendues annuellement depuis 2015.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année							&2015 		&2016 		&2017		& 2018	& 2019&2020& 2021\\ \hline
Rang de l'année $x_i$			&0 			&1			& 2			& 3		& 4			&5 &6\\ \hline
Nombre $y_i$ de liseuses
 vendues&\np{1245} 				&\np{1320}	&\np{1421}	&\np{1480} &\np{1530}&\np{1680}& \np{1710}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après la calculatrice,  le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $(x_i~;~y_i)$, arrondi au centième, est $0,99$.
		
		\item Le coefficient de corrélation linéaire est très proche de 1 donc on peut envisager un ajustement affine.
	\end{enumerate}
\item À l'aide d'une calculatrice, on trouve pour équation de la droite de régression de $y$
en $x$, sous la forme $y = ax + b$, en arrondissant les coefficients $a$ et $b$ au dixième, est: $y = 78,7 x + \np{1249}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'année 2023 correspond à $x=8$.\\
		À l'aide de l'équation de la droite de régression trouvée précédemment,  le nombre de liseuses vendues en 2023 peut être estimé à $78,7 \times 8 + \np{1249}$ soit $\np{1877}$ en arrondissant à l'unité.

		\item% À l'aide de l'équation de la droite de régression trouvée précédemment, estimer 
Le rang de l'année à partir duquel le nombre de liseuses vendues deviendrait supérieur à \np{3000} est le nombre $x$ tel que $78,7 x + \np{1249}>\np{3000}$. 

On résout cette inéquation.

$78,7 x + \np{1249}>\np{3000}
\iff 78,7 x > \np{3000} - \np{1249}
\iff 78,7 x > \np{1751}
\iff x> \dfrac{\np{1751}}{78,7}
$

$\dfrac{\np{1751}}{78,7} \approx 22,2$ donc le rang cherché est 23.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}