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%Tapuscrit : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS Métropole - corrigé}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\Mathématiques approfondies}}
\rfoot{\small{mai 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole mai 2022~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}}

\medskip

\textbf{Mathématiques approfondies}

%\vspace{0,25cm}
%
%Seuls les points supérieurs à $10$ sont pris en compte.
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1  \hfill 10 points}

\medskip

Une start-up fabrique entre 100 et \np{2000} ordinateurs par jour. On admet que si la start-up fabrique $x$ \textbf{centaines} d'ordinateurs, le bénéfice en \textbf{centaines} d'euros est modélisé par :

\[f(x) = 80x\e^{-0,2x},\quad  \text{avec}\: x \in [1~;~20].\]

On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$, et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

\bigskip

\textbf{Partie A - Étude graphique}

\medskip

À l'aide du graphique en annexe, on peut dire que:

\begin{enumerate}
\item  le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~20] est d'environ 147;
\item les solutions de l'équation $f(x) = 100$ sont environ égales à $1,8$ et à $10,8$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude de la fonction \boldmath{$f$}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ appartenant [1~;~20], on a:\\
$f'(x) = 80 \times 1 \times \e^{-0,2x} + 80\times x \times (-0,2) \times \e^{-0,2x}
= 80 \e^{-0,2x}(1 - 0,2x)$.
		
		\item On étudie le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~20].
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour tout réel $t$, $\e^{t}>0$, donc pour tout $x$, $80\e^{-0,2x}>0$.
\item $1 - 0,2x>0 \iff 1>0,2x \iff x<5$
\item $1 - 0,2x=0 \iff 1=0,2x \iff x=5$
\end{list}		
		
Donc $f'(x)>0$ sur $[0\,;\,5[$, et $f'(x)<0$ sur $]5\,;\,20]$.		
		
		\item On établit le tableau de variation de la fonction $f$.
		
$f(1)=80\e^{-0,2}\approx 65,50$;
$f(5)=80\times 5 \times \e^{-0,2\times 5} = 400\e^{-1}\approx 147,15$ et\\
$f(20)=80\times 20 \times \e^{-0,2\times 20}=\np{1600}\e^{-4}\approx 29,31$ 

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \esp & 5 & \esp & 20 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{147,15}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{65,50} &   &  &  &   \Rnode{min2}{29,31} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	
\end{enumerate}	

\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 100$ admet une unique solution sur l'intervalle [1~;~5] puis en déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée au centième.
On complète le tableau de variation de $f$ entre 1 et 5.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \esp & 5 & \esp & 20 \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{147,15}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{65,50} &   &  &  &   \Rnode{min2}{29,31} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \rput*(-6.5,1.05){\Rnode{zero}{\blue 100}}
\rput(-6.5,2.5){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

On en déduit que l'équation $f(x) = 100$ admet une unique solution sur l'intervalle [1~;~5]; on l'appelle $\alpha$.

\textbullet~~$f(1)\approx 65,50  <100$ et $f(2) \approx 107,25  >100$ donc $1 < \alpha < 2$

\textbullet~~$f(1,7)\approx 96,80  <100$ et $f(1,8) \approx 100,47 >100$ donc $1,7 < \alpha < 1,8$

\textbullet~~$f(1,78)\approx 99,75  <100$ et $f(1,79) \approx 100,11 >100$ donc $1,78 < \alpha < 1,79$

On prendra $\alpha\approx 1,78$.

On admet que sur l'intervalle [5~;~20] l'équation $f(x) = 100$ admet également une unique solution égale à environ $10,76$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Interprétation}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le bénéfice maximal à l'euro près réalisé par la start-up et le nombre d'ordinateurs fabriqués pour le réaliser.
Le bénéfice maximal est réalisé quand la fonction atteint son maximum, soit en $x=5$.\\
Le maximum de la fonction est alors égal à $f(5)= 400\e^{-1}\approx 147,15$.

Le bénéfice maximum, en euro et arrondi à l'euro, est donc de \np{14715}, et il est obtenu pour la fabrication de 500 ordinateurs.

\item% Entre quelles valeurs doit être compris le nombre d'ordinateurs fabriqués pour que la start-up réalise un bénéfice supérieur ou égal à \np{10000} euros ?
Un bénéfice supérieur ou égal à \np{10000} euros, correspond à $f(x)\geqslant 100$, ce qui se produit, d'après les questions précédentes, quand $x$ est compris entre $1,78$ et $10,76$.

Il faut donc fabriquer entre 178 et \np{1076} ordinateurs pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à \np{10000} euros.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Le directeur d'une entreprise fabriquant des cartes mères souhaite optimiser la production mensuelle. Il possède deux sites distincts notés A et B. 

Le site A produit 65\,\% des cartes mères, le reste provient du site B. 

Il a constaté que 0,8\,\% des cartes produites par A sont défectueuses alors que, sur le site B, la part des cartes défectueuses est de 0,5\,\%.

%\medskip
%
%\emph{Les trois parties de l'exercice sont indépendantes}.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On prélève au hasard une carte mère à la sortie de la chaîne de production. On considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$A$ : \og la carte a été produite par l'usine A. \fg
\item[$\bullet~~$]$B$ : \og La carte a été produite par l'usine B.\fg
\item[$\bullet~~$]$D$ : \og La carte est défectueuse. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que, quel que soit l'évènement $E$, on note $\overline{E}$ son évènement contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente la situation par un arbre pondéré.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,65$}}
 	  { 
 		  \TR{$D$}\naput{$0,008$}
 		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-0,008=0,992$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\nbput{\blue $1-0,65=0,35$}}
 	  {
 		  \TR{$D$}\naput{$0,005$}
          \TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-0,005=0,995$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité de l'évènement $A \cap D$ est:
		
$P(A\cap D)= P(A)\times P_{A}(D)=0,65\times 0,008 = \np{0,0052}$.		

La probabilité que la carte ait été produite par l'usine A et soit défectueuse est égale à \np{0,0052}, ce qui veut dire qu'on peut estimer qu'il y en a $0,52$\,\%.	
		
		\item% Montrer que $P(D) = \np{0,00695}$ et donner une interprétation du résultat trouvé.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(D)=P(A\cap D) + P(B\cap D) = \np{0,0052} + 0,35\times 0,005 = \np{0,00695}$.		

Donc on peut estimer à $0,695$\,\% le pourcentage de cartes défectueuses dans la production totale.
	\end{enumerate}
	
\item Une carte défectueuse a été prélevée au hasard dans le lot.

La probabilité qu'elle ait été produite par l'usine A est:% ? On arrondira le résultat au millième.

$P_{D}(A)= \dfrac{P(A\cap D)}{P(D)} = \dfrac{\np{0,0052}}{\np{0,00695}} \approx 0,748$

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$.

On considère dans cette partie que la probabilité qu'une carte soit défectueuse est égale à $0,007$.
Les cartes produites par la start-up sont vendues par lots de $30$. Avant expédition, on prélève au hasard un lot de $30$ cartes pour vérifier leur bon fonctionnement. Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui, pour un lot de $30$ cartes prélevées, dénombre celles qui sont défectueuses.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise, donc il s'agit de répétition de 30 tirages se déroulant dans les mêmes conditions

La variable aléatoire $X$ qui dénombre les cartes défectueuses suit donc une loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,007$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité qu'aucune carte prélevée ne soit défectueuse est:
		
		$P(X=0)=(1-0,007)^{30}\approx 0,81$.

		\item La probabilité qu'au moins une carte prélevée présente un défaut
dans le lot choisi au hasard est donc:
$P(X\geqslant 1) = 1-P(X=0) \approx 1-0,81 \approx 0,19$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, l'équipe de production du site A souhaite étudier le débit du bus FSB des cartes mères qu'elle produit.

On note $Y$ la variable aléatoire qui modélise ce débit en Mo/s (méga octet par seconde). 

On admet que $Y$ suit une loi normale de moyenne $\mu = \np{1350}$ et d'écart-type $\sigma = 33$.

On prélève au hasard une carte mère à la sortie de la chaîne de production.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le débit de la carte choisie soit compris entre \np{1317} et \np{1383} Mo/s est:
$P(\np{1317} \leqslant Y \leqslant \np{1383}) \approx 0,683$.

\item Pour déterminer la plus grande valeur de l'entier $k$ tel que $P(Y > k) \geqslant 0,95$, on fait par approximations successives à la calculatrice.

On trouve:
$P(Y>\np{1296}) \approx 0,949 < 0,95$ et
$P(Y>\np{1295}) \approx 0,952 \geqslant 0,95$

Donc la plus grande valeur de l'entier $k$ tel que $P(Y > k) \geqslant 0,95$ est $k=\np{1295}$.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\vspace{3cm}

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(21,160)
\multido{\n=1+1}{21}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,160)}
\multido{\n=0+5}{33}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=gray](0,\n)(21,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(21,160)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{20}{80 x mul 2.71828 0.2 x mul exp div}
\uput[ur](18,40){\red $\mathcal{C}_f$}
%%%%%%%%%% corrigé
\psline[linecolor=blue](0,147.15)(20,147.15)
\uput*[l](0,147.15){\blue 147}
\psline[linecolor=blue](0,100)(20,100)
\uput*[u](16,100){\blue $y=100$}
\psline[linecolor=blue](1.787,0)(1.787,100)
\uput*[d](1.787,0){\blue $1,8$}
\psline[linecolor=blue](10.7665,0)(10.7665,100)
\uput*[d](10.7665,0){\blue $10,8$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}