\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Corrigé : François Hache %Relecture: Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Métropole 16 mai 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\e}{\text{\,e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{SIO -- mathématiques approfondies -- corrigé}} \rfoot{\small{16 mai 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole -- 16 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Services informatiques aux organisations}\\[7pt]} \medskip \textbf{Épreuve de mathématiques approfondies} \end{center} \smallskip \textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Un magasin vend des téléphones portables et souhaite proposer à ses acheteurs de souscrire un contrat d'assurance. \bigskip \textbf{Partie A : Étude de marché} \medskip Avant la date de de proposition de son assurance, le magasin a commandé une étude permettant d'observer les habitudes d'un échantillon représentatif d'acheteurs. Elle a obtenu les informations suivantes: \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item 78\,\% des acheteurs de l'échantillon ont moins de 30 ans ; \item parmi les acheteurs de moins de 30 ans, 4\,\% souscrivent un contrat d'assurance ; \item 14\,\% des acheteurs qui ont 30 ans ou plus souscrivent un contrat d'assurance. \end{itemize} %\medskip On choisit un acheteur au hasard dans cet échantillon. \begin{list}{\textbullet}{On considère les évènements suivants:} \item $T$ : \og l'acheteur a moins de 30 ans \fg{} ; \item $A$ : \og l'acheteur souscrit un contrat d'assurance \fg. \end{list} %On rappelle que, quel que soit l'évènement $E$, on note $\overline{E}$ son évènement contraire. \begin{enumerate} \item On complète l'arbre pondéré suivant: \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=4cm,treesep=1.5cm,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,nrot=:U]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\naput{\blue $0,78$}} {\TR{$A$}\naput{\blue $0,04$} \TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,04=0,96$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue $1-0,78=0,22$}} {\TR{$A$}\naput{\blue $0,14$} \TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,14=0,86$} } } \end{center} \item La probabilité que l'acheteur ait moins de 30 ans et souscrive un contrat d'assurance est: $P(T\cap A)=P(T)\times P_{T}(A)=0,78\times 0,04 = \np{0,0312}$. \item% Montrer que la probabilité que l'acheteur souscrive un contrat d'assurance est égale à $0,062$. La probabilité que l'acheteur souscrive un contrat d'assurance est $P(A)$. D'après la formule des probabilités totales: $P(A) = P\left (T\cap A\right ) + P\left (\overline{T}\cap A\right ) = \np{0,0312} + 0,22\times 0,14 = \np{0,062}$. \item Sachant qu'un acheteur a souscrit un contrat d'assurance, la probabilité qu'il ait moins de 30 ans est: $P_{A}(T) = \dfrac{P(T\cap A)}{P(A)} = \dfrac{\np{0,0312}}{0,062}\approx 0,503$. %Arrondir le résultat à $10^{-3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude après commercialisation} \medskip Pour la première phase de commercialisation de son contrat d'assurance, le magasin a vendu 100 téléphones. On considère que cette phase de commercialisation revient à effectuer un prélèvement de 100 acheteurs avec remise parmi un très grand nombre d'acheteurs. On suppose que l'échantillon de la partie A était représentatif, c'est-à-dire que la probabilité qu'un acheteur de téléphone prélevé au hasard souscrive un contrat d'assurance est égale à $0,062$. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $100$~acheteurs, associe le nombre d'acheteurs qui ont souscrit un contrat d'assurance. %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour un acheteur, il n'y a que deux possibilités: il a souscrit une assurance, avec une probabilité de $p=0,062$, ou pas. De plus, on considère qu'extraire un échantillon de 100 acheteurs revient à effectuer un prélèvement de 100 acheteurs avec remise parmi un très grand nombre d'acheteurs. Donc la variable aléatoire $X$ qui, à chaque lot de $100$~acheteurs, associe le nombre d'acheteurs qui ont souscrit un contrat d'assurance suit une loi binomiale de paramètres $n =100$ et $p = 0,062$. \item La probabilité qu'exactement 7 acheteurs souscrivent un contrat d'assurance est: $P(X=7)=\ds\binom{100}{7}\times 0,062^{7}\times (1-0,062)^{100-7} \approx 0,147$. %Arrondir le résultat à $10^{-3}$. \item L'espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=np=100\times 0,062=6,2$. \item Pour chaque téléphone vendu, le magasin reçoit une prime de $7,50$~euros si l'acheteur souscrit un contrat d'assurance. En moyenne, le montant total des primes que percevra le magasin est $7,50\times 6,2$ soit $46,50$~\euro. \end{enumerate} \item Pour approfondir son étude, la société décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 6,2$. On note $Y$ la variable aléatoire suivant cette loi de Poisson. \begin{enumerate} \item %Justifier le choix de $\lambda = 6,2$. Une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda=n\times p$. $n\times p = 6,2$, ce qui justifie le choix de $\lambda = 6,2$. \item À la calculatrice, on trouve: $P(Y \geqslant 5)\approx 0,741$. %, puis interpréter ce résultat. Arrondir le résultat à $10^{-3}$. Il y a donc $74,1\;\%$ de chances que sur un échantillon de 100 acheteurs, il y en ait au moins 5 qui souscrivent une assurance. \item La probabilité qu'au moins un acheteur souscrive un contrat d'assurance est: $P(Y\geqslant 1) = 1-P(Y=0) = 1 - \e^{-6,2} \dfrac{6,2^{0}}{0\;!} = 1-\e^{-6,2}\approx 0,998$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip Une société conçoit et commercialise un jeu vidéo d'aventure. \medskip \textbf{Partie A : Gain de niveau et points d'expérience - étude statistique} \medskip Ce jeu est constitué de plusieurs niveaux. Un joueur débute au niveau 1 et peut passer au niveau supérieur en gagnant des points d'expérience. Pour tout entier naturel $n$, non nul, on note $x_n$ le nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n + 1$. Le tableau ci-dessous indique, pour quelques niveaux, le nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer au niveau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{| m{6cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Niveau $n$& 2& 4& 6& 8& 10\\ \hline Nombre de points d'expérience \newline nécessaires (en milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n + 1$&220 &256& 283& 304& 321\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item À la calculatrice, on trouve que le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(n~;~x_n\right)$ vaut environ $0,99$. %Arrondir le résultat au centième. \item À l'aide d'une calculatrice, on trouve pour équation de la droite de régression de $x_n$ en $n$, $x_n=12,5n+201,8$. \item Le nombre de points d'expérience nécessaires pour passer du niveau 20 au niveau 21 est $x_{20}=12,5\times 20+201,8$, soit $452$ en arrondissant à l'unité. %Arrondir le résultat à 1 près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Gain de niveau et points d'expérience - étude de fonction} \medskip La société n'est pas satisfaite de la valeur de $r$ trouvée en partie A, qu'elle estime trop éloignée de 1. Elle choisit une autre méthode. Pour cela, elle considère la fonction $f$ définie sur [1~;~100] par $f(x) = 100 \ln (2x + 5)$. On admet que pour tout entier naturel $n$, non nul, $f(n)$ modélise le nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n+1$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~100], $f'(x) = 100\times \dfrac{2}{2x+5}= \dfrac{200}{2x + 5}$. \item \begin{enumerate} \item Sur [1~;~100], $2x+5>0$ donc $f'(x)>0$ et donc la fonction $f$ est strictement croissante. \item $f(1)=100 \ln(2\times 1+5) = 100 \ln(7) \approx 195$ et\\ $f(100)=100 \ln(2\times 100+5) = 100 \ln(205) \approx 532$. On dresse le tableau de variation de la fonction $f$ sur [1~;~100]. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} \def\esp{\hspace*{3cm}} \def\hauteur{0pt} $\begin{array}{|c| *3{c}|} \hline x & 1 & \esp & 100 \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{532} \\ f(x) & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min}{195} & & \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min}{max}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} %On arrondira la valeur des images à l'unité. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On résout sur [1~;~100], l'équation $f(x) = 500$. $f(x) = 500 \iff 100\ln(2x+5)=500 \iff \ln(2x+5)=5 \iff 2x+5 = \e^{5}\\ \phantom{f(x)=500} \iff x=\dfrac{\e^{5}-5}{2}$ donc $x\approx 72$. %On donnera la valeur exacte et une valeur approchée à 1 près. \item On en déduit que 72 est le premier niveau à partir duquel au moins $500$ points d'expérience sont nécessaires pour passer au niveau suivant. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Étude des gains d'Ether} \medskip La monnaie du jeu s'appelle l'Ether (symbolisé par E). Un joueur débute avec une somme de \np{50000}~E. Les règles sont telles que chaque nouvelle heure supplémentaire jouée augmente la somme détenue par le joueur de 2\,\%. Pour tout entier naturel, $u_n$ modélise la somme détenue par le joueur après avoir joué $n$ heures. Ainsi on a $u_0 = \np{50000}$. %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $u_1 =u_0 + u_0\times \dfrac{2}{100} = \np{50000} + \np{50000}\times \dfrac{2}{100} = \np{51000}$ \item %Vérifier que $u_2 = \np{52020}$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. $u_2 =u_1 + u_1\times \dfrac{2}{100} = \np{51000} + \np{51000}\times \dfrac{2}{100} = \np{52020}$ Donc au bout de 2 heures, le joueur possède $\np{52020}$~E. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Ajouter 2\;\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{2}{100}$ soit $1,02$, donc pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1}= u_n \times 1,02$. \item On en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $u_0=\np{50000}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $u_0=\np{50000}$ donc pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1}=u_0\times q^n = \np{50000}\times 1,02^n$. \item La somme détenue après avoir joué $7$~heures est de $\np{50000}\times 1,02^7$ soit \np{57434}~E en arrondissant à l'unité. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}