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%Corrigé : François Hache
%Relecture: Denis Vergès
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\begin{document}

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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{SIO -- mathématiques approfondies -- corrigé}}
\rfoot{\small{16 mai 2024}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole -- 16 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Services informatiques aux organisations}\\[7pt]}

\medskip

\textbf{Épreuve de mathématiques approfondies}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Un magasin vend des téléphones portables et souhaite proposer à ses acheteurs de souscrire un contrat d'assurance.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de marché}

\medskip

Avant la date de de proposition de son assurance, le magasin a commandé une étude permettant d'observer les habitudes d'un échantillon représentatif d'acheteurs. Elle a obtenu les informations suivantes:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 78\,\% des acheteurs de l'échantillon ont moins de 30 ans ;
\item parmi les acheteurs de moins de 30 ans, 4\,\% souscrivent un contrat d'assurance ;
\item 14\,\% des acheteurs qui ont 30 ans ou plus souscrivent un contrat d'assurance.
\end{itemize}

%\medskip

On choisit un acheteur au hasard dans cet échantillon.

\begin{list}{\textbullet}{On considère les évènements suivants:}
\item $T$ : \og l'acheteur a moins de 30 ans \fg{} ;
\item $A$ : \og l'acheteur souscrit un contrat d'assurance \fg.
\end{list}

%On rappelle que, quel que soit l'évènement $E$, on note $\overline{E}$ son évènement contraire.

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre pondéré suivant:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=4cm,treesep=1.5cm,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\naput{\blue $0,78$}}
	{\TR{$A$}\naput{\blue $0,04$}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,04=0,96$}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue $1-0,78=0,22$}}
	{\TR{$A$}\naput{\blue $0,14$}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,14=0,86$}
	}
}
\end{center}

\item La probabilité que l'acheteur ait moins de 30 ans et souscrive un contrat d'assurance est:
$P(T\cap A)=P(T)\times P_{T}(A)=0,78\times 0,04 = \np{0,0312}$.

\item% Montrer que la probabilité que l'acheteur souscrive un contrat d'assurance est égale à $0,062$.
La probabilité que l'acheteur souscrive un contrat d'assurance est $P(A)$.

D'après la formule des probabilités totales:

$P(A) = P\left (T\cap A\right ) + P\left (\overline{T}\cap A\right ) = \np{0,0312} + 0,22\times 0,14 = \np{0,062}$.

\item Sachant qu'un acheteur a souscrit un contrat d'assurance,  la probabilité qu'il ait moins de 30 ans est:
$P_{A}(T) = \dfrac{P(T\cap A)}{P(A)} = \dfrac{\np{0,0312}}{0,062}\approx 0,503$.

%Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude après commercialisation}

\medskip

Pour la première phase de commercialisation de son contrat d'assurance, le magasin a
vendu 100 téléphones.
On considère que cette phase de commercialisation revient à effectuer un prélèvement de 100 acheteurs avec remise parmi un très grand nombre d'acheteurs.
On suppose que l'échantillon de la partie A était représentatif, c'est-à-dire que la probabilité qu'un acheteur de téléphone prélevé au hasard souscrive un contrat d'assurance est égale à $0,062$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $100$~acheteurs, associe le nombre d'acheteurs qui ont souscrit un contrat d'assurance.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour un acheteur, il n'y a que deux possibilités: il a souscrit une assurance, avec une probabilité de $p=0,062$, ou pas.
		
De plus, on considère qu'extraire un échantillon de 100 acheteurs revient à effectuer un prélèvement de 100 acheteurs avec remise parmi un très grand nombre d'acheteurs.

Donc la variable aléatoire $X$ qui, à chaque lot de $100$~acheteurs, associe le nombre d'acheteurs qui ont souscrit un contrat d'assurance suit une loi binomiale de paramètres $n =100$ et $p = 0,062$.
		
		\item La probabilité qu'exactement 7 acheteurs souscrivent un contrat d'assurance est:
		
$P(X=7)=\ds\binom{100}{7}\times 0,062^{7}\times (1-0,062)^{100-7} \approx 0,147$.		
		
%Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
		\item L'espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=np=100\times 0,062=6,2$.
		
		\item Pour chaque téléphone vendu, le magasin reçoit une prime de $7,50$~euros si l'acheteur souscrit un contrat d'assurance.
		
En moyenne,  le montant total des primes que percevra le magasin est $7,50\times 6,2$ soit $46,50$~\euro.
	\end{enumerate}
\item Pour approfondir son étude, la société décide d'approcher la loi de la variable
 aléatoire $X$ par la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 6,2$.
 
 On note $Y$ la variable aléatoire suivant cette loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier le choix de $\lambda = 6,2$.
Une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda=n\times p$.

$n\times p = 6,2$, ce qui justifie le choix de $\lambda = 6,2$.
				
		\item À la calculatrice, on trouve:  $P(Y \geqslant 5)\approx 0,741$.
%, puis interpréter ce résultat. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

Il y a donc $74,1\;\%$ de chances que sur un échantillon de 100 acheteurs, il y en ait au moins 5 qui souscrivent une assurance.

		\item La probabilité qu'au moins un acheteur souscrive un contrat d'assurance est:
		
$P(Y\geqslant 1) = 1-P(Y=0) = 1 - \e^{-6,2} \dfrac{6,2^{0}}{0\;!} = 1-\e^{-6,2}\approx 0,998$.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une société conçoit et commercialise un jeu vidéo d'aventure.

\medskip

\textbf{Partie A : Gain de niveau et points d'expérience - étude statistique}

\medskip

Ce jeu est constitué de plusieurs niveaux. Un joueur débute au niveau 1 et peut passer au niveau supérieur en gagnant des points d'expérience.
Pour tout entier naturel $n$, non nul, on note $x_n$ le nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n + 1$.

Le tableau ci-dessous indique, pour quelques niveaux, le nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer au niveau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{| m{6cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Niveau $n$& 2& 4& 6& 8& 10\\ \hline
Nombre de points d'expérience \newline nécessaires (en
milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n + 1$&220 &256& 283& 304& 321\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À la calculatrice, on trouve que  le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(n~;~x_n\right)$ vaut environ $0,99$.

%Arrondir le résultat au centième.

\item À l'aide d'une calculatrice, on trouve pour équation de la droite de régression de $x_n$ en $n$, $x_n=12,5n+201,8$.

\item Le nombre de points d'expérience nécessaires pour passer du niveau 20 au niveau 21 est $x_{20}=12,5\times 20+201,8$, soit  $452$ en arrondissant à l'unité.
%Arrondir le résultat à 1 près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Gain de niveau et points d'expérience - étude de fonction}

\medskip

La société n'est pas satisfaite de la valeur de $r$ trouvée en partie A, qu'elle estime trop éloignée de 1. Elle choisit une autre méthode.

Pour cela, elle considère la fonction $f$ définie sur [1~;~100] par 
$f(x) = 100 \ln (2x + 5)$.

On admet que pour tout entier naturel $n$, non nul, $f(n)$ modélise le nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n+1$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~100], 
$f'(x) = 100\times \dfrac{2}{2x+5}= \dfrac{200}{2x + 5}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur [1~;~100], $2x+5>0$ donc $f'(x)>0$ et donc la fonction $f$ est strictement croissante.

		\item $f(1)=100 \ln(2\times 1+5) = 100 \ln(7) \approx 195$ et\\
		$f(100)=100 \ln(2\times 100+5) = 100 \ln(205) \approx 532$.
		
On dresse le tableau de variation de la fonction $f$ sur [1~;~100]. 
		
		\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
\def\hauteur{0pt}
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 1   & \esp & 100 \\
 \hline
f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
\hline
  &   &    & \Rnode{max}{532}   \\
f(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &     \Rnode{min}{195} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

%On arrondira la valeur des images à l'unité.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On résout sur [1~;~100], l'équation $f(x) = 500$.
		
$f(x) = 500
\iff 100\ln(2x+5)=500
\iff \ln(2x+5)=5
\iff 2x+5 = \e^{5}\\
\phantom{f(x)=500}
\iff x=\dfrac{\e^{5}-5}{2}$
donc $x\approx 72$.
		
%On donnera la valeur exacte et une valeur approchée à 1 près.

		\item On en déduit que 72 est le premier niveau à partir duquel au moins $500$ points d'expérience sont nécessaires pour passer au niveau suivant.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude des gains d'Ether}

\medskip

La monnaie du jeu s'appelle l'Ether (symbolisé par E). Un joueur débute avec une somme de \np{50000}~E.
Les règles sont telles que chaque nouvelle heure supplémentaire jouée augmente la somme détenue par le joueur de 2\,\%.

Pour tout entier naturel, $u_n$ modélise la somme détenue par le joueur après avoir joué $n$ heures.
Ainsi on a $u_0 = \np{50000}$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $u_1 =u_0 + u_0\times \dfrac{2}{100} = \np{50000} + \np{50000}\times \dfrac{2}{100} = \np{51000}$
		\item %Vérifier que $u_2 = \np{52020}$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
$u_2 =u_1 + u_1\times \dfrac{2}{100} = \np{51000} + \np{51000}\times \dfrac{2}{100} = \np{52020}$		

Donc au bout de 2 heures, le joueur possède $\np{52020}$~E.		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Ajouter 2\;\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{2}{100}$ soit $1,02$, donc pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1}= u_n \times 1,02$.
		
		\item On en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $u_0=\np{50000}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $u_0=\np{50000}$ donc pour tout entier naturel $n$, on a:
$u_{n+1}=u_0\times q^n = \np{50000}\times 1,02^n$.
		
		\item La somme détenue après avoir joué $7$~heures est de $\np{50000}\times 1,02^7$ soit \np{57434}~E en arrondissant à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}