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\begin{document}
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\rfoot{}

\begin{center}
\textbf{
Corrigé du BTS SERVICES INFORMATIQUES AUX ORGANISATIONS Nouvelle-Calédonie \\[5pt]
décembre 2019 Mathématiques approfondies}
\end{center}

\bigskip

\begin{exercice}{10}\

\medskip

\textbf{Partie A : étude des défauts des verres}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Indépendance des évènements $A$ et $B$ :
	
	On sait que $A$ et $B$ sont indépendants si $P\left(A \cap B\right) = P(A) \times P(B)$.
	
	Or, d'après les données du problème, $P\left(A \cap B\right) = P(C)$ et $P(A) = 0,1$ et $P(B) = 0,0$. 
	
	On a $P(A) \times P(B) = 0,008 \neq P(C) = 0,006$. Donc les évènements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
	
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Calcul de $P(D)$ :
		
		On a $P(D) = P\left(A \cup B\right)$. Donc :
		
		$P(D) = P(A) + P(B) - P\left(A \cap B\right) = 0,1 + 0,08 - 0,006 = \boxed{0,174}$
		
		\item Calcul de $P(E)$ :
		
		$E = \left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap B\right)$
		
		D'après la formule des probabilités totales :
		
		$P(A) = P\left(A \cap B\right) + P\left(A \cap \overline{B}\right) \iff P\left(A \cap \overline{B}\right) = P(A) - P\left(A \cap B\right) = 0,1 - 0,006 = 0,094$
		
		De même $P\left(\overline{A} \cap B\right) = 0,074$
		
		On a donc : $P(E) = 0,094 + 0,074 = \boxed{0,168}$
		
		\item , Probabilité que le verre ait un défaut de type $a$ sachant qu'il présente au moins un défaut :
		
		$P_{D}(A) = \dfrac{P\left(A \cap D\right)}{P(D)} = \dfrac{P(A)}{P(D)} = \dfrac{0,1}{0,174} = \boxed{\dfrac{50}{87} \approx 0,575}$
	\end{enumerate}
	
	\item Loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ :
	
L'expérience consiste à répéter $n$ fois de manière indépendante une même épreuve ayant deux issues possibles, le succès (le verre ne présente aucun défaut) avec la probabilité $p=0,826$ ou l'échec (le verre présente au moins un défaut) avec la probabilité $q=1-p=0,174$. On a donc un schéma de Bernoulli.
	
	La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli, donc elle suit une loi binomiale.
	
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Paramètres de cette loi binomiale :
		
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,826$.
		
$\boxed{X \hookrightarrow \mathcal{B}\left(10~;~0,826\right)}$
		
		\item Probabilité de l'évènement $F$ :
		
$P(F) = P(X \geqslant 9) = P(X =9) + P(X=10) = \binom{10}{9} \times 0,826^{9}\times 0,174^{1} + \binom{10}{10} \times 0,826^{10} \times 0,174^{0} \approx \boxed{0,459}$
		
		\item Probabilité qu'aucun verre du lot ne présente de défaut :
		
$P(X = 10) = \binom{10}{10}\times 0,826^{10} \times 0,174^{0} \approx \boxed{0,148}$
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Espérance de la variable aléatoire $X$ :
		
$E(X) = n \times p = 100 \times 0,826 = \boxed{82,6}$
		
Écart type de la variable aléatoire $X$ :
		
$\sigma(X) = \sqrt{n \times p \times (1-p)} = \sqrt{100 \times 0,826 \times 0,174} \approx \boxed{3,791}$
		
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Probabilité que dans le lot de $n = 100$ verres prélevés, il y ait entre 9 et 12 verres défectueux :
			
À l'aide de la calculatrice on a :
			
$P\left(87,5 \leqslant Y \leqslant 91,5\right) = \boxed{0,089}$
			
La probabilité qu'il y ait entre 9 et 12 verres défectueux dans le lot est $0,089$.
			
			\item Probabilité que dans ce lot de 100 verres, il y ait au moins 11 verres défectueux :
			
À l'aide de la calculatrice, on a :
			
$P\left(Y \leqslant 89,5\right) = \boxed{0,965}$.
			
La probabilité qu'il y ait au moins 11 verres défectueux dans le lot est $0,965$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude du coefficient de transmission des verres}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ :
	
	$\boxed{y=2,73x-\np{1090,7}}$
	
	\item Coefficient de transmission pour une longueur d'onde de 416~nm :
	
	$y = 2,73 \times 416 - \np{1090,7} \approx \boxed{45}$
	
	Le coefficient de transmission pour une longueur d'onde de 416ñm est $45$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}{10}\

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
\end{enumerate}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{$}X<{$\centering}|}}
	\hline
	x & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 15 & 16 \\
	\hline
	f(x) & 44,74 & 54,6 & 63.22 & 70.06 & 75.09 & 78.58 & 80.91 & 82,42 & 82,96 & 83,39 \\
	\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ :
		
		$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{85}{1+0,9\text{e}^{-0,24x}}$
		
		$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}- 0,24x = -\infty \implies \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\text{e}^{-0,24x} = 0 \implies \displaystyle\lim_{x \to +\infty}1+0,9\text{e}^{-0,24x} = 1 \implies \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{85}{1+0,9\text{e}^{-0,24x}} = \boxed{85}$
		
		\item \emph{Interprétation graphique} :
		
Puisque $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x) = 85$, la droite d'équation $y=85$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
	
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Détermination de $U'(x)$ :
		
		$U(x) = 1 + 0,9\text{e}^{-0,24x}$
		
		$U'(x) = 0 + 0,9 \times \left(-0,24 \times \text{e}^{-0,24x}\right) = \boxed{-0,216\text{e}^{-0,24x}}$
		
		\item Détermination de $f'(x)$ :
		
		$f'(x) = -\dfrac{85 \times \left(-0,216\text{e}^{-0,24x}\right)}{\left(1+0,9\text{e}^{-0,24x}\right)^{2}} = \boxed{\dfrac{18,36\text{e}^{-0,24x}}{\left(1+0,9\text{e}^{-0,24x}\right)^{2}}}$
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFO{0}{+\infty} :
		
On étudie le signe de $f'(x)$ :
		
On sait que pour tout réel $x$, $\text{e}^{x} > 0$, donc $18,36\text{e}^{-0,24x} > 0$ sur \intervFO{0}{+\infty}. De plus, $\left(1+0,9\text{e}^{-0,24x}\right)^{2} > 0$ sur \intervFO{0}{+\infty}. Donc $f'(x)$ est strictement positive sur \intervFO{0}{+\infty}.
		
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur \intervFO{0}{+\infty}
		
		\item Représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{16} :
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
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\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Valeur approchée de l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{16}{f(x)\d x}$ :
		
$\begin{array}{rcl}
\integrale{0}{16}{f(x)}{x} &=& \integrale{0}{16}{\dfrac{85}{1+0,9\text{e}{-0,24x}}}{x} = F(16) - F(0)\\
	&=& 354\ln \left(0,9 + \e{0,24 \times 16}\right) - 354\ln \left(0,9 + \text{e}{0,24 \times 0}\right)\\
	&=& 354 \left[\ln \left(0,9 + \text{e}{3,84}\right) - \ln \left(0,9 + 1\right)\right]\\
	&=& 354\ln\left(\dfrac{0,9+\text{e}{3,84}}{1,9}\right)\\
	&\approx& \boxed{\np{1139}}
\end{array}$	
		\item Valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{16} :
		
		$\mu = \dfrac{1}{16-0}\integrale{0}{16}{f(x)}{x} = \dfrac{1}{16} \times 354\ln\left(\dfrac{0,9+\text{e}{3,84}}{1,9}\right) \approx \boxed{71}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Taux d'équipement en micro-ordinateur exprimé en pourcentage prévu au 1\up{er} janvier 2020 :
	
Pour déterminer le taux d'équipement en micro-ordinateur au 1\up{er} janvier 2020 on doit calculer $f(16)$ puisque $\np{2020}-\np{2004} = 16$.
	
D'après la partie A, on a $f(16) \approx 83,39$. Donc le taux d'équipement en micro-ordinateur au 1\up{er} janvier est $83$~\%.
	
	\item Estimation, à long terme, du taux d'équipement en micro-ordinateur des ménages français :
	
Pour déterminer le taux d'équipement en micro-ordinateur à long terme on doit calculer $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$.
	
D'après la partie A, on a $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 85$. Donc le taux d'équipement en micro-ordinateur à long terme est $85$~\%.
	
	\item Estimation du taux moyen d'équipement en micro-ordinateur des ménages français pour la période allant du 1\up{er} janvier 2004 au 1\up{er} janvier 2020 :
	
Pour déterminer le taux moyen d'équipement en micro-ordinateur pour la période allant du 1\up{er} janvier 2004 au 1\up{er} janvier 2020 on doit calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{16}.
	
D'après la partie A, on a $\mu \approx 71$. Donc le taux moyen d'équipement en micro-ordinateur pour la période allant du 1\up{er} janvier 2004 au 1\up{er} janvier 2020 est $71$~\%.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\end{document}