\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{multicol,diagbox} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,#1\vphantom{b}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Métropole septembre 2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BTS Métropole - corrigé} \lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}} \rfoot{\small{septembre 2020}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole septembre 2020~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}} \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\large Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Une entreprise fabrique des manettes pour consoles de jeux vidéo. Elle en propose de deux tailles différentes: grandes ou bien petites; qui sont de couleur soit noires, soit argentées pour chaque taille ; et qui sont sans fil ou bien à brancher pour chaque taille également. On introduit les variables booléennes suivantes: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize}[label=\textbullet] \item $g$ signifie que la manette est grande, $\overline{g}$ que la manette est petite; \item $n$ signifie que la manette est de couleur noire, $\overline{n}$ que la manette est de couleur argentée ; \item $b$ signifie que la manette est à brancher, $\overline{b}$ que la manette est sans fil. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Cette entreprise fournit plusieurs fabricants qui lui en achètent des quantités analogues. Après plusieurs mois de vente, l'entreprise constate que les manettes vendues sont de l'un au moins des 4 types suivants: \begin{list}{\textbullet}{} \item les grandes manettes sans fil $\blue \left (g.\barre{b}\right )$ ; \item les petites manettes de couleur noires $\blue \left (\barre{g}.n\right )$; \item les petites manettes de couleur argentées et sans fil $\blue \left (\barre{g}.\barre{n}.\barre{b}\right )$; \item les petites manettes qui sont à brancher $\blue \left (\barre{g}.b\right )$. \end{list} On note $E$ l'expression booléenne correspondant aux types de manettes les plus vendues par l'entreprise; $E= g.\barre{b} + \barre{g}.n + \barre{g}. \barre{n}. \barre{b} + \barre{g}. b$. %\medskip \begin{enumerate} \item L'expression booléenne $\barre{g} . b$ correspond à \og les petites manettes qui sont à brancher \fg{}. \item On représente $E$ par un tableau de Karnaugh.%, puis déterminer une forme simplifiée, à deux termes, de l'expression booléenne $E$. \begin{multicols}{2} \begin{center} $g.\barre{b}$ $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$g$}{$n.b$}$ & 00 & \; 01 \; & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & & \\ \hline 1 & \blue 1 & & & \blue 1 \\ \hline \end{array}$ \end{center} \columnbreak \begin{center} $\barre{g}.n$ $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$g$}{$n.b$}$ & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & \blue 1 & \blue 1 \\ \hline 1 & & & & \\ \hline \end{array}$ \end{center} \end{multicols} \begin{multicols}{2} \begin{center} $\barre{g}.\barre{n}.\barre{b}$ $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$g$}{$n.b$}$ & 00 & \; 01 \; & 11 & 10 \\ \hline 0 & \blue 1 & & & \\ \hline 1 & & & & \\ \hline \end{array}$ \end{center} \columnbreak \begin{center} $\barre{g}.b$ $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$g$}{$n.b$}$ & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & \blue 1 & \blue 1 & \\ \hline 1 & & & & \\ \hline \end{array}$ \end{center} \end{multicols} \medskip \begin{center} $E= g.\barre{b} + \barre{g}.n + \barre{g}. \barre{n}. \barre{b} + \barre{g}. b$ %\renewcommand{\arraystretch}{1} $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$g$}{$n.b$}$ & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & \blue 1 &\blue 1 & \blue 1 & \blue 1\\ \hline 1 & \blue 1 & & & \blue 1 \\ \hline \end{array}$ \end{center} À partir du tableau de Karnaugh de $E$, on en détermine une expression simplifiée: \begin{multicols}{2} \begin{pspicture}(0,-2.6)(6,2) %\psgrid[gridcolor=orange] \psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](2,-1.25)(4.8,-0.45)%%% \psline[linecolor=blue](4.8,-0.8)(5.4,-0.8) \uput[r](5.4,-0.75){\blue $g.\barre{b}$} \psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](2,-0.2)(4.8,0.6)%%% \psline(4.8,0.2)(5.4,0.2) \uput[r](5.4,0.25){$\barre{g}$} \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline \diagbox{$g$}{$n.b$} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & \blue 1 &\blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline 1 & \blue 1 & & & \blue 1 \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline \end{tabular} \end{pspicture} \columnbreak \begin{pspicture}(0,-2.6)(5.5,2) %\psgrid[gridcolor=orange] \psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](2,-1.25)(2.5,0.5)%%% \psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](4.3,-1.25)(4.8,0.5)%%% \psline[linecolor=blue](2.25,-1.25)(3.4,-2)(4.55,-1.25) \uput[d](3.4,-2){\blue $\barre{b}$} \psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](2,-0.2)(4.8,0.6)%%% \psline(4.8,0.2)(5.4,0.2) \uput[r](5.4,0.25){$\barre{g}$} \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline \diagbox{$g$}{$n.b$} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & \blue 1 &\blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline 1 & \blue 1 & & & \blue 1 \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline \end{tabular} \end{pspicture} \end{multicols} Donc l'expression simplifiée de $E$ est: $\barre{g}+ g.\barre{b}$ ou encore plus simple: $\barre{g}+ \barre{b}$. \item L'expression simplifiée de $E$ est \og les manettes sont petites ou grandes sans fil \fg{}. \item% L'entreprise souhaite réduire sa production en supprimant les types de manettes non vendues. Lesquelles doit-elle supprimer ? Justifier votre réponse. La couleur n'intervenant pas dans l'expression simplifiée de $E$, on peut supprimer les manettes argentées. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 2 \hfill 8 points} \medskip Dans le modèle RGB (Red, Green, Blue), datant de 1931, la couleur et l'intensité de la lumière peuvent être représentées par la matrice colonne $C = \begin{pmatrix}R\\G\\B\end{pmatrix}$, où $R$ représente l'intensité de la composante rouge, $G$ l'intensité de la composante verte et $B$ l'intensité de la composante bleue. L'intensité de chaque composante est, dans le système décimal, un entier compris entre $0$ et $255$ : $0$ désigne l'absence de celle-ci et $255$ désigne l'intensité maximale de celle-ci. \bigskip \textbf{Partie A} - Codage de couleurs \medskip La couleur \og saumon \fg{} est codée par $\begin{pmatrix}248\\142\\85\end{pmatrix}$ en décimal, l'intensité du rouge est donc 248, celle du vert est 142 et celle du bleu est 85. Dans certains logiciels comme Photoshop par exemple, les couleurs sont codées par 3 nombres hexadécimaux à deux chiffres représentant les valeurs de Rouge, Vert et Bleu. En hexadécimal, cette couleur \og saumon \fg{} est codée $(\text{F8}~;~\text{8E}~;~\text{55})$ que l'on notera par la matrice $\begin{pmatrix}\text{F8}\\\text{8E}\\\text{55}\end{pmatrix}$. %\medskip \begin{enumerate} \item La couleur \og vert tilleul \fg{} est codée en écriture décimale par $\begin{pmatrix}165\\209\\82\end{pmatrix}$. %Déterminer son codage en hexadécimal, on détaillera la démarche pour la valeur $165$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $165 = 10\times 16+5 = \overline{\text{A5}}^{16}$ \item $209 = 13\times 16+5 = \overline{\text{D1}}^{16}$ \item $82 = 5\times 16+2 = \overline{\text{52}}^{16}$ \end{list} Donc la couleur \og vert tilleul \fg{} est codée en hexadécimal par $\begin{pmatrix}\text{A5}\\\text{D1}\\\text{52}\end{pmatrix}$. \item La couleur \og mauve \fg{} est codée en hexadécimal par $\begin{pmatrix}\text{D4}\\\text{73}\\\text{D4}\end{pmatrix}$. %Déterminer son codage en écriture décimale, on détaillera la démarche pour la valeur $D4$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\overline{\text{D4}}^{16} = 13\times 16 + 4 = 212$ \item $\overline{\text{73}}^{16} = 7\times 16 + 3 = 115$ \end{list} Donc la couleur \og mauve \fg{} est codée en écriture décimale par $\begin{pmatrix} 212\\115\\212\end{pmatrix}$. \item %Combien de couleurs différentes peut-on représenter avec ce mode de représentation ? Combien de bits utilise ce codage ? Il y a 256 valeurs possibles pour le rouge (de 0 à 255), 256 pour le vert, et 256 pour le bleu, ce qui fait en tout $256^3=\np{16777216}$ couleurs possibles. Il faut 8 bits pour représenter un nombre décimal compris entre $0=\overline{00000000}^{2}$ et $255=\overline{11111111}^{2}$. Ce codage utilise donc $3\times 8=24$ bits. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} - De la lumière vers l'œil. La rétine d'un œil humain est composée de deux types de récepteurs : les cônes et les bâtonnets. Les bâtonnets sont responsables de la vision à faible niveau d'énergie (vision nocturne dite \og scotopique \fg) et vision à niveaux de gris) et ne perçoivent pas les couleurs. Ils mesurent l'intensité de la lumière visible. Les cônes sont responsables de la vision diurne colorée. La vision des couleurs n'est pas toutefois directe, elle est envoyée au cerveau au moyen d'un signal $S = \begin{pmatrix}i\\l\\c\end{pmatrix}$. \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize}[label=\textbullet] \item L'intensité $i$ de la lumière est $i= \dfrac{1}{3}(R + G + B)$ ; \item L'intensité $l$ des ondes longues est $l = R - G$ ; \item L'intensité $c$ des ondes courtes est $c = B - \dfrac{R + G}{2}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} %Par exemple, pour la couleur \og vert tilleul \fg{} codée en décimal par $\begin{pmatrix}165\\209\\82\end{pmatrix}$, l'intensité $i$ de la lumière est $i = \dfrac{1}{3}(165 + 209 + 82) = 152$ ; l'intensité $l$ des ondes longues est $l = 165 - 209 = - 44$ et l'intensité $c$ des ondes courtes est $c = 82 - \dfrac{165 + 209}{2} = - 105$. On note les matrices : $C = \begin{pmatrix}R\\G\\B\end{pmatrix}$ et $M = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\1&-1&0\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Donner une égalité reliant les matrices $S$, $C$ et $M$. $M\times C = \begin{pmatrix} \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\ 1&-1&0\\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}R\\G\\B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} R + \frac{1}{3} G + \frac{1}{3} B\\ R - G +0 \\ -\frac{1}{2} R - \frac{1}{2} G + B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \left (R+G+B\right )\\ R-G\\ B - \dfrac{R+G}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ l \\ c \end{pmatrix} = S$ Donc $M\times C = S$. \item Lorsque $R = 150$, $G= 90$ et $B = 210$, on a $C= \begin{pmatrix} 150\\90\\210 \end{pmatrix}$. $M\times C = \begin{pmatrix} \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\ 1&-1&0\\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 150 \\ 90 \\ 210 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{150}{3} + \frac{90}{3}+ \frac{210}{3}\\ 150-90\\ -\frac{150}{2} - \frac{90}{2} + 210 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 150 \\ 60 \\ 90 \end{pmatrix}$ Donc $i=150$, $l=60$ et $c=90$. \end{enumerate} \item Soit $N$ la matrice définie par: $N = \begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{3}\\1 &- \frac{1}{2}&-\frac{1}{3}\\1&0&\frac{2}{3}\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item À la calculatrice on trouve: $N \times M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3$, matrice identité. \item On en déduit que les matrices $N$ et $M$ sont inverses l'une de l'autre. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Si $M \times C= S$ alors $ N\times M\times C = N \times S$, donc $I_3\times C = N\times S$, et donc $C=N\times S$. \item Le cerveau reçoit comme signal: $i = 120$, $l = 100$ et $c = - 90$ donc $S= \begin{pmatrix} 120 \\ 100 \\ -90 \end{pmatrix}$. $C=N\times S = \begin{pmatrix} 200 \\ 100 \\ 60 \end{pmatrix}$ donc $R=200$, $G = 100$ et $B=60$. %Quelles sont les intensités $R$, $G$ et $B$ de la lumière reçue par l'œil ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 3 \hfill 7 points} \medskip En informatique, le code ASCII associe à certains caractères (lettre, chiffre, signe de ponctuation, \ldots) un entier compris entre 0 et 255 que l'on appelle son code ASCII. La fonction code du tableur renvoie le code ASCII du caractère. L'extrait de tableur ci-dessous donne le codage de quelques caractères. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline Lettre &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline CodeASCII : $n$ &65&66 &67 &68 &69 &70 &71 &72 &73 &74 &75 &76 &77\\ \hline $p=f(n)$ &199&206& & & & & & & & & & &\\ \hline\hline Lettre &N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline CodeASCII : $n$&78 &79 &80 &81 &82 &83 &84 &85 &86 &87 &88 &89 &90\\ \hline $p=f(n)$ & & & & & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip On décide de chiffrer (crypter) une lettre à partir de son code ASCII en utilisant la fonction $f$ définie pour tout entier $n$ tel que $0 \leqslant n < 256$ par : $f(n)$ est le reste de la division euclidienne de $7n$ par $256$, c'est-à-dire que si on note $p = f(n)$, alors $p \equiv 7n \:(\text{mod}~256)$ où $p = f(n)$, avec $p$ entier tel que $0 \leqslant p < 256$. Par exemple, le code ASCII de la lettre A est 65. On a $7 \times 65 \equiv 199\: (\text{mod}~256)$ et $0 \leqslant 199 < 256$ donc la lettre A est chiffrée par 199. \bigskip \textbf{Partie A }- Chiffrement %\medskip \begin{enumerate} \item %Vérifier que la lettre \og B \fg{} est chiffrée par le nombre $206$. Le code ASCII de la lettre B est 66. On a $7\times 66 = 462 = 1\times 256 + 206$ donc $7 \times 66 \equiv 206\: (\text{mod}~256)$ et $0 \leqslant 206 < 256$; la lettre B est donc chiffrée par 206. \item On détermine le cryptage du mot \og BTS \fg. %(On séparera chaque code de lettre par un espace). \begin{list}{\textbullet}{} \item La lettre B se chiffre en 206. \item Le code ASCII de la lettre T est 84. On a $7\times 84 = 588 = 2\times 256 + 76$ donc $7\times 84 \equiv 76\: (\text{mod}~256)$ et $0 \leqslant 76 < 256$; la lettre T est donc chiffrée par 76. \item Le code ASCII de la lettre S est 83. On a $7\times 83 = 581 = 2\times 256 + 69$ donc $7\times 83 \equiv 69\: (\text{mod}~256)$ et $0 \leqslant 69 < 256$; la lettre S est donc chiffrée par 69. \end{list} Le mot \og BTS \fg{} se crypte donc en $206~76~69$ ou $206~076~069$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B }- Déchiffrement \medskip Pour déchiffrer un entier $p$ compris entre $0$ et $255$ (inclus), on calcule le reste de la division euclidienne de $183 \times p$ par $256$ ; autrement dit $n \equiv 183 \times p \:(\text{mod}~256)$ avec $n$ entier tel que $0 \leqslant n < 256$. \smallskip Par exemple, pour $p = 20$, on a $183 \times 20 \equiv 76 \:(\text{mod}~256)$ et donc la valeur chiffrée correspond à la lettre~L. \medskip \begin{enumerate} \item On détermine la lettre correspondant à la valeur chiffrée $27$. %On détaillera la réponse. On a $183\times 27 = \np{4941}=19\times 256 + 77$ donc $183 \times 27 \equiv 77 \:(\text{mod}~256)$ avec $0 \leqslant 77 < 256$; le nombre 77 correspond à la lettre M. \item On cherche le mot de trois lettres correspondant au code chiffré des trois entiers: 234\quad 255 \quad 34. \begin{list}{\textbullet}{} \item Pour $p=234$, on a $183\times 234 = \np{42822}=167\times 256 + 70$ donc $183 \times 234 \equiv 70 \:(\text{mod}~256)$ avec $0 \leqslant 70 < 256$; le nombre 70 correspond à la lettre F. \item Pour $p=255$, on a $183\times 255 = \np{46665}=182\times 256 + 73$ donc $183 \times 255 \equiv 73 \:(\text{mod}~256)$ avec $0 \leqslant 73 < 256$; le nombre 73 correspond à la lettre I. \item Pour $p=34$, on a $183\times 34 = \np{6222}= 24\times 256 + 78$ donc $183 \times 34 \equiv 78 \:(\text{mod}~256)$ avec \\ $0 \leqslant 78 < 256$; le nombre 78 correspond à la lettre N. \end{list} Le mot \og FIN \fg{} correspond au code chiffré: 234~255~34. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} - Justification %\medskip \begin{enumerate} \item $183 \times 7 = \np{1281} = 5\times 256+1$ donc $183 \times 7 \equiv 1\:(\text{mod}~256)$. \item On souhaite justifier comment obtenir l'entier $n$ à partir de l'entier $p = f(n)$. On rappelle que $f(n) \equiv 7n \: (\text{mod}~256)$. $183 \times f(n)\equiv 183\times 7n \equiv (183\times 7)\times n \equiv 1\times n \equiv n \: (\text{mod}~256)$ \end{enumerate} \end{document}