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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Métropole 13 mai 2019},
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du BTS SIO épreuve obligatoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{13 mai  2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Services informatiques aux organisations~\decofourright\\[5pt]Métropole 13 mai 2019}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

%Les parties A et B de cet exercice sont relatives aux pages d'un site web. Elles peuvent être traitées de manière indépendante.
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le site comporte 6 pages notées A, B, C. D. E et F. Les pages ainsi que les liens hypertextes d'une page vers une autre  sont représentés par un graphe orienté de sommets A, B,  C, D. E, F, en
convenant qu'un lien hypertexte d'une page X vers une page Y est représenté par une flèche orientée du sommet X vers le sommet Y. 

Le tableau ci-après récapitule tous les liens entre les sommets.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sommet&Prédécesseurs\\ \hline
A&--\\ \hline
B&A\\ \hline
C&A\\ \hline
D&B\\ \hline
E& C, D\\ \hline
F& D, E\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item% Donner la matrice d'adjacence du graphe que l'on peut construire à partir de ce tableau, les sommets étant rangés par ordre alphabétique.
Il y a 6 sommets donc la matrice d'adjacence du graphe est une matrice carrée d'ordre 6.

On met un 1 à l'intersection de la ligne correspondant au sommet X et de la colonne correspondant au sommet Y s'il existe un arc allant du sommet X au sommet Y, autrement dit si le sommet X est un prédécesseur du sommet Y. Sinon on met un 0.

La matrice d'adjacence est donc

\begin{center}
$\bordermatrix
{
~\rotatebox{45}{$\curvearrowright$}& \text A & \text B & \text  C & \text D & \text E & \text  F\cr
\text  A & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr
\text  B &  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\cr
\text  C &  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\cr
\text  D &  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\cr
\text  E &  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\cr
\text  F &  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr
}$
\end{center}

\item %Donner le niveau de chaque sommet puis dessiner ce graphe ordonné par niveaux. 
Dans le tableau donnant les prédécesseurs, on cherche les sommets n'en ayant pas: il n'y a que le sommet A donc le sommet A est de niveau 0.

\medskip

On supprime du tableau le sommet A :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sommet&Prédécesseurs\\ \hline
 \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{A}&--\\ \hline
B& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{A}\\ \hline
C& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{A}\\ \hline
D&B\\ \hline
E& C, D\\ \hline
F& D, E\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

puis on cherche les sommets n'ayant pas de prédécesseurs: il y a les sommets B et C qui sont donc de niveau 1.

\medskip

On supprime du tableau les sommets B et C :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sommet&Prédécesseurs\\ \hline
 \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{A}&--\\ \hline
 \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{B}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{A}\\ \hline
 \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{C}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{A}\\ \hline
D& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{B}\\ \hline
E&  \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{C}, D\\ \hline
F& D, E\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

puis on cherche les sommets n'ayant pas de prédécesseurs: il y a le sommet D qui est donc de niveau 2.

\medskip

On supprime du tableau le sommet D :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sommet&Prédécesseurs\\ \hline
 \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{A}&--\\ \hline
 \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{B}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{A}\\ \hline
 \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{C}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{A}\\ \hline
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{D}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{B}\\ \hline
E&  \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{C}, \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{D}\\ \hline
F& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt,linecolor=red]{D}, E\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

puis on cherche les sommets n'ayant pas de prédécesseurs: il y a le sommet E qui est donc de niveau 3.

\medskip

On supprime le sommet E du tableau; il ne reste que le sommet  F qui est donc de niveau 4.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sommet& A & B & C & D & E & F\\ 
\hline
Niveau & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

On peut alors dessiner ce graphe ordonné par niveaux:

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2)(4.5,0.5)
\psset{linewidth=.75pt}
%%% niveaux
\multido{\i=0+1}{5}{
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,0.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue $\i$}
}
%%% sommets
\cnodeput*(0,0){A}{\bf A}  
\cnodeput*(1,0){B}{\bf B} 
\cnodeput*(1,-1){C}{\bf C}  
\cnodeput*(2,0){D}{\bf D} 
\cnodeput*(3,-1){E}{\bf E}  
\cnodeput*(4,0){F}{\bf F}
%%% arcs
\ncline{->}{A}{B} \ncline{->}{A}{C}
\ncline{->}{B}{D}
\ncline{->}{C}{E}
\ncline{->}{D}{E} \ncline{->}{D}{F}
\ncline{->}{E}{F}  
\end{pspicture*} 
\end{center}

\item% Déterminer la matrice de la fermeture transitive de ce graphe.
Pour obtenir la matrice de fermeture transitive de ce graphe, on met un 1 à l'intersection de la ligne correspondant au sommet X et de la colonne correspondant au sommet Y s'il existe un \textbf{chemin} allant du sommet X au sommet Y. Sinon on met un 0.

La matrice de fermeture transitive de ce graphe est donc

\begin{center}
$\bordermatrix
{
~\rotatebox{45}{$\curvearrowright$}& \text A & \text B & \text  C & \text D & \text E & \text  F\cr
\text  A & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
\text  B &  0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\cr
\text  C &  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\cr
\text  D &  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\cr
\text  E &  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\cr
\text  F &  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr
}$
\end{center}

\item %Montrer que ce graphe ne contient pas de circuit.
Dans la matrice de fermeture transitive de ce graphe, il n'y a que des 0 sur la 1\iere{} diagonale et en dessous, il n' y a donc aucun chemin de retour possible vers un quelconque sommet; ce graphe ne contient donc aucun circuit.


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Chaque page du site comprend 4 questions, qui peuvent rapporter des points ou en faire perdre.

Un utilisateur peut accéder à une page suivante lorsque l'une au moins des conditions suivantes est satisfaite :

\begin{itemize}
\item l'utilisateur a répondu correctement à 3 questions au minimum,

ou 
\item l'utilisateur a répondu correctement à strictement moins de 3 questions et a marqué 5 points au minimum sur la page,

ou
\item  l'utilisateur a marqué strictement moins de 5 points sur la page et il est titulaire du BTS SIO 
\end{itemize}

On définit les variables booléennes suivantes:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a = 1$ si l'utilisateur a répondu correctement à 3 questions au minimum,  $a= 0$ sinon ;
\item[$\bullet~~$]$b = 1$ si l'utilisateur a marqué 5 points au minimum, $b = 0$ sinon ; \item[$\bullet~~$]$c = 1$ si l'utilisateur est titulaire du BTS SIO, $c = 0$ sinon.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Écrire une expression booléenne $F$ traduisant les conditions permettant à un utilisateur de passer à une page suivante.
La première condition correspond à $a$, la deuxième correspond à $\overline{a\vphantom{b}}$ et $b$ donc à $\overline{a\vphantom{b}}.b$, et la troisième condition correspond à $\overline{b}$ et $c$ donc à $\overline{b}.c$.

Donc $F= a + \overline{a\vphantom{b}}.b + \overline{b}.c$.


\item On utilise des tableaux de Karnaugh pour déterminer une écriture simplifiée de $F$ sous la forme d'une somme de trois variables booléennes élémentaires:

\begin{multicols}{3}
\begin{center}
$a$
\end{center}

\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & & & \\
 \hline
1 & \blue 1 & \blue 1  & \blue 1  & \blue 1  \\
 \hline
\end{tabular}

\columnbreak

\begin{center}
$\overline{a\vphantom{b}}.b$
\end{center}

\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & & \blue 1 & \blue 1  \\
 \hline
1 & & & & \\
 \hline
\end{tabular}

\columnbreak

\begin{center}
$\overline{b}.c$
\end{center}


\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & &  \blue 1 & & \\
 \hline
1 & &  \blue 1 & & \\
 \hline
\end{tabular}
\end{multicols}

%\bigskip



\begin{pspicture}(-5,-2.5)(6,3)
%\psgrid%[subgriddiv=1]
%\renewcommand{\arraystretch}{2}
\uput[u](2.5,2){$a+\overline{a\vphantom{b}}.b + \overline{b}.c$}
\psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](1.6,-1.2)(4.4,-0.6)%%% a
\psline[linecolor=blue](4.4,-1)(4.9,-1) \uput[r](4.9,-1){\blue $a$}
\psframe[linecolor=red,linearc=5pt,cornersize=absolute](3.2,-1.3)(4.5,0.5)%%% b
\psline[linecolor=red](4.5,0.2)(4.9,0.2) \uput[r](4.9,0.2){\red $b$}\psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](2.4,-1.3)(3.7,0.6)%%% c
\psline(2.7,-1.3)(2.7,-1.8) \uput[d](2.7,-1.8){$c$}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10  \\
 \hline
0 & &\blue 1  & \blue 1 & \blue 1  \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
1 &\blue 1  & \blue 1  & \blue 1  & \blue 1  \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
\end{tabular}
\end{pspicture}

Donc $F=a+b+c$.

\medskip

%\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barh}[1]{\overline{#1\vphantom{b}}}

Autre méthode - Par calcul, en utilisant les propriétés $1+x=1$ et $x+\overline{x}=1$, on a:

$F
=a+\barh{a}.b + \barh{b}.c
= a.(1+b) +\barh{a}.b + \barh{b}.c
= a.1+a.b + \barh{a}.b + \barh{b}.c
= a + (a+\barh{a}).b + \barh{b}.c
= a + 1.b + \barh{b}.c\\
\phantom{F}
= a+b + \barh{b}.c
= a+ b.(1+c) + \barh{b}.c
= a + b.1 + b.c + \barh{b}.c
=a + b + (b+\barh{b}).c
= a+b+1.c\\
\phantom{F}
= a+b+c
$

\medskip

Un utilisateur ne peut pas accéder à une page suivante dans le cas $\overline{a+b+c}$, c'est-à-dire $\overline{a\vphantom{b}}.\overline{b}.\overline{c\vphantom{b}}$, donc s'il a répondu correctement à moins de 3 questions, s'il a marqué moins de 5 points et s'il n'est pas titulaire du BTS SIO.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Cet exercice met en œuvre sur de petits nombres le premier système de cryptage asymétrique. Dans ce système, une personne destinataire qui veut recevoir des informations confidentielles publie une
clé permettant à quiconque de lui envoyer des messages sous forme cryptée. Cependant seule la
personne destinataire peut décrypter les messages à  l'aide d'une autre clé connue d'elle seule.

\bigskip

\textbf{Partie A - Détermination de la clé publique servant au cryptage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit deux nombres: $p = 78$ et $q = 95$. 

$p=2\times 3 \times 13$ et $q=5\times 19$ donc le seul diviseur commun à $p$ et $q$ est 1: les entiers $p$ et $q$ sont premiers entre eux.

\item La personne destinataire choisit 5 entiers $b_1 = 45$, $b_2 = 22$, $ b_3 = 13$,  $b_4 = 4$,  $b_5 = 2$.

La clé de cryptage est formée des 5 nombres entiers 
$\left(a_1,\:a_2,\:a_3,\:a_4,\:a_5\right)$ ainsi calculés :

 pour tout $i$ de l'ensemble $\left\lbrace1,\:2,\: 3,\:4,\,5\strut\right\rbrace$,\: $0 \leqslant a_i \leqslant 77$ et $b_i \times q = a_i$, mod $p$.
 
%\emph{Exemple} : pour le calcul de $a_1$ on calcule $b_1 \times  q  = 45 \times 95 = \np{4275}$.
%
%Or $\np{4275} \equiv 63$  mod $p$, et 63 est bien compris entre 0 et 77. Donc $a_1 = 63$.
\end{enumerate}

%\textbf{Question} : en détaillant le calcul, montrer que $a_3 = 62$.

Pour déterminer $a_1$ on calcule $b_2 \times  q  = 22 \times 95 = \np{2090} = 26\times 78 + 62$.

Donc $\np{2090} \equiv 62$  mod $78$, et 62 est bien compris entre 0 et 77. Donc $a_2 = 62$.
\bigskip

\textbf{Partie B - Cryptage d'un message}

\medskip

On admet dans la suite de l'exercice que $a_3 = 65$, $a_4 = 68$ et $a_5= 34$.

La clé de cryptage est donc $\left(a_1,\:a_2,\:a_3,\:a_4,\:a_5\right) = (63, 62, 65, 68, 34)$.

Cette clé, publiée par la personne destinataire, permet à quiconque de lui envoyer un message crypté. Cette partie va expliquer comment on crypte le message.

On associe d'abord à chaque lettre son rang dans l'alphabet, selon la correspondance suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Lettre&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline
Rang &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Lettre &N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline
Rang&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Pour crypter une lettre:
\begin{itemize}
\item on détermine son rang à l'aide du tableau de correspondance précédent;
\item on écrit ce nombre en base 2 sur 5 bits; on ainsi obtient 5 chiffres $\left(m_1, m_2, m_3,  m_4, m_5\right)$, chaque chiffre étant égal à $0$ ou à $1$ ;
\item on détermine alors la valeur cryptée, égale à la somme $\sigma =  a_1m_1 + a_2m_2 + a_3m_3 + a_4m_4 + a_5m_5$. 
\end{itemize}

On remarque qu'une lettre est ainsi cryptée par un nombre entier.

On veut crypter la lettre \og W \fg.

\begin{itemize}
\item Le rang de W est $23_{10}$  ; 
\item on écrit ce nombre en base deux sur 5 bits : $9_{10} = 16 + 0+ 4+2 + 1= 10111_2$,
\item on calcule la somme $\sigma=1 \times 63 + 0 \times62 + 1 \times 65 + 1 \times 68 + 1 \times 34 = 230$.
\end{itemize}

La lettre \og W \fg{} est donc cryptée par l'entier $230$.

%\textbf{Question :} crypter la lettre \og W  \fg.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice étudie la suite $\left(u_n\right)$ dont les termes sont définis par leur écriture en base deux : $u_0 = 1$, et, pour tout entier $n\geqslant 1$, $u_n = 1, 1\ldots 1$ où sont écrits $n$ chiffres 1  à droite de la virgule.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_1 = 1,1_2 = 1+\dfrac{1}{2}= 1,5$

$u_2 = 1,11_2 = 1+\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} = 1+0,5+0,25= 1,75$

\item% Justifier le fait que la suite $\left(u_n\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_1-u_0=1,5-1=0,5$ et $u_2-u_1=1,75-1,5 = 0,25$;

$u_1-u_0\neq u_2-u_1$ donc la suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
\item $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{1,5}{1}=1,5$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{1,75}{1,5}\approx 1,15$;

$\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$ donc la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.

\end{list}

\item  On pose $A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que le nombre $A$ est l'un des termes de la suite $\left(u_n\right)$. Donner son rang.
$A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16}
= 1+\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{2^4} = 1,1111_2=u_4$	
		
		\item   $A =1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16}
		= 1+0,5+0,25+0,125 + \np{0,0625} = \np{1,9375}$.
	\end{enumerate}
\item  On admet dans cette question que, pour tout $n \geqslant 1$ : $u_n =1 + \dfrac{1}{2} +  \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \ldots +  \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

%Démontrer que, pour tout $n \geqslant 1$, on a $u_n= 2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
%
%On pourra utiliser le formulaire ci-après.	

$1 + q + \ldots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ donc

$u_n= 1 + \dfrac{1}{2} +  \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \ldots +  \left(\dfrac{1}{2}\right)^n
= \dfrac{1- \left (\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}}
= 2\times \left ( 1- \left ( \dfrac{1}{2}\right )^{n+1}\right )
= 2 - 2\times \left ( \dfrac{1}{2}\right )^{n+1}
= 2 - \left ( \dfrac{1}{2}\right )^{n}$

\item % Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n > 1,999$.
On résout l'inéquation $u_n >1,999$:

$u_n>1,999
\iff
2-\left (\dfrac{1}{2}\right )^n > 1,999
\iff
0,001 > \left (\dfrac{1}{2}\right )^n 
\iff
\ln(0,001) > \ln \left ( 0,5^n\right )\\
\phantom{u_n>1,999}
\iff
\ln(0,001) > n \times \ln \left ( 0,5\right )
\iff
\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,5)}<n
$

Or $\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,5)} \approx 9,97$ donc la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n > 1,999$ est 10. 

\bigskip

On peut vérifier à la calculatrice:

$u_9=2-\left (\dfrac{1}{2}\right )^9 \approx  \np{1,99805} < 1,999$ et
$u_{10} = 2-\left (\dfrac{1}{2}\right )^{10} \approx  \np{1,99902} > 1,999$.


\end{enumerate}

%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%\textbf{Formulaire}\\
%Si $q$ est un réel différent de 1 et $n$ un entier naturel non nul, on a : $1 + q + \ldots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\end{document}