\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{multicol,diagbox} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Métropole mai 2021}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BTS Métropole - corrigé} \lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}} \rfoot{\small{mai 2021}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole mai 2021~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}} \medskip \textbf{Épreuve obligatoire} %\vspace{0,25cm} % %\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} % %\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé} \end{center} \smallskip \textbf{\large Exercice 1 : un problème de routage \hfill 5 points} \medskip %\textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère un réseau de commutation de paquets constitués de 6 routeurs A, B, C, D, E et F. Chaque paquet reçu par l'un des routeurs doit être acheminé vers un autre routeur, jusqu'à atteindre sa destination finale. Dans le tableau ci-dessous, on a résumé les règles de routage d'un routeur à un autre routeur. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Peut transmettre à&A &B &C &D &E &F\\ \hline A&&&$\blacksquare$&$\blacksquare$&$\blacksquare$&\\ \hline B&$\blacksquare$&&$\blacksquare$&&$\blacksquare$&$\blacksquare$\\ \hline C&&&&&$\blacksquare$&\\ \hline D&&&&&&\\ \hline E&&&&$\blacksquare$&&$\blacksquare$\\ \hline F&&&&$\blacksquare$&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On considère le graphe simple orienté \textbf{G} constitué des sommets A, B, C, D, E et F. Les sommets représentent les routeurs. Si un sommet X peut transmettre un paquet vers un sommet Y alors on a l'arc: X $\longrightarrow$ Y. On peut représenter ce graphe: \begin{center} \psset{unit=1.5cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture*}(-2.5,-2.2)(2.5,2.2) \psset{linewidth=.75pt} %\psgrid[gridcolor=orange] %%% niveaux %\multido{\i=0+1}{6}{ %\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$} %} %%% sommets \def\ray{2} \cnodeput*(\ray;90){A}{\bf A} \cnodeput*(\ray;150){B}{\bf B} \cnodeput*(\ray;210){C}{\bf C} \cnodeput*(\ray;-90){D}{\bf D} \cnodeput*(\ray;-30){E}{\bf E} \cnodeput*(\ray;30){F}{\bf F} %%% arcs \ncline{->}{A}{C} \ncline{->}{A}{D} \ncline{->}{A}{E} \ncline{->}{B}{A} \ncline{->}{B}{C} \ncline{->}{B}{E} \ncline{->}{B}{F} \ncline{->}{C}{E} \ncline{->}{E}{D} \ncline{->}{E}{F} \ncline{->}{F}{D} \end{pspicture*} \end{center} %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On complète le tableau des successeurs et des prédécesseurs du graphe \textbf{G} : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Sommets&Prédécesseurs&Successeurs\\ \hline A& B & C - D - E\\ \hline B& -- & A - C - E - F \\ \hline C& A - B & E\\ \hline D& A - E - F & --\\ \hline E& A - B - C & D - F\\ \hline F& B - E & D \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item La matrice d'adjacence $M$ du graphe \textbf{G}, les sommets étant rangés par ordre alphabétique est: \begin{center} $M=\quad \bordermatrix { ~\rotatebox{45}{$\blue\curvearrowright$}&\blue \text A & \blue \text B &\blue \text C &\blue \text D & \blue \text E & \blue \text F\cr \blue \text A & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \cr \blue \text B & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\cr \blue \text C & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\cr \blue \text D & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr \blue \text E & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\cr \blue \text F & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\cr }$ \end{center} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La calculatrice donne: \begin{center} $M^3=\quad \bordermatrix { ~\rotatebox{45}{$\blue\curvearrowright$}&\blue \text A & \blue \text B &\blue \text C &\blue \text D & \blue \text E & \blue \text F\cr \blue \text A & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 \cr \blue \text B & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 2\cr \blue \text C & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\cr \blue \text D & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr \blue \text E & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr \blue \text F & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr }$ \end{center} \item Le nombre de chemins de longueur 3 allant du sommet B (sommet \no 2) au sommet D (sommet \no 4) est le nombre de la matrice $M^3$ situé à l'intersection de la 2\ieme{} ligne et de la 4\ieme{} colonne; il s'agit du nombre 3 donc il y a 3 chemins de longueur 3 allant du sommet B au sommet D. Ce sont: B $\rightarrow$ A $\rightarrow$ E $\rightarrow$ D, B $\rightarrow$ C $\rightarrow$ E $\rightarrow$ D et B $\rightarrow$ E $\rightarrow$ F $\rightarrow$ D. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la matrice $\widearc{M}$ de la fermeture transitive du graphe \textbf{G}. La matrice de fermeture transitive de ce graphe est une matrice carrée d'ordre 6; on met un 1 à l'intersection de la ligne correspondant au sommet X et de la colonne correspondant au sommet Y s'il existe au moins un chemin allant du sommet X au sommet Y. Sinon on met un 0. Le graphe \textbf{G} contient 6 sommets donc la matrice de fermeture transitive est\\ $\widearc M =M\vee M^{[2]} \vee M^{[3]}\vee M^{[4]}\vee M^{[5]} \vee M^{[6]}$ où $\vee$ désigne la somme booléenne, et $M^{[n]}$ la matrice booléenne de $M^n$, c'est-à-dire la matrice $M^n$ dans laquelle on a remplacé chaque nombre non nul par un 1. Pour obtenir $\widearc{M}$, il suffit de calculer $N= M+M^2+M^3+M^4+ M^5+M^6$ et de remplacer dans la matrice $N$ chaque nombre non nul par le nombre 1. \newpage La calculatrice donne: \begin{center} $N= M+M^2+M^3+M^4+ M^5+M^6=\quad \bordermatrix { ~\rotatebox{45}{$\blue\curvearrowright$}&\blue \text A & \blue \text B &\blue \text C &\blue \text D & \blue \text E & \blue \text F\cr \blue \text A & 0 & 0 & 1 & 5 & 2 & 2 \cr \blue \text B & 1 & 0 & 2 & 10 & 4 & 5\cr \blue \text C & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1\cr \blue \text D & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr \blue \text E & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1\cr \blue \text F & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\cr }$ \end{center} On obtient donc: \begin{center} $\widearc{M}=\quad \bordermatrix { ~\rotatebox{45}{$\blue\curvearrowright$}&\blue \text A & \blue \text B &\blue \text C &\blue \text D & \blue \text E & \blue \text F\cr \blue \text A & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr \blue \text B & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\cr \blue \text C & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\cr \blue \text D & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr \blue \text E & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\cr \blue \text F & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\cr }$ \end{center} \item %Que signifie le nombre 1 à l'intersection de la troisième ligne et la sixième colonne de $\widearc{M}$ ? La 3\ieme{} ligne correspond au sommet C et la 6\ieme{} colonne au sommet F; le nombre 1 à l'intersection de la troisième ligne et la sixième colonne de $\widearc{M}$ signifie qu'il y a au moins un chemin allant de C vers F. En regardant la matrice $N$, on peut même dire qu'il n'y en a qu'un seul:\\ C $\longrightarrow$ E $\longrightarrow$ F. \end{enumerate} \item Un chemin hamiltonien est un chemin qui passe une fois et une seule par tous les sommets. Le chemin {\blue B $\longrightarrow$ A $\longrightarrow$ C $\longrightarrow$ E $\longrightarrow$ F $\longrightarrow$ D} est hamiltonien. \begin{center} \psset{unit=1.5cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture*}(-2.5,-2.2)(2.5,2.2) \psset{linewidth=.75pt} %\psgrid[gridcolor=orange] %%% niveaux %\multido{\i=0+1}{6}{ %\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](\i,-1.5)(\i,1.5)\uput[d](\i,-1.5){\blue \i}%{\blue $C_{\i}$} %} %%% sommets \def\ray{2} \cnodeput*(\ray;90){A}{\bf A} \cnodeput*(\ray;150){B}{\bf B} \cnodeput*(\ray;210){C}{\bf C} \cnodeput*(\ray;-90){D}{\bf D} \cnodeput*(\ray;-30){E}{\bf E} \cnodeput*(\ray;30){F}{\bf F} %%% arcs \ncline[linecolor=blue]{->}{A}{C} \ncline{->}{A}{D} \ncline{->}{A}{E} \ncline[linecolor=blue]{->}{B}{A} \ncline{->}{B}{C} \ncline{->}{B}{E} \ncline{->}{B}{F} \ncline[linecolor=blue]{->}{C}{E} \ncline{->}{E}{D} \ncline[linecolor=blue]{->}{E}{F} \ncline[linecolor=blue]{->}{F}{D} \end{pspicture*} \end{center} %Si oui, en indiquer un. \end{enumerate} Remarque: comme le sommet B n'a pas de prédécesseur, un chemin hamiltonien doit forcément commencer par B, et comme le sommet D n'a pas de successeur, il doit forcément se terminer par D. \newpage \textbf{Partie B} \medskip Dans un parc informatique, chaque machine connectée à un réseau peut être identifiée à l'aide d'une adresse IPv4. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans la base 2, un octet est constitué de 8 chiffres. Le plus grand entier noté en base 10 qu'on peut écrire sous la forme d'un octet est le nombre décimal correspondant à $ \overline{11111111}^{2}$ soit\\ $1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6 + 2^7 = 1+2+4+8+16+32+64+128=255$. \item Un octet représente un nombre entier entre 0 et 255, soit 256 nombres différents. Une adresse IPv4 étant constituée de 4 octets notés en base 10 et séparés par un point, le nombre maximal d'adresses IPv4 qui peuvent être attribuées est\\ $256^4 = \np{4294967296}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip Le routeur C de la partie A gère les connexions réseaux d'un parc informatique de 8 machines étiquetées de 1 à 8. Le DHCP de ce routeur est paramétré de telle façon qu'il attribue une plage de 49 adresses IPv4 allant de 192.168.1.2 jusqu'à 192.168.1.50. Les 8 machines sont identifiées grâce aux adresses IPv4 suivantes: \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Etiquette de la machine &Adresse IPv4 de la machine\\ \hline 1&192.168.1.2\\ \hline 2& 192.168.1.4\\ \hline 3& 192.168.1.12\\ \hline 4& 192.168.1.49\\ \hline 5& 192.168.1.48\\ \hline 6& 192.168.1.50\\ \hline 7& 192.168.1.5\\ \hline 8& 192.168.1.6\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate}[resume] \item % Écrire le premier octet commun aux adresses de ces machines sous forme binaire puis sous forme hexadécimale. Le premier octet commun s'écrit en décimal 192; on écrit 192 en binaire puis en hexadécimal. $192 = 128 + 64 = 1\times 2^7 + 1\times 2^6 + 0\times 2^5 + 0\times 2^4 + 0\times 2^3 + 0\times 2^2 + 0\times 2^1 + 0\times 2^0= \overline{11000000}^{2}$ $192 = 12\times 16 + 0\times 16^{0}= \overline{\texttt{C0}}^{16}$ \end{enumerate} %%%%%%%%% EXERCICE 2 manquant \bigskip \textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip Le spam, courriel indésirable ou pourriel, est une communication électronique non sollicitée, en premier lieu via le courrier électronique. Il s'agit en général d'envois en grande quantité effectués à des fins publicitaires. Un étudiant en BTS SIO a développé un logiciel anti spam. Le filtre mis en place par l'étudiant se base sur les trois variables booléennes suivantes : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $a$ l'objet du message contient au moins un terme douteux (gratuit, offre, promotion, gagner ...), $\overline{a}$ l'objet du message ne contient aucun terme douteux ; \item[$\bullet~~$] $b$ le corps du message contient des images ou des hyperliens, $\overline{b}$ le corps du message ne contient ni images, ni hyperliens ; \item[$\bullet~~$] $c$ les messages de l'expéditeur sont rarement lus, $\overline{c}$ les messages de l'expéditeur sont lus fréquemment. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Avec ce logiciel, un courriel est considéré comme indésirable si : %\setlength\parindent{9mm} \begin{list}{\textbullet}{} \item l'objet du message contient au moins un terme douteux avec un corps du message contenant des images ou des hyperliens ; ou \item l'objet du message ne contient aucun terme douteux et les messages de l'expéditeur sont rarement lus ; ou \item les messages de l'expéditeur sont rarement lus et le corps du message ne contient ni images, ni d'hyperliens ; \end{list} %\setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item %Traduire chaque condition par une expression booléenne en fonction des variables $a$, $b$ et $c$ puis déterminer l'expression booléenne $E$ traduisant les conditions pour qu'un courriel soit considéré comme indésirable. Le \og et \fg{} se traduit en produit et le \og ou \fg{} se traduit en somme. \begin{list}{\textbullet}{Donc:} \item l'objet du message contient au moins un terme douteux (appelé $a$) avec un corps du message contenant des images ou des hyperliens (appelé $b$), se traduit en $a.b$, \item ou, se traduit par $+$, \item l'objet du message ne contient aucun terme douteux (appelé $\overline{a}$) et les messages de l'expéditeur sont rarement lus (appelé $c$), se traduit en $\overline{a}.c$; \item ou, se traduit par $+$, \item les messages de l'expéditeur sont rarement lus (appelé $c$) et le corps du message ne contient ni images, ni d'hyperliens (appelé $\overline{b}$), se traduit en $\overline{b}.c$. \end{list} Donc $E = a.b + c.\overline{a\phantom{b}} + \overline{b}.c$. \smallskip \item \begin{enumerate} \item On présente $E$ dans une table de Karnaugh. \begin{multicols}{3} \begin{center} $a.b$ \end{center} {\footnotesize %\begin{tabular}{|c|*4{p{4pt}}|} $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$a$}{$bc$}$ & 00 & \; 01 \; & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & & \\ \hline 1 & & & \blue 1 & \blue 1 \\ \hline \end{array}$ } \columnbreak \begin{center} $\overline{a\vphantom{b}}.c$ \end{center} {\footnotesize $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$a$}{$bc$}$ & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & \blue 1 & \blue 1 & \\ \hline 1 & & & & \\ \hline \end{array}$ } \columnbreak \begin{center} $\overline{b}.c$ \end{center} {\footnotesize %\setlength{\arraycolsep}{2pt} $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$a$}{$bc$}$ & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & \blue 1 & & \\ \hline 1 & & \blue 1 & & \\ \hline \end{array}$ } \end{multicols} %\bigskip \begin{center} $E=a.b+\overline{a\vphantom{b}}.c + \overline{b}.c$ \end{center} \begin{center} %\renewcommand{\arraystretch}{1} $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$a$}{$bc$}$ & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & &\blue 1 & \blue 1 & \\ \hline 1 & & \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \\ \hline \end{array}$ \end{center} \item Un courriel, ayant comme objet \og promotion : une réduction de 50\,\% ... \fg{} (appelé $a$), et dont les messages de l'expéditeur sont lus fréquemment (appelé $\overline c$), est donc codé $a.\overline c$. On le représente dans une table de Karnaugh: \begin{center} $a.\overline c$ \end{center} \begin{center} %\renewcommand{\arraystretch}{1} $\begin{array}{|*5{c|}} \hline $\diagbox{$a$}{$bc$}$ & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & & & & \\ \hline 1 & \red 1 & & & \blue 1 \\ \hline \end{array}$ \end{center} En comparant avec la table de $E$, on peut ne pas considérer ce courriel comme indésirable. \item En utilisant la table de Karnaugh, on déduit l'expression simplifiée de $E$. \begin{pspicture}(-5,-2.5)(6,2) \uput[r](-4.5,1){$E=a.b+\overline{a\vphantom{b}}.c + \overline{b}.c$} \psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](3.4,-1.2)(4.8,-0.6)%%% a \psline[linecolor=blue](4.8,-0.8)(5.4,-0.8) \uput[r](5.4,-0.75){\blue $a.b$} \psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](2.4,-1.3)(4.2,0.6)%%% c \psline(3,-1.3)(3,-1.8) \uput[d](3,-1.8){$c$} \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline \diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & &\blue 1 & \blue 1 & \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline 1 & & \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline \end{tabular} \end{pspicture} Donc $E=c+a.b$. \end{enumerate} \item La règle $E$ pour considérer un courriel comme indésirable est: \begin{list}{\textbullet}{} \item Les messages de l'expéditeur sont rarement lus ($c$), ou ($+$) \item l'objet du message contient au moins un terme douteux ($a$) et ($\times$) le corps du message contient des images ou des hyperliens ($b$). \end{list} \item En partant de la table de Karnaugh de $E$, on écrit celle de $\overline{E}$ par complément: \begin{pspicture}(-1,-2.5)(6,2.2) %\psgrid[gridcolor=orange] \uput[r](8,0){Donc $\overline{E} = \overline{b}.\overline{c\vphantom{b}} + \overline{a\vphantom{b}}.\overline{c\vphantom{b}}$.} \psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](1.8,-0.2)(4.8,0.5)%%% \psline[linecolor=blue](4.8,0.2)(5.4,0.2) \uput[r](5.4,0.25){\blue $\overline a. \overline c$} \psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](1.9,-1.3)(2.3,0.6)%%% \psline(2.1,-1.3)(2.1,-1.8) \uput[d](2.1,-1.8){$\overline{b}.\overline{c\vphantom{b}}$} \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline \diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & \red 1 & & & \red 1 \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline 1 & \red 1 & & & \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\ \hline \end{tabular} \end{pspicture} \medskip En utilisant les formules $\overline{\left (x+y\right )}=\overline{x}.\overline{y}$ et $\overline{\left (x.y\right )}=\overline{x}+\overline{y}$, on retrouve ce résultat: $\overline{E} = \overline{c+a.b} =\overline{c\vphantom{b}}.\overline{\left (a.b\right )} =\overline{c\vphantom{b}}.\left (\overline{a\vphantom{b}}+\overline{b}\right ) =\overline{c\vphantom{b}}.\overline{a\vphantom{b}}+\overline{c\vphantom{b}}.\overline{b}$ \end{enumerate} %\bigskip \newpage \textbf{\large Exercice 3 : Codage de Hill\hfill 5 points} \medskip Dans le tableau suivant, on associe à chaque lettre de l'alphabet, en majuscule, son rang dans l'alphabet en commençant par $0$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %La procédure pour chiffrer un message est décrite dans l'exemple ci-dessous: % %Pour chiffrer le message \og CARTES\fg{} avec la clé de chiffrement $W= \begin{pmatrix}1&2& 1 \\2&1& 3\\2&4&2\end{pmatrix}$ : % %\medskip % %\starredbullet~On remplace chaque lettre par son rang : C par 2, A par 0, R par 17, T par 19, E par 4 et S par 18. % % On obtient ainsi une matrice à 3 colonnes $M= \begin{pmatrix}2&0&17\\19&4&18\end{pmatrix}$; % %\starredbullet~On effectue le produit matriciel $M \times W$ ; on a $M\times W = \begin{pmatrix}36&72&36\\63&114&67\end{pmatrix}$ ; % %\starredbullet~On remplace chaque coefficient de la matrice $M \times W$ par le reste de sa division euclidienne par 26. % %Ce qui revient à trouver, pour chaque coefficient, l'unique entier compris entre 0 et 25 qui lui est congru modulo 26. % %On a $36 \equiv 10\,\, [26]\,,\quad 72 \equiv20 \,\,[26],\quad 63 \equiv 11 \,\,[26],\quad 114 \equiv 10 \,\,[26],\quad 67 \equiv 15\, \,[26]$ ; % %Ainsi on obtient la matrice $\begin{pmatrix}10&20&10\\11 &10& 15\end{pmatrix}$ ; % %\starredbullet~On remplace chaque nouveau coefficient de $M\times W$ par la lettre correspondante ; % %\starredbullet~On obtient donc $\begin{pmatrix}\text{K}&\text{U}&\text{K}\\\text{L}&\text{K}&\text{P}\end{pmatrix}$ ; % %\starredbullet~Donc le message chiffré est \og KUKLKP \fg. \bigskip \textbf{Partie A } \medskip Dans cette partie, on considère la clé de chiffrement $W= \begin{pmatrix}1&2&1\\2&1& 3\\2&4&2\end{pmatrix}$. Cette clé permet de chiffrer le mot \og BUR \fg{} en \og XMR \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Le message \og JUA \fg{} correspond aux nombres 9 -- 20 -- 0, donc à la matrice $M= \begin{pmatrix} 9 & 20 & 0 \end{pmatrix}$. $M\times W = \begin{pmatrix} 49 & 38 & 69 \end{pmatrix}$ ce qui donne pour restes modulo 26: $\begin{pmatrix} 23 & 12 & 17 \end{pmatrix}$. Cette matrice correspond à \og XMR \fg{} donc le message chiffré est \og XMR \fg{}. \item% Que peut-on remarquer ? Les deux séquences \og BUR \fg{} et \og JUA \fg{} correspondent au même message chiffré \og XMR \fg{}; la clé de chiffrement n'est donc pas bonne. %Que pensez-vous de cette clé de chiffrement? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on considère la clé de chiffrement $W = \begin{pmatrix}11&n&14\\7& 9& 21\\17& 0&3\end{pmatrix}$, où $n$ est un entier naturel compris entre 15 et 25. On sait que cette clé permet de chiffrer le mot \og GEL\fg{} en \og VMT \fg. \medskip \begin{enumerate} \item %Vérifier que $6n + 36 \equiv 12 \;(\text{mod}\,\, 26)$. Le mot \og GEL\fg{} correspond aux nombres 6 -- 4 -- 11 donc à la matrice $M= \begin{pmatrix} 6 & 4 & 11 \end{pmatrix}$. $M\times W = \begin{pmatrix} 281 & 6n+36 & 201 \end{pmatrix}$ Le mot \og VMT \fg{} correspond à 21 -- 12 -- 19 soit à la matrice $\begin{pmatrix} 21 & 12 & 19 \end{pmatrix}$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $281 = 10\times 26 + 21$ donc $281$ correspond au nombre 21 donc à la lettre V; \item $201 = 7\times 26 + 19$ donc $201$ correspond au nombre 19 donc à la lettre T; \end{list} Pour que \og GEL \fg{} se code en \og VMT \fg{}, il faut donc que $6n+36$ corresponde à la lettre M, donc corresponde au nombre 12; il faut donc que $6n + 36 \equiv 12 \;(\text{mod } 26)$. \item %Déterminer la valeur de l'entier naturel $n$. On cherche tous les restes de la division de $6n+36$ dans la division par 26, pour $n$ variant entre 15 et 25: \begin{center} $\begin{array}{|*{12}{c|}} \hline n & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25\\ \hline 6n+36 & 126 & 132 & 138 & 144 & 150 & 156 & 162 & 168 & 174 & 180 & 186\\ \hline \text{restes} & 22 & 2 & 8 & 14 & 20 & 0 & 6 & \blue 12 & 18 & 24 & 4\\ \hline \end{array}$ \end{center} Pour $n=22$, on a: $6n+36 \equiv 12\;(\text{mod }26)$, donc la valeur de $n$ cherchée est 22. \end{enumerate} \end{document}