%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{multirow}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage[dvipsnames,svgnames]{pstricks}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS Opticien-lunetier},
pdftitle = {14 mai 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Corrigé du brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{13 mai 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur Opticien--lunetier~\decofourright\\[5pt] 13 mai 2019}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1} (10 points)

\medskip

\textbf{Partie A.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après le formulaire, on sait que les solutions de $(E)$ sont les fonctions définies sur $[0~;~+\infty[$ par :
		
		\[f(t) = k \text{e}^{- \frac{0,2}{1}t} =   k\text{e}^{- 0,2t} ;\: k  \in \R.\]

		\item La donnée $f(0) = 20 \iff  k\text{e}^0 = 20 \iff k = 20$.

		
Conclusion : la fonction  solution de $(E)$ qui vérifie la condition initiale est la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 20 \text{e}^{ - 0,2t}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\text{e}^{- 0,2t} = 0,5$ done par croissance de la fonction logarithme 
$- 0,2 t = \ln 0,5$, soit $t = \dfrac{\ln 0,5}{- 0,2}$

		\item La durée demi-vie vérifie l'équation :
		
$20 \text{e}^{ - 0,2t} = \dfrac{20}{2} = 10$ ou encore $\text{e}^{- 0,2t} = 0,5$. La demi-vie est donc la solution précédente  ; or $\dfrac{\ln 0,5}{- 0,2} \approx \np{3,46573}$~h, soit 3~h et $\np{0,46573} \times 60 \approx 27,94$~min.

La demi-vie est donc environ 3~h 28~min (à la minute près). 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
		
$F(t) = \dfrac{20}{-0,2}\text{e}^{- 0,2t} = - 100\text{e}^{- 0,2t}$.
		\item On sait que quel que soit le réel $t$, \:$\text{e}^{- 0,2t} > 0$ et par conséquent $20\text{e}^{- 0,2t} > 0$.
		
Donc l'aire, en unité d'aire, limitée par la courbe représentative de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $t = 0$ et $t = 15$ est  égale à 
		
$\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{15}f(t)\:\text{d}t = [F(t)]_0^{15} = F(15) - F(0) = - 100\text{e}^{- 0,2\times 15} - \left(- 100\text{e}^{- 0,2\times 0} \right) = - 100\text{e}^{- 3} + 100 = 100\left(1 - \text{e}^{-3} \right)$~(u. a.).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item De $g(t) = 20 \left(\text{e}^{- 0,2t} -  \text{e}^{- 2t}\right)$, on en déduit par dérivation :
		
$g'(t) = 20 \left(-0,2 \text{e}^{- 0,2t} - (- 2) \text{e}^{- 2t}\right) = 20 \left(-0,2 \text{e}^{- 0,2t} + 2 \text{e}^{- 2t}\right)$ 
$= - 4 \text{e}^{- 0,2t} + 40 \text{e}^{- 2t}$ et en développant :

$g'(t) = - 4 \text{e}^{- 0,2t}  +  40\text{e}^{- 2t}$.

D'autre part :

$40\text{e}^{- 2t}\left(1 - 0,1\text{e}^{1,8t} \right) = 40\text{e}^{- 2t} - 40\text{e}^{- 2t} \times \text{e}^{1,8t} = 40\text{e}^{- 2t}  - 4 40\text{e}^{- 2t + 1,8t} =  40\text{e}^{- 2t}  - 4\text{e}^{- 0,2t}$

Conclusion : pour tout $t \in [0~;~+ \infty[$, \: $g'(t) = 40\text{e}^{- 2t}\left(1 - 0,1\text{e}^{1,8t} \right)$.
		\item Comme $40\text{e}^{- 2t} > 0$, quel que soit le réel $t$, le signe de $g'(t)$ est donc celui de la différence $1 - 0,1\text{e}^{1,8t}$.
		
Or le logiciel de calcul formel dit que les nombres solutions de l'inéquation $1 - 0,1\text{e}^{1,8t} > 0$ sont les réels inférieur à $\dfrac{5}{9}\ln (10) \approx 1,28 > 0$.

On en déduit le signe de $g'(t)$ :

$\bullet~~$sur $\left[0~;~\dfrac{5}{9}\ln (10)\right[, \: g'(t) > 0$ ;

$\bullet~~$$g'\left(\dfrac{5}{9}\ln (10) \right) = 0$ ; 

$\bullet~~$sur $\left]\dfrac{5}{9}\ln (10)~;~+ \infty\right[, \: g'(t) < 0$.
		\item La question précédente permet d'établir que :
		
$\bullet~~$sur $\left[0~;~\dfrac{5}{9}\ln (10)\right[, \: g'(t) > 0$, donc la fonction $g$ est croissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~$$g'\left(\dfrac{5}{9}\ln (10) \right) = 0$ $g\left(\dfrac{5}{9}\ln (10) \right)$ est un maximum de la fonction $g$ ; 

$\bullet~~$sur $\left]\dfrac{5}{9}\ln (10)~;~+ \infty\right[, \: g'(t) < 0$, donc la fonction $g$ est décroissante sur cet intervalle.	
		\item Le résultat précédent a montré que le maximum de $g$ est $g\left(\dfrac{5}{9}\ln (10) \right) = 20 \left(\text{e}^{-0,2 \times \frac{5}{9}\ln (10)} - \text{e}^{- 2 \times \frac{5}{9}\ln (10)} \right) \approx 13,94$, soit 13,9 au dixième près $\left(\text{en} \mu\text{g.L}^{-1}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On a vu dans la partie A que l'aire sous la courbe est égale à $100\left(1 - \text{e}^{- 3} \right)$ et on admet que l'aire sous la courbe associée à l'administration orale est d'environ 85,02.

Donc la \og  biodisponibilité absolue \fg{} de cet antibiotique est environ $ \dfrac{85,02}{100\left(1 - \text{e}^{- 3} \right)} \approx \np{0,8947}$, soit 89\,\% environ.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_2 = 0,5 u_1 + 20 = 0,5 \times 20 + 20 = 30$.

La concentration plasmatique de l'antibiotique immédiatement après
la deuxième injection est $30~\mu$~g.L$^{-1}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $v_{n+1} = u_{n+1} - 40$
$= 0,5 u_n + 20 - 40 = 0,5 u_n - 20$
$= 0,5 \left(v_n + 40\right) - 20 = 0,5 v_n + 20 - 20 = 0,5 v_n$.
		
Donc $v_{n+1} = 0,5 v_n$, pour tout entier $n \geqslant 1$ ; cette relation montre que  la suite $\left(v_n\right)$ est une suite 
géométrique de raison $q = 0,5$ et de premier terme $v_1 = u_1 - 40 = 20 - 40 = - 20$.
		\item La suite $\left(v_n\right)$ étant géométrique, on sait d'après le formulaire que : $v_n = v_1 q^{n-1} = - 20 \times  0,5^{n-1}$.
		
Or $v_n = u_n - 40 \iff u_n = v_n + 40 = 40 - 20\times  0,5^{n-1}$.

On a donc pour $n \geqslant 1$, \: $u_n = 40 - 20 \times  0,5^{n-1}$.
		\item On peut écrire $u_n = 40 - 20 \times  0,5^{n-1} = 40 - 20 \times  0,5^{n-1}\times (0,5 \times 2) = 40 - 20 \times  0,5^{n} \times 2) = 40 - 40 \times  0,5^n $.
		\item La limite de la suite géométrique $\left(v_n\right)$ est égale à $0$ car sa raison 0,5 est comprise entre 0 et 1  ; la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est donc égale à 40.		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item~ 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$n \gets 1$\\
$u \gets 20$\\
Tant que $u < 38$\\
$n\gets n+1$\\
$u \gets 0,5 \times u + 20$\\
Fin de Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En faisant tourner cet algorithme on calcule les termes de la suite $\left(u_n\right)$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &1 	&2 	&3 	&4 		&5\\ \hline
$u$ &20 &30 &35 &37,5 	&38,75\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

 Il faut donc $5$ injections pour atteindre cet équilibre.
	\end{enumerate}				
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{Partie A.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé on a E$(T) = 2  = \dfrac{1}{\lambda}$, soir $\lambda = \dfrac{1}{2}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après la formule donnée, on a $P(T < 1) = P(T \leqslant 1) = 1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}\times 1} \approx \np{0,3934}$, soit 0,393 au millième près.
		\item De même $P(T> 3) = 1 - P(T \leqslant 3) = 1 - \left(1 - \text{e}^{ -0,5 \times 3}\right) = \text{e}^{ -0,5 \times 3} = \text{e}^{ -1,5} \approx \np{0,2231}$ soit 0,223 au millième près.
 	\end{enumerate}
\item  Une meuleuse a en moyenne une panne toutes les 2 semaines ; donc sur une période de un an soit $26 \times 2$ semaines, le nombre de pannes moyen par meuleuse sera de $26$.
\end{enumerate} 
 
\bigskip

\textbf{Partie B.}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On trouve pour exactement 20 pannes :  $\approx 0,04184$,soit $0,042$ au millième près.
		\item Pour au maximum 22 pannes on trouve au millième  $0,252$.
	\end{enumerate}
\item Une meuleuse est défaillante si $P(X > 40) = 1 - P(X \leqslant 40) \approx 1 - 0,996 \approx 0,004$.
\end{enumerate} 
 
\bigskip

\textbf{Partie C.}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Soit l'épreuve de Bernoulli considérant  une
seule meuleuse ayant une probabilité d'être défaillante de probabilité 0,004.

Le fait de choisir de façon indépendante \np{1000} meuleuses est donc un schéma de Bernoulli et la variable  $Y$ comptant le nombre de meuleuses défaillantes  suit la loi binomiale de paramètres $n = \np{1000}$ et $p = 0,004$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La loi de la variable aléatoire $Y$ est approchée par la loi normale
de moyenne : 

$np = \np{1000} \times  0,004 = 4$ et d'écart type $\sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{\np{1000}\times 0,004 \times (1 - 0,0,004)} = \sqrt{4 \times 0,996} =\sqrt{3,984} \approx 1,996$, soit 2 à $10^{-1}$ près.
		\item $Z$ suivant la loi normale de moyenne 2 et d'écart type 4, la calculatrice donne 
		
$P(2,5 \leqslant Z \leqslant 7,5) \approx 0,733$. 
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 85 clients sur 100 sont satisfaits, donc une estimation ponctuelle $f$ de la proportion $p$ est $f = \dfrac{85}{100} = 0,85$.
\item D'après la formule donnée l'intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ avec une confiance de 99\,\% est :

$\left[f - 2,58\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 2,58\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right] = \left[0,85 - 2,58\sqrt{\dfrac{0,85(1 - 0,85)}{100}}~;~0,85 + 2,58\sqrt{\dfrac{0,85(1 - 0,85)}{100}}\right] \approx [0,757~;~0,942]$.
\item L'intervalle de confiance est à 99\,\%, donc il n'est pas certain que la proportion $p$ appartienne à cet intervalle. 
\end{enumerate} 
\end{document}