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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Corrigé du brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{12 mai 2016}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Opticien--lunetier  12 mai 2016}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}

\textbf{A. Étude d'une série statistique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le coefficient de corrélation linéaire de la série $(x~;~z)$ est : $r \approx \np{0,9997}$.  à $10^{-4}$

On peut faire un ajustement affine de cette série e car $r \approx  1$.
\item Une équation de la droite de régression de $z$ en $x$, selon la méthode des moindres
carrés est :

\[z = 0,301x – 2,945.\]

\item  ~

$\bullet~~$Le premier jour ouvré du mois de mai 2016 correspond au rang 28.

$\bullet~~$Calculons la valeur de $z$ avec l’équation de la droite d'ajustement précédente :

$ z = 0,301 \times  28 - 2,945 = 5,483$.
 
$\bullet~~$Déterminons maintenant  $y$ en sachant que  $z = \ln \left(\dfrac{y}{200 - y}\right)$

$z = \ln \left(\dfrac{y}{200 - y}\right) \iff \text{e}^z = \dfrac{y}{200 - y} \iff \text{e}^z (200 - y) = y \iff $

$200\text{e}^z - y \text{e}^z = y \iff 200\text{e}^z = y\left(1 + \text{e}^z\right) \iff y = \dfrac{200\text{e}^z}{1 + \text{e}^z}$.

On sait que $z \approx 5,483$, donc $y \approx \dfrac{200\text{e}^5,483}{1 + \text{e}^5,483} \approx  199,2$, soit 199 centaines.

Environ \np{19900} verres ont été fabriqués le premier jour ouvré de mai 2016.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En prenant  l’expression de $f'(x)$ donnée par le logiciel à la première  ligne soit  :

\[f(x) = \np{1140}\dfrac{\text{e}^{- 0,3x}}{\left(19\text{e}^{- 0,3x} + 1\right)^2}.\]

On sait que quel que soit le réel ,$t$, \: $\text{e}^{- 0,3x} > 0$, le dénominateur est un carré supérieur ou égal à 1, donc supérieur à $0$ : $f'(x) > 0$ en particulier sur $[0~;~+\infty[$. 

Il en résulte que $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D’après la troisième ligne du  logiciel, la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à 200, ce qui montre  que la courbe $\mathcal{C}$ a pour  asymptote, au voisinage de plus l'infini, la droite d’équation $y = 200$.
		\item Prenons la valeur approchée de l’intégrale donnée par le logiciel à la deuxième ligne :
		
La valeur moyenne demandée est :

\[\dfrac{1}{24 - 0}\displaystyle\int_0^{24} f(x)\:\text{d}x \approx \dfrac{\np{2812,235459513}}{24}\approx  117,18.\]

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est continue, strictement croissante sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$ et quel que soit $x$, \: $f(x) < 200$,  ; donc l’entreprise ne peut pas envisager, dans ces conditions,  de produire 250 centaines de verres par jour.
		\item D’après la question 2. b., le nombre moyen de verres fabriqués par jour
pendant cette période de 24 mois est de $117,18 \times 100 = \np{11718}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre de clients en mars 2014 est représenté par u2
On a  $ u_1 = 0,98 u_0 + 6 = 0,98 \times 120 + 6 = 123,6$, soit en arrondissant 124 clients en février 2014
 
$u_2 = 0,98 u_1 + 6 = 0,98 \times 123,6 + 6 = 127,12 \approx 127$

Le nombre de clients de l’entreprise en mars 2014 est estimé selon ce
modèle à 127.
\item L’algorithme qui réalise l’objectif recherché est l’algorithme 3. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :
		
$v_{n+1} = 300 - u_{n+1}$ (relation entre $v_n$ et $u_n$ écrite au rang $n+1$)

On obtient ensuite $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ (avec la relation de récurrence) :

$v_{n+1} = 300 - \left(0,98 u_n + 6\right) = 294 - 0,98 u_n$, soit en factorisant par $0,98$

$v_{n+1} = 294 \times \dfrac{0,98}{0,98} - 0,98 u_n = 0,98 \times \dfrac{294}{0,98} - 0,98 u_n = $

$0,98 \times 300 - 0,98 u_n = 0,98\left(300 - u_n\right) = 0,98v_n$.

Conclusion : quel que soit le naturel $n$, \:  $v_{n+1} = 0,98 v_n$, ce qui montre que  la suite 
$\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,98$.
		\item La suite $\left(v_n\right)$ étant géométrique de 1\up{er} terme $v_0 = 180$ et de raison $q = 0,98$ on sait que pour tout entier naturel $n$
		
\[v_n = v_0 q^n = 180 \times  0,98^n.\]

Or $v_n = 300 - u_n \iff  u_n = 300 - v_n = 300 - 180 \times  0,98^n$, pour tout entier naturel $n$.
		\item Comme $0 < 0,98 < 1$, on sait $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,98^n = 0$ et par conséquent 
		
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 300 \times 0,98^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 300$.
		
La limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à $300$.

Interprétation : à long terme, le nombre de clients dans cette entreprise va se rapprocher de  300 clients.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  ~

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$S$}\taput{0,2}}
	{
	\TR{$R$}\taput{0,7}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{0,3}
	}
\pstree{\TR{$\overline{S}$}\tbput{0,8}}
	{
	\TR{$R$}\taput{0,1}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{0,9}
	}	
}
\end{center}

\item $P(S \cap R) = 0,2 \times 0,7 = 0,14$.
\item $P(R) = P(S \cap R) + P\left(\overline{S} \cap R\right) = 0,14 + 0,8 \times 0,1 = 0,14 + 0,08 = 0,22$.

La probabilité que le fichier prélevé soit celui d’un client ayant demandé le traitement antireflet
de ses verres est bien égale à $0,22$.
\item $P_R(S) = \dfrac{P(S \cap R)}{P(R)} = \dfrac{0,14}{0,22} \approx 0,636$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour chacun des 100 fichiers, de deux choses l'une : ou c'est celui d'un client ayant demandé un traitement anti-reflet, soit il ne l'a pas demandé. La variable aléatoire comptant le nombre de ceux qui l'on demandé suit donc une loi binomiale  de paramètres $n = 100$ et $p : 0,45$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On lit dans le tableur, colonne B, ligne 7 : $P(X=50) \approx \np{0,048152} \approx 0,048$ à  $10^{-3}$ près.
		\item À la  colonne C et ligne 12 du tableur on lit  : $P(X \leqslant 55) \approx  \np{0,982359}$.
		
Donc  le plus petit entier $a$ tel que $P(X \leqslant a) \geqslant  0,975$ est $55$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a bien $ m = n \times p = 100 \times 0,45 = 45$.

Pour l'écart type : $\sigma = \sqrt{n \times p (1 – p)} =\sqrt{100 \times 0,45 \times (1 - 0,45)} =$

$\sqrt{100 \times 0,45 \times 0,55} =\sqrt{45 \times 0,55} = \sqrt{24,75} \approx \np{4,9749} \approx 4,975$.
		\item La calculatrice  donne $P(Z \geqslant 49,5) \approx  0,183$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité d’avoir exactement quatre clients achetant des verres polarisants un
samedi après-midi est : $0,134$.
\item La probabilité qu’un samedi après-midi, il y ait au plus deux clients achetant des
verres polarisants est : $0,062$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L’estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ est : $f = \dfrac{135}{150} = 0,9$.
\item L’expression de l’intervalle de confiance recherché est : 

$\left[f - t\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~f + t\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right]$

Avec : $f = 0,9 \:;\: n = 150$ et  $t = 1,96$ (car le niveau de confiance est de 95\%)

$t\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}} = 1,96\sqrt{\dfrac{0,9 \times 0,1}{150}} \approx \np{0,0488}$ soit 0,05 à à $10^{-2}$ près.

L’intervalle de confiance de la proportion $p$ avec le niveau de confiance de 95\,\% est donc
l’intervalle $[0,85~;~0,95]$.
\item Le niveau de confiance de 95\,\% signifie qu’environ 95\,\% des intervalles qu’on peut obtenir
ainsi contiennent la proportion $p$ de la population.
Donc on n’est pas certain que la proportion $p$ appartienne à l’intervalle de confiance obtenu à
la question précédente. 
\end{enumerate}
\end{document}