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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{14 mai 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Opticien--lunetier  14 mai 2013}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

%Avant une greffe de cornée, la cornée prélevée est plongée dans un liquide physiologique afin de provoquer l'évacuation du surplus d'eau contenu dans le tissu. On étudie l'évolution dans le temps de l'épaisseur de la cornée.
%
%\begin{center} 
%\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
%\end{center}
 
\textbf{A. Statistique à deux variables}

\medskip
 
%Une étude expérimentale de l'épaisseur $y$ de la cornée, exprimée en micromètres, en fonction du temps $t$, exprimé en heures, a permis d'obtenir le tableau suivant.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline 
%$t$&0	&1	&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9		&10\\ \hline
%$y$&983	&786&700,64	&662,08	&645,22	&637,83	&634,57	&633,13	&632,5	&632,22	&632,1\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Le nuage des points de coordonnées $(t~;~y)$ correspondant est représenté sur le graphique suivant.
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm}
%\begin{pspicture}(-2,-200)(10,1000)
%\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1000)}
%\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100](0,0)(10,1000)
%\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5](0,983,)(1,786)(2,700.64)(3,662.08)(4,645.22)(5,637.83)(6,634.57)(7,633.13)(8,632.5)(9,632.22)(10,632.1)
%\rput(5,-150){Temps en heures}
%\rput{90}(500,-1.5){Épaisseur en $\mu$m}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center} 

\begin{enumerate}
\item %À l'aide du graphique et sans calcul, expliquer pourquoi un ajustement affine de $y$ en $t$ n'est pas approprié.
Les points ne sont pas sensiblement alignés : un ajustement affine de $y$ en $t$ n'est pas approprié.
 
\item %On pose $z = \ln (y - 632)$ et on obtient le tableau suivant, où les valeurs approchées sont arrondies à $10^{- 2}$.

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash\footnotesize}X|}}\hline 
%$t$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
%$z$&5,86&5,04&4,23&3,4&2,58&1,76&0,94&0,12&$- 0,69$&$- 1,51$&$- 2,3$\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip 

	\begin{enumerate}
		\item %Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $t$, obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = at + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-2}$.
		 
%(Pour cette question, on utilisera les fonctions de la calculatrice. Le détail des calculs n'est pas demandé).
La calculatrice livre  $z = - 0,82t + 5,86$.
		\item %En déduire une expression de $y$ en fonction de $t$, selon cet ajustement.
$z = \ln (y - 632) =  - 0,82t + 5,86$ d'où $y - 632 = \text{e}^{- 0,82t + 5,86}$ puis 

$y = 632 + \text{e}^{- 0,82t + 5,86}$.

Or $\text{e}^{- 0,82t + 5,86} = \text{e}^{- 0,82t} \times\text{e}^{5,86} = 350,72\text{e}^{- 0,82t}$	, donc finalement :

\[y = 632 + 350,72\text{e}^{- 0,82t}\]
	 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
%On considère l'équation différentielle 

\[(E)\: :\quad  1,22 y' + y = 632\]
 
%où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, et $'y$, la fonction dérivée de $y$.
% 
%On admet que la fonction correspondant à l'épaisseur de la cornée, exprimée en micromètres, en fonction du temps, exprimé en heures, vérifie l'équation différentielle $(E)$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les solutions de l'équation différentielle 

\[\left(E_{0}\right)\: :\quad  1,22y' + y = 0. \]

On sait que les solutions de $\left(E_{0}\right)$ sont les fonctions de la forme : $y = K\text{e}^{-\frac{t}{1,22}}$, \:$ K \in \R$.

\item %Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = 632$. 

%Vérifier que $g$ est une solution de $(E)$.
Avec $g(x) = 632, \:g'(x) = 0$, donc $1,22\times0 + 632 = 632$ est vraie donc $g$ est une solution particulière de $(E)$. 
\item %En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
En ajoutant une solution particulière à toutes les solutions de l'équation sans second membre on obtient toutes les solutions de $(E)$ soit les fonctions 

$y(t) =  K\text{e}^{-\frac{t}{1,22}} + 632, \:K \in \R$.
\item %Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 983$.
On a $f(0) = 983$ si $K\text{e}^{-\frac{0}{1,22}} + 632 = 983$, soit $K + 632 = 983$,d'où $K = 351$.

Conclusion $f(t) = 351\text{e}^{-\frac{0}{1,22}} + 632$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{C. Étude d'une fonction}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = 632 + 351 \text{e}^{- 0,82 t}.\]
 
%On note $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(t)$ pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
On remarque que $- \dfrac{1}{1,22} \approx - 0,819 \approx - 0,82$ au centième près, donc 
 $f$ est la solution de l'équation $(E)$ trouvée à la question précédente, elle vérifie :
		
$1,22f'(t) + f(t) = 632$, d'où $f'(t) = \dfrac{632 - f(t)}{1,22} = \dfrac{- 351 \text{e}^{- 0,82 t}}{1,22} \approx - 0,82\times 351 \text{e}^{- 0,82 t}$.

$f'(t) = - 287,82\text{e}^{- 0,82 t}$. 
		\item %Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
On sait que quel que soit le réel $t,\:  \text{e}^{- 0,82 t} > 0$, donc $f'(t) < 0$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item %En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
La fonction $f$ est donc décroissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Les questions a., b. et c. suivantes sont des questions à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justification. 
%La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
 
	\begin{enumerate}
		\item
		 
%\medskip
%
%\renewcommand\arraystretch{1}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline
%\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$&$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 351$&$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 632$&$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = + \infty$\\ \hline
%\end{tabularx}
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- 0,82 t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 632$.
\medskip
 
		\item %La courbe $C$ admet une asymptote dont une équation est: 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline	
%$t = 632$&$y = 632$&$t = 0$&$y = 0$\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
Le résultat précédent signifie que la droite dont une équation est $y = 632$ est asymptote à $C$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %Une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$ est :
		
%		\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline	 
%$y = - 0,82 t + 632$& $y = 983 t - 287,82$ &$y = - 287,82 t + 983$& $y = 632t - 0,82$\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
Une équation de tangente au point $(0~;~f(0)) = (0~;~983)$ est 

$y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

Avec $f(0) = 983$ et $f'(0) = - 287,82$, on obtient :

$(T) \quad y - 983 = - 287,82(x - 0)$ ou $y = - 287,82x + 983$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

%\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
%\end{center}
%
%\medskip
% 
%Une entreprise fabrique des verres ophtalmiques à partir de verres semi-finis. 
%
%\bigskip

\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip 

%Ce fabriquant possède un stock de verres semi-finis provenant de deux fournisseurs différents, désignés par \og fournisseur 1 \fg{} et \og fournisseur 2 \fg. 
%
%On admet que 60\,\% des verres semi-finis proviennent du fournisseur 1 et 40\,\% des verres semi-finis proviennent du fournisseur 2. 
%
%On admet que 2\,\% des verres semi-finis du fournisseur 1 sont défectueux et que 1\,\% des verres semi-finis du fournisseur 2 sont défectueux. 
%
%On prélève au hasard un verre semi-fini dans ce stock. On considère les évènements suivants :
% 
%$A$ : \og le verre semi-fini prélevé provient du fournisseur 1 \fg ; 
%
%$B$ : \og le verre semi-fini prélevé provient du fournisseur 2 \fg ; 
%
%$D$ : \og le verre semi-fini prélevé est défectueux \fg.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Calculer la probabilité $P(B \cap D)$.
On peut dresser l'arbre pondéré suivant :
\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\Tr{$A$}\naput{0,6}}
	{\TR{$D$}\naput{0,02}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{0,98}
	}
\pstree{\Tr{$B$}\naput{0,4}}
	{\TR{$D$}\naput{0,01}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{0,99}
	}
}
\end{center}

\medskip

$P(B \cap D) = p(B) \times p_B(D) = 0,4 \times 0,01 = 0,004$. 
\item %Montrer que la probabilité que le verre semi-fini prélevé soit défectueux est égale à $0,016$.
On a de même  $P(A \cap D) = p(A) \times p_A(D) = 0,6 \times 0,02 = 0,012$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = 0,012 + 0,004 = 0,016$.  
\item %Calculer la probabilité conditionnelle $P_{D}(B)$.
 
%(On rappelle que $P_{D}(B)$ est la probabilité de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $D$ est réalisé.)
$P_{D}(B) = \dfrac{P(B \cap D)}{p(D)} = \dfrac{0,004}{0,016} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} = 0,25$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale. loi de Poisson et loi normale}

%\begin{center}
% Sauf mention du contraire, dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{- 3}$.
%\end{center}
% 
%On prélève au hasard $n$ verres semi-finis dans un stock, pour vérification. On admet que la probabilité qu'un verre semi-fini prélevé au hasard dans ce stock soit défectueux est égale à $0,016$. Le stock est suffisamment important pour assimiler un prélèvement de $n$ verres semi-finis à un tirage avec remise de $n$ verres.
% 
%On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $n$ verres semi-finis dans ce stock, associe le nombre de verres semi-finis défectueux.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. 
Le stock est suffisamment important pour assimiler un prélèvement de $n$ verres semi-finis à un tirage avec remise de $n$ verres avec une probabilité considérée comme constante de trouver un verre défectueux de 0,016, donc la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et$p = 0,016$.

\item %Dans cette question $n = 250$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'espérance mathématique $E(X)$. Interpréter le résultat.
On a E $ = np  = 250 \times 0,016 = 4$.

Ceci signifie qu'en moyenne sur 250 verres prélevés on en trouvera 4  défectueux.
		\item %Calculer la probabilité qu'aucun verre ne soit défectueux.
La probabilité  qu'aucun verre ne soit défectueux est égale à :

$\binom{250}{0}\times 0,016^0 \times (1 - 0,016)^{250} \approx \np{0,0177}$ soit 0,018 au millième près.
		\item %En déduire la probabilité qu'au moins un verre soit défectueux.
La probabilité qu'au moins un verre soit défectueux est donc égale à 

$1 - 0,018 = 0,982$. 
		\item %On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. Donner le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.
Le paramètre  $\lambda$ de cette loi de Poisson vérifie $\lambda = np = 4$. 
		\item %On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre obtenu au d. Calculer, avec la précision permise par la table du formulaire, $P(Y \geqslant 1)$.
On a $P(Y \geqslant 1) = 1 - PY = 0) = 1 - 0,018 = 0,982$ (par lecture de la table).
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question $n = \np{1000}$.
 
%On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $16$ et d'écart type $3,97$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier ces paramètres par le calcul.
Ici $\mathcal{B}(n~;~p) \approx \mathcal{N}(m~;~\sigma)$.

On sait que $m = np = \np{1000} \times 0,016 = 16$ et que $\sigma \sqrt{npq} = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{\np{1000} \times 0,016 \times 0,984} = \sqrt{16 \times 0,984} \approx 3,97$.
		\item %\emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
		
		%\medskip
		 
%Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $16$ et d'écart type $3,97$. 

%Pour déterminer, à l'aide de cette variable aléatoire, la probabilité que, dans un prélèvement de \np{1000}~verres semi-finis, il y ait au moins $18$ verres défectueux, on calcule $P(Z \geqslant 17,5)$. 

%La valeur approchée obtenue, arrondie à $10^{-2}$, est : 

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%0,35 &0,38 &0,65\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Considérons la variable aléatoire $Z'$ centrée réduite, donc définie par 

$Z' = \dfrac{Z - 16}{3,97}$.

On sait qu'alors la variable $Z'$ suit la loi normale $\mathcal{N}(0~;~1)$.

On a alors $P(Z \geqslant 17,5) = p\left(Z' \geqslant \dfrac{17,5 - 16}{3,97}\right) = p(Z' \geqslant 0,38) = 1 - \Pi(0,38) \approx 1 - \np{0,6480} \approx 0,352$, soit 0,35 au centième près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Intervalle de confiance}

\medskip
 
%Ce fabriquant effectue un sondage auprès de ses clients opticiens. Il souhaite évaluer la proportion inconnue $p$ de clients intéressés par un nouveau verre. Pour cela, il interroge au hasard un échantillon de $100$~opticiens parmi sa clientèle. Cette clientèle est suffisamment importante pour considérer que cet échantillon résulte d'un tirage avec remise.
% 
%Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon ainsi prélevé, associe la fréquence, dans cet échantillon, des opticiens intéressés par ce nouveau verre. On suppose que $F$ suit la loi  normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{100}}$. 
%
%Pour l'échantillon prélevé, on constate que $70$ opticiens sont intéressés par le nouveau verre.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$.
On a $f = \dfrac{70}{100} = 0,7$, soit $p \approx 0,7$. 
\item %Déterminer un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ avec le coefficient de confiance $95$\,\%. Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{- 2}$.
On sait que $I = \left[f - x\sqrt{\frac{f(1 - f)}{n - 1}}~;~f + x\sqrt{\frac{f(1 - f)}{n - 1}}  \right]$ avec $x$ tel que :

$p\left(f - x\sqrt{\frac{f(1 - f)}{n - 1}} \leqslant F \leqslant f + x\sqrt{\frac{f(1 - f)}{n - 1}}\right) = 0,95$.

Avec $Z'' = \dfrac{F - f}{\sqrt{\frac{f(1  - f)}{n - 1}}}$, cette variable aléatoire $Z''$ suit la loi normale $\mathcal{N}(0~;~1)$, donc :

$p(- x \leqslant Z'' \leqslant x) = 0,95$ ou $2\Pi(x) - 1 = 0,95$ c'est-à-dire $\Pi(x) = 0,975 = \Pi(1,96)$.

On a donc $x = 1,96$ et l'intervalle $I$ est tel que :

$I = \left[0,7 - 1,96\sqrt{\frac{0,7(1 - 0,7)}{99}}~;~0,7 + 1,96\sqrt{\frac{0,7(1 - 0,7)}{99}}  \right]$

Donc $I = [0,61~;~0,79]$ au centièmes près.
\item %Peut-on affirmer que $p$ est compris dans cet intervalle de confiance ? Pourquoi ?
Non on ne peut affirmer que $p$ appartient à cet intervalle de confiance.

En prenant un très grand nombre d'échantillons, 95\,\% d'entre eux contiendraient $p$, mais pas tous. 
\end{enumerate}
\end{document}