%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{,pstricks,pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur } \lfoot{\footnotesize{Opticien --lunetier}} \rfoot{\footnotesize{juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt]Opticien --lunetier session 2008} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip %On considère l'équation différentielle (E) : $y'- y = - t$ où l'inconnue $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)\quad : \quad y'- y = 0$. On sait que les solutions sont de la forme $t \longmapsto K\text{e}^t$, où $K \in \R$. \item %Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ pour lesquels la fonction $h$ définie pour tout réel $t$ par $h(t) = at + b$ est une solution particulière de (E). Avec $h(t) = at + b$, \: $h'(t) = a$, donc $h$ est solution de (E) si et seulement si : $a - (at + b) = - t \iff -at + (a - b) = - t + 0$ d'où en identifiant : $a = 1$ et $a - b = 0 \iff a = b = 1$. La fonction $t \longmapsto t + 1$ est une solution particulière de (E). \item %En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). Les solutions de (E) sont donc les fonctions : $f\:: \: t \longmapsto t + 1 + K\text{e}^t$, où $K \in \R$. \item %Déterminer la solution de l'équation différentielle (E), dont la représentation graphique dans un repère du plan passe par le point de coordonnées (0~;~2). Il faut trouver la fonction $f$ telle que : $f(0) = 2 \iff 1 + K\text{e}^0 = 2 \iff 1 + K = 2 \iff K = 1$. La solution est donc la fonction : $f\:: \: t \longmapsto t + 1 + \text{e}^t$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 2~;~2]$ par : % %\[g(t) = t + 1 + \text{e}^t.\] \begin{enumerate} \item %Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$. La fonction $g$ (qui est la fonction de la question précédente) vérifie donc $g' - g = - t \iff $ $g' = g - t = t + 1 + \text{e}^t - t = 1 + \text{e}^t$. Comme $\text{e}^t > 0$, quel que soit le réel $t$, on a donc $g'(t) > 0$ : la fonction $g$ est strictement croissante de $g(- 2) = - 1 + \text{e}^{-2} \approx - 0,865$ à $g(2) = 3 + \text{e}^3 \approx 23,09$. \item %Montrer que l'équation $g(t) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[- 2~;~2]$. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. La fonction $g$ est continue car dérivable sur $[- 2~;~2]$ et strictement croissante de $g(-2) < 0$ à $g(2) > 0$ : il existe donc un réel unique $\alpha \in [- 2~;~2]$ tel que $g(\alpha) = 0$. La calculatrice donne : $g(-2) \approx - 0,9$ et $g(-1) \approx 0,4$, donc $- 2 < \alpha < - 1$ ; $g(-1,3) \approx - 0,03$ et $g(- 1,2) \approx 0,1$, donc $-1,3 < \alpha < - 1,2$ ; $g(-1,28) \approx - 0,002$ et $g(-1,27 \approx 0,01$, d'où $- 1,28 < \alpha < - 1,27$. \item %En déduire le signe de $g(t)$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$. On peut donc en déduire que : -- sur $[- 2~;~\alpha[, \: g(t) < 0$ ; -- sur $[\alpha~;~2], \: g(t) > 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[- 2~;~2]$ par : $f(t)= \dfrac{t \cdot \text{e}^t}{\text{e}^t + 1}$. \medskip \begin{enumerate} \item %Démontrer que pour tout $t$ de l'intervalle $[- 2~;~2]$ : $f'(t) = \dfrac{g(t) \cdot \text{e}^t}{\left(\text{e}^t +1\right)^2}$. En dérivant $f$ comme un quotient, on obtient : $f'(t) = \dfrac{\left(\text{e}^t + t\text{e}^t\right)\left(\text{e}^t + 1 \right) - \text{e}^t \times t \text{e}^t}{\left(\text{e}^t + 1 \right)^2} = \dfrac{\text{e}^{2t} + \text{e}^t + t\text{e}^{2t} + t\text{e}^t - t\text{e}^{2t}}{\left(\text{e}^{2t} + 1 \right)^2} = \dfrac{\text{e}^{2t} + \text{e}^t + t\text{e}^t }{\left(\text{e}^{2t} + 1 \right)^2} = $ $\dfrac{\text{e}^t\left(\text{e}^t + 1 + t\right)}{\left(\text{e}^{2t} + 1 \right)^2} = \dfrac{g(t) \cdot \text{e}^t}{\left(\text{e}^t +1\right)^2}$. \item %En déduire le signe de $f'(t)$ puis le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$. On sait que quel que soit $t \in \R$, $\text{e}^t > 0$ et $\left(\text{e}^t +1\right)^2 > 0$, donc le signe de $f'(t)$ est celui de $g(t)$ trouvé à la question précédente, donc : -- sur $[- 2~;~\alpha[, \: f'(t) < 0$, donc $f$ est décroissante sur cet intervalle ; -- sur $[\alpha~;~2], \: f'(t) > 0$, donc $f$ est croissante sur cet intervalle. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D} \medskip %Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. Pour dessiner un profil de branche de lunettes, on utilise la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est : \[\renewcommand{\arraystretch}{1.6} \left\{ \begin{array}{l c l c l} x &=& f(t) &=& \dfrac{t\cdot \text{e}^t}{\text{e}^t + 1}\\ y &=& g(t) &=&t +1 + \text{e}^t\\ \end{array}\right.~~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle}~ [- 2 ~;~ 2].\] \begin{enumerate} \item ~%À l'aide des résultats des parties B et C, établir un tableau des variations conjointes de $f$ et de $g$ sur $[- 2 ~;~ 2]$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,5.5) \psframe(7,5.5) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(0,4.5)(7,4.5)\psline(0,5)(7,5) \psline(1,0)(1,5.5) \uput[u](0.5,4.9){$x$} \uput[u](1.2,4.9){$-2$} \uput[u](4,4.9){$\alpha$} \uput[u](6.8,4.9){$2$} \rput(2.5,4.75){$-$}\rput(4,4.75){$0$}\rput(5.5,4.75){$+$} \rput(2.5,2.25){$+$}\rput(5.5,2.25){$+$} \rput(0.5,4.75){$g'(t)$}\rput(0.5,2.25){$f'(t)$} \rput(0.5,1){$g(t)$}\rput(0.5,3.5){$f(t)$} \psline{->}(1.5,4)(3.5,3)\psline{->}(4.5,3)(6.5,4) \psline{->}(1.5,0.5)(6.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} \item %Déterminer un vecteur directeur de la tangente $T_{1}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M_{1}$ obtenu pour la valeur $t = \alpha$. Un vecteur directeur de la tangente $T_{1}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M_{1}$ obtenu pour la valeur $t = \alpha$ a pour coordonnées $\left(f'(\alpha)~;~g'(\alpha) \right)$ soit $\approx (0~;~2,28)$. \item %Déterminer un vecteur directeur de la tangente $T_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M_{2}$ obtenu pour la valeur $t = 0$. Un vecteur directeur de la tangente $T_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M_{2}$ obtenu pour la valeur $t = 0$ a pour coordonnées $\left(f'(0)~;~g'(0)\right)$ soit $\left(\frac{1}{2}~;~2\right)$ ou $(1~;~4)$. \item %Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant. %On prendra $-1,28$ comme valeur approchée de $\alpha$. %Les valeurs seront arrondies au centième.\\ On sait que $g(\alpha) = 0$ soit $1 + \alpha + \text{e}^{\alpha} = 0 \iff \text{e}^{\alpha} = - 1 - \alpha$. Donc $f(\alpha) = \dfrac{\alpha\text{e}^{\alpha}}{\text{e}^{\alpha} + 1} = \dfrac{\alpha(- 1 - \alpha)}{- \alpha} = 1 + \alpha \approx -0,28$. \medskip \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &$-2$ &$-1,28$&0 &1 &2\\ \hline $f(t)$ &$\approx - 0,24$&$\approx - 0,28$ &0 &$\approx 0,73$ &$\approx 1,76$\\ \hline $g(t)$ &$\approx - 0,86$&0 &2 &$\approx 4,72$ &$\approx 10,38$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \item %Placer les points dont les coordonnées ont été calculées à la question précédente, tracer les droites $T_{1}$ et $T_{2}$ et la courbe $\mathcal{C}$. \begin{center} \psset{xunit=2.5cm,yunit=0.4cm} \begin{pspicture}(-2.1,-1)(2,11) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2.1,-1)(2,11) \parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{2}{t 2.78128 t exp mul 1 2.78128 t exp add div t 1 add 2.78128 t exp add} \psdots(-0.24,-0.86)(-0.28,0)(0,2)(0.73,4.72)(1.76,10.38) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \emph{Les parties A et B sont indépendantes. Les résultats sont à arrondir au centième.} \medskip Au cours d'une année, le service ophtalmologie d'un centre hospitalier a examiné \nombre{5000}~patients. Pour chaque patient, une fiche a été remplie sur laquelle sont indiqués l'âge de la personne et le diagnostic posé.\\ \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le tableau suivant donne une répartition des sujets en classes d'âge. %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline %Classe d'âge (ans)& [10 ; 20[& [20 ; 30[& [30 ; 40[& [40 ; 50[ & [50 ; 60[ & [60 ; 70[ & [70 ; 80[& [80 ; 90[\\ \hline %Effectif $n_{i}$&400& 600& 750& \np{1000}& 800& 650& 450& 350\\ \hline %\end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item %On prélève une fiche au hasard dans le fichier. On note $A$ et $B$ les évènements suivants : %$A$ : la fiche prélevée est celle d'un sujet dont l'âge est strictement inférieur à 40~ans. %$B$ : la fiche prélevée est celle d'un sujet dont l'âge est supérieur ou égal à 20~ans. \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$, $B$ et $A \cap B$. Il y a $400 + 600 + 750 = \np{1750}$ patients dont l'âge est strictement inférieur à 40~ans. $p(A) = \dfrac{\np{1750}}{\np{5000}} = 0,35$. Il y a $\np{5000} - 400 = \np{4600}$ patients dont l'âge est supérieur ou égal à 20~ans. $p(B) = \dfrac{\np{4600}}{\np{5000}} = 0,92$. Il y a $600 + 750 = \np{1350}$ patients de au moins 20 ans et de moins de 40 ans. $p(A \cap B) = \dfrac{\np{1350}}{\np{5000}} = 0,27$. \item %Calculer la probabilité que $A$ soit réalisé sachant que $B$ est réalisé. On a $p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0,27}{0,92} \approx 0,293$ soit 0,29 au centième près. \end{enumerate} \item %On prélève au hasard et avec remise 40~fiches dans le fichier. Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de 40~fiches le nombre de fiches correspondant à des sujets dont l'âge est supérieur ou égal à 80 ans. \begin{enumerate} \item %Justifier que la variable $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. On a $p(X \geqslant 80) = \dfrac{350}{\np{5000}} = 0,07$. Les prélèvements étant indépendants les uns des autres la variable $X$ sui la loi binomiale $\mathcal{B}(40~;~0,07)$. \item %Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de $X$. On a $E = n \times 9 = 40 \times 0,07 = 2,8$. L'écart-type est égal à $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)} =\sqrt{40 \times 0,07 \times 0,93} \approx 1,61$. \item %Calculer la probabilité de l'évènement : ($X = 3$). On a $p(X = 3) = \binom{40}{3}0,07^3 \times (1 - 0,07)^{40 - 3}\approx 0,231$ soit 0,23 au centième près. \end{enumerate} \item %On considère que la loi suivie par $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. \begin{enumerate} \item %Calculer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. Les deux lois ayant la même espérance on a $\lambda np = 0,28$. \item %On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $X$. Calculer la probabilité de l'évènement : ($Y = 3$). On a $p(Y = 3) = \dfrac{\text{e}^{- 2,8} \times 2,8^3}{3!} \approx 0,222$ soit 0,22 au centième près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %Parmi les pathologies rencontrées chez les \nombre{5000}~patients figure l'aniséïconie\footnote{L'aniséïconie se définit comme la perception d'images différentes en taille et/ou en forme par les deux yeux fixant un même objet.}. % %On considère un échantillon de 60~fiches prélevées au hasard dans le fichier des patients. Le nombre de fiches du fichier est assez important pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. % %On constate que 15~fiches de cet échantillon signalent une aniséïconie. \medskip \begin{enumerate} \item %Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des fiches du fichier qui signalent une aniséïconie. L'estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ est donnée par l'échantillon, donc $p = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4} = 0,25$. \item %Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 60~fiches prélevées au hasard et avec remise dans le fichier, associe la fréquence des fiches qui signalent une aniséïconie. On admet que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{60}}$, où $p$ désigne la fréquence inconnue des fiches du fichier qui signalent une aniséïconie. %Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ au seuil de confiance 95\,\%. On a $\Pi(t) = 1 \dfrac{\alpha}{2}$, avec $\alpha$ facteur de risque. On a $\alpha = 0,05$, d'où $\Pi(t) = 0,975$. En utilisant la table de la loi normale centrée réduite on trouve $t = 1,96$. L'intervalle de confiance au seuil de confiance 95\,\% est égal à : $\left[p - t\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + t\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right] \approx [0,14~;~0,36]$. \end{enumerate} \end{document}