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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien --lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt]Opticien --lunetier session 2008}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère l'équation différentielle (E) :  $y'- y = - t$ où l'inconnue $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)\quad : \quad  y'- y = 0$.
On sait que les solutions sont de la forme $t \longmapsto K\text{e}^t$, où $K \in \R$.
\item %Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ pour lesquels la fonction $h$ définie pour tout réel $t$ par $h(t) = at + b$ est une solution particulière de (E).
Avec $h(t) = at + b$, \: $h'(t) = a$, donc $h$ est solution de (E) si et seulement si :

$a - (at + b) = - t \iff -at + (a - b) = - t + 0$ d'où en identifiant :

$a = 1$ et $a - b = 0 \iff a = b = 1$.

La fonction $t \longmapsto t + 1$ est une solution particulière de (E).
\item %En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
Les solutions de (E) sont donc les fonctions :

$f\:: \: t \longmapsto t + 1 + K\text{e}^t$, où $K \in \R$.
\item %Déterminer la solution de l'équation différentielle (E), dont la représentation graphique dans un repère du plan passe par le point de coordonnées (0~;~2).
Il faut trouver la fonction $f$ telle que :

$f(0) = 2 \iff 1 + K\text{e}^0 = 2 \iff 1 + K = 2 \iff K = 1$.

La solution est donc la fonction : $f\:: \: t \longmapsto t + 1 + \text{e}^t$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 2~;~2]$  par : 
%
%\[g(t) = t + 1 + \text{e}^t.\]

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$.
La fonction $g$ (qui est la fonction de la question précédente) vérifie donc $g' - g = - t \iff $

$g' = g - t = t + 1 + \text{e}^t - t = 1 + \text{e}^t$.

Comme $\text{e}^t > 0$, quel que soit le réel $t$, on a donc $g'(t) > 0$ : la fonction $g$ est strictement croissante de $g(- 2) = - 1 + \text{e}^{-2} \approx - 0,865$ à $g(2) = 3 + \text{e}^3 \approx 23,09$.
\item %Montrer que l'équation $g(t) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[- 2~;~2]$. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
La fonction $g$ est continue car dérivable sur $[- 2~;~2]$ et strictement croissante de $g(-2) < 0$ à $g(2) > 0$ : il existe donc un réel unique $\alpha \in [- 2~;~2]$ tel que $g(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne :

$g(-2) \approx - 0,9$ et $g(-1) \approx 0,4$, donc $- 2 < \alpha < - 1$ ;

$g(-1,3) \approx - 0,03$ et $g(- 1,2) \approx 0,1$, donc $-1,3 < \alpha < - 1,2$ ;

$g(-1,28) \approx - 0,002$ et $g(-1,27 \approx 0,01$, d'où $- 1,28 < \alpha < - 1,27$.
\item %En déduire le signe de $g(t)$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$.
On peut donc en déduire que : 

-- sur $[- 2~;~\alpha[, \: g(t) < 0$ ;

-- sur $[\alpha~;~2], \: g(t) > 0$.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 2~;~2]$ par : $f(t)= \dfrac{t \cdot \text{e}^t}{\text{e}^t + 1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout $t$ de l'intervalle $[- 2~;~2]$ :  $f'(t) = \dfrac{g(t) \cdot  \text{e}^t}{\left(\text{e}^t +1\right)^2}$.
En dérivant $f$ comme un quotient, on obtient :

$f'(t) = \dfrac{\left(\text{e}^t + t\text{e}^t\right)\left(\text{e}^t + 1 \right) - \text{e}^t \times t \text{e}^t}{\left(\text{e}^t + 1 \right)^2} = \dfrac{\text{e}^{2t} + \text{e}^t + t\text{e}^{2t} + t\text{e}^t - t\text{e}^{2t}}{\left(\text{e}^{2t}  + 1 \right)^2} = \dfrac{\text{e}^{2t} + \text{e}^t  + t\text{e}^t }{\left(\text{e}^{2t}  + 1 \right)^2} = $

$\dfrac{\text{e}^t\left(\text{e}^t + 1 + t\right)}{\left(\text{e}^{2t}  + 1 \right)^2} = \dfrac{g(t) \cdot  \text{e}^t}{\left(\text{e}^t +1\right)^2}$.
\item %En déduire le signe de $f'(t)$ puis le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$.
On sait que quel que soit $t \in \R$, $\text{e}^t > 0$ et $\left(\text{e}^t +1\right)^2 > 0$, donc le signe de $f'(t)$ est celui de $g(t)$ trouvé à la question précédente, donc :

-- sur $[- 2~;~\alpha[, \: f'(t) < 0$, donc $f$ est décroissante sur cet intervalle ;

-- sur $[\alpha~;~2], \: f'(t) > 0$, donc $f$ est croissante sur cet intervalle.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

%Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. Pour dessiner un profil de branche de lunettes, on utilise la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est :

\[\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\left\{ \begin{array}{l c l c l}
x &=& f(t) 	&=& \dfrac{t\cdot \text{e}^t}{\text{e}^t + 1}\\
y &=& g(t)	&=&t +1 + \text{e}^t\\
\end{array}\right.~~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle}~ [- 2 ~;~ 2].\]

\begin{enumerate}
\item ~%À l'aide des résultats des parties B et C, établir un tableau des variations conjointes de $f$ et de $g$ sur $[- 2 ~;~ 2]$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.5)
\psframe(7,5.5)
\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(0,4.5)(7,4.5)\psline(0,5)(7,5)
\psline(1,0)(1,5.5)
\uput[u](0.5,4.9){$x$} \uput[u](1.2,4.9){$-2$} \uput[u](4,4.9){$\alpha$} \uput[u](6.8,4.9){$2$}
\rput(2.5,4.75){$-$}\rput(4,4.75){$0$}\rput(5.5,4.75){$+$} 
\rput(2.5,2.25){$+$}\rput(5.5,2.25){$+$} 
\rput(0.5,4.75){$g'(t)$}\rput(0.5,2.25){$f'(t)$}
\rput(0.5,1){$g(t)$}\rput(0.5,3.5){$f(t)$}
\psline{->}(1.5,4)(3.5,3)\psline{->}(4.5,3)(6.5,4)
\psline{->}(1.5,0.5)(6.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Déterminer un vecteur directeur de la tangente $T_{1}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M_{1}$ obtenu pour la valeur $t = \alpha$.
Un vecteur directeur de la tangente $T_{1}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M_{1}$ obtenu pour la valeur $t = \alpha$ a pour coordonnées $\left(f'(\alpha)~;~g'(\alpha) \right)$ soit $\approx (0~;~2,28)$.
\item %Déterminer un vecteur directeur de la tangente $T_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M_{2}$ obtenu pour la valeur $t = 0$.
Un vecteur directeur de la tangente $T_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M_{2}$ obtenu pour la valeur $t = 0$ a pour coordonnées $\left(f'(0)~;~g'(0)\right)$ soit 
$\left(\frac{1}{2}~;~2\right)$ ou $(1~;~4)$.
\item %Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant.

%On prendra $-1,28$ comme valeur approchée de $\alpha$.

%Les valeurs seront arrondies au centième.\\
On sait que $g(\alpha) = 0$ soit $1 + \alpha + \text{e}^{\alpha} = 0 \iff \text{e}^{\alpha} = - 1 - \alpha$.

Donc $f(\alpha) = \dfrac{\alpha\text{e}^{\alpha}}{\text{e}^{\alpha} + 1} = \dfrac{\alpha(- 1 - \alpha)}{- \alpha} = 1 + \alpha \approx -0,28$.

\medskip

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&$-2$	&$-1,28$&0	&1	&2\\ \hline
$f(t)$	&$\approx - 0,24$&$\approx - 0,28$	&0	&$\approx 0,73$	&$\approx 1,76$\\ \hline
$g(t)$	&$\approx - 0,86$&0					&2	&$\approx 4,72$	&$\approx 10,38$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item %Placer les points dont les coordonnées ont été calculées à la question précédente, tracer les droites $T_{1}$ et $T_{2}$ et la courbe $\mathcal{C}$.

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-2.1,-1)(2,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2.1,-1)(2,11)
\parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{2}{t 2.78128 t exp mul  1 2.78128 t exp add div t 1 add 2.78128 t exp add}
\psdots(-0.24,-0.86)(-0.28,0)(0,2)(0.73,4.72)(1.76,10.38)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes. Les résultats sont à arrondir au centième.}

\medskip

Au cours d'une année, le service ophtalmologie d'un centre hospitalier a examiné \nombre{5000}~patients. Pour chaque patient, une fiche a été remplie sur laquelle sont indiqués l'âge de la personne et le diagnostic posé.\\

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant donne une répartition des sujets en classes d'âge.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
%Classe d'âge (ans)& [10 ; 20[& 	[20 ; 30[&	[30 ; 40[&	[40 ; 50[ &	[50 ; 60[ &	[60 ; 70[ &	[70 ; 80[&	[80 ; 90[\\ \hline
%Effectif $n_{i}$&400&	600&	750&	\np{1000}&	800&	650&	450&	350\\ \hline
%\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %On prélève une fiche au hasard dans le fichier. On note $A$ et $B$ les évènements suivants :

%$A$ : la fiche prélevée est celle d'un sujet dont l'âge est strictement inférieur à 40~ans.

%$B$ : la fiche prélevée est celle d'un sujet dont l'âge est supérieur ou égal à 20~ans. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$, $B$ et $A \cap B$.
Il y a $400 + 600 + 750 = \np{1750}$ patients dont l'âge est strictement inférieur à 40~ans. 

$p(A) = \dfrac{\np{1750}}{\np{5000}} = 0,35$.

Il y a $\np{5000} - 400 = \np{4600}$ patients dont l'âge est supérieur ou égal à 20~ans. 

$p(B) = \dfrac{\np{4600}}{\np{5000}} = 0,92$.

Il y a $600 + 750 = \np{1350}$ patients de au moins 20 ans et de moins de 40  ans. 

$p(A \cap B) = \dfrac{\np{1350}}{\np{5000}} = 0,27$.
		\item  %Calculer la probabilité que $A$ soit réalisé sachant que $B$ est réalisé.
		On a $p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0,27}{0,92} \approx 0,293$ soit 0,29 au centième près.
	\end{enumerate}
\item  %On prélève au hasard et avec remise 40~fiches dans le fichier. Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de 40~fiches le nombre de fiches correspondant à des sujets dont l'âge est supérieur ou égal à 80 ans. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la variable $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On a $p(X \geqslant 80) = \dfrac{350}{\np{5000}} = 0,07$.
		
Les prélèvements étant indépendants les uns des autres la variable $X$ sui la loi binomiale $\mathcal{B}(40~;~0,07)$.
		\item  %Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de $X$.
On a $E = n \times 9 = 40 \times 0,07 = 2,8$.

L'écart-type est égal à $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)} =\sqrt{40 \times 0,07 \times 0,93} \approx 1,61$.
		\item  %Calculer la probabilité de l'évènement : ($X = 3$).
On a $p(X = 3) = \binom{40}{3}0,07^3 \times (1 - 0,07)^{40 - 3}\approx 0,231$ soit 0,23 au centième près.
	\end{enumerate}
\item  %On considère que la loi suivie par $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. 

	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.
Les deux lois ayant la même espérance on a $\lambda np = 0,28$.
		\item  %On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $X$. Calculer la probabilité de l'évènement : ($Y = 3$).
On a $p(Y = 3) = \dfrac{\text{e}^{- 2,8} \times 2,8^3}{3!} \approx 0,222$ soit 0,22 au centième près.	
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Parmi les pathologies rencontrées chez les \nombre{5000}~patients figure l'aniséïconie\footnote{L'aniséïconie se définit comme la perception d'images différentes en taille et/ou en forme par les deux yeux fixant un même objet.}.
%
%On considère un échantillon de 60~fiches prélevées au hasard dans le fichier des patients. Le nombre de fiches du fichier est assez important pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
%
%On constate que 15~fiches de cet échantillon signalent une aniséïconie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des fiches du fichier qui signalent une aniséïconie.
L'estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ est donnée par l'échantillon, donc 

$p = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4} = 0,25$.
\item %Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 60~fiches prélevées au hasard et avec remise dans le fichier, associe la fréquence des fiches qui signalent une aniséïconie. On admet que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{60}}$, où $p$ désigne la fréquence inconnue des fiches du fichier qui signalent une aniséïconie.

%Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ au seuil de confiance 95\,\%.
On a $\Pi(t) = 1 \dfrac{\alpha}{2}$, avec $\alpha$ facteur de risque. On a $\alpha = 0,05$, d'où $\Pi(t) = 0,975$.

En utilisant la table de la loi normale centrée réduite on trouve $t = 1,96$.

L'intervalle de confiance au seuil de confiance 95\,\% est égal à :

$\left[p - t\sqrt{\dfrac{p(1  - p)}{n}}~;~p + t\sqrt{\dfrac{p(1  - p)}{n}}\right] \approx [0,14~;~0,36]$.
\end{enumerate}
\end{document}