\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx,colortbl,xcolor} \usepackage{textcomp} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Ronan Charpentier \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Opticien-lunetier}, pdftitle = {mai 2023}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{tikz} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\footnotesize Corrigé du brevet de technicien supérieur } \lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}} \rfoot{\footnotesize{15 mai 2023}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur Opticien--lunetier~\decofourright\\[5pt]15 mai 2023} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip On s'intéresse à une entreprise qui commercialise des montures de lunettes. \medskip \textbf{Partie A - Etude d'une série statistique.} \medskip Le graphique ci-dessous représente l'évolution des ventes d'un modèle de monture de lunettes depuis l'année 2017. \begin{center} \begin{tikzpicture} \foreach \y in {250,270,290,310,330,350,370,390,410,430} \draw(10,{(\y-250)/40})--(0,{(\y-250)/40})node[left]{$\y$}; \foreach \x in {0,1,2,3,4,5} \draw({2*\x},4.5)--({2*\x},-0.1)node[below]{$\x$}; \draw(0,{(275-250)/40})node{\Large $\bullet$}; \draw(2,{(370-250)/40})node{\Large $\bullet$}; \draw(4,{(383.5-250)/40})node{\Large $\bullet$}; \draw(6,{(406.5-250)/40})node{\Large $\bullet$}; \draw(8,{(408.6-250)/40})node{\Large $\bullet$}; \draw(10,{(413-250)/40})node{\Large $\bullet$}; \draw(5,-1)node{$t$ : rang de l'année à partir de 2017}; %\draw(-2,2.3)node{$N$ : nombre de}; %\draw(-2,2)node{montures}; \draw(1.3,5.05)node{$N$ : nombre de montures}; \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item %Expliquer pourquoi Le nuage de points n'est pas rectiligne donc un ajustement affine de $N$ en $t$ n'est pas pertinent. \medskip \item On effectue le changement de variable $z=\ln(415-N)$. On obtient alors le tableau suivant : \smallskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 2017 & 2018 & 2019 & 2020 & 2021 & 2022 \\ \hline $t$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline $z$ & 4,94 & 3,81 & 3,45 & 2,14 & 1,86 & 0,77 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item A l'aide de la calculatrice le coefficient de corrélation linéaire de la série $(t~;~z)$ est $r\approx -0,989$. \item Ce coefficient est proche de -1 donc un ajustement affine de $z$ en $t$ est pertinent. \end{enumerate} \medskip \item A l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$ est $z = -0,80t + 4,83$. \medskip \item De $z=-0,80t+4,83$ on déduit $\ln(415-N)=-0,80t+4,83$ donc $415-N=\text{e}^{-0,80t+4,83}$ et $N=415 - \text{e}^{-0,80t} \times \text{e}^{4,83}$ soit $N=415-C \text{e}^{-0,8t}$ où $C=\text{e}^{4,83}\approx 125$. \medskip \item On suppose que l'évolution constatée se poursuit, alors le nombre de montures vendues en 2023 sera $N=415-125 \text{e}^{-0,8 \times 6}\approx 414$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Résolution d'une équation différentielle.} \medskip \begin{enumerate} \item Les solutions de l'équation différentielle $(E_0) \: : \: 5y'+4y=0$ sont les fonctions $y=k\text{e}^{-0,8t}$ où $k$ est une constante. \item La fonction constante $g(t)=c$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ si $5 g'(t)+4 g(t)=1660$ soit $5 \times 0+4c=1660$ donc pour $c=415$ la fonction $g(t)=415$ est solution de $(E)$. \medskip \item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont alors $y=k\text{e}^{-0,8t}+415$. \medskip \item $f(0)=290 \iff k\text{e}^{-0,8\times 0}+415=290 \iff k=-125$, la solution $f$ de $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0)=290$ est $f(t)=-125\text{e}^{-0,8t}+415$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Étude d'une fonction.} \medskip On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $f(t)=415-125 \text{e}^{-0,8t}.$ On admet que cette fonction modélise l'évolution du nombre de montures vendues en fonction du temps : \begin{itemize} \item[\:\:]$t$ désigne le temps écoulé, en années, à partir de l'année 2017. \item[\:\:]$f(t)$ désigne le nombre de montures vendues. \end{itemize} On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$. Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants. Ces résultats sont admis et peuvent être utilisés dans les questions suivantes. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.9] \draw[fill=gray!30,draw=gray!30](0,0)rectangle(1,7.2); \draw(0.5,6.3)node{\Large 1}; \draw(0.5,4.5)node{\Large 2}; \draw(0.5,3)node{\Large 3}; \draw[fill=white,draw=gray!60](0.5,2.4)circle(0.2); \draw(0.5,0.9)node{\Large 4}; \draw(0,0)--(10,0)--(10,7.2)--(0,7.2)--cycle; \draw(0,1.8)--(10,1.8); \draw(0,3.6)--(10,3.6); \draw(0,5.4)--(10,5.4); \draw(1.25,6.8)node[right]{dérivée$(415-125\text{e}^{-0,8t})$}; \draw[->,>=latex,line width=1pt](1.25,5.7)--(1.75,5.7); \draw(1.8,6)node[right]{\textbf{$100 \text{e}^{\dfrac{-4}5 t}$}}; \draw(1.25,5)node[right]{intégrale$(415-125\text{e}^{-0,8t},t)$}; \draw[->,>=latex,line width=1pt](1.25,4.05)--(1.75,4.05); \draw(1.8,4.2)node[right]{\textbf{$\dfrac{625}{4} \text{e}^{\dfrac{-4}5 t}+415t+c_1$}}; \draw(1.25,3.2)node[right]{Limite$(415-125\text{e}^{-0,8t},\infty)$}; \draw[->,>=latex,line width=1pt](1.25,2.1)--(1.75,2.1); \draw(1.8,2.1)node[right]{\textbf{$415$}}; \draw(1.25,1.4)node[right]{PolynômeTaylor$(415-125\text{e}^{-0,8t},t,0,2)$}; \draw[->,>=latex,line width=1pt](1.25,0.3)--(1.75,0.3); \draw(1.8,0.35)node[right]{\textbf{$290+100 t-40 t^2$}}; \end{tikzpicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=415$ donc la courbe $\mathcal{C}$ admet en $+\infty$ une asymptote d'équation $y=415$, ce qui signifie qu'à long terme le nombre de montures se rapprochera de 415. \medskip \item $f'(t)=100 \text{e}^{-0,8t}$ or $\text{e}^{-0,8t}>0$ donc $f'(t)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0;+\infty[$. \medskip \item On note $T$ la tangente à la courbe de $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. La situation 2 représente correctement la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $T$ au voisinage de zéro. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.9] \draw(0,0)--(3,0)--(3,1)--(0,1)--cycle; \draw(1.5,0.5)node{Situation 1}; \draw(0.5,1.5)--(2,3); \draw(2,3)node[above right]{$T$}; \draw[samples=100,domain=0:1.5]plot({0.5+\x},{1.5+\x+\x*\x/4}); \draw(2,3.75)node[left]{$\mathcal{C}$}; \draw(5,0)--(8,0)--(8,1)--(5,1)--cycle; \draw(6.5,0.5)node{Situation 2}; \draw(5.5,1.5)--(7,3); \draw(7,3)node[above right]{$T$}; \draw[samples=100,domain=0:1.75]plot({5.5+\x},{1.5+\x-\x*\x/4}); \draw(7.25,2.5)node[right]{$\mathcal{C}$}; \draw(10,0)--(13,0)--(13,1)--(10,1)--cycle; \draw(11.5,0.5)node{Situation 3}; \draw(10.5,1.5)--(12,3); \draw(12,3)node[above right]{$T$}; \draw[samples=100,domain=0:2]plot({10.5+\x},{1.5+\x*\x/4}); \draw(12.5,2.5)node[right]{$\mathcal{C}$}; \end{tikzpicture} \end{center} \textit{D'une part l'équation de $T$ est $y=290+100t$, d'autre part la courbe $\mathcal{C}$ est en-dessous de $T$ car $-40t^2 \leqslant 0$.} \end{enumerate} \newpage \textbf{Partie D - Étude d'une suite.} \medskip On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_0=3000$, et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,9 u_n+500.$ La suite $(u_n)$ représente l'évolution du nombre de clients de l'entreprise. Ainsi $u_n$ correspond au nombre de clients durant l'année 2017+$n$. \medskip \begin{enumerate} \item Le nombre de clients lors de l'année 2018 est $u_1=0,9 u_0+500=0,9 \times 3000+500=3200$. \medskip \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-5000$. $v_{n+1}=u_{n+1}-5000=0,9 u_n +500 -5000=0,9 u_n -4500 =0,9(u_n-5000)=0,9 v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,9. \medskip \item On sait que $v_0=u_0-5000=3000-5000=-2000$ et que $(v_n)$ est géométrique de raison 0,9 donc $v_n=-2000 \times 0,9^n$ pour tout entier naturel $n$. \medskip \item Alors $u_n=v_n+5000=-20000 \times 0,9 +5000$ pour tout entier naturel $n$ soit $u_n=5000-2000\times 0,9^n.$ \medskip \item Le nombre de clients lors de l'année 2023 est $u_6=5000 -2000 \times 0,9^6 \approx 3937$. \medskip \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l|} \hline \texttt{n}$\leftarrow$\texttt{0} \\ \texttt{u}$\leftarrow$\texttt{3000} \\ \texttt{Tant que u}$\leqslant$\texttt{4000} \\ \hspace{1cm}\texttt{n}$\leftarrow$\texttt{n+1} \\ \hspace{1cm}\texttt{u}$\leftarrow$\texttt{0,9*u+500} \\ \texttt{Fin Tant que}\\ \hline \end{tabular} \end{center} La valeur de la variable $n$ après l'exécution de l'algorithme est $n=7$ (car $u_6 \approx 3937$ et $u_7 \approx 4043$) ce qui signifie que le premier terme de $(u_n)$ qui dépasse le seuil 4000 est $u_7$, le nombre de clients de l'entreprise dépassera 4000 à partir de 2024. \end{enumerate} \textit{Remarque : l'énoncé original initialisait \texttt{n} à \texttt{1}, à la première ligne de l'algorithme.} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip Une usine fabrique des verres ophtalmiques à partir de verres semi-finis. \medskip \textbf{Partie A - Probabilités conditionnelles.} \medskip \begin{enumerate} \item On a complété l'arbre de probabilités. \medskip \begin{center} \begin{tikzpicture} \draw(0,0)--(3,2)node[right]{$F_1$};\draw(1.5,1.4)node{$0,3$}; \draw(0,0)--(3,0)node[right]{$F_2$};\draw(1.5,.2)node{$0,6$}; \draw(0,0)--(3,-2)node[right]{$F_3$};\draw(1.5,-1.4)node{$0,1$}; \draw(4,2)--(7,2.5)node[right]{$D$};\draw(5.5,2.5)node{$0,03$}; \draw(4,2)--(7,1.5)node[right]{$\overline{D}$};\draw(5.5,1.45)node{$0,97$}; \draw(4,0)--(7,0.5)node[right]{$D$};\draw(5.5,0.56)node{$0,04$}; \draw(4,0)--(7,-0.5)node[right]{$\overline{D}$};\draw(5.5,-0.6)node{$0,96$}; \draw(4,-2)--(7,-1.5)node[right]{$D$};\draw(5.5,-1.5)node{$0,02$}; \draw(4,-2)--(7,-2.5)node[right]{$\overline{D}$};\draw(5.5,-2.55)node{$0,98$}; \end{tikzpicture} \end{center} \medskip \item $P\left(F_1 \cap D\right)=P(F_1) \times P_{F_1}(D)=0,3 \times 0,03=0,009$. \medskip \item La probabilité que le verre semi-fini soit défectueux est $P(D)=P(F_1 \cap D)+P(F_2 \cap D)+P(F_2 \cap D)=0,009+0,6 \times 0,04 + 0,1 \times 0,02=0,035$. \medskip \item On sait que le verre semi-fini est défectueux. La probabilité qu'il provienne du premier fournisseur est $P_D(F_1)=\dfrac{P(D \cap F_1)}{P(D)}=\dfrac{0,009}{0,035}\approx 0,257$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Loi binomiale et loi normale.} \medskip On estime que 3,5 \,\% des verres semi-finis du stock de l'usine sont défectueux. On prélève un échantillon aléatoire de 200 verres semi-finis dans le stock de l'usine. On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de verres semi-finis défectueux au sein de l'échantillon. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Les paramètres de la loi de $X$ sont $n=200$ et $p=0,035$. \item D'après la calculatrice, $P(6 \leqslant X \leqslant 10) \approx 0,609$. \end{enumerate} \medskip \item \begin{enumerate} \item On approche la loi de $X$ par la loi normale de même espérance $\mu=np=200 \times 0,035=7$ et de même écart-type $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{200 \times 0,035 \times 0,965}\approx 2,599$. \item On considère une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale d'espérance 7 et d'écart type 2,6. Alors $P(5,5 \leqslant Y \leqslant 10,5)\approx 0,629$ ce qui signifie que la probabilité qu'entre 6 et 10 verres soient défectueux est $0,629$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Loi exponentielle.} \medskip On s'intéresse au standard téléphonique de l'usine. On considère $T$ la variable aléatoire qui, à chaque appel au standard, associe le temps d'attente, en minutes. On admet que $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,2$. \medskip \begin{enumerate} \item L'espérance de la variable aléatoire $T$ est $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{0,2}=5$, le temps d'attente moyen est 5 minutes. \medskip \item On considère un appel au standard, choisi au hasard. La probabilité que le temps d'attente correspondant à cet appel soit compris entre 2 et 4 minutes est $P(2 < T<4)=P(T<4)-P(T<2)=1- \text{e}^{-0,2 \times 4} - \left( 1- \text{e}^{-0,2 \times 2} \right)=\text{e}^{-0,4} -\text{e}^{-0,8}\approx 0,221$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D - Estimation} \medskip L'usine souhaite estimer la proportion $p$ de clients satisfaits d'un nouveau verre. Sur un échantillon de 100 clients choisis au hasard, 80 d'entre eux ont déclaré être satisfaits. \medskip \begin{enumerate} \item Une estimation ponctuelle de la proportion $p$ est $f=\dfrac{80}{100}=0,8$. \medskip \item Une estimation de $p$ par un intervalle de confiance avec le coefficient de confiance 90 \,\% est $\left[ f -1,65 \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}};f +1,65 \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} \right] = \left[ 0,8 -1,65 \sqrt{\dfrac{0,8 \times 0,2}{100}};0,8 +1,65 \sqrt{\dfrac{0,2\times 0,8}{100}} \right] = [0,734~;~0,866]$. \item $1,65 \sqrt{\dfrac{0,16}{n}}\leqslant 0,03 \iff \sqrt{\dfrac{0,16}{n}}\leqslant \dfrac{0,03}{1,65} \iff \dfrac{0,16}{n} \leqslant \left(\dfrac{3}{165}\right)^2 \iff \dfrac{n}{0,16} \geqslant 55^2$ $\phantom{1,65 \sqrt{\dfrac{0,16}{n}}\leqslant 0,03} \iff n \geqslant 0,16 \times 3025 \iff n \geqslant 484$, ce qui signifie que pour avoir un IC de rayon inférieur à $0,03$ il faudrait calculer l'IC à partir d'un échantillon d'au moins 484 verres, à condition que l'estimation ponctuelle reste la même. \end{enumerate} \end{document}