\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx,colortbl,xcolor} \usepackage{textcomp} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Ronan Charpentier & François Hache %Corrigé : François Hache \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Opticien-lunetier}, pdftitle = {mai 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} \usepackage{pst-all,pst-func} \usepackage{multicol} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur } \lfoot{\footnotesize{Opticien-lunetier -- corrigé}} \rfoot{\footnotesize{14 mai 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Opticien--lunetier~\decofourright\\[5pt]14 mai 2024} \end{center} %\textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\ %L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg{} est autorisé.} \vspace{0.5cm} \textbf{\Large{}Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Pour fabriquer des montures, on chauffe un matériau à 150°C puis on le sort du four et on le laisse refroidir à température ambiante (28°C). %\begin{center} %\textit{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.} %\end{center} \medskip \textbf{Partie A - Étude d'une série statistique} \medskip Pour étudier le refroidissement du matériau, on a réalisé des relevés de température et réalisé un croquis. \medskip \begin{minipage}{0.5\linewidth} \setlength{\tabcolsep}{1pt} \small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.1cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Temps $t$\newline (minutes)&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline Température\newline $y$ (°C) &150&113&82&65&52&44&40\\ \hline \end{tabularx} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.47\linewidth} \scalebox{0.8}{ \psset{xunit=1cm, yunit=0.025} \def\xmin {-1} \def\xmax {7} \def\ymin {-20} \def\ymax {160} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[xunit=1cm,yunit=0.5cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \psaxes[ticksize=0pt 0pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){O} \listplot[plotstyle=dots,linecolor=blue]{0 150 1 113 2 82 3 65 4 52 5 44 6 40} \uput[l](0,150){\footnotesize $150\degres$C} \uput[d](1,0){\footnotesize 1 min} \uput[d](2,0){\footnotesize 2 min} \end{pspicture*} } \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item Les points du nuage ne sont pas alignés, donc un ajustement affine de $y$ en $t$ n'est pas pertinent. \item On pose $z=\ln(y-28)$. On complète le tableau en arrondissant les valeurs de $z$ au centième. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Temps $t$ (minutes)&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline Température $y$ (°C)&150&113&82&65&52&44&40\\ \hline $z=\ln(y-28)$ & $4,80$ & $4,44$& $\blue 3,99$ & $\blue 3,61$ & $\blue 3,18$ & $\blue 2,77$ & $\blue 2,48$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On note $r$ le coefficient de corrélation de la série $(t\;;\;z)$. On sait que $r\approx -0,999$. %Sur la base de cette information, répondre aux deux questions suivantes en justifiant. \begin{enumerate} \item La corrélation de la série $(t\;;\;z)$ est très bonne car la valeur absolue du coefficient de corrélation est très proche de 1. \item Le nuage de points $(t\;;\;z)$ a une allure décroissante car $r<0$. \end{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, on donne une équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$, selon la méthode des moindres carrés: $z=-0,4t + 4,8$. %Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{-1}$. \item On en déduit une expression de $y$ en fonction de $t$. $z=-0,4t + 4,8$ et $z=\ln(y-28)$ donc: $\ln(y-28) = -0,4t +4,8$ donc $y-28 = \e^{-0,4t+4,8}$ donc $y= \e^{-0,4t} \times \e^{4,8}+28$ $\e^{4,8} \approx 121,51$ donc on prendra $y=122\e^{-0,4t}+28$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - \'Equation différentielle.} \medskip On considère l'équation différentielle : $(E) \: : \: 5y'+2y=56$. %où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ , %et où $y'$ est sa fonction dérivée. %\medskip \begin{enumerate} \item Soit l'équation différentielle $(E_0) \: : \: 5y'+2y=0.$ %On fournit la formule suivante : % %\begin{center} %\begin{tabular}{|c|c|} %\hline %Équation différentielle & Solutions sur un intervalle $I$ \\ %\hline %$ay'+by=0$ & $\rule[-8pt]{0pt}{24pt}f(t)=k \text{e}^{- \frac{b}{a} t}$ \\ %\hline %\end{tabular} %\end{center} L'équation différentielle $ay'+by=0$ a pour solutions les fonctions $f$ définie par\\ $f(t)=k \e^{- \frac{b}{a} t}$, donc l'équation différentielle $5y'+2y=0$ a pour solutions les fonctions $f$ définies sur $[0\;;\;+\infty[$ par $f(t)=k \e^{-\frac{2}{5}t}$ soit $f(t)=k\e^{-0,4t}$ où $k$ est un réel. \item Soit $A$ un nombre réel. On considère la fonction constante $g$, définie par $g(t)=A$. Pour que la fonction $g$ soit solution de l'équation différentielle $(E)$ il faut que:\\ $5g'(t) +2g(t)=56$. $g(t)=A$ et $g'(t)=0$, donc $2A=56$ donc $A=28$. \item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont donc les fonctions définies par \\ $f(t)= k\e^{-0,4t}+A$ soit $f(t)= k\e^{-0,4t}+28$, où $k$ est un réel. \item %La fonction $f$, solution de l'équation différentielle $(E)$, qui vérifie la condition initiale $f(0)=150$. $f(0)=150 \iff k\e^{0}+28=150 \iff k=150-28\iff k=122$ La fonction $f$, solution de l'équation différentielle $(E)$, qui vérifie la condition initiale $f(0)=150$ est donc définie par $f(t)=122\e^{-0,4t}+28$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Étude de fonction} \medskip On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $f(t)=122 \e^{-0,4t}+28.$ On admet que la fonction $f$ modélise l'évolution de la température du matériau au fil du temps : ainsi, $f(t)$ représente la température, en degrés Celsius, $t$ minutes après la sortie du four. %\medskip \begin{enumerate} \item %Donner la limite de $f$ en $+\infty$. Ce résultat est-il cohérent avec le contexte de l'exercice ? $\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$ et $\ds\lim_{t\to +\infty} -0,4t = -\infty$ donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,4t} = 0$ On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)=28$. Ce résultat est cohérent car la température ambiante est de 28\degres{}C. \item On cherche à partir de quel instant la température du matériau devient inférieure à 50°C. \begin{enumerate} \item %Montrer que cela revient à résoudre l'inéquation: $\text{e}^{-0,4t} \leqslant \dfrac{11}{61}$. La température du matériau devient inférieure à 50°C signifie que: $f(t)\leqslant 50 \iff 122 \e^{-0,4t}+28 \leqslant 50 \iff 122 \e^{-0,4t} \leqslant 22 \iff \e^{-0,4t} \leqslant \dfrac{22}{122}\\ \phantom{f(t)\leqslant 50} \iff \e^{-0,4t} \leqslant \dfrac{11}{61}$ \item %Résoudre cette inéquation, puis déterminer à partir de quel instant, exprimé en minutes et secondes, la température devient inférieure à 50°C. On résout cette inéquation. $ \e^{-0,4t} \leqslant \dfrac{11}{61} \iff -0,4t \leqslant \ln \left ( \dfrac{11}{61}\right ) \iff t \geqslant -\dfrac{\ln \left ( \frac{11}{61}\right )}{0,4} $ $-\dfrac{\ln \left ( \frac{11}{61}\right )}{0,4} \approx 4,282$ donc 4 minutes et $\dfrac{282}{1000}$ de minute. $\dfrac{282}{1000} = \dfrac{16,92}{60}$ ce qui donne $16,92$ secondes. Donc la température devient inférieure à 50°C au bout de 4 minutes et 17 secondes. \end{enumerate} \item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $\left[ 0~;~+\infty\right[$ par $F(t)=-305 \e^{-0,4t}+28t.$ $F'(t)= -305\times (-0,4) \e^{-0,4t} + 28 = 122\e^{-0,4t}+28 = f(t)$ Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ 0~;~+\infty\right[$. \item La température moyenne du matériau durant les 6 premières minutes qui suivent la sortie du four est: $ M= \dfrac{1}{6-0} \ds\int_0^6 f(t) \d t = \dfrac{1}{6} \left [ F(t)\strut\right ]_{0}^{6} = \dfrac{1}{6} \left [ F(6) - F(0)\strut\right ]\\ \phantom{M}\vphantom{\ds\int_0^6 f(t) \d t} = \dfrac{1}{6} \left [ \left ( -305 \e^{-0,4\times 6}+28\times 6 \right ) - \left ( -305 \e^{-0,4\times 0}+28\times 0 \right )\strut\right ]\\ \phantom{M}\vphantom{\ds\int_0^6 f(t) \d t} = \dfrac{1}{6} \left [ -305 \e^{-2,4}+168 +305 \strut\right ] = \dfrac{1}{6} \left [ -305 \e^{-2,4}+ 473 \strut\right ] \approx 74,2$ %\smallskip % %On fournit pour cela la formule suivante : % %\begin{center} %\fbox{\begin{minipage}{12cm} %\begin{center} %Valeur moyenne d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[a~;~b]$. % %$\displaystyle M=\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(t) \: \mathrm{d}t$ %\end{center} %\end{minipage}} %\end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large{}Exercice 2 \hfill 10 points} %\begin{center} %\textit{Les quatre parties sont indépendantes.} %\end{center} \medskip \textbf{Partie A - Probabilités conditionnelles} \medskip Le tableau ci-dessous décrit le stock de paires de lunettes d'un opticien. %\medskip \begin{center} \setlength{\tabcolsep}{2pt} \setlength{\fboxrule}{4pt} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline & Verres\newline Polarisés\newline \textbf{L} & Verres\newline Photochromiques\newline H & Autre type\newline de verre\newline \textbf{A} & ~\newline Total \\ \hline Modèle \newline \textsc{classique}\newline \textbf{C} & $17,5\;\%$ &$10,5\;\%$ &$42\;\%$ & \Ovalbox{$70\;\%$} \\ \hline Modèle \newline \textsc{sport}\newline \textbf{S} & $16,5\;\%$ &$10,5\;\%$ & \Ovalbox{$3\;\%$} &$30\;\%$ \\ \hline ~\newline Total\newline~ & $34\;\%$ & \Ovalbox{$21\;\%$} &$45\;\%$ &$100\;\%$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Le tableau ci-dessus permet ainsi de voir notamment que : \begin{itemize} \item[]70 \,\% des paires de lunettes sont des modèles \textsc{classique}. \item[]3 \,\% des paires de lunettes sont des modèles \textsc{sport} équipées d'un autre type de verre. \item[]21\,\% des paires de lunettes sont équipées de verres photochromiques. \end{itemize} \medskip \begin{list}{\textbullet}{On prélève au hasard une paire de lunettes. On considère les évènements suivants :} \item $C$ : \og la paire de lunettes est un modèle \textsc{classique} \fg{}, \item $S$ : \og la paire de lunettes est un modèle \textsc{sport} \fg{}, \item $L$ : \og la paire de lunettes est équipée de verres polarisés \fg{}, \item $H$ : \og la paire de lunettes est équipée de verres photochromiques \fg{}, \item $A$ : \og la paire de lunettes est équipée d'un autre type de verre\fg{}. \end{list} %\begin{center} %\textit{Les résultats seront arrondis, le cas échéant, au millième.} %\end{center} \begin{enumerate} \item D'après le tableau, le stock de verres polarisés de modèle sport est de $16,5\;\%$ donc $P\left(L \cap S\right) = 0,165$. \item %Déterminer la probabilité $P\left(L \cup S\right)$. L'événement $L \cup S$ correspond à \og Verres Polarisés ou Modèle SPORT \fg{} pour un total de $17,5+16,5+10,5+3$ soit $47,5\;\%$. Donc $P\left(L \cup S\right)= 0,475$. \item% Déterminer valeur de la probabilité de $L$ sachant $S$, notée $P_S\left(L\right)$. Il y a $30\;\%$ de \og Modèle SPORT \fg{} et parmi eux $16,5\;\%$ de \og Verres Polarisés \fg{}; \\ donc $P_S\left(L\right)=\dfrac{16,5}{30}= 0,55$. \item %Les évènements $L$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifier. $P_S(L)=0,55$ et $P(L)=0,34$; donc $P_S(L) \neq P(L)$ donc les événements $L$ et $S$ ne sont pas indépendants. \item On complète l'arbre suivant qui représente la situation décrite par le tableau. \begin{center} \psset{treesep=1cm,levelsep=4cm,labelsep=2pt,nodesepB=4pt} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt] {\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{C}\naput{$0,7$}} { \TR{L}\naput{$\blue 0,25$} \TR{H}\ncput*[npos=0.7]{$0,15$} \TR{A} \nbput{$\blue 0,60$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{S}\nbput{$\blue 0,3$}} { \TR{L}\naput{$0,55$} \TR{H}\ncput*[npos=0.7]{$\blue 0,35$} \TR{A} \nbput{$\blue 0,10$} } } \end{center} \emph{Explications} $P_C(H)=\dfrac{10,5}{70}=0,15$ (valeur donnée dans l'arbre) De même: $P_C(L)=\dfrac{17,5}{70}= 0,25$ et $P_C(A)=\dfrac{42}{70}= 0,60$. Etc. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Loi binomiale} \medskip Parmi les clients de l'opticien, la proportion de retraités est égale à 62\,\%. Un jour donné, l'opticien accueille 90 clients. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de retraités parmi les 90 clients accueillis ce jour. \begin{enumerate} \item La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=90$ et $p=0,62$. Son espérance mathématique est $E(X)=np=90\times 0,62 = 55,8$. \item $P(X=55) = \ds\binom{90}{55}\times 0,62^{55} \times (1-0,62)^{90-55} \approx 0,085$. %Arrondir au millième. \item La probabilité qu'au moins 50 \,\% des clients accueillis ce jour soient des retraités est: $P(X\geqslant 45)\approx 0,992$. %Arrondir au millième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Loi normale} \medskip Le chiffre d'affaires d'un opticien en 2023 a été égal à \np{80000} euros. Il espère que son chiffre d'affaires en 2024 sera supérieur. Son chiffre d'affaires, en euros, estimé pour 2024, est donné par une variable aléatoire $Z$ qui suit une loi normale dont la courbe de densité est représentée ci-dessous. \medskip \begin{center} \psset{xunit=1cm, yunit=20cm} \def\xmin{-1} \def\xmax{9} \def\ymin{-0.04} \def\ymax{0.31} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psaxes[ticksize=-2pt 2pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none](0,0)(\xmin,0)(\xmax,0) \def\m{4}% moyenne \def\s{1.5}% écart type \def\inf{1} \def\sup{7} \pscustom[fillstyle=solid,linestyle=solid,fillcolor= blue!30] {\psGauss[mue=\m,sigma=\s]{\inf}{\sup} \psplot{\sup}{\inf}{0} \closepath} \psgrid[yunit=1cm,subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,6) \psGauss[mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax} \psline[linewidth=1.2pt](\xmin,0)(\xmax,0) \psdots(1,0)(7,0) \footnotesize \multido{\n=60000+20000,\i=0+2}{5}{\uput[d](\i,0){\np{\n}}} \multido{\n=70000+20000,\i=1+2}{4}{\uput{12pt}[d](\i,0){\np{\n}}} \psline[linecolor=red](4,0)(4,0.3) \uput*[r](4,0.28){\red\small $x=\np{100000}$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item On note $\mu$ l'espérance de la variable aléatoire $Z$. %Déterminer graphiquement la valeur de $\mu$. On sait que la courbe de Gauss est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$; d'après le graphique, on trouve $\mu=\np{100000}$. \item On note $\sigma$ l'écart-type de la variable aléatoire $Z$. On sait que la zone grisée correspond à une probabilité égale à $0,95$, donc \\ $P(\np{70000} \leqslant X \leqslant \np{130000}) = 0,95$. %Expliquer pourquoi on a: $\sigma \approx$ \np{15000}. On sait aussi que si la variable aléatoire $X$ suit une loi normale, on a\\ $P(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,95$. Donc $\mu-2\sigma \approx \np{70000}$, autrement dit $\np{100000} - \np{70000} \approx 2\sigma$, soit $\np{30000} \approx 2\sigma$, et donc $\sigma\approx \np{15000}$. \item La probabilité que le chiffre d'affaires en 2024 soit supérieur à celui de 2023 est\\ $P(X\geqslant \np{80000}) \approx 0,909$. %Arrondir au millième. \item Si entre 2023 et 2024, son chiffre d'affaires augmente de 30\,\%, l'opticien embauchera un nouvel employé. $\np{80000}+ \dfrac{30}{100}\times \np{80000} = \np{104000}$ La probabilité que l'opticien embauche un nouvel employé est $P(X\geqslant \np{104000}) \approx 0,395$ %Arrondir au millième. \end{enumerate} \newpage \textbf{Partie D - Test d'hypothèse} \medskip Afin de développer le commerce, une commune rurale décide de construire des parkings pour les commerçants dont la proportion de clients venant en voiture est comprise entre 50\,\% et 60\,\%. Lorsque la proportion est inférieure, le parking n'est pas nécessaire. Lorsque la proportion est supérieure, le commerçant devra obligatoirement s'installer en périphérie de la commune. Un opticien affirme à la mairie de cette commune que 55\,\% de ses clients viennent en voiture. Afin de contrôler cette affirmation, la mairie met en place un test bilatéral au seuil de 5\,\% sur un échantillon aléatoire de 130 clients. On note $F$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 130 clients, associe la proportion de ceux qui viennent en voiture. On suppose que $F$ suit une loi normale d'espérance $p$ inconnue et d'écart-type $\displaystyle \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{130}}$. L'hypothèse nulle est $H_0$ \:: \og $p=0,55$ \fg{} et l'hypothèse alternative est $H_1$\:: \og $p \neq 0,55$ \fg{}. \begin{enumerate} \item Sous l'hypothèse nulle, $p=0,55$ donc la variable aléatoire $F$ suit une loi normale d'espérance $p=0,55$ et d'écart-type $s = \ds \sqrt{\dfrac{0,55(1-0,45)}{130}} \approx 0,044$. \item% Déterminer, sous l'hypothèse nulle, le réel positif $h$ tel que $P(0,55-h < F < 0,55+h)=0,95.$ On sait que $P(p-2s < F < p+2s) \approx 0,95$, \\ donc le réel positif $h$ tel que $P(0,55-h < F < 0,55+h)=0,95$ est $h=2s=0,088$. \item $0,55-0,088= 0,462$ et $0,55+0,088 = 0,638$; donc $P\left (F\in \left [0,462\;;\;0,638\strut \right ]\right ) = 0,95$. \begin{list}{\textbullet}{On peut énoncer la règle de décision:} \item si, parmi les 130 clients, la moyenne des clients utilisant leur voiture n'appartient pas à l'intervalle $\left [0,462\;;\;0,638\strut \right ]$, alors on rejette l'hypothèse nulle, au risque de 5\,\%; \item sinon, on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle. \end{list} Sur un échantillon de 130 clients, la mairie a noté que 88 étaient venus en voiture. $\dfrac{88}{130} \approx 0,677 \not\in \left [0,462\;;\;0,638\strut \right ]$ donc on peut rejeter l'hypothèse nulle au risque de 5\;\%, donc on peut mettre en cause l'affirmation de l'opticien selon laquelle $55\,\%$ de ses clients viennent en voiture. \end{enumerate} \end{document}