\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx,colortbl,xcolor}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{multirow}
\usepackage{enumitem}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Ronan Charpentier & François Hache
%Corrigé : François Hache
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS Opticien-lunetier},
pdftitle = {mai 2024},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\ts}{\textstyle}
\usepackage{pst-all,pst-func}
\usepackage{multicol}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien-lunetier -- corrigé}}
\rfoot{\footnotesize{14 mai 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Opticien--lunetier~\decofourright\\[5pt]14 mai 2024}  
\end{center}

%\textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
%L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og   type collège \fg{} est autorisé.}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large{}Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Pour fabriquer des montures, on chauffe un matériau à 150°C puis on le sort du four et on le laisse refroidir à température ambiante (28°C).

%\begin{center}
%\textit{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.}
%\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une série statistique}

\medskip

Pour étudier le refroidissement du matériau, on a réalisé des relevés de température et réalisé un croquis.

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\setlength{\tabcolsep}{1pt}
\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.1cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Temps $t$\newline (minutes)&0&1&2&3&4&5&6\\
\hline
Température\newline  $y$ (°C) &150&113&82&65&52&44&40\\
\hline
\end{tabularx}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.47\linewidth}
\scalebox{0.8}{
\psset{xunit=1cm, yunit=0.025}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {7}
\def\ymin {-20}   \def\ymax {160}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=0.5cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[ticksize=0pt 0pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){O}
\listplot[plotstyle=dots,linecolor=blue]{0 150 1 113 2 82 3 65 4 52 5 44 6 40}
\uput[l](0,150){\footnotesize $150\degres$C} 
\uput[d](1,0){\footnotesize 1 min} \uput[d](2,0){\footnotesize 2 min} 
\end{pspicture*}
}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les points du nuage ne sont pas alignés, donc un ajustement affine de $y$ en $t$ n'est pas pertinent.

\item On pose $z=\ln(y-28)$.

On complète le tableau en arrondissant les valeurs de $z$  au centième.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Temps $t$ (minutes)&0&1&2&3&4&5&6\\
\hline
Température $y$ (°C)&150&113&82&65&52&44&40\\
\hline
$z=\ln(y-28)$ & $4,80$ & $4,44$& $\blue 3,99$ & $\blue 3,61$ & $\blue 3,18$ & $\blue 2,77$ & $\blue 2,48$ \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On note $r$ le coefficient de corrélation de la série $(t\;;\;z)$.
On sait que $r\approx -0,999$.

%Sur la base de cette information, répondre aux deux questions suivantes en justifiant.

\begin{enumerate}
\item La corrélation de la série $(t\;;\;z)$ est très bonne car la valeur absolue du coefficient de corrélation est très proche de 1.

\item Le nuage de points $(t\;;\;z)$ a une allure décroissante car $r<0$.
\end{enumerate}

\item À l'aide de la calculatrice, on donne une équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$, selon la méthode des moindres carrés: $z=-0,4t + 4,8$.

%Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{-1}$.

\item On en déduit une expression de $y$ en fonction de $t$.

$z=-0,4t + 4,8$ et $z=\ln(y-28)$ donc:

$\ln(y-28) = -0,4t +4,8$
donc
$y-28 = \e^{-0,4t+4,8}$
donc
$y= \e^{-0,4t} \times \e^{4,8}+28$

$\e^{4,8} \approx 121,51$
donc on prendra 
$y=122\e^{-0,4t}+28$

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - \'Equation différentielle.}

\medskip
On considère l'équation différentielle :
$(E) \: : \: 5y'+2y=56$.

%où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ , 

%et où $y'$ est sa fonction dérivée.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'équation différentielle $(E_0) \: : \: 5y'+2y=0.$

%On fournit la formule suivante :
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|}
%\hline 
%Équation différentielle & Solutions sur un intervalle $I$ \\ 
%\hline 
%$ay'+by=0$ & $\rule[-8pt]{0pt}{24pt}f(t)=k \text{e}^{- \frac{b}{a} t}$ \\ 
%\hline 
%\end{tabular} 
%\end{center}

L'équation différentielle $ay'+by=0$ a pour solutions les fonctions $f$ définie par\\
 $f(t)=k \e^{- \frac{b}{a} t}$, donc l'équation différentielle $5y'+2y=0$ a pour solutions les fonctions $f$ définies sur $[0\;;\;+\infty[$ par $f(t)=k \e^{-\frac{2}{5}t}$ soit $f(t)=k\e^{-0,4t}$ où $k$ est un réel.

\item Soit $A$ un nombre réel. On considère la fonction constante $g$, définie par $g(t)=A$.

Pour que la fonction $g$ soit solution de l'équation différentielle $(E)$ il faut que:\\
$5g'(t) +2g(t)=56$.

$g(t)=A$ et $g'(t)=0$, donc $2A=56$ donc $A=28$.

\item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont donc les fonctions définies par \\
$f(t)= k\e^{-0,4t}+A$ soit $f(t)= k\e^{-0,4t}+28$, où $k$ est un réel.

\item %La fonction $f$, solution de l'équation différentielle $(E)$, qui vérifie la condition initiale $f(0)=150$.
$f(0)=150 \iff k\e^{0}+28=150 \iff k=150-28\iff k=122$

La fonction $f$, solution de l'équation différentielle $(E)$, qui vérifie la condition initiale $f(0)=150$ est donc définie par $f(t)=122\e^{-0,4t}+28$.


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Étude de fonction}

\medskip
On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
$f(t)=122 \e^{-0,4t}+28.$

On admet que la fonction $f$ modélise l'évolution de la température du matériau au fil du temps : ainsi, $f(t)$ représente la température, en degrés Celsius, $t$ minutes après la sortie du four.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner la limite de $f$ en $+\infty$. Ce résultat est-il cohérent avec le contexte de l'exercice ?
$\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$ et $\ds\lim_{t\to +\infty} -0,4t = -\infty$ donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,4t} = 0$

On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)=28$.

Ce résultat est cohérent car la température ambiante est de 28\degres{}C.

\item On cherche à partir de quel instant la température du matériau devient inférieure à 50°C.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que cela revient à résoudre l'inéquation: $\text{e}^{-0,4t} \leqslant \dfrac{11}{61}$.
La température du matériau devient inférieure à 50°C signifie que:

$f(t)\leqslant 50
\iff
122 \e^{-0,4t}+28 \leqslant 50
\iff
122 \e^{-0,4t} \leqslant 22
\iff
 \e^{-0,4t} \leqslant \dfrac{22}{122}\\
 \phantom{f(t)\leqslant 50}
 \iff
 \e^{-0,4t} \leqslant \dfrac{11}{61}$
 
\item %Résoudre cette inéquation, puis déterminer à partir de quel instant, exprimé en minutes et secondes, la température devient inférieure à 50°C.
On résout cette inéquation.

$ \e^{-0,4t} \leqslant \dfrac{11}{61}
 \iff
-0,4t \leqslant \ln \left ( \dfrac{11}{61}\right )
\iff
t \geqslant -\dfrac{\ln \left ( \frac{11}{61}\right )}{0,4}
 $

$-\dfrac{\ln \left ( \frac{11}{61}\right )}{0,4} \approx 4,282$ donc 4 minutes et $\dfrac{282}{1000}$ de minute.

$\dfrac{282}{1000} = \dfrac{16,92}{60}$ ce qui donne $16,92$ secondes.

Donc  la température devient inférieure à 50°C au bout de 4 minutes et 17 secondes.
\end{enumerate}

\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $\left[ 0~;~+\infty\right[$ par 
$F(t)=-305 \e^{-0,4t}+28t.$

$F'(t)= -305\times (-0,4) \e^{-0,4t} + 28 = 122\e^{-0,4t}+28 = f(t)$

Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ 0~;~+\infty\right[$. 

\item La température moyenne du matériau durant les 6 premières minutes qui suivent la sortie du four est:

$ M= \dfrac{1}{6-0} \ds\int_0^6 f(t) \d t
= \dfrac{1}{6} \left [ F(t)\strut\right ]_{0}^{6}
= \dfrac{1}{6} \left [ F(6) - F(0)\strut\right ]\\
\phantom{M}\vphantom{\ds\int_0^6 f(t) \d t}
= \dfrac{1}{6} \left [ \left ( -305 \e^{-0,4\times 6}+28\times 6 \right ) - \left ( -305 \e^{-0,4\times 0}+28\times 0 \right )\strut\right ]\\
\phantom{M}\vphantom{\ds\int_0^6 f(t) \d t}
= \dfrac{1}{6} \left [  -305 \e^{-2,4}+168 +305 \strut\right ]
= \dfrac{1}{6} \left [  -305 \e^{-2,4}+ 473 \strut\right ]
\approx 74,2$

%\smallskip
%
%On fournit pour cela la formule suivante :
%
%\begin{center}
%\fbox{\begin{minipage}{12cm}
%\begin{center}
%Valeur moyenne d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[a~;~b]$.
%
%$\displaystyle M=\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(t) \: \mathrm{d}t$
%\end{center}
%\end{minipage}}
%\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large{}Exercice 2 \hfill 10 points}

%\begin{center}
%\textit{Les quatre parties sont indépendantes.}
%\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A - Probabilités conditionnelles}

\medskip

Le tableau ci-dessous décrit le stock de paires de lunettes d'un opticien.

%\medskip

\begin{center}
\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\setlength{\fboxrule}{4pt}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
 & Verres\newline Polarisés\newline \textbf{L} & Verres\newline Photochromiques\newline H & Autre type\newline  de verre\newline \textbf{A} & ~\newline Total \\
\hline
Modèle \newline \textsc{classique}\newline \textbf{C} & $17,5\;\%$ &$10,5\;\%$ &$42\;\%$ & \Ovalbox{$70\;\%$} \\
\hline
Modèle \newline \textsc{sport}\newline \textbf{S} & $16,5\;\%$ &$10,5\;\%$ & \Ovalbox{$3\;\%$} &$30\;\%$ \\
\hline
~\newline Total\newline~ & $34\;\%$ & \Ovalbox{$21\;\%$} &$45\;\%$ &$100\;\%$ \\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Le tableau ci-dessus permet ainsi de voir notamment que :

\begin{itemize}
\item[]70 \,\% des paires de lunettes sont des modèles \textsc{classique}.
\item[]3 \,\% des paires de lunettes sont des modèles \textsc{sport} équipées d'un autre type de verre.
\item[]21\,\% des paires de lunettes sont équipées de verres photochromiques.
\end{itemize}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On prélève au hasard une paire de lunettes. On considère les évènements suivants :}
\item  $C$ : \og la paire de lunettes est un modèle \textsc{classique} \fg{},
\item  $S$ : \og la paire de lunettes est un modèle \textsc{sport}  \fg{},
\item  $L$ : \og la paire de lunettes est équipée de verres polarisés  \fg{},
\item  $H$ : \og la paire de lunettes est équipée de verres photochromiques  \fg{},
\item  $A$ : \og la paire de lunettes est équipée d'un autre type de verre\fg{}.
\end{list}

%\begin{center}
%\textit{Les résultats seront arrondis, le cas échéant, au millième.}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item D'après le tableau, le stock de verres polarisés de modèle sport est de $16,5\;\%$ donc $P\left(L \cap S\right) = 0,165$.

\item %Déterminer la probabilité $P\left(L \cup S\right)$.
L'événement $L \cup S$ correspond à \og Verres Polarisés ou Modèle SPORT \fg{} pour un total de $17,5+16,5+10,5+3$ soit $47,5\;\%$. Donc $P\left(L \cup S\right)= 0,475$.

\item% Déterminer valeur de la probabilité de $L$ sachant $S$, notée  $P_S\left(L\right)$.
Il y a $30\;\%$ de \og Modèle SPORT \fg{} et parmi eux $16,5\;\%$ de \og Verres Polarisés \fg{}; \\
donc $P_S\left(L\right)=\dfrac{16,5}{30}= 0,55$.

\item %Les évènements $L$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifier.
$P_S(L)=0,55$ et $P(L)=0,34$; donc $P_S(L) \neq P(L)$ donc les événements $L$ et $S$ ne sont pas indépendants.

\item On complète l'arbre suivant qui représente la situation décrite par le tableau.

\begin{center}
\psset{treesep=1cm,levelsep=4cm,labelsep=2pt,nodesepB=4pt}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{C}\naput{$0,7$}}
	                        {
	                        \TR{L}\naput{$\blue 0,25$}
			                \TR{H}\ncput*[npos=0.7]{$0,15$}
		                    \TR{A} \nbput{$\blue 0,60$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{S}\nbput{$\blue 0,3$}}
                            {
	                        \TR{L}\naput{$0,55$}
	                        \TR{H}\ncput*[npos=0.7]{$\blue 0,35$}
	                        \TR{A} \nbput{$\blue 0,10$}
	                        }
      }
\end{center}

\emph{Explications}

$P_C(H)=\dfrac{10,5}{70}=0,15$ (valeur donnée dans l'arbre)

De même: $P_C(L)=\dfrac{17,5}{70}= 0,25$ et $P_C(A)=\dfrac{42}{70}= 0,60$. Etc.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Loi binomiale}

\medskip

Parmi les clients de l'opticien, la proportion de retraités est égale à 62\,\%.

Un jour donné, l'opticien accueille 90 clients. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de retraités parmi les 90 clients accueillis ce jour.

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=90$ et $p=0,62$.

Son espérance mathématique est $E(X)=np=90\times 0,62 = 55,8$.

\item $P(X=55) = \ds\binom{90}{55}\times 0,62^{55} \times (1-0,62)^{90-55} \approx 0,085$.
%Arrondir au millième.

\item La probabilité qu'au moins 50 \,\% des clients accueillis ce jour soient des retraités est:
$P(X\geqslant 45)\approx 0,992$.

%Arrondir au millième.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Loi normale}

\medskip

Le chiffre d'affaires d'un opticien en 2023 a été égal à \np{80000} euros. Il espère que son chiffre d'affaires en 2024 sera supérieur.

Son chiffre d'affaires, en euros, estimé pour 2024, est donné par une variable aléatoire $Z$ qui suit une loi normale dont la courbe de densité est représentée ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=20cm}
\def\xmin{-1}   \def\xmax{9} \def\ymin{-0.04} \def\ymax{0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[ticksize=-2pt 2pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none](0,0)(\xmin,0)(\xmax,0)
\def\m{4}% moyenne  
\def\s{1.5}% écart type
\def\inf{1} \def\sup{7}
\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=solid,fillcolor= blue!30]
{\psGauss[mue=\m,sigma=\s]{\inf}{\sup}
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath}
\psgrid[yunit=1cm,subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,6)
\psGauss[mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax}
\psline[linewidth=1.2pt](\xmin,0)(\xmax,0)
\psdots(1,0)(7,0)
\footnotesize
\multido{\n=60000+20000,\i=0+2}{5}{\uput[d](\i,0){\np{\n}}}
\multido{\n=70000+20000,\i=1+2}{4}{\uput{12pt}[d](\i,0){\np{\n}}}
\psline[linecolor=red](4,0)(4,0.3) \uput*[r](4,0.28){\red\small $x=\np{100000}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On note $\mu$ l'espérance de la variable aléatoire $Z$.

%Déterminer graphiquement la valeur de $\mu$.
On sait que la courbe de Gauss est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$; d'après le graphique, on trouve $\mu=\np{100000}$.

\item On note $\sigma$ l'écart-type de la variable aléatoire $Z$.

On sait que la zone grisée correspond à une probabilité égale à $0,95$, donc \\
$P(\np{70000} \leqslant X \leqslant \np{130000}) = 0,95$.

%Expliquer pourquoi on a: $\sigma \approx$ \np{15000}.

On sait aussi que si la variable aléatoire $X$ suit une loi normale, on a\\
$P(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,95$.

Donc $\mu-2\sigma \approx \np{70000}$,
autrement dit
$\np{100000} - \np{70000} \approx 2\sigma$,
soit
$\np{30000} \approx 2\sigma$,
et donc $\sigma\approx \np{15000}$.


\item La probabilité que le chiffre d'affaires en 2024 soit supérieur à celui de 2023 est\\
$P(X\geqslant \np{80000}) \approx 0,909$.

%Arrondir au millième.

\item Si entre 2023 et 2024, son chiffre d'affaires augmente de 30\,\%, l'opticien embauchera un nouvel employé.

$\np{80000}+ \dfrac{30}{100}\times \np{80000} = \np{104000}$

La probabilité que l'opticien embauche un nouvel employé est
$P(X\geqslant \np{104000}) \approx  0,395$

%Arrondir au millième.  
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie D - Test d'hypothèse}

\medskip

Afin de développer le commerce, une commune rurale décide de construire des parkings pour les commerçants dont la proportion de clients venant en voiture est comprise entre 50\,\% et 60\,\%. Lorsque la proportion est inférieure, le parking n'est pas nécessaire. Lorsque la proportion est supérieure, le commerçant devra obligatoirement s'installer en périphérie de la commune.

Un opticien affirme à la mairie de cette commune que 55\,\% de ses clients viennent en voiture.

Afin de contrôler cette affirmation, la mairie met en place un test bilatéral au seuil de 5\,\% sur un échantillon aléatoire de 130 clients.

On note $F$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 130 clients, associe la proportion de ceux qui viennent en voiture. On suppose que $F$ suit une loi normale d'espérance $p$ inconnue et d'écart-type $\displaystyle \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{130}}$.

L'hypothèse nulle est $H_0$ \:: \og $p=0,55$ \fg{} et
l'hypothèse alternative est $H_1$\:: \og $p \neq 0,55$ \fg{}.

\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle, $p=0,55$ donc la variable aléatoire $F$ suit une loi normale d'espérance $p=0,55$ et d'écart-type $s = \ds \sqrt{\dfrac{0,55(1-0,45)}{130}} \approx 0,044$.

\item% Déterminer, sous l'hypothèse nulle, le réel positif $h$ tel que $P(0,55-h < F < 0,55+h)=0,95.$
On sait que $P(p-2s < F < p+2s) \approx 0,95$, \\
donc le réel positif $h$ tel que $P(0,55-h < F < 0,55+h)=0,95$ est $h=2s=0,088$.

\item $0,55-0,088= 0,462$ et $0,55+0,088 = 0,638$;
donc $P\left (F\in \left [0,462\;;\;0,638\strut \right ]\right ) = 0,95$.


\begin{list}{\textbullet}{On peut énoncer la règle de décision:}
\item si, parmi les 130 clients, la  moyenne des clients utilisant leur voiture  n'appartient pas à l'intervalle  $\left [0,462\;;\;0,638\strut \right ]$, alors on rejette l'hypothèse nulle, au risque de 5\,\%;
\item sinon, on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle.
\end{list}

Sur un échantillon de 130 clients, la mairie a noté que 88 étaient venus en voiture.

$\dfrac{88}{130} \approx 0,677 \not\in \left [0,462\;;\;0,638\strut \right ]$ donc on peut rejeter l'hypothèse nulle au risque de 5\;\%, donc on peut mettre en cause l'affirmation de l'opticien selon laquelle  $55\,\%$ de ses clients viennent en voiture.
\end{enumerate}  

\end{document}