\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Hache %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-coil,pstricks-add} \newcommand{\R}{\textbf{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\e}{\text{\,e\,}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS opticien lunetier - corrigé}, pdftitle = {Métropole mai 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BTS corrigé} \lfoot{\small{Opticien lunetier}} \rfoot{\small{mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Opticien Lunetier -- mai 2022~\decofourright\\[6pt]Métropole} %\medskip % %Durée : 2 heures -- Coefficient: 2 \end{center} %L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. % %L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé. \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 1 \hfill 10 points} %\begin{center} %\textbf{Les parties A, B, C et D sont indépendantes.} %\end{center} Un étudiant effectue son stage dans une boutique de lunetterie. \bigskip \textbf{PARTIE A - Probabilités conditionnelles.} Cette boutique est spécialisée dans les montures réalisées à partir de bois recyclé. Elle propose deux modèles de montures :\\ -les montures SURF{}, réalisées avec le bois d'anciennes planches de surf ;\\ -les montures TRADITION, réalisées avec le bois provenant d'un ébéniste. Un client souhaitant acheter des montures a le choix entre deux formules :\\ -la formule PERSONNELLE : les montures sont confectionnées sur mesure ;\\ -la formule IMMEDIAT : le client achète un modèle déjà confectionné. \begin{list}{\textbullet}{On dispose des informations suivantes :} \item 65\,\% des montures vendues sont des montures SURF. Parmi elles, 10\,\% ont été vendues selon la formule PERSONNELLE, les autres ont été vendues selon la formule IMMEDIAT. \item 35\,\% des montures vendues sont des montures TRADITION. Parmi elles, 15\,\% ont été vendues selon la formule PERSONNELLE, les autres ont été vendues selon la formule IMMEDIAT. \end{list} On choisit au hasard une monture ayant été vendue. On définit les évènements:\\ $S$ : il s'agit d'une monture SURF.\\ $E$ : il s'agit d'une monture ayant été vendue selon la formule PERSONNELLE. \begin{enumerate} \item On représente la situation à l'aide d'un arbre pondéré. \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$S$}\naput{$0,65$}} { \TR{$E$}\naput{$0,10$} \TR{$\overline{E}$}\nbput{\blue $1-0,10=0,90$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{S}$}\nbput{\blue $1-0,65=0,35$}} { \TR{$E$}\naput{$0,15$} \TR{$\overline{E}$}\nbput{\blue $1-0,15=0,85$} } } \bigskip \end{center} \item $P(S\cap E) = P(S)\times P_{S}(E) = 0,65\times 0,10 = 0,065$ \item D'après la formule des probabilités totales: $P(E) = P(S\cap E) + P\left ( \overline{S} \cap E\right ) = 0,065 + 0,35\times 0,15= \np{0,1175}$ \item La monture a été vendue selon la formule PERSONNELLE. La probabilité qu'il s'agisse d'une monture SURF est: $P_{E}(S) = \dfrac{P(S\cap E)}{P(E)} = \dfrac{0,065}{\np{0,1175}} \approx 0,553$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B - Lois de probabilités} Dans cette partie, on étudie les temps d'attente des clients selon les jours de la semaine. On a recueilli les observations ci-dessous. \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{tabular}{|m{0.13\linewidth}|m{0.4\linewidth}|m{0.35\linewidth}|} \hline & Description de la situation & Loi de probabilité décrivant\newline le temps d'attente\newline exprimé en minutes.\\ \hline Mardi,\newline Jeudi & Peu de clients.\newline Peu d'attente. & Loi exponentielle de paramètre\newline $\lambda = 0,5$.\\ \hline Mercredi,\newline Vendredi & Imprévisible. Un client peut attendre beaucoup, un peu, ou pas du tout. & Loi uniforme sur l'intervalle\newline $[a\;;\;b]$.\\ \hline Samedi & Beaucoup de vendeurs,\newline beaucoup de clients. & Loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $\sigma=1$~minute.\\ \hline Dimanche,\newline Lundi & \multicolumn{2}{c|}{BOUTIQUE FERMÉE}\\ \hline \end{tabular} \end{center} On a représenté ci-dessous les représentations graphiques des densités des trois lois décrites dans le tableau ci-dessus. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=10cm,arrowsize=3pt 3} \def\xmin {-1} \def\xmax {11} \def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.6} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \psaxes[ticksize=-2pt 0, labels=none,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[l](0,0){$0$} \uput[l](0,0.1){$0,1$} \uput[l](0,0.5){$0,5$} \uput[d](1,0){$1$} \uput[d](6,0){$6$} \uput[d](8,0){$8$} \psset{linewidth=2pt} \psline(0,0.125)(8,0.125) \uput[u](6,0.125){$\mathcal{C}_3$} \psGauss[mue=6,sigma=1,linecolor=blue]{0}{\xmax} \uput[u](6,0.4){\blue $\mathcal{C}_2$} \psplot[linecolor=red]{0}{\xmax}{2.7183 -0.5 x mul exp 0.5 mul} \uput[ur](1.2,0.3){\red $\mathcal{C}_1$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item On complète le tableau ci-dessous. \begin{center} \small \renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{tabular}{|m{0.1\linewidth}|m{0.25\linewidth}|m{0.2\linewidth}|m{0.17\linewidth}|m{0.13\linewidth} |} \hline & Description de la situation & Loi de probabilité\newline décrivant le temps\newline d'attente exprimé\newline en minutes. & Courbe\newline correspondante & Paramètres\\ \hline Mardi,\newline Jeudi & Peu de clients.\newline Peu d'attente. & Loi exponentielle\newline de paramètre\newline $\lambda = 0,5$.& $\hfill\blue\mathcal{C}_1\hfill$& $\lambda = 0,5$\\ \hline Mercredi,\newline Vendredi & Imprévisible.\newline Un client peut attendre\newline beaucoup, un peu, ou\newline pas du tout. & Loi uniforme sur\newline l'intervalle $[a\;;\;b]$.& $\hfill\blue\mathcal{C}_3\hfill$ & $a=\blue 0$\newline $b=\blue 8$\\ \hline Samedi & Beaucoup de vendeurs,\newline beaucoup de clients. & Loi normale de\newline moyenne $m$ et\newline d'écart-type\newline $\sigma=1$~minute.& $\hfill\blue\mathcal{C}_2\hfill$ & $m=\blue 6$\newline $\sigma = 1$ minute\\ \hline %Dimanche,\newline Lundi & \multicolumn{2}{c|}{BOUTIQUE FERMÉE}\\ %\hline \end{tabular} %\psframe[framearc=0.2,linewidth=2pt](-5,0)(2,7.6) %\uput[r](3,-1){\fbox{\parbox{3cm}{\bf Ne pas recopier ces\\ deux colonnes}}} %\psline[linewidth=2pt,doubleline=true]{->}(3,-1)(1,0) %\vspace*{1cm} \end{center} \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} \begin{list}{\textbullet}{Explications} \item Une loi uniforme est représentée par un segment de droite donc $\mathcal{C}_3$. Le segment est tracé sur $[0\;;\;8]$ donc $a=0$ et $b=8$. \item Une loi normale est représentée par une courbe \og en cloche \fg{} donc $\mathcal{C}_2$. La courbe $\mathcal{C}_2$ est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation $x=6$ donc $m=6$. \item La loi exponentielle est représentée par la 3\ieme{} courbe soit $\mathcal{C}_1$. \end{list} \end{tabular} \item %Justifier que, le mardi, le temps d'attente moyen est égal à 2 minutes. Le mardi, la variable aléatoire donnant le temps d'attente suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 5$. Le temps d'attente moyen est donné par l'espérance mathématique de cette variable aléatoire $\dfrac{1}{\lambda}$ soit en minutes, $\dfrac{1}{0,5}=2$. \item %Justifier que, le mercredi, la probabilité que le temps d'attente soit inférieur à 6 minutes est égale à $0,75$. Le mercredi, la variable aléatoire$X$ donnant le temps d'attente suit une loi uniforme sur l'intervalle $[0\;;\;8]$. Donc la probabilité que le temps d'attente soit inférieur à 6 minutes est $P(X<6)=\dfrac{6-0}{8-0}=\dfrac{3}{4}=0,75$. \item %Le samedi, quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre 4 et 8 minutes ? (Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$). Le samedi, la variable aléatoire$X$ donnant le temps d'attente suit une loi normale de moyenne $m=6$ et $\sigma=1$. La probabilité que le temps d'attente soit compris entre 4 et 8 minutes est (d'après le cours):\\ $P(4\leqslant X \leqslant 8) = P(6-2\times 1\leqslant X \leqslant 6+2\times 1) = P(\mu-2 \sigma\leqslant X \leqslant \mu +2 \sigma)\approx 0,954$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C - Suites numériques} La boutique vend également des appareils auditifs. On constate que le nombre d'appareils vendus annuellement augmente de 12\,\% chaque année. On modélise cette évolution par une suite $(u_n)$.\\ Ainsi, selon cette modélisation, $u_n$ représente le nombre d'appareils vendus durant l'année $2010+n$.\\ Par exemple, $u_7$ représente le nombre d'appareils vendus durant l'année 2017.\\ On suppose que l'on a $u_0=50$. %\begin{center} %\textbf{Tous les termes de la suite $\boldsymbol{(u_n)}$ seront arrondis à l'unité.} %\end{center} \begin{enumerate} \item $u_1 = u_0 + u_0\times \dfrac{12}{100}= 50 + 50\times \dfrac{12}{100}=56$ \item L'année 2012 correspond à $n=2$.%, le nombre d'appareils auditifs vendus est égal à 63. $56+56\times \dfrac{12}{100} = 62,72$ donc le nombre d'appareils auditifs vendus en 2012 est égal à 63. \item %Justifier que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. Augmenter de 12\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{12}{100}$ soit $1,12$. Donc la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,12$ et de premier terme $u_0=50$. \item% On veut résoudre l'inéquation $u_N > 200$. $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,12$ et de premier terme $u_0=50$ donc, d'après le cours, pour tout entier $n$ on a: $u_n=u_0\times q^n$ donc $u_n= 50\times 1,12^{n}$. On résout l'inéquation d'inconnue $N$: $u_N >200$. $u_N >200 \iff 50\times 1,12^{N} >200 \iff 1,12^{N} > 4 \iff \ln\left ( 1,12^N \right ) > \ln\left (4\right )\\ \phantom{u_N>200} \iff N \ln\left (1,12\right ) > \ln\left (4\right ) \iff N > \dfrac{\ln\left (4\right )}{\ln\left (1,12\right )} $ Or $ \dfrac{\ln\left (4\right )}{\ln\left (1,12\right )} \approx 12,2$ donc $N\geqslant 13$. %Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé. $2010+13=2023$, donc c'est à partir de 2023 que le nombre d'appareils vendus sera supérieur à 200. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE D - Intervalle de confiance} On souhaite estimer la proportion $p$ de personnes intéressées par la commercialisation de lunettes connectées. On réalise un sondage auprès d'un échantillon de 200 clients. La clientèle est suffisamment importante pour assimiler cet échantillon à un tirage avec remise.\\ Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon ainsi prélevé, associe la fréquence, dans cet échantillon, des clients intéressés par la commercialisation de lunettes connectées. On admet que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ inconnue dont l'écart-type est égal à $\ds\sqrt{\dfrac{p\left (1-p\right )}{200}}$. Lors du sondage, 45 clients sur 200 ont dit être intéressés par la vente de lunettes connectées. \begin{enumerate} \item Une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ est $f=\dfrac{45}{200}=0,225$. \item Un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ avec le niveau de confiance de 95\,\%, en arrondissant les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$, est: $I_{95} = \left [ f- 1,96\ds\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}\;;\;f+ 1,96\ds\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} \right ]\\ \phantom{I_{95}} = \left [ 0,225- 1,96\ds\sqrt{\dfrac{0,225\times 0,775}{200}}\;;\;0,225+ 1,96\ds\sqrt{\dfrac{0,225\times 0,775}{200}} \right ] \approx \left [ 0,167\;;\; 0,283\strut \right ] $ \item L'intervalle $I_{95}$ a une probabilité supérieure à 95\,\% de contenir la proportion $p$. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{EXERCICE 2 \hfill 10 points} %\begin{center} %\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} %\end{center} Le glaucome est une maladie dégénérative du nerf optique qui entraîne une perte progressive de la vision. Cette maladie entraîne la dégénérescence des fibres nerveuses chargées de transmettre au cerveau les informations issues de la rétine. \bigskip \textbf{PARTIE A - Statistique à deux variables.} La technique d'imagerie Tomographie en Cohérence Optique (OCT) permet de scanner la rétine et le nerf optique : en mesurant l'épaisseur des fibres du nerf optique on peut en déduire le nombre de fibres nerveuses optiques d'une personne.\\ On a mesuré l'évolution du nombre $N$ de fibres nerveuses optiques, en millier, en fonction du temps $t$, exprimé en mois, d'une personne atteinte d'un glaucome aigu.\\ L'instant $t=0$ représente le moment d'apparition du glaucome aigu. On obtient les résultats suivants : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.8cm} | *{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Temps $t$ (en mois)&0&1&2&3&4&6&8&12&18&24\\ \hline Fibres nerveuses\newline optiques $N$ (en millier)& 994&924&863&805&757&675&610&523&448&409\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{center} \scalebox{0.95}{ \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.01cm,arrowsize=3pt 3} \def\xmin {-6} \def\xmax {25.4} \def\ymin {-200} \def\ymax {1050} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[xunit=50cm,yunit=1cm,subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=gray](0,0)(5,11) \psgrid[xunit=2cm,yunit=50cm,subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=gray](0,0)(5,11) \psaxes[ticks=none, Dy=100,Dx=5](0,0)(0,0)(25,\ymax) \psdots(0,994)(1,924)(2,863)(3,805)(4,757)(6,675)(8,610)(12,523)(18,448)(24,409) \uput[d](12,-70){\bf Temps $\boldmath{t}$ en mois} \uput[r]{90}(-5,500){\bf Fibres nerveuses optiques $\boldmath{N}$ en millier} \end{pspicture*} }%%% fin du scalebox \end{center} \begin{enumerate} \item Les points ne sont pas du tout alignés, donc un ajustement affine de $N$ en $t$ ne semble pas approprié. \item On décide de procéder à un changement de variable, en posant : $z=\ln\left (N-375\right )$. On obtient alors le tableau de valeurs suivant (les résultats ont été arrondis à $10^{-2}$). \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Temps $t$\newline (en mois)&0&1&2&3&4&6&8&12&18&24\\ \hline $z$&$6,43$&$6,31$&$6,19$&$6,06$&$5,95$&$5,70$&$5,46$&$5,00$&$4,29$&$3,53$\\ \hline \end{tabularx} \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $z$ en $t$ selon la méthode des moindres carrés, est : $z= -0,120 t + 6,428$. %\begin{center} %$z=at+b$, où $a$ et $b$ seront arrondis au millième. %\end{center} \item %En déduire une expression de $N$ en fonction de $t$ de la forme : On sait que $z=\ln\left (N-375\right )$. Donc $z= -0,120 t + 6,428 \iff \ln \left (N - 375 \right )= -0,120 t + 6,428\\ \phantom{z= -0,120 t + 6,428} \iff N-375 = \e^{-0,120 t + 6,428} \iff N = \e^{-0,12t} \times \e^{6,428} +375$ $\e^{6,428}\approx 619$ donc on a: $N=619\e^{-0,12t}+375$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B - Résolution d'une équation différentielle} On considère une personne atteinte d'un glaucome aigu.\\ $y(t)$ désigne le nombre de milliers de fibres nerveuses optiques que possède cette personne $t$ mois après l'apparition du glaucome.\\ La fonction $y\::\: t \longmapsto y(t)$ modélise donc l'évolution du nombre de milliers de fibres nerveuses optiques au cours du temps.\\ On admet que $y$ est définie et dérivable sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ et on note $y'$ sa dérivée. On admet que la fonction $y$ est solution de l'équation différentielle $(E)$: $2y'+0,24y=90$ \begin{enumerate} \item Soit l'équation différentielle $(E_0)$: $2y'+0,24y=0$ L'équation différentielle $ay'+by=0$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-\frac{b}{a}t}$, où $k\in\R$, donc l'équation différentielle $(E_0)$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-\frac{0,24}{2}t}$, où $k\in\R$, soit $f(t)=k\e^{-0,12t}$. %On fournit la formule suivante : % %\begin{center} %\renewcommand{\arraystretch}{1.6} %\begin{tabular}{|c|c|} %\hline %Équation différentielle & Solution sur un intervalle $I$\\ %\hline %$ay'+by=0$ & $f(t)=k\e^{-\frac{b}{a}t}$\\%\rule[0pt]{-10pt}{20pt} %\hline %\end{tabular} %\end{center} \item \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ par $g(t)=375$. %Vérifier que la fonction $g$ est une solution de $(E)$. $g'(t)=0$ et $2 g'(t)+0,24 g(t)=0+0,24\times 375 = 90$ donc la fonction $g$ est solution de $(E)$. \item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont donc les fonctions $f$ définies sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ par $f(t)=k\e^{-0,12t} + 375$ où $k\in\R$. \end{enumerate} \item On sait que, à l'instant $t=0$, le nombre de fibres nerveuses optiques de la personne est de 994 milliers de fibres. %Déterminer alors la solution $y$ vérifiant cette condition initiale. $f(0)=994 \iff k\e^{0} + 375=994 \iff k=994-375 \iff k=619$ La solution cherchée est la fonction $f$ définie sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ par $f(t)=619 \e^{-0,12t} + 375$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C- Étude de fonction} On considère la fonction $f$ définie sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ par : $f(t)=375 + 619 \e^{-0,12t}.$ On suppose que l'évolution du nombre de fibres nerveuses optiques de la personne atteinte d'un glaucome peut être modélisée par la fonction $f$ où $f(t)$ représente le nombre de milliers de fibres nerveuses optiques $t$ mois après l'apparition du glaucome.\\ On admet que $f$ est une fonction dérivable sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.\\ On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. \begin{enumerate} \item %Démontrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$, on a : $f'(t)=-74,28 \e^{-0,12t}$ Sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$, on a: $f'(t) = 619\times (-0,12)\e^{-0,12t} = -74,28\e^{-0,12t}$. \item% En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$. Pour tout réel $x$, on sait que $\e^{x}>0$, donc pour tout $t$, $\e^{-0,12t}>0$; on en déduit que pour tout $t$ de $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$, on a: $f'(t)<0$. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left [0\;;\;+\infty\strut\right [$. \item% Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. $\ds\lim_{t\to +\infty} (-0,12t)=-\infty$ et $\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$; on en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,12t}=0$ et donc que $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)=375$. %Interpréter graphiquement. On peut donc dire que la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ admet la droite d'équation $y=375$ comme asymptote horizontale en $+\infty$. \item On admet qu'un développement limité à l'ordre 2 de la fonction $f$ au voisinage de 0 est donné par : $f(t)=994-74,28t + \np{4,4568} t^2 + t^2 \varepsilon(t) \quad \text{avec } \ds\lim_{t \to 0} \varepsilon(t) = 0$. %\textbf{La question suivante est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \smallskip Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 est : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $y= -74,28t + \np{4,4568} t^2$ & \fbox{$\blue y=994-74,28t$} & $y=74,28t - 994$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \end{document}