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%Tapuscrit : Denis Vergès 
% Corrigé : Ronan Charpentier
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{13 mai 2014}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt] Opticien--lunetier  13 mai 2014}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip
 
%La rétinite pigmentaire est une maladie génétique caractérisée par la dégénérescence des cellules en cônes et en bâtonnets responsables de la vision. Afin de freiner l'évolution de cette maladie, deux traitements sont possibles.
 
%Dans cet exercice, on étudie, pour ces deux traitements, l'évolution de la quantité des principes actifs présents dans le sang en fonction du temps. 

%\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}
 
\textbf{A. Modèle discret du premier traitement : étude de suites}

\medskip
 
%Le premier traitement consiste à injecter par intraveineuse un médicament permettant une meilleure vascularisation des vaisseaux sanguins de la rétine.
 
%On injecte dans le sang à l'instant $t = 0$, une dose de $1,8$ unités du médicament. On suppose que ce médicament diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite progressivement éliminé. Au bout de chaque heure après l'injection, sa quantité a diminué de 30\,\% par rapport à la valeur qu'elle avait au début de cette heure.
 
%Dans le but d'atteindre une quantité de médicament présente dans le sang supérieure à 5 unités, on décide de réinjecter une dose de $1,8$ unités toutes les heures.
 
%Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la quantité de médicament, exprimée en unités, présente dans le sang au bout de $n$ heures.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que $u_{0} = 1,8$ et que, pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0,7 u_{n} + 1,8$. 

A l'instant $t=0$ on injecte $1,8$ unités du médicament donc $u_0 =1,8$. 

Ensuite à chaque heure la quantité de médicament diminue de 30\,\%, ce qui se traduit par une multiplication par le coefficient 0,7, et on réinjecte une quantité de $1,8$ unités de médicament. 

Par conséquent on a la relation $u_{n+1}=0,7 u_n+1,8$.
\item %On pose, pour tout entier naturel $n, v_{n} = u_{n} - 6$. Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$ dont on donnera le premier terme $v_{0}$. 

Pour tout $n \in \mathrm{N}$,

 on a $v_{n+1}=u_{n+1} -6 = 0,7 u_n +1,8 -6 =0,7 u_n -4,2 =0,7 (u_n -6) =0,7 v_n$ 
 
 donc $(v_n)$ est géométrique de raison 0,7.

Son premier terme est $v_0 =u_0-6 = 1,8-6=-4,2$.
\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
Pour tout $n \in \mathrm{N}$ $v_n= -4,2 \times 0,7 ^n$ et $u_n= -4,2 \times 0,7 ^n +6$.

%En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = 6 - 4,2 \times  (0,7)^n$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		
		$0<0,6<1$ donc $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} 0,7 ^n = 0$ et $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n =6$.
		\item %Interpréter le résultat obtenu par rapport au but à atteindre.
		
		A long terme la quantité de médicament dans le sang se rapproche de six unités, ce qui permet d'affirmer que le seuil de 5 unités sera dépassé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Modèle continu du second traitement: résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
%Le second traitement consiste à faire absorber au malade par voie orale un médicament à base de palminate de vitamine A et d'oméga-3.
 
%L'évolution, en fonction du temps (exprimé en heures), de la quantité de principe actif présente dans le sang après absorption (exprimée en mg) est modélisée par une fonction vérifiant l'équation différentielle  : 

%\[(E)\quad y' + y = 2,5 \text{e}^{- 0,5 t},\]
 
%où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right) :\quad  y' + y = 0$. 

Les solutions de $y'+y=0$ sont les fonctions de la forme $y=k \text{e}^{-t}$ où $k \in \mathbb{R}$.
\item %Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = 5 \text{e}^{- 0,5 t}$. Vérifier que $g$ est une solution de $(E)$. 
$g'(t)+g(t)=5(-0,5)\text{e}^{-0,5 t} +5 \text{e}^{-0,5t} = 2,5 \text{e}^{-0,5 t}$ 

donc $g$ est solution de l'équation $y'+y= 2,5 \text{e}^{- 0,5 t}$. 

\item %En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$. 

Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions de la forme $y=k \text{e}^{-t}+5 \text{e}^{- 0,5 t}$.

\item %Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 0$. 
La condition initiale $f(0)=0$ s'écrit $k \text{e}^0 +5 \text{e}^0 =0$ soit $k=-5$ 

et $f(x)=-5 \text{e}^{-t}+5 \text{e}^{- 0,5 t}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Étude d'une fonction}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

La fonction $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = - 5 \text{e}^{- t} + 5 \text{e}^{- 0,5 t}.$
 
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$.  
		
		$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- t}=0$ et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,5 t}$ donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)=0$.
		\item %Donner une interprétation graphique du résultat précédent.
		On en déduit que la courbe de $f$ admet en $+\infty$ une asymptote (horizontale) d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses).
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(t)$ pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et vérifier que $f'(t)$ peut s'écrire sous la forme : $f'(t) = 2,5 \text{e}^{- t}\left(2 - \text{e}^{0,5 t}\right)$. 
		
$f(t) = - 5 \text{e}^{- t} + 5 \text{e}^{- 0,5 t}$ donc $f'(t)=- 5 (-1) \text{e}^{- t} + 5(-0,5) \text{e}^{- 0,5 t}= 5 \text{e}^{- t} -2,5 \text{e}^{- 0,5 t}$. En mettant $2,5$ et $\text{e}^{- t}$ en facteur (on sait que $\text{e}^{-0,5 t}=\text{e}^{-t} \text{e}^{ 0,5 t}$), on obtient 

$f'(t)=2,5 \times 2 \text{e}^{-t} -2,5 \text{e}^{-t} \text{e}^{0,5t} =  2,5 \text{e}^{- t}\left(2 - \text{e}^{0,5 t}\right)$. 

		\item %Étudier le signe de $f'(t)$ sur t'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		
		Puisque $2,5 \text{e}^{-t} >0$ (une exponentielle étant strictement positive), $f'(t)$ a le signe de 
		
$2- \text{e}^{0,5 t}$.
		
		$2-\text{e}^{0,5 t}>0 \iff -\text{e}^{0,5 t} >-2 \iff \text{e}^{0,5 t} < 2 \iff 0,5 t < \ln(2) \iff t < 2 \ln(2)$.
		
		On en déduit le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+\infty[$, présenté dans le tableau de variations ci-dessous.
		\item   %Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.  
		

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,2.5)
\psframe(10,2.5)\psline(0,1.5)(10,1.5)\psline(0,2)(10,2)
\psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$t$} \uput[u](2.15,2){$0$} \uput[u](6,2){$2\ln 2$} \uput[u](9.6,2){$+\infty$}
\rput(1,1.75){$f^{\prime}(t)$} \rput(4,1.75){$+$} \rput(6,1.75){0} \rput(8,1.75){$-$}
\rput(1,0.7){$f$} \uput[u](2.15,0){0}\uput[d](6,1.5){1,25}\uput[u](9.6,0){$0$}
\psline{->}(2.3,0.25)(5.6,1.25)\psline{->}(6.4,1.25)(9.4,0.25) 
\end{pspicture}
\end{center} 






		
	\end{enumerate} 
\item %Écrire une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. 

De $f(0)=- 5 \text{e}^0 +5 \text{e}^0=0$ et $f'(0)= 5 \text{e}^0 -2,5 \text{e}^0= 2,5$ on déduit l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse zéro, $y=f'(0)(t-0)+f(0)$ soit $y=2,5 t$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Un logiciel de calcul formel fournit ci-dessous une expression d'une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Ce logiciel note \%$\text{e}^t$ l'expression $\text{e}^t$. 

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l l|}\hline 
%(\%i1)& f(t) : $=-5*\%\text{e}\verb+^+(-t) + 5*\%\text{e}\verb+^+(-0.5*t)$ ;\\ 
%(\%o1)& f(t) : $=(-5)\%\text{e}^{-t} + 5\%\text{e}^{- 0.5t}$\\
%&\\ 
%(\%i2)& integrate $(f(t), t)$ ;\\ 
%(\%o2)& $5\%\text{e}^{-t} - 10.0\%\text{e}^{-0.5t}$\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
 
%Justifier, à l'aide d'un calcul, l'expression fournie par le logiciel. 

Vérifions la primitive $F(t)=5 \text{e}^{-t} -10 \text{e}^{-0,5 t}$ fournie par le logiciel.

$F'(t)=5(-1) \text{e}^{-t} -10 (-0,5)\text{e}^{-0,5 t}=-5 \text{e}^{-t} +5 \text{e}^{-0,5 t}=f(t)$ 

donc $F$ est bien une primitive de $f$.
		\item %En déduire la valeur exacte, puis la valeur approchée arrondie à $10^{- 2}$, de l'intégrale : 
	
Avec cette primitive on trouve 

$\displaystyle \int_0^6 f(t) \:\text{d}t = F(6)-F(0)=5  \text{e}^{-6} -10 \text{e}^{-0,5 \times 6} -\left( 5 \text{e}^{-0} -10 \text{e}^{-0,5 \times 0} \right )$ 

donc $ \int_0^6 f(t) \:\text{d}t =	5 +5  \text{e}^{-6} -10 \text{e}^{-3} \approx 4,51$.
		
		
		%\[I = \displaystyle\int_{0}^6 \left(-5\text{e}^{-t} + 5\text{e}^{- 0,5t}\right)\:\text{d}t.\]
		  
%La valeur de cette intégrale représente la quantité de principe actif présente dans le sang entre les instants $t = 0$ et $t = 6$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 10 points}

\medskip
 
%Un fabriquant de lentilles souples, dites \og hydrophiles \fg, propose une nouvelle génération de lentilles en silicone d'hydrogel.

%\begin{center} 
%\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}

\textbf{A. évènements indépendants}

\medskip
 
%À l'issue de la fabrication, ces lentilles peuvent présenter deux types de défauts :
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item un rayon de courbure défectueux; 
%\item une perméabilité à l'oxygène défectueuse.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
%On considère la production de lentilles au cours d'un mois donné.
 
%On admet que, dans cette production, 3\,\% des lentilles présentent un rayon de courbure défectueux et 2\,\% présentent une perméabilité à l'oxygène défectueuse.
 
%On prélève une lentille au hasard dans cette production.
 
%On note $A$ l'évènement : \og la lentille prélevée présente un rayon de courbure défectueux \fg. 

%On note $B$ l'évènement : \og la lentille prélevée présente une perméabilité à l'oxygène défectueuse \fg.
 
%On suppose que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants. On admet alors que les évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants, les évènements $\overline{A}$ et B sont indépendants et les évènements A et $\overline{B}$ sont indépendants.

%\medskip
 
%\emph{Les questions $1, 2, 3$ et $4$ suivantes sont des questionnaires à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\ 
%La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité $p(A \cap B)$ est : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,006& \textbf{\np{0,0006}}& 0,05\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants donc $P(A \cap B)= P(A)P(B)= 0,03 \times 0,02 = \np{0,0006}$.

\item La probabilité $p(A \cup B)$ est : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{\np{0,0494}}& 0,006& 0,05\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)= 0,03+0,02- \np{0,0006} = \np{0,0494}$.

\item La probabilité $p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)$ est :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\np{0,9994}& \textbf{\np{0,9506}}& \np{0,9494}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

$P\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)=1-P(A \cup B)=1- \np{0,0494} = \np{0,9506}$.

\item La probabilité que la lentille prélevée présente un seul des deux défauts est :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\textbf{\np{0,0488}}& 0,05& \np{0,0494} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 


$P\left(A \cap \overline{B}\right)+P\left(\overline{A} \cap B\right) = P(A \cap B) -P(A \cup B)= \np{0,0494} - \np{0,0006} = \np{0,0488}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale, loi de Poisson}

%\begin{center}
% \textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à } \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath
%\end{center}
  
%On considère un stock important de lentilles fabriquées par l'entreprise. Dans ce stock, on admet que 5\,\% des lentilles ne sont pas conformes aux normes de commercialisation.
 
%On prélève au hasard $120$ lentilles dans ce stock pour vérification de la conformité. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement au tirage avec remise de $120$ lentilles.
 
%On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de lentilles de ce prélèvement non conformes aux normes de commercialisation.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 
		
		On répète $n=120$ fois, indépendamment (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve à deux issues : le succès \og la lentille prélevée n'est pas conforme aux normes de commercialisation \fg{}, de probabilité $p=0,05$, et l'échec.
		
		La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=120$ et $p=0,05$.
		\item %Calculer la probabilité qu'au moins une lentille de ce prélèvement soit non conforme aux normes de commercialisation.
		
		La probabilité qu'au moins une lentille de ce prélèvement ne soit pas conforme aux normes de commercialisation est 
		
		$P(X \geqslant 1) = 1 -P(X=0) \approx 0,002$.
	\end{enumerate} 
\item %On admet que la loi de $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que le paramètre de cette loi de Poisson est À = 6. 
		
		On approche la loi de $X$ par une loi de Poisson de même espérance 
		
		$\lambda=np=120\times0,05=6$.
		\item %Soit $Y$  une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 6$. Calculer $p(Y \leqslant 5)$. 
		
		Si $Y$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda=6$, 
		
		alors $P(Y \leqslant 5) \approx 0,446$.
		\item %Déduire de la question précédente une valeur approchée de la probabilité qu'il y ait, dans un prélèvement, au moins six lentilles non conformes aux normes de commercialisation.
		Alors la probabilité qu'il y ait dans un prélèvement au moins six lentilles non conformes aux normes de commercialisation 
		
		est $P(Y \geqslant 6) = 1 - P(Y \leqslant 5) \approx 1 - 0,446 = 0,554$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip
	 
\textbf{C. Loi normale}

\medskip
 
%Dans cette partie, on s'intéresse à la densité des lentilles souples. 
%Une lentille est considérée conforme pour la densité lorsque celle-ci est comprise entre $0,88$ et $1,12$. Dans la production d'un mois, on prélève au hasard une lentille souple.
 
%On désigne par $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque lentille prélevée, associe sa densité. 

%On admet que $Z$ suit la loi normale de moyenne 1 et d'écart type $0,08$.

%\medskip
 
%Calculer, à l'aide de la table du formulaire ou d'une calculatrice, la probabilité qu'une lentille prélevée au hasard dans cette production soit conforme pour la densité. Donner le résultat approché arrondi à $10^{- 3}$.

On sait que $Z$ suit la loi normale de moyenne $1$ et d'écart type $0,08$.

La probabilité qu'une lentille souple soit conforme pour la densité 

est $P(0,88 \leqslant Z \leqslant 1,12) \approx 0,866$.

\bigskip
 
\textbf{D. Intervalle de confiance}

\medskip
 
%Le fabriquant voudrait estimer la densité moyenne inconnue $\mu$ des lentilles de sa production annuelle.
 
%On désigne par $D$ la variable aléatoire qui, à toute lentille de cette production, associe sa densité. On admet que $D$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma = 0,07$. 
%On prélève un échantillon aléatoire de 150 lentilles dans la production annuelle. Cette production est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
 
%On désigne par $\overline{D}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $150$ lentilles ainsi prélevé, associe la densité moyenne des lentilles de cet échantillon. On admet que $\overline{D}$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{150}}$ avec $\sigma = 0,07$. 

%Pour l'échantillon prélevé, on constate que la densité moyenne des lentilles est $\overline{d} = 1,108$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\overline{d}$ de la moyenne inconnue $\mu$ au niveau de confiance 95\,\%. Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{-2}$. 

Un intervalle de confiance centré sur $\overline{d}$ pour la moyenne au niveau de confiance 95\,\% est $I = \left [ \overline{d} - 1,96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{150}} ;  \overline{d} + 1,96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{150}}  \right ]$ (avec $\overline{d}=1,108$ et $\sigma =0,07$) soit $I \approx [1,09;1,12]$. 
\item %On considère la phrase suivante : \og on est sûr que la moyenne $\mu$ appartient à l'intervalle de confiance obtenu à la question précédente \fg. Est-ce vrai ? Justifier. 
On ne peut être certain que la moyenne $\mu$ appartient à l'intervalle de confiance obtenu. On sait seulement que pour la plupart (95 \,\%) des échantillons, l'IC contiendra $\mu$.
\end{enumerate}
\end{document}