%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-func} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} %Corrigé : Ronan Charpentier \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur } \lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}} \rfoot{\footnotesize{15 mai 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\[5pt] Opticien--lunetier session 15 mai 2012} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip %\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center} \emph{A. Résolution d'équations différentielles} \medskip \begin{enumerate} \item %On désigne par $x(t)$ la quantité de collyre antiallergique, exprimée en dizaines de microlitres, présente dans le cul-de-sac conjonctival à l'instant $t$. On suppose que la fonction $x$, de la variable réelle $t$, est définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~5] et vérifie l'équation différentielle %\[\left(E_{1}\right)\: :\quad x^{\prime}(t) + 2 x(t) = 0\] %où $x^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de la fonction $x$. \begin{enumerate} \item %Déterminer les solutions définies sur [0~;~5] de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$. Les solutions de l'équation différentielle $x'+2x=0$ sont les fonctions de la forme $x(t)=k \text{e}^{-2t}$ où $k \in \R$. \item %La quantité de collyre antiallergique instillée dans le cul-de-sac conjonctival à l'instant initial est $x(0) = 5$. %Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 5$. La condition initiale $f(0)=5$ s'écrit $k \text{e}^{-2 \times 0}=5$ soit $k=5$, ainsi $f(t)= 5 \text{e}^{-2t}$. \end{enumerate} \item %On désigne par $y(t)$ la quantité de collyre antiallergique pénétrant dans le tissu conjonctival à l'instant $t$. On suppose que la fonction $y$, de la variable réelle $t$, est définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~5] et vérifie l'équation différentielle %\[\left(E_{2}\right) : \quad y^{\prime}(t) + y(t) = 10 \text{e}^{- 2t}\] %où $y^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de la fonction $y$. \begin{enumerate} \item %Déterminer les solutions définies sur [0~;~5] de l'équation différentielle %\[\left(E_{0}\right) \::\quad y^{\prime}(t) + y(t) = 0.\] Les solutions de $y'+y=0$ sont les fonctions de la forme $y= k \text{e}^{-t}$ où $k \in\R$. \item %Soit $h$ la fonction définie sur [0~;~5] par $h(t) = - 10 \text{e}^{- 2t}$. %Démontrer que la fonction $h$ est une solution de l'équation différentielle $\left(E_{2}\right)$. De $h(t)=-10 \text{e}^{-2t}$ on tire $h'(t)=-10(-2)\text{e}^{-2t} = 20 \text{e}^{-2t}$ donc $h'(t)+h(t)=20\text{e}^{-2t}-10 \text{e}^{-2t}=10\text{e}^{-2t}$ donc $h$ est une solution de l'équation différentielle $\left(E_{2}\right)$. \item %En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\left(E_{2}\right)$. Les solutions de $(E_2)$ sont les fonctions de la forme $y=k \text{e}^{-t} -10 \text{e}^{- 2t}$. \item %Déterminer la solution particulière g de l'équation différentielle $\left(E_{2}\right)$ qui vérifie la condition initiale $g(0) = 0$. La condition initiale $g(0)=0$ donne $k \text{e}^0 -10 \text{e}^0 = 0$ donc $k=10$ et $g(t)=10\text{e}^{-t} -10 \text{e}^{- 2t}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Étude de fonctions et tracé d'une courbe} \medskip \begin{enumerate} \item %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~5] par %\[f(t) = 5\text{e}^{- 2t}\] %et $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~5] par %\[g(t) = 10\left(\text{e}^{- t} - \text{e}^{- 2t}\right).\] %Justifier, selon les valeurs de $t$, les signes de $f^{\prime}(t)$ et de $g^{\prime}(t)$ apparaissant dans le tableau de variation suivant. %On ne demande pas de justifier les différentes valeurs numériques données dans ce tableau. De $f(t)=5\text{e}^{- 2 t}$ on déduit que $f'(t)= -10 \text{e}^{- 2t}$ or $\text{e}^{- 2t} >0$ sur $[0~;~5]$ donc $f'(t)<0$ sur cet intervalle. Avec $g(t) = 10\left(\text{e}^{- t} - \text{e}^{- 2t}\right)$ on a $g'(t)=10 \left( -\text{e}^{-t} +2 \text{e}^{-2t} \right)=10 \text{e}^{-t}\left( -1 +2 \text{e}^{-t} \right)=10 \text{e}^{-t} \left(2 \text{e}^{-t} -1 \right)$. Puisque $10 \text{e}^{-t} >0$, $g'(t)$ a le signe de $2 \text{e}^{-t} -1$, or $2 \text{e}^{-t} -1 >0 \iff 2 \text{e}^{-t} >1 \iff \text{e}^{-t} > \frac12 \iff -t > \ln \left(\frac12\right) \iff t < \ln(2)$ ce qui permet d'établir que $g'(t)>0$ sur $[0~;~\ln(2)[$ et $g'(t)<0$ sur $]\ln(2)~;~5]$. %\medskip %\psset{unit=1cm} %\begin{center} %\begin{pspicture}(10,5.5) %\psframe(10,5.5)\psline(0,0.5)(10,0.5)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(0,4.5)(10,4.5)\psline(0,5)(10,5) %\psline(2,0)(2,5.5) %\uput[u](1,5){$t$} \uput[u](2.15,5){$0$} \uput[u](6,5){$\ln 2$} \uput[u](9.8,5){$5$} %\rput(1,4.75){$f^{\prime}(t)$}\rput(2.4,4.75){$- 10$} \rput(4,4.75){$-$} \rput(6,4.75){$- 2,5$} \rput(8,4.75){$-$}\rput(9.4,4.75){$-10\text{e}^{- 10}$} %\rput(1,3.5){$f(t)$} \rput(2.15,4.2){5}\uput[u](9.1,2.5){$5\text{e}^{- 10}$} %\rput(1,1.5){$g(t)$}\uput[u](2.15,0.5){$0$}\uput[d](6,2.5){2,5}\uput[u](8.95,0.5){$10\left(\text{e}^{- 5}- \text{e}^{- 10} \right)$} %\rput(1,0.25){$g^{\prime}(t)$}\rput(2.2,0.25){10}\rput(4,0.25){$+$}\rput(6,0.25){$0$}\rput(8.65,0.25){\small$- 10\left(- \text{e}^{- 5} + 2\text{e}^{- 10} \right)$}\rput(7,0.25){$-$} %\psline{->}(2.5,4)(9,3) %\psline{->}(2.5,1)(5.5,2)\psline{->}(6.5,2)(8.8,1.25) %\end{pspicture} %\end{center} \item %Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 2~cm. %On considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est : %\[\left\{\begin{array}{l c l} %x&=&f(t)\\ %y&=&g(t) %\end{array}\right. \quad \text{où}\: t\: \text{appartient à l'intervalle}\: [0, 5]. \] %Représenter, à l'aide du tableau de variation précédent, la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère défini ci-dessus. \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=2cm,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(5.1,3) \psaxes[comma,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(5,2.5) \psdots[dotstyle=+](5.0,0.0) (3.0326,1.7227) (1.8393,2.3865) (1.1156,2.4923) (0.6766,2.3254) (0.4104,2.0441) (0.2489,1.7334) (0.1509,1.4357) (0.0915,1.1701) (0.0555,0.9429) (0.0336,0.7534) (0.0204,0.5984) (0.0123,0.473) (0.0075,0.3727) (0.0045,0.2928) (0.0027,0.2296) (0.0016,0.1798) (0.001,0.1406) (0.0006,0.1098) (0.0003,0.0857) (0.0002,0.0669) \parametricplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{5}{ 2.718 t -2 mul 1.609538 add exp 2.718 t neg exp 2.718 t -2 mul exp sub 10 mul } \end{pspicture*} \end{center} %La courbe $\mathcal{C}$ illustre le transport médicamenteux. \item %Préciser les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points obtenus pour $t = 0$ et pour $t = 5$. Pour $t=0$, la tangente a pour vecteur directeur $\vec v_0 \left( \begin{array}{c} f'(0) \\ g'(0) \end{array} \right)$ soit $\vec v_0 \left( \begin{array}{c} -10 \\ 10 \end{array} \right)$ et passe par $(f(0);g(0)) = (5 ;0)$, son coefficient directeur est $\frac{10}{-10}=-1$, son ordonnée à l'origine est $0-(-1)5=5$, son équation réduite est $y=-x+5$. Pour $t=5$, la tangente a pour vecteur directeur $\vec v_5 \left( \begin{array}{c} f'(5) \\ g'(5) \end{array} \right)$ soit $\vec v_5 \left( \begin{array}{c} -10 \text{e}^{-10} \\ 20 \text{e}^{-10} -10 \text{e}^{-5} \end{array} \right)$ et passe par $(f(0);g(0)) = (5 \text{e}^{-10} ; 10 \text{e}^{-5}-10 \text{e}^{-10})$, son coefficient directeur est $\frac{20 \text{e}^{-10}-10\text{e}^{-5}}{-10 \text{e}^{-10}}=-2+\text{e}^{5}$, son ordonnée à l'origine est $ 10\text{e}^{-5}-10\text{e}^{-10}-\left(\text{e}^{5}-2\right)\times 5\text{e}^{-10}=5\text{e}^{-5}$, son équation réduite est $y=\left(\text{e}^{5}-2\right)x+5\text{e}^{-5}$. %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou non aboutie sera prise en compte.} \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Calcul intégral} \medskip %Déterminer la valeur exacte, puis la valeur approchée, arrondie à $10^{-2}$, de l'intégrale : $\displaystyle I = \int_{0}^5 \underbrace{-10\left(\text{e}^{- 2t} - \text{e}^{- t}\right)}_{g(t)}\:\text{d}t=\left[ -10 \left( \dfrac{\text{e}^{-2t}}{-2} - \dfrac{\text{e}^{-t}}{-1} \right ) \right]_0 ^5 =\left[ \underbrace{5 \text{e}^{-2t} -10\text{e}^{-t}}_{G(t)} \right]_0 ^5 $ $I=G(5)-G(0)= \left( 5 \text{e}^{-2 \times 5} -10 \text{e}^{-5} \right) -\left( 5 \text{e}^{-2 \times 0} -10 \text{e}^{0} \right) = 5 \text{e}^{-10} -10 \text{e}^{-5} +5 \approx 4,93$. %\emph{Cette intégrale correspond à la quantité de collyre antiallergique pénétrant dans le tissu entre les instants $t = 0$ et $t = 5$.} \vspace{1,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip %Une entreprise fabrique en grande série des pièces de trois modèles différents, pour la lunetterie. Dans chaque partie, on étudie un modèle différent. %\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center} \emph{A. Défaut(s) des pièces du premier modèle} \medskip %Une pièce du premier modèle peut présenter deux types de défauts : un défaut de longueur et un défaut d'épaisseur. %On prélève au hasard une pièce dans la production d'une journée. On note : %$L$ l'évènement : \og la pièce présente le défaut de longueur \fg ; %$E$ l'évènement: \og la pièce présente le défaut d'épaisseur \fg. %On admet que : %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item la probabilité que la pièce prélevée présente le défaut de longueur est %$P(L) = 0,04$ ; %\item la probabilité que la pièce prélevée présente le défaut d'épaisseur est %$P(E) = 0,07$ ; %\item la probabilité que la pièce prélevée présente ces deux défauts est $0,02$. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} %\medskip \begin{enumerate} \item %\emph{Les questions a, b, c et d suivantes sont des questions à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\ %La réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse enlève 0,25 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\ %Si le total est négatif, la note pour cette question 10 est ramenée à zéro.} \begin{enumerate} \item %La probabilité que la pièce prélevée possède au moins un défaut est : $P(L \cup E) = P(L)+P(E)-P(L \cap E)= 0,04+0,07-0,02=0,09$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 0,11 &0,98 &\textbf{0,09}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item %La probabilité que la pièce prélevée possède un seul défaut est: $P(L \cap \overline E) + P(\overline L \cap E)=P(L \cup E)-P(L \cap E)=0,09-0,02=0,07$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 0,09 &\textbf{0,07} &0,03\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item $P(L \cap E)=0,02$, $P(L)P(E)=0,04 \times 0,07 = 0,0028$ donc $P(L \cap E) \neq P(L)P(E)$ donc $L$ et $E$ ne sont pas indépendants. $P(L \cap E) \neq 0$ donc $K$ et $E$ ne sont pas incompatibles. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline Les évènements $L$ et $E$ sont indépendants. & Les évènements $L$ et $E$ sont incompatibles.& \textbf{Les évènements $L$ et $E$ ne sont ni indépendants ni incompatibles.}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item %On prélève maintenant un pièce au hasard parmi toutes celles présentant le défaut de longueur. La probabilité que cette pièce présente également le défaut d'épaisseur est : $P_L(E)=\dfrac{P(L \cap E)}{P(L)}=\dfrac{0,02}{0,04}=0,5$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 0,07& \rule[-3mm]{0mm}{9mm}\textbf{0,5} &$\dfrac{2}{7}$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item %On prélève au hasard un échantillon de 10 pièces du premier modèle dans la production. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pièces. %On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 10 pièces, associe le nombre de pièces présentant le défaut de longueur. \begin{enumerate} \item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. On répète $n=10$ fois, indépendamment (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve à deux issues : le succès \og la pièce a un défaut de longueur", de probabilité $p=0,04$, et l'échec. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,04$. \item %Calculer la probabilité qu'un tel prélèvement comporte exactement trois pièces présentant le défaut de longueur. Arrondir à $10^{- 3}$. La probabilité qu'un tel prélèvement comporte exactement trois pièces présentant le défaut de longueur est $P(X=3) \approx 0,006$, arrondie à $10^{- 3}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Rayon des pièces du deuxième modèle} \medskip %\begin{center}\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-3}$}\end{center} %Dans la production d'une journée, on prélève au hasard une pièce du deuxième modèle. %On désigne par $R$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée, associe son rayon exprimé en mm. %On suppose que la variable aléatoire $R$ suit la loi normale de moyenne $15$ et d'écart type $0,75$. La variable aléatoire $R$ suit la loi normale d'espérance 15 et d'écart type 0,75. \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité que la pièce prélevée ait un rayon inférieur à 16~mm. La probabilité que la pièce prélevée ait un rayon inférieur à 16~mm est $P(R \leqslant 16) \approx 0,909$. \item %Calculer la probabilité que la pièce prélevée ait un rayon compris entre 13,5 et 16,5~mm. La probabilité que la pièce prélevée ait un rayon compris entre 13,5 et 16,5~mm est $P(13,5 \leqslant R \leqslant 16,5) \approx 0,954$. \end{enumerate} \newpage \emph{C. Masses des pièces du troisième modèle} \medskip %On étudie dans cette partie la masse des pièces du troisième modèle. On désire construire un test unilatéral pour décider si, au seuil de 5\,\%, la masse moyenne des pièces fabriquées le 7 mars 2012 est ou n'est pas inférieure à 20~g. %\medskip \begin{enumerate} \item %On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100~pièces dans la production du 7 mars 2012. Sur cet échantillon, on obtient une masse moyenne $\overline{x} = 19,972$~g et un écart type $\sigma_{e} = \np{0,4979}$. %Donner une estimation ponctuelle de l'écart type $\sigma$ des masses des pièces du troisième modèle dans la production du 7 mars 2012 (arrondir à $10^{- 3}$). Une estimation ponctuelle de l'écart type dans la production du 7 mars, à partir de l'écart type $\sigma_e$ calculé sur un échantillon de taille $n=100$, est $\sigma = \sqrt\frac{100}{99} \sigma_e \approx 0,500$. \item %On note $Y$ la variable aléatoire qui, à toute pièce du troisième modèle prélevée au hasard dans la production du 7 mars 2012, associe sa masse exprimée en grammes. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $0,5$. %On désigne par $\overline Y$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100~pièces du troisième modèle prélevé au hasard et avec remise dans la production du 7 mars 2012, associe la moyenne des masses des pièces de cet échantillon, exprimées en grammes. %L'hypothèse nulle est H$_{0}$ : $\mu = 20$. %L'hypothèse alternative est H$_{1}$ : $\mu < 20$. %Le seuil de signification est fixé à $0,05$. \begin{enumerate} \item %Sous l'hypothèse H$_{0}$, la variable aléatoire $\overline Y$ suit la loi normale de moyenne 20 et d'écart type $0,05$. Déterminer alors le nombre réel positif $h$ tel que : %$P\left(\overline{Y} \geqslant 20 - h\right) = 0,95$ (arrondir $h$ à $10^{-3}$). La variable aléatoire $\overline Y$ suit la loi normale d'espérance 20 et d'écart type 0,05. En utilisant la calculatrice (FracNormale ou InvN suivant le modèle), on trouve $P(\overline Y \geqslant 20-h)=0,95$ pour $h =1,645 \times 0,05 \approx 0,082$. \item %Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. On prélève 100 pièces du troisième modèle et on calcule la moyenne $\overline x$ des masses des pièces de cet échantillon en grammes. Si $\overline x \geqslant 20-h = 19,908$, alors on accepte $H_0$, sinon on rejette $H_0$ avec un risque d'erreur (de première espèce) 0,05. \item %À l'aide des résultats de l'échantillon de la question C 1., peut-on, au seuil de 5\,\%, conclure que la masse moyenne des pièces du troisième modèle fabriquées le 7 mars 2012 est inférieure à 20~g ? $\overline x = 19,972 \geqslant 19,908$ donc on accepte $H_0$. On ne peut pas conclure que la masse moyenne des pièces du troisième modèle fabriquées le 7 mars 2012 est inférieure à 20~g. \end{enumerate} \item %Aurait-on la même décision que précédemment, en fixant le seuil de signification du test à 1\,\% ? En reprenant la même démarche, on a $h=2,326 \times 0,05 \approx 0,116$, l'intervalle d'acceptation de l'hypothèse nulle est alors $[19,884 : +\infty [$, et puisque la moyenne $\overline x$ appartient à cet intervalle on accepte aussi l'hypothèse nulle au seuil de signification 1\,\%. On peut aussi remarquer que la zone critique pour un seuil plus petit est incluse dans la zone critique pour un seuil plus grand. \begin{tabular}{|c|c|} \hline \rule[-10mm]{0mm}{35mm} \psset{yunit=0.35cm,xunit=14cm} \begin{pspicture*}[showgrid=false](19.8,-2)(20.2,9) \pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=black]{% \psline(19.8,0.00267)(19.8,0)(19.8837,0)%(19.8837,0.533474365) \psGauss[sigma=0.05,mue=20]{19.8837}{19.8} } \psaxes{->}(0,0)(19.8,-0.1)(20.2,9) %\uput[d](2,0){x}\uput[r](0,1.25){y} \uput[d](19.884,0){19,884} \uput[d](19.84,2){1\,\%} \psGauss[sigma=0.05,mue=20]{19.8}{20.2} \end{pspicture*} & \psset{yunit=0.35cm,xunit=14cm} \begin{pspicture*}[showgrid=false](19.8,-2)(20.2,9) \pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=black]{% \psline(19.8,0.00267)(19.8,0)(19.908,0)%(19.8837,0.533474365) \psGauss[sigma=0.05,mue=20]{19.908}{19.8} } \psaxes{->}(0,0)(19.8,-0.1)(20.2,9) %\uput[d](2,0){x}\uput[r](0,1.25){y} \uput[d](19.908,0){19,908}\uput[d](19.84,2){5\,\%} \psGauss[sigma=0.05,mue=20]{19.8}{20.2} \end{pspicture*} \\ \hline Seuil 1\,\% \hfill intervalle $]-\infty;19,884]$ & Seuil 5\,\% \hfill intervalle $]-\infty;19,908]$ \\ \hline \end{tabular} %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou non aboutie sera prise en compte.} \end{enumerate} \end{document}