\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Jean-Claude Souque %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-circ,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Métropole 16 mai 2025}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Groupement B1}} \rfoot{\small{16 mai 2025}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole -- 16 mai 2025~\decofourright}\\[7pt]Groupement B1 %\footnote{Aéronautique, Assistance technique d'ingénieur,Bâtiment, Conception et réalisation de carrosseries, Conception et réalisation des systèmes automatiques, Enveloppe des bâtiments : conception et réalisation, Environnement nucléaire, Fluides - énergies - domotique (3 options), Maintenance des systèmes (3 options), Traitement des matériaux (2 options), Travaux publics}\\[7pt] Durée : 2 heures}} % %\medskip % %\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} % %\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé} \end{center} \smallskip \textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Pour fabriquer de l'aluminium en feuille on chauffe une plaque d'aluminium à 250~\textcelsius{} puis on la sort du four : c'est alors la phase de refroidissement. On étudie l'évolution de la température de la plaque d'aluminium durant cette phase. On note $f(t)$ la température de la plaque d'aluminium à l'instant $t$. $f(t)$ est exprimée en degré Celsius, et $t$ désigne le nombre de minutes de refroidissement. %\medskip % %\emph{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip \textbf{\large Partie A. Équation différentielle} \medskip On sait que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E): y' + 0,25y = 7,5$ %où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~; +\infty [$, et où $y'$ est la dérivée de $y$. \begin{enumerate} \item On résout l'équation différentielle $ (E_0) : y' + 0,25y = 0.$ D'après le formulaire, l'équation différentielle $y'+ay=0$ a pour solutions les fonctions définies par $y(t)=k\e^{-at}$, où $k\in\R$, donc l'équation différentielle $y'+0,25y=0$ a pour solutions les fonctions définies par $y(t)=k\e^{-0,25t}$, où $k\in\R$. %On fournit la formule suivante : % %\medskip % %\begin{center} %\begin{tabular}{|*{2}{c|}} %\hline Équation différentielle &Solutions sur un intervalle I\\ %\hline %$y' + ay = 0$ & $y(t) = k\e^{-a t},\quad k \in \R$ \\ %\hline %\end{tabular} %\end{center} \item %Soit $c$ un nombre réel. Soit la fonction constante $g$ définie sur l'intervalle $[0\;;+\infty[$ par : $g(t) = c$, où $c\in\R$. $g$ est solution de $(E)$ si et seulement si, pour tout réel $t$, $g'(t) +0,25g(t)=7,5$, soit $0,25c=7,5$; donc $c=\dfrac{7,5}{0,25}=30$. %Déterminer le réel $c$ pour que la fonction $g$ soit solution de l'équation différentielle (E). \item Donc les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $[0\;;+\infty[$ par $f(t)=k\e^{-0,25t}+30$. \item %Déterminer l'expression de la fonction $f$ sachant qu'à l'instant $t = 0$ la température est égale à 250~\textcelsius. $f(0)=250 \iff k\e^{0}+30 = 250 \iff k=220$ La fonction $f$ a donc pour expression $f(t)=220\e^{-0,25t}+30$ où $t\in[0\;;+\infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\large Partie B. Étude de fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 \;;+\infty[$ par : $f(t) = 220\e^{-0,25t} + 30.$ %On admet que $f(t)$ représente la température (en degré Celsius) de la plaque d'aluminium après $t$ minutes de refroidissement. \begin{enumerate} \item La valeur de la température de la plaque après un quart d'heure de refroidissement, est $f(15)$ dont la valeur approchée à 0,1~\textcelsius{} est $35,2$~\textcelsius. \item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. $\ds\lim_{t\to +\infty} -0,25t=-\infty$ et $\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$, donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,25t}=0$. On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} 220\e^{-0,25t}+30=30$, c'est-à-dire $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)=30$. La courbe représentative de la fonction $f$ admettra donc une asymptote horizontale d'équation $y=30$ en $+\infty$. %Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. La température limite de refroidissement sera donc de 30~\textcelsius. \item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0 \;;+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. %Déterminer $f'(t)$ pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 \;;+\infty[$. % %En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 \;;+\infty[$. % %Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. $f'(t)=220\times (-0,25)\e^{-0,25t}+0=-55\e^{-0,25t}$ Pour tout réel $x$, on sait que $\e^{x}>0$, donc pour tout $t$ de $[0 \;;+\infty[$, $f'(t)<0$. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[0 \;;+\infty[$. Cela paraît logique car plus le temps passe pendant la phase de refroidissement, plus la température de la plaque diminue. \item Un technicien affirme : \og en cent secondes, la plaque a perdu cent degrés \fg. Cent secondes correspondent à 1 minute et 40 secondes, soit $1+\dfrac{40}{60}\approx 1,667$. \\ Or $f(1,667)\approx 175> 150$ donc le technicien a tort. %A-t-il raison? Quelle est la durée nécessaire, arrondie à la seconde, pour que la température de la plaque passe en dessous de 150~\textcelsius{} ? On résout l'inéquation $f(t)<150$. $\aligned f(t)<150 & \iff 220\e^{-0,25t}+30 < 150 \iff 220\e^{-0,25t} < 120 \iff \e^{-0,25t} < \dfrac{120}{220}\\ & \iff -0,25t < \ln\left (\dfrac{120}{220}\right ) \iff t> -\dfrac{\ln\left (\frac{120}{220}\right )}{0,25} \endaligned$ Or $-\dfrac{\ln\left (\frac{120}{220}\right )}{0,25} \approx 2,4245$ et $0,4245$ minute correspond à $0,4245\times 60$ soit environ 25 secondes. La durée nécessaire, arrondie à la seconde, pour que la température de la plaque passe en dessous de 150~\textcelsius{} est donc de 2 minutes et 25 secondes. %Les réponses devront être justifiées. \item %Réaliser sur la copie un croquis donnant l'allure de la courbe représentative de la fonction $f$. Ce croquis devra également faire apparaître les résultats des questions \textbf{1} à \textbf{4}. On trace la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal. \begin{center} \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.04cm,arrowsize=3pt 2,radius=0pt,nodesep=4pt} \def\xmin{-1} \def\xmax{24} \def\ymin{-1} \def\ymax{260} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[yunit=0.4cm,subgriddiv=0, gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(24,26) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,ticksize=-2pt 2pt, Dx=1, Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)%, labels=none \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{\xmax}{30 220 2.7183 -0.25 x mul exp mul add} \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0,30)(\xmax,30) \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0,150)(\xmax,150) \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.4245,150)(2.4245,0) \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](15,0)(15,35.2)(0,35.2) \uput*[l](0,35.2){\blue\footnotesize $35,2$} \uput*[d](2.4245,0){\blue\footnotesize $2'25''$} \psdots[linecolor=blue](15,35.2) \uput[d](8,30){\red $y=30$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \newpage \textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \textbf{\large Partie A. Loi exponentielle} \medskip On s'intéresse au temps que doit attendre un client pour être servi à la terrasse d'un café. On admet que ce temps d'attente, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. \begin{enumerate} \item On sait que le temps d'attente moyen d'un client est égal à $4$ minutes. %Expliquer pourquoi on a alors $\lambda = 0,25$. Si la variable aléatoire $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, son espérance, c'est-à-dire le temps d'attente moyen d'un client, est égal à $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}$. \\ Comme $E(T)=4$, on a $\dfrac{1}{\lambda}=4$ donc $\lambda=0,25$. \item% Décrire par une phrase l'évènement $(T < 3)$ et déterminer sa probabilité, arrondie à $10^{-3}$. L'évènement $(T < 3)$ est l'évènement \og le temps d'attente est inférieur à 3 minutes \fg{}. Si $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on a: $P(T t) = 0,1$. On résout l'équation:\\ $P(T>t)=0,1 \iff \e^{-0,25t}=0,1 \iff -0,25t=\ln(0,1) \iff t=-\dfrac{\ln(0,1)}{0,25}$ $-\dfrac{\ln(0,1)}{0,25}\approx 9,21$; or $0,21\times 60 \approx 13$ donc le temps $t$ tel que $P(T > t) = 0,1$ est de 9 minutes 13 secondes. \end{enumerate} \medskip \textbf{\large Partie B. Probabilités conditionnelles} \medskip Un café propose des boissons chaudes et des boissons froides, qui peuvent être servies en terrasse ou en salle. \begin{list}{\textbullet}{On dispose des informations suivantes:} \item 60\,\% des consommations sont servies en terrasse. Dans un tiers des cas, il s'agit d'une boisson chaude. \item 40\,\% des consommations sont servies en salle. Parmi elles, les trois quarts sont des boissons chaudes. \end{list} On s'intéresse à une consommation choisie au hasard. \begin{list}{}{On considère les évènements suivants:} \item $T$ : il s'agit d'une consommation servie en terrasse. \item $C$ : il s'agit d'une boisson chaude. \end{list} \newpage \begin{enumerate} \item On dresse un arbre pondéré représentant la situation. \begin{center} %\bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,treesep=1cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\naput{$0,60$}} { \TR{$C$}\naput{$\frac{1}{3}$} \TR{$\overline{C}$}\nbput{\blue $1- \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue $1-0,60=0,40$}} { \TR{$C$}\naput{$\frac{3}{4}$} \TR{$\overline{C}$}\nbput{\blue $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$} } } %\bigskip \end{center} \item %Déterminer la probabilité $P(T\cap C)$. $P(T\cap C) = P(T)\times P_T(C)= 0,60 \times \dfrac{1}{3} = 0,20$ \item %Montrer que la probabilité que la consommation soit une boisson chaude est égale à $\frac{1}{2}$. La probabilité que la consommation soit une boisson chaude est $P(C)$. D'après la formule des probabilités totales: $P(C)=P(T\cap C) + P\left (\overline{T} \cap C \right ) = 0,20+0,40\times \dfrac{3}{4}=0,50=\dfrac{1}{2}$ \item Une boisson chaude vient d'être commandée. Un serveur déclare : \og Elle a davantage de chance d'être servie en salle qu'en terrasse \fg. %Le serveur a-t-il raison ? Justifier la réponse. La probabilité qu'elle soit servie en terrasse est: $P_C(T)= \dfrac{P(T\cap C)}{P(C)}= \dfrac{0,20}{0,50}=0,40<\dfrac{1}{2}$ Donc la boisson chaude a davantage de chance d'être servie en salle qu'en terrasse, et donc le serveur a raison. \item %Les évènements $T$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier. $P(T\cap C)=0,20$; $P(T)=0,60$ et $P(C)=0,50$ donc $P(T)\times P(C)=0,30$ $P(T\cap C) \neq P(T)\times P(C)$ donc les évènements $T$ et $C$ ne sont pas indépendants. \end{enumerate} \medskip \textbf{\large Partie C. Intervalle de confiance} \medskip La direction d'un café souhaite estimer la proportion $p$ d'étudiants parmi ses clients. Pour cela, elle interroge un échantillon aléatoire de \np{1000} clients. Dans cet échantillon, elle compte $525$~étudiants. %\medskip \begin{enumerate} \item %Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ d'étudiants. $f = \dfrac{525}{\np{1000}}=0,525$ est une estimation ponctuelle de la proportion $p$ d'étudiants. \item Pour donner une estimation de la proportion $p$, on détermine un intervalle de confiance $I_{90}$ avec le niveau de confiance de 90\,\%. $\aligned I_{90} & = \left[ f - 1,65 \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\;; f + 1,65 \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right]\\ & =\left[ 0,525 - 1,65 \sqrt{\frac{0,525(1-0,525)}{\np{1000}}}\;; 0,525 + 1,65 \sqrt{\frac{0,525 (1-0,525)}{\np{1000}}}\right]\\ & \approx \left [0,499\;; 0,551\strut\right ] \endaligned$ %On fournit la formule suivante: % %\renewcommand{\arraystretch}{1.5} %\begin{tabular}{|c|}\hline %Intervalle de confiance d'une proportion avec un niveau de confiance de 90\,\%\\\hline %\raisebox{-1.5ex}[0pt][0pt] {$\left[ f - 1,65 \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}} ;f + 1,65 \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right]$}\\[3ex]\hline %\end{tabular} \item Le patron du café affirme: \og La proportion $p$ est obligatoirement contenue dans l'intervalle de confiance. \fg %A-t-il raison ? Justifier. Il a tort: il n'y a que 90\;\% de chances que l'intervalle $I_{90}$ contienne la proportion $p$. \item On estime que lorsqu'un étudiant vient au café, sa consommation s'élève en moyenne à $3,50$~euros. Chaque mois, le café reçoit \np{5000} clients. La direction du café décide d'accorder une réduction de 10\,\% aux étudiants. En supposant que la proportion $p$ est effectivement contenue dans l'intervalle de con\-fiance, pour \np{5000} clients, on peut estimer le nombre d'étudiants entre $0,499\times\np{5000}$ et $0,551\times\np{5000}$, soit dans l'intervalle $\left [\np{2495}\;; \np{2755}\strut \right ]$. La réduction pour un étudiant est de 10\;\% de $3,50$~\euro, soit $0,35$~\euro. $\np{2495}\times 0,35=873,25$ et $\np{2755}\times 0,35=964,25$ On peut donc estimer que le manque à gagner mensuel en euro pour le café appartient à l'intervalle $\left [873,25\;; 964,25\strut\right ]$. %indiquer, sous forme d'un intervalle, le manque à gagner mensuel pour le café. \end{enumerate} \end{document}