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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
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\newcommand{\ts}{\textstyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B1 -- corrigé}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole 14 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Groupement B1
%\footnote{Aéronautique, Assistance technique d'ingénieur,Bâtiment, Conception et réalisation de carrosseries, Conception et réalisation des systèmes automatiques, Enveloppe des bâtiments : conception et réalisation,  Environnement nucléaire, Fluides - énergies - domotique (3 options), Maintenance des systèmes (3 options), Traitement des matériaux (2 options), 
%Travaux publics}\\[7pt] Durée : 2 heures
}}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On coule du béton pour faire une dalle. Au début, le béton est mou, puis, au fil du temps, il sèche, et devient plus résistant.
On note $f(t)$ la résistance du béton à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimée en mégapascal (MPa) et $t$ désigne le nombre de jours de séchage.

%\begin{center}\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que  $f$ est solution de l'équation différentielle : $(E)$ \quad $y' + 0,06y = 2,1$.

%où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$  et où $y'$ est la dérivée de $y$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On résout sur $[0~;~ +\infty[$ l'équation différentielle:
$\left(E_0\right) \quad  y' + 0,06y = 0$.

D'après le cours, on sait que l'équation différentielle $y' + ay = 0$ a pour solutions les fonctions $y$ définies par $y(t) = k\e^{-at}$, où $k\in\R$, donc l'équation différentielle $(E_0)$ a pour solutions les fonctions $y$ définies sur $[0~;~ +\infty[$ par $y(t)=k\e^{-0,06t}$ où $k\in\R$.

%On fournit la formule suivante: 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Équation différentielle&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
%$y' + ay = 0$&$y(t) = k\e^{-at}$\\ \hline
%\end{tabularx} 
%\end{center}

\item On considère la fonction constante $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = 35$.

$g'(t) + 0,06g(t)= 0+0,06\times 35 = 2,1$ donc  la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item On en déduit que les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $[0~;~ +\infty[$ par $f(t) = k\e^{-0,06t}+35$ où $k\in\R$.

\item À l'instant $t = 0$, on considère que la résistance du béton est nulle donc $f(0)=0$.

$f(0)=0 \iff  k\e^{-0,06\times 0}+35 = 0 \iff k+35=0 \iff k=-35$

Donc la fonction $f$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par :  $f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Étude de fonction}

\medskip

On considère  la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par: $f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.$

%On rappelle que $f(t)$ désigne la résistance du béton, exprimée en mégapascal, à
%l'issue de $t$ jours de séchage.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item La résistance du béton après 7 jours de séchage est, en MPa:\\
$f(7)=-35\e^{-0,06\times 7}+35 \approx 12,0$.

72 heures correspondent à 3 jours. Donc la résistance du béton après 72 heures de séchage est, en MPa: $f(3)=-35\e^{-0,06\times 3}+35 \approx 5,8$.

%Arrondir au dixième.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. 

Pour tout réel $t \in [0~;~ +\infty[$, on a : 
$f'(t) = -35\times (-0,06)\e^{-0,06t} + 0 =2,1\e^{-0,06t}.$

\item Pour tout $t$ de $[0~;~ +\infty[$, $\e^{-0,06t}>0$ donc $f'(t)>0$.

On en déduit que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$.

\item %Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini.
$\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$
et
$\ds\lim_{t\to +\infty} -0,06t = -\infty$
donc
$\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,06 t}= 0$

On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t) = 35$.

%Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
La résistance du béton va tendre vers 35 MPa.

\item Le fabricant du béton affirme que la résistance après 28 jours de séchage correspond à 80\,\% de la résistance finale.

Cette résistance est donc de $f(28)$ soit environ $28,5$ MPa.

$80\;\%$ de 35 correspondent à $0,8\times 35 = 28$.

Donc l'affirmation du fabricant est juste.

\item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
$F(t) = \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06t} + 35t.$

$F'(t) = \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right)\times (-0,06) \e^{-0,06t} + 35
= -\left(\dfrac{\np{1750}\times 0,006}{3}\right) \e^{-0,06t} + 35\\
\phantom{F'(t)}
= -35 \e^{-0,06t} + 35
= f(t)$

Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

\item La valeur moyenne de la résistance du béton sur les 28 premiers jours est:

$M = \dfrac{1}{28-0}\ds\int_0^{28} f(t) \d t
= \dfrac{1}{28} \left [ F(t)\strut \right ]_{0}^{28}
= \dfrac{1}{28} \left [ F(28) - F(0)\strut \right ]\\[7pt]
\phantom{M}
= \dfrac{1}{28} \left [ \left (\left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06\times 28} + 35\times 28 \right ) - \left ( \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06\times 0} + 35\times 0 \right )\strut \right ]\\[7pt]
\phantom{M}
= \dfrac{1}{28} \left [ \left ( \dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-1,68} + 980  - \dfrac{\np{1750}}{3}\strut \right ]
\approx 18
$
%On fournit la formule suivante:
%\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%La valeur moyenne $M$ d'une fonction $h$ sur l'intervalle $[a~;~ b]$ est définie par :\\
%$M = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b h(t)\:\text{d}t$.\rule[-15pt]{0cm}{20pt}\\ \hline
%\end{tabularx}\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Algorithme}

\medskip

On note $N$ le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage
permettant d'obtenir une résistance au moins égale à 21 MPa.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète  l'algorithme.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|m{2cm} |l|}\hline
Ligne 1 &$t \gets 0$\\ \hline
Ligne 2 &$R\gets 0$\\ \hline
Ligne 3 &Tant que $\blue R < 21$ \\ \hline
Ligne 4 &\qquad $t\gets \blue t+1$  \\ \hline
Ligne 5 & \qquad $R \gets -35\e^{-0,06t} +35$ \hspace*{1cm}\\ \hline
Ligne 6 &Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item %Donner la valeur de $N$. Expliquer la démarche suivie.
En utilisant la calculatrice, on trouve:
$f(15) \approx 20,8 < 21$ et $f(16) \approx 21,6>21$.

Donc le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage
permettant d'obtenir une résistance au moins égale à 21 MPa est $N=16$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A. Loi normale}

\medskip

Une entreprise produit des tiges métalliques cylindriques.
On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute tige prélevée au hasard, associe son diamètre exprimé en millimètres.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 32$ et d'écart-type $\sigma = 0,6$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité, arrondie au millième, que le diamètre de la tige prélevée ait
un diamètre compris entre $31$ et $33$~mm est
$P(31 \leqslant X \leqslant 33)   \approx 0,904$.

\item On veut déterminer, au millième près, le réel $h$ tel que: $P(X > 32 - h) = 0,975.$

Dans un premier temps, on peut utiliser le cours; on sait que:\\
 $P(\mu-2\sigma \leqslant  X \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,95$.

%\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.07} \def\ymax {0.305}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)

\def\m{4}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
%\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
%\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}
\psGauss[mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax}

\def\inf{1.5} \def\sup{6.5}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psGauss[mue=\m,sigma=\s]{\inf}{\sup}
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}

\uput[d](\m,0){$\mu$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){$\mu - 2\sigma$}
\uput[d](\sup,0){$\mu + 2\sigma$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1)
\uput[70](6,0.25){\red $95\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(7,0.03)
\uput[ur](8,0.2){$2,5\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1,0.03)
\uput[ul](-1,0.2){$2,5\,\%$}
\psaxes[ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none](0,0)(\xmin,0)(\xmax,0)

\end{pspicture*}
%\end{center}

On en déduit que $P(X\geqslant \mu-2\sigma) \approx 0,975$, ce qui donne: \\
$P(X\geqslant 32-2\times 0,6)\approx 0,975$, soit: $P(X\geqslant 30,8)\approx 0,975$.

On utilise la calculatrice pour être plus précis, et on trouve:\\
 $P(X\geqslant 30,824)\approx 0,975$ soit $P(X\geqslant 32- 1,176)\approx 0,975$.

Au millième près, le réel $h$ tel que: $P(X > 32 - h) = 0,975$ est $h=1,176$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Loi binomiale}

\medskip

Une entreprise dispose de 15 imprimantes fonctionnant indépendamment les unes des autres.
On se place un jour donné.
On considère une imprimante quelconque. La probabilité qu'elle tombe en panne ce
jour est égale à 0,07.
On considère la variable aléatoire $Y$ qui compte le nombre d'imprimantes qui tombent
en panne ce jour.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Donner la loi suivie par $Y$, ainsi que ses paramètres et son espérance.
Pour une imprimante donnée, il n'y a que deux possibilités: elle tombe en panne (avec une probabilité de $p=0,07$), ou elle ne tombe pas en panne.

On considère 15 imprimantes qui fonctionnent de façon indépendante, donc  la variable aléatoire $Y$ qui compte le nombre d'imprimantes qui tombent en panne ce jour suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,07$.

Son espérance est $E(Y)=np=15\times 0,07 = 1,05$.

\item La probabilité qu'exactement 12 imprimantes ne tombent pas en panne ce jour est égale à la probabilité qu'exactement 3 imprimantes tombent en panne:

$P(Y=3)=\ds\binom{15}{3}\times 0,07^3 \times (1-0,07)^{15-3} \approx 0,065$.

%Arrondir au millième.
\item À la calculatrice, on trouve que la probabilité qu'au moins 3 imprimantes tombent en panne ce jour est:
$P(Y\geqslant 3)\approx 0,083$.

%Arrondir au millième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Test d'hypothèse}

\medskip

Une entreprise commercialise des blocs de béton de chanvre. Elle affirme que la résistance moyenne $\mu$ de ces blocs est égale à 50 mégapascals (MPa).
Désirant vérifier la validité de cette affirmation, un contrôleur met en place un test d'hypothèse bilatéral.
On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque bloc prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, exprimée en MPa.
La variable aléatoire $Z$ suit une loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart-type $\sigma = 0,35$.

Soit $n$ un entier naturel. On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $n$ blocs prélevés dans la production, associe la moyenne des résistances de ces blocs.\\
On rappelle que la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$.

L'hypothèse nulle $H_0$ est : \og $\mu = 50$ \fg.
L'hypothèse alternative $H_1$ est: \og $\mu \ne 50$ \fg.
Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%.
On se place dans le cas où $n = 80$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $H_0$,  la variable aléatoire $\overline Z$ suit la loi normale de moyenne $\mu= 50$ et d'écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{0,35}{\sqrt{80}}$ soit environ $0,04$.

\item On souhaite déterminer sous l'hypothèse $H_0$, le réel positif $h$ tel que:\\
$P(50 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 50 + h) = 0,95$.

La valeur du nombre réel $h$ est:
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,05 &0,04& $\blue 0,08$ & 0,12\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%\emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.}

On sait que, pour une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, on a: $P(\mu-2\sigma \leqslant T \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,95$.

Donc le réel positif $h$ tel que :  $P(50 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 50 + h) = 0,95$ est $h=2\times 0,04=0,08$.

Autrement dit: $P\left ( \overline{Z}\in \left [ 49,92\;:\; 50,08\strut \right ]\right ) \approx 0,95$.

\item 
\begin{list}{\textbullet}{On peut énoncer la règle de décision:}
\item si la  moyenne des résistances des blocs dans l'échantillon  n'appartient pas à l'intervalle  $\left [ 49,92\;:\; 50,08\strut \right ]$, alors on rejette l'hypothèse nulle, au risque de 5\,\%;
\item sinon, on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle.
\end{list}

\item Le contrôleur a prélevé un échantillon de $80$ blocs.

Les résistances obtenues ont été notées dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Résistance\newline mesurée (en MPa) &49,7 &49,8& 49,9& 50& 50,2& 50,4& 50.5\\ \hline
Effectif \newline correspondant& 2 &5 &15 &24 &17 &13 &4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Appliquer le test et conclure.

La moyenne de cet échantillon est:

$\dfrac{49,7\times 2 + 49,8\times 5+ 49,9\times 15 + 50\times 24 + 50,2\times 17 + 50,4\times 13 + 50.5\times 4}{80} \approx 50,09$.

$50,09\not\in \left [ 49,92\;:\; 50,08\strut \right ]$ donc, au risque 5\;\%, il convient de rejeter l'hypothèse $H_0$ pour cet échantillon.

\end{enumerate}
\end{document}