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%Corrigé  : Mohamed Hassnaoui 
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\begin{document}
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%Hassnaoui M. UPO lyon
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Corrigé du groupement C1}}
\rfoot{\small{14 mai 2018}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur 14 mai 2018 Groupement C1~\decofourright \\[5pt] Éléments de correction }}

\vspace{0,25cm}

  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 }

 L'équation de la droite de régression, par la méthode des moindres carrés, est \colorbox{yellow}{$y= \np{4914,4} + 866,1x$}
 
En 2020  (dont le \colorbox{yellow}{rang est 11}), si on  admet que la progression se confirme,  la production électrique éolienne sera de l'ordre de

\colorbox{yellow}{\np{14441,5} MW} ($4914,4+866,1\times 11= \np{14441,5}$) .

Conclusion : Ce modèle ne permet pas de confirmer que l'objectif du Grenelle de l'environnement sera atteint.

\bigskip

\textbf{Partie 2 : Modélisation de la puissance d'une éolienne}

\medskip


\begin{enumerate}
\item Le rayon d'une pale vaut  \colorbox{yellow}{$R=50$ m}. 1 tour correspond à \colorbox{yellow}{$2\pi R$ m}. Donc $16$ tours par minute correspond à $16\times 2\pi R= 5026,548$ mètres par minutes, soit 
$\dfrac{\np{5026,548}*60}{\np{1000}}$ km.h$^{-1}$.

 \colorbox{yellow}{La vitesse de l'extrémité des pales  s'élève à 301,6 km.h$^{-1}$}


\item  La puissance, exprimée en kW, d'une éolienne de ce parc, en fonction de la vitesse $v$ du vent, exprimée en m/s, est modélisée par la fonction $P$ définie sur $[3~;~+ \infty[$ par

\[P(v) = - 55 + \dfrac{\np{5110}}{2+750\text{e}^{-0,75v}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Lorsque le vent a une vitesse de $3$ m/s, la puissance attendue est $P(3)$ soit \colorbox{yellow}{8,05 kW}.
		\item D'après les résultats du calcul formel:
		
\colorbox{yellow}{$P'(v)=\dfrac{562,5 \text{e}^{- 0,75x}}{(2 + 750 \times \text{e}^{-0,75x})^2}$} .
		
Pour tout réel $X, \ \text{e}^X >0$, donc la fonction $P$ est strictement croissante sur $[3~;~+\infty[$. De plus \colorbox{yellow}{$\displaystyle {\lim\limits_{v\to +\infty}}P(v)=2500$}, cela veut dire que cette fonction $P$ ne peut pas croître indéfiniment.
	\end{enumerate}
	
\medskip

	\begin{enumerate}[resume]
		\item Lorsque le vent atteint la vitesse de coupure $v=20$ m$s^{-1}$, la puissance d'une éolienne vaut $P(20)$ soit \colorbox{yellow}{\np{2499,71} kW}
		\item  On cherche $v$ telle que $P(v) > \np{2000}$.
		\[\begin{aligned}
- 55 + \dfrac{\np{5110}}{2+ 750\text{e}^{-0,75v}}&> \np{2000} \iff\\
\dfrac{\np{5110}}{2+750\text{e}^{-0,75v}}&>2055 \iff \\
\dfrac{\np{5110}}{\np{2055}}&>2+750\text{e}^{-0,75v} \iff \\
\dfrac{\np{1000}}{\np{2055}}&>750\text{e}^{-0,75v} \iff \\
\dfrac{\np{1000}}{\np{2055} \times 750}&>\text{e}^{-0,75v} \iff \\
\ln\left(\dfrac{\np{1000}}{\np{2055} \times 750}\right)&>-0,75v \iff \\
-\dfrac{4}{3}\ln \left(\dfrac{\np{1000}}{\np{2055}\times 750}\right)&<v 
\end{aligned}\]
Conclusion :

\colorbox{yellow}{\begin{minipage}{13 cm}la puissance d'une éolienne du parc devient supérieure à  \np{2000} kW, lorsque la vitesse du vent sera supérieur à $10$ m/s (le résultat est arrondi à l'unité)\end{minipage}}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item D'après les résultats du calcul formel, la puissance moyenne d'une éolienne, lorsque le vent varie entre 5 m/s et 12 m/s,  est $\dfrac{1}{12-5}\times \np{9872,14872056}$, soit\colorbox{yellow}{\np{1410,31} kW}.	

		\item \colorbox{yellow}{En moyenne une éolienne produit 1,41 MW}, pour atteindre une production totale de 
		
\np{1000}~MW, il faut $\dfrac{\np{1000}}{1,41}$, soit \colorbox{yellow}{709 éoliennes}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 }
\medskip
 
\textbf{Partie 1 : Loi binomiale}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'inspection d'une pale est une épreuve de Bernoulli, 
\begin{itemize}
  \item succès : la pale est défaillante et demande une intervention extérieure, et 
  
\colorbox{yellow}{P(succès) = 1 - 0,982 = 0,018}
\item échec : la pale n'est pas défaillante.
\end{itemize}
\colorbox{yellow}{Chaque éolienne contient 3 pales, les 70 éoliennes possèdent 210 pales}.
  
L'expérience aléatoire consiste à contrôler les 270 pales et puisque les dommages sur les pales sont \colorbox{yellow}{indépendants d'une pale à l'autre}, on est en présence d'un schéma de Bernoulli.
  
Conclusion : La variable aléatoire $X$ qui, à  chaque inspection des $70$ éoliennes, associe le nombre de pales nécessitant une intervention de spécialistes, suit une loi binomiale \colorbox{yellow}{$\mathcal{B}(210~;~0,018)$}.
\item Il n'y a aucune pale nécessitant une intervention, signifie que $X=0$ et \colorbox{yellow}{P($X=0)= \np{0,0221}$}.
\item Il y a au plus $2$ pales défaillantes, signifie que $X\leqslant 2$ et \colorbox{yellow}{P($X\leqslant 2$)= \np{0,2695}}.
\item Le nombre moyen de pales d'éoliennes nécessitant une intervention est

 \colorbox{yellow}{$E(X) = np = 210\times 0,018 = 3,78$} soit environ \colorbox{yellow}{4 pales en moyenne}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Nous avons 
		\begin{itemize}
		  \item $n = 210$ donc très supérieur à $30$.
		  \item $np(1 - p)\approx 3,72$, très inférieur à 10.
		\end{itemize}
donc on peut
approcher la loi binomiale par la loi de Poisson \colorbox{yellow}{$\mathcal{P}(\lambda = 3,78)$} 

		\item  \colorbox{yellow}{$P(Z \leqslant  2) = \np{0,2721}$}. Ce résultat est-cohérent avec ce qui précède, car l'erreur est de l'ordre de \colorbox{yellow}{0,003 }
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 : Loi normale}

\medskip
La variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $m = 22$ et d'écart type $\sigma = 0,025$.

L'entreprise accepte la pièce si son diamètre appartient à  l'intervalle [21,94~;~22,06].

$E$= \og une pièce prise au hasard dans la production est refusée \fg{} correspond à l'évènement $Y \notin$[21,94~;~22,06]

Donc \colorbox{yellow}{$P(E)=1-P(21,94 \leqslant Y\leqslant 22,06)= 1 - \np{0,9836} = \np{0.0164}$}
\bigskip

\textbf{Partie 3 : Test d'hypothèse}

\medskip

 La variable aléatoire $\overline{Y}$  suit la loi normale de paramètres $m$ et $\sigma_0 = \dfrac{\sigma}{10}$ 
 
On choisit l'hypothèse nulle $H_0 : \og  m = 22 \fg$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \colorbox{yellow}{Le test est bilatéral donc l'hypothèse alternative est $H_1$: $m\neq 22$}.
\item Sous l'hypothèse nulle $H_0$,  la variable aléatoire

 \colorbox{yellow}{$\overline{Y}$ suit la loi normale de moyenne $m=22$ et d'écart type $\sigma_0=0,0025$. Donc $h \approx \np{0,0049}$} 
\item  La règle de décision du test.

Si la moyenne $\bar{x}$, d'un échantillon de 100 pèces, \colorbox{yellow}{est comprise entre 21,9951 et 22,0049}, l'hypothèse $H_0$ est acceptée avec un niveau de confiance de 95\%, sinon, elle est rejetée, et on accepte $H_1$ avec un risque de $5\%$
\item  
	\begin{enumerate}
		\item La moyenne des diamètres pour  l'échantillon prélevé est \colorbox{yellow}{$\bar{x}=21,9988$ mm}
		\item \colorbox{yellow}{$\bar{x}$ est dans l'intervalle [21,9951\ ; \ 22,0049]}, au seuil de risque 5\,\% $H_0$ est \colorbox{yellow}{acceptée}, on peut conclure avec ce même seuil que \colorbox{yellow}{la machine est bien réglée }
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}