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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D1 -- corrigé}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{\Large{\decofourleft~Corrigé du BTS Groupement D1
%\footnote{Analyses de biologie médicale,
%Bio analyses et contrôles,
%Biotechnologies,
%Europlastics et composites,
%Bioqualité} 
-- 14 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Métropole -- Antilles--Guyane -- Polynésie}}

%\medskip
%
%Durée : 2 heures

%\medskip
%
%\textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.}
%
%\textbf{L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large{}EXERCICE 1 \hfill 10 points}

\medskip

%Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. Les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$.
%
%\medskip

De par la diversité des coccinelles, on peut utiliser deux critères pour reconnaître certaines espèces de coccinelles :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item la taille de la coccinelle
\item le type de pronotum (le pronotum est la face dorsale d'une partie du thorax de la coccinelle).
\end{list}

Un type de pronotum répandu est le pronotum dit de type P.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On s'intéresse à toutes les coccinelles présentes dans une forêt d'Europe.


\begin{list}{\textbullet}{Des études statistiques montrent que:}
\item 25\,\% des coccinelles présentes dans cette forêt ont une taille inférieure ou égale à 5 mm ; parmi les coccinelles qui ont une taille inférieure ou égale à 5 mm, 40\,\% ont un pronotum de type P ;
\item  Parmi les coccinelles présentes dans cette forêt de taille strictement supérieure à 5 mm, 68\% ont un pronotum de type P.
\end{list}



\begin{list}{\textbullet}{Dans cette forêt, on prélève au hasard une coccinelle. On appelle:}
\item $T$ l'évènement: \og la coccinelle a une taille inférieure ou égale à 5 mm \fg{} ;
\item $P$ l'évènement ;\og la coccinelle a un pronotum de type P \fg.
\end{list}

On note $\overline{T}$ l'évènement contraire de l'évènement $T$ et $\overline{P}$  l'évènement contraire de l'évènement $P$.

	\begin{enumerate}
	\item On complète l'arbre modélisant la situation décrite ci-dessus.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,treesep=1.5cm,nodesepB=4pt,nodesepA=0pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\taput{$0,25$}}
	{\TR{$P$}\taput{$\blue 0,40$}
	\TR{$\overline{P}$}\tbput{$\blue 0,60$}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{T}$}\tbput{$\blue 0,75$}}
	{\TR{$P$}\taput{$0,68$}
	\TR{$\overline{P}$}\tbput{$\blue 0,32$}
	}
}
\bigskip
\end{center}
\end{enumerate}

Pour les questions b. à d., on prélève au hasard une coccinelle dans la forêt.

\begin{enumerate}[resume]

\item Soit $A$ l'évènement: \og la coccinelle prélevée a une taille inférieure ou égale à 5 mm et n'a pas un pronotum de type P \fg.

$p(A)=p\left (T \cap \overline{P}\right )
= p(T)\times p_{T}\left ( \overline{P} \right )
= 0,25\times 0,60 = 0,15$

\item Soit $B$ l'évènement: \og la coccinelle prélevée dans la forêt n'a pas un pronotum de type P \fg{}; donc $p(B)=p\left ( \overline{P}\right )$.

D'après la formule des probabilités totales:

$p\left ( \overline{P}\right )
= p\left ( T \cap \overline{P}\right ) + p\left ( \overline{T} \cap \overline{P}\right )
= 0,15 + 0,75 \times 0,32 = 0,39$

\item La probabilité que la coccinelle prélevée soit de taille inférieure ou égale à 5 mm sachant qu'elle n'a pas un pronotum de type P{} est:

$p_{\overline{P}}(T) = \dfrac{p\left ( T\cap \overline{P}\right )}{p\left (  \overline{P}\right )}
=\dfrac{0,15}{0,39} \approx 0,385$

	\end{enumerate}

\item Les critères \og avoir une taille moyenne inférieure ou égale à 5 mm \fg{} et \og ne pas avoir un pronotum de type P \fg{} caractérisent une espèce particulière: la coccinelle à deux points.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $10$ coccinelles prélevées au hasard dans cette forêt, associe le nombre de coccinelles à deux points dans l'échantillon. La population de coccinelles de la forêt est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On admet que la probabilité de prélever au hasard dans la forêt étudiée une coccinelle à deux points est égale à $0,15$.

\begin{enumerate}
\item  La loi suivie par la variable aléatoire $X$ est une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,15$.

\item On prélève au hasard $10$ coccinelles dans la forêt étudiée. 

La probabilité d'avoir au moins une coccinelle à deux points dans le prélèvement est:
$p(X\geqslant 1) = 1-p(X=0)
= 1- \ds\binom{10}{0} \times 0,15^0\times (1-0,15)^{10-0}
\approx 0,803$

\end{enumerate}

\item On considère un élevage de coccinelles. On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque coccinelle de l'élevage associe sa taille. On estime que cette taille exprimée en mm suit la loi uniforme sur l'intervalle [3~;~6].
\begin{enumerate}
\item  On prélève au hasard une coccinelle dans cet élevage. 

La probabilité que sa taille soit comprise entre 4 mm et 5 mm est:

$p(4 \leqslant L \leqslant 5) = \dfrac{5-4}{6-3}=\dfrac{1}{3}$.

\item La taille moyenne, en mm, des coccinelles dans cet élevage est:

$E(L) = \dfrac{3+6}{2}= 4,5$.
\end{enumerate}

\item On s'intéresse ici à la ponte d'une espèce particulière de coccinelles: les coccinelles à deux points. On modélise le nombre d'œufs par ponte à l'aide d'une variable aléatoire $U$ qui suit la loi normale d'espérance égale à 35 et d'écart-type égal à 6.

\begin{enumerate}
\item Le nombre moyen d'œufs par ponte d'une coccinelle à deux points est: $\mu=35$.

\item À la calculatrice, on trouve  $p(31 \leqslant U \leqslant 39)\approx 0,495$.

\item %Déterminer un nombre entier $h$ tel que : $p(35 - h \leqslant U\leqslant 35 + h)\approx 0,95$ à $10^{-2}$ près.
Si une variable aléatoire $U$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, on sait que $p(\mu-2\sigma \leqslant U \leqslant \mu +2\sigma)\approx 0,85$.

Ici $\mu=35$ et $\sigma=6$, donc $p(35-2\times 6 \leqslant U \leqslant 35 + 2\times 6) \approx 0,95$.

Le nombre entier $h$ tel que : $p(35 - h \leqslant U\leqslant 35 + h)\approx 0,95$ est $h=12$.

%Interpréter sous forme d'une phrase la probabilité correspondante dans le contexte.

Il y a donc 95\;\% de chance que le nombre moyen d'œufs par ponte d'une coccinelle à deux points soit entre $35-12=23$ et $35+12=47$.
\end{enumerate}

\item Une autre espèce spécifique est utilisée dans la lutte contre l'infestation des pucerons. Michel a créé un mur végétalisé. Avec effroi, il constate une infestation de pucerons. Sachant que les larves de cette espèce spécifique de coccinelles dévorent un grand nombre de pucerons, il en commande un lot de 80 larves pour traiter le mur. Le vendeur annonce que la durée de vie de ces larves, en jours, suit la loi normale d'espérance $m = 20$ et d'écart-type $\sigma = 3$.

Michel constate que la durée de vie moyenne des larves de son lot n'est que de 18 jours. %Peut-il remettre en question l'annonce du vendeur au seuil de confiance de 95\,\% ?

L'intervalle de confiance de la moyenne est: 

$I=\left[m - 1,96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}~;~m + 1,96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]
= \left[20 - 1,96\dfrac{3}{\sqrt{80}}~;~20 + 1,96\dfrac{3}{\sqrt{80}}\right]\\[7pt]
\phantom{I}
\approx \left[19,34~;~20,66 \strut \right]$

On définit un test bilatéral d'hypothèse nulle $(H_0)$: $\mu=20$ et donc d'hypothèse alternative $(H_1)$: $\mu \neq 20$.

\begin{list}{\textbullet}{On peut énoncer la règle de décision:}
\item si la  moyenne des durées de vie des larves de  l'échantillon  n'appartient pas à l'intervalle  de fluctuation $I$, alors on rejette l'hypothèse nulle, au risque de 5\,\%;
\item sinon, on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle.
\end{list}

La durée de vie moyenne des larves de son lot n'est que de 18 jours et $18\not\in I$. 

Donc on peut rejeter $(H_0)$ et remettre en question l'annonce du vendeur au seuil de confiance de 95\,\%. 

%\emph{On s'aidera d'un test bilatéral relatif à une moyenne pour répondre à cette question.}
%
%\emph{On rappelle la formule de l'intervalle de confiance de la moyenne }:
%\[\left[m - 1,96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}~;~m + 1,96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right].\]

\end{enumerate}

%\newpage

\bigskip

\textbf{\large{}EXERCICE 2 \hfill 10 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est composé de trois parties indépendantes entre elles}
%
%\medskip

Dans une usine agroalimentaire. il y a une seule ligne de production. qui fonctionne en continu. Elle peut fabriquer deux variétés $M_1$ et $M_2$ d'un même produit, qui diffèrent par leur teneur en matière grasse:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item la variété $M_1$ correspond à une teneur idéale en matière grasse de $8,6\,\%$, soit $0,086$ ;
\item la variété $M_2$ correspond à une teneur idéale en matière grasse de $15,2\,\%$,soit $0,152$.
\end{list}

%\medskip

La ligne était réglée jusqu'alors pour produire la variété $M_1$. On injecte continûment de la matière grasse dans le produit en fabrication, sans arrêter la ligne de production, jusqu'à obtenir la variété $M_2$. Durant cette phase de transition, la production est recyclée.

La variété $M_2$ est considérée commercialisable par le service qualité dès que sa teneur en matière grasse dépasse $14,9\,\%$, soit $0,149$.

\newpage

\textbf{Partie A}

\medskip

La phase de transition pour passer de la variété $M_1$ à la variété $M_2$ est lancée. Un prélèvement est réalisé toutes les minutes pour mesurer la teneur en matière grasse du produit (le temps $t = 0$ correspond au démarrage de la période de transition). 

Les résultats sont rassemblés dans le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ \newline (en minutes)		&0 &1 &2 &3& 4& 5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline
Teneur en matière grasse $y_i$	&0,086 &0,108 &0,121 &0,131 &0,14 &0,144 &0,147 &0,149 &0,149 &0,151 &0,151\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Le nuage de points $\left(t_i~;~y_i\right)$ est représenté sur le graphique ci-dessous.

Les points du nuage ne sont pas alignés donc un ajustement linéaire ne paraît pas approprié.

%Pourquoi ?

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=27.5cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\footnotesize
\begin{pspicture}(-1,-0.02)(10.5,0.12)
\multido{\n=0.0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,0.12)}
\multido{\n=0.00+0.01}{13}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.02,Oy=0.06,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(10.5,0.12)
\psdots[linecolor=blue](0,0.026)(1,0.048)(2,0.061)(3,0.071)(4,0.08)(5,0.084)(6,0.087)(7,0.089)(8,0.089)(9,0.091)(10,0.091)
\end{pspicture}
\end{center}

\item On pose $z_i = \ln \left(0,152 - y_i\right)$. 

Le tableau ci-dessous donne certaines valeurs de $z_i$ arrondies à $10^{-3}$ :

\begin{center}
\setlength{\tabcolsep}{1pt}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash \small}X |}}\hline
$~t_i~$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline
$z_i$&$- 2,718$& $z_1$& $z_2$& $- 3,863$& $-4,423$& $- 4,828$& $- 5,298$& $- 5,809$& $- 5,809$& $- 6,908$& $- 6,908 $\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes $z_1$ et $z_2$ du tableau, arrondies à $10^{-3}$
Pour $t=1$, $y_1=0,108$ donc $z_1=\ln(0,152-0,108) = \ln(0,044) \approx -3,124$.

Pour $t=2$, $y_2=0,121$ donc $z_2=\ln(0,152-0,121) = \ln(0,031) \approx -3,474 $		
		
		\item À l'aide de la calculatrice, on détermine par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement du nuage de points $\left(t_i~;~z_i\right)$:\\
$z=-0,435t -2,658$.	

		\item Pour cette question, on prendra $a = -0,44$ et $b = -2,7$.

On détermine une expression de la fonction $y$ ajustant le nuage de points $\left(t_i~;~y_i\right)$ dans le cadre de cette modélisation.

On a $z=-0,44t -2,7$. Or $z=\ln(0.152 - y)$ donc
$-0,44t -2,7 = \ln(0.152 - y)$, soit
$\e^{-0,44t -2,7} = 0,152-y$, ou encore
$y=0,152 - \e^{-2,7}\times \e^{-0,44t}$.
		
$\e^{-2,7} \approx 0,067$ donc on peut prendre $y=0,152 - 0,067 \e^{-0,44t}$.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $C$ définie sur $[0~;~10]$ par: $C(t) = 0,152 - 0,067\e^{-0,44t}.$

On admet que la fonction $C$ modélise la teneur en matière grasse du produit (nombre entre 0 et 1) en fonction du temps en minutes, décompté depuis le démarrage de la période de transition.

\begin{enumerate}
		\item $C(2)\approx 0,124$
		
Donc au bout de 2 minutes, la teneur en matière grasse est d'environ $12,4\:\%$.		
		
		\item %Calculer la dérivée de la fonction $C$ et en déduire le sens de variation de la fonction $C$ sur [0~;~10]. Ce résultat est-il cohérent avec la situation étudiée ?
$C'(t) = 0-0,067\times (-0,44)\e^{-0,44t} = \np{0,2948}\e^{-0,33t}$

Pour tout $t$, $\e^{-0,44t}>0$ donc $C'(t)>0$; la fonction $C$ est strictement croissante sur $[0~;~10]$.

Comme on injecte continûment de la matière grasse dans le produit en fabrication, c'est normal que la teneur en matière grasse augmente au fil du temps.
	\end{enumerate}

\item
\begin{multicols}{2}
On considère l'algorithme ci-contre rédigé en langage naturel.\\

%Quelle est la valeur numérique renvoyée par cet algorithme lorsqu'il  a été exécuté?\\
$M$ correspond au temps, et $D$ à la teneur en matière grasse qui est de $0,085$ au départ, ce qui est la teneur de la variété $M_1$.

\columnbreak

\begin{flushright}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$M$ prend la valeur 0\\
$D$ prend la valeur 0,085\\
Tant que $D \leqslant 0,149$\\
\qquad$M$ prend la valeur $M+ 1$\\
\qquad $D$ prend la valeur $C(M)$\\
Fin Tant que\\
Renvoyer $M$\\ \hline
\end{tabular}
\end{flushright}
\end{multicols}

On fait tourner la boucle tant que la teneur est inférieure ou égale à $0,149$.

La valeur numérique renvoyée par cet algorithme lorsqu'il  a été exécuté, est donc le temps nécessaire pour que la teneur soit supérieure à $0,149$, c'est-à-dire dès qu'on a obtenu une variété $M_2$ commercialisable.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que l'équation $C(t) = 0,149$ admet une unique solution, notée $T$, sur l'intervalle $[0~;~10]$.% Déterminer une valeur approchée de $T$ à $10^{-2}$ près.
À la calculatrice, on obtient:

$\left .
\begin{array}{l}
C(7) \approx \np{0,14892} < 0,149\\
C(8) \approx \np{0,15002} > 0,149
\end{array}
\right \}
\implies 7 < T < 8$		

$\left .
\begin{array}{l}
C(7) \approx \np{0,14892} < 0,149\\
C(7,1) \approx \np{0,14905} > 0,149
\end{array}
\right \}
\implies 7,0 < T < 7,1$		
		
$\left .
\begin{array}{l}
C(7,05) \approx \np{0,14899} < 0,149\\
C(7,06) \approx \np{0,149001} > 0,149
\end{array}
\right \}
\implies 7,05 < T < 7,06$		

Donc $7,06$ est une valeur approchée de $T$ au centième.
		
		\item $T$ vaut environ $7,06$ minutes, soit en secondes:
		$7,06 \times 60 =423,6$.
		
Il faut donc attendre $424$ secondes après le démarrage de la phase de transition afin d'obtenir une variété $M_2$ commercialisable.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~10]$ par 
$f(t) = 0,152 - 0,062\e^{-0,5t}.$\\
Le génie des procédés permet de considérer que la fonction {constitue une autre modélisation acceptable de la teneur en matière grasse du produit en fonction du temps $t$ en minutes qui s'est écoulé à partir du démarrage de la période de transition.\\
On admet que le plus grand nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~10]$ tel que \mbox{$f(t) \leqslant 0,149$} vaut approximativement 6 au dixième près.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur  $[0~;~10]$ par 
$F(t) = 0,152t + 0,124\e^{-0,5t}.$

%Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~10]$.

$F'(t) = 0,152 + 0,124 \times (-0,5) \e^{-0,5t}
 = 0,152 - 0,062 \e^{-0,5t} = f(t)$
 
Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~10]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déduire de la question précédente que l'arrondi à $10^{-4}$ de $\displaystyle\int_0^6 f(t)\:\text{d}t$ est \np{0,7942}.
$\ds\int_0^6 f(t) \d t
= \left [ F(t) \strut\right ]_{0}^{6}
= F(6)-F(0)\\
\hphantom{\ds\int_0^6 f(t) \d t}
= \left ( 0,152\times 6 + 0,124\e^{-0,5\times 6} \right ) - \left ( 0,152\times 0 + 0,124\e^{-0,5\times 0} \right )\\
\hphantom{\ds\int_0^6 f(t) \d t}
=  0,912 + 0,124\e^{-3} - 0,124
=  0,788 + 0,124\e^{-3} 
\approx \np{0,7942}$		

		\item On hachure sur le graphique  le domaine dont l'aire est égale à la valeur de cette intégrale.

\begin{center}
\scalebox{0.9}{
\psset{xunit=1.2cm,yunit=48cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-1,-0.01)(10.5,0.2)
\def\f{0.152 0.062 2.71828 0.5 x mul exp div sub}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.2)}
\multido{\n=0.00+0.01}{21}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(10.5,\n)}
\pscustom[fillstyle=vlines, linestyle=solid, linewidth=0.5pt, hatchcolor=red]
{% début du \pscustom   
\psplot{0}{6}{\f}           % courbe de f sur [0 ; 6]
\lineto(6,0)\lineto(0,0)    % trace les segments
\closepath                  % indispensable pour fermer le chemin
}% fin du \pscustom
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.01,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(10.5,0.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{\f}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\item  On note $m = \dfrac16 \displaystyle\int_0^6 f(t)\:\text{d}t$.
Or $\ds\int_0^6 f(t) \d t \approx \np{0,7942}$ donc $m\approx 0,132$.
%Calculer l'arrondi du réel $m$ à $10^{-3}$ et interpréter la valeur obtenue dans le contexte de l'exercice.

On peut donc dire que la teneur moyenne en graisse sur les 6 premières minutes est de $13,2\;\%$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}