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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du BTS Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{10 mai 2021}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[5pt]
10 mai 2021 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres ou établissement privé hors contrat}}}

\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\bigskip

Dans cet exercice, on s'intéresse d'une part, à l'évolution du chiffre d'affaires d'une entreprise et d'autre part, au développement de son activité.

Le tableau suivant, où $x_i$ désigne le rang de l'année mesuré à partir de l'année 2013, donne le chiffre d'affaires $y_i$ (en milliers d'euros) de l'entreprise pour chaque année entre 2013 et 2018.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017 	&2018\\ \hline
Rang $x_i$					&0		&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
Chiffre d'affaires 
(en milliers d'euros) $y_i$	&\np{1254} &\np{1317} &\np{1395} &\np{1472} &\np{1575} &\np{1655}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux global d'évolution du chiffre d'affaires de cette entreprise entre 2013 et 2018, exprimé en pourcentage, est:
$\dfrac{\np{1655} - \np{1254}}{\np{1254}}\times 100 \approx 32\,\%$.

\item Il y a 5 années entre 2013 et 2018.

Le taux moyen annuel d'évolution du chiffre d'affaires de cette entreprise entre 2013 et 2018, est le nombre $t$ tel que: $\left (1+t\right )^5 = 1+\dfrac{32}{100}$.

On a donc $(1+t)^5 = 1,32$ donc $1+t=1,32^{\frac{1}{5}}$ et donc $t= 1,32^{\frac{1}{5}}-1$.

Donc $t\approx 0,057$ ce qui correspond à $5,7\,\%$.

\item On suppose que le chiffre d'affaires de l'entreprise augmente chaque année de 5,7\,\% à partir de 2018.
On note $u_n$ le chiffre d'affaires de l'entreprise pour l'année $2018 +n$. Ainsi $u_0 = \np{1655}$.
	\begin{enumerate}
		\item $u_1 = \np{1655}\times \left (1+\dfrac{5,7}{100}\right ) \approx \np{1749}$
%		Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

On peut donc estimer à $\np{1749}$ milliers d'euros le chiffre d'affaires en 2019, soit $\np{1,749}$ million d'euros.

		\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison.
Augmenter de $5,7\,\%$ c'est multiplier par $\left (1+\dfrac{5,7}{100}\right )$ soit $1,057$.		

Donc, pour tout $n$, on a: $u_{n+1} = 1,057 u_n$; la suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=1,057$ et de premier terme $u_0 = \np{1655}$.		

		\item %Donner, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ en fonction de $n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est  géométrique de raison $q = 1,057$ et de premier terme $u_0 = \np{1655}$ donc pour tout $n$, on a: $u_n=u_0\times q^n = \np{1655}\times 1,057^n$.		
		
		\item $2022 = 2018+4$ donc le chiffre d'affaires que peut prévoir l'entreprise en 2022 est:
		
$u_4 = \np{1655}\times 1,057^4 \approx \np{2066}$ milliers d'euros, soit $2,066$ millions d'euros.
		
		\item Le chiffre d'affaires de l'entreprise dépassera $2,5$~millions d'euros pour $n$ tel que $u_n>\np{2500}$.
		À la calculatrice on trouve: $u_7\approx \np{2440}<\np{2500}$ et $u_8 \approx \np{2579}>\np{2500}$.
		
Le chiffre d'affaires de l'entreprise dépassera $2,5$~millions d'euros en $2018+8$ soit en 2026.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip
\newpage

\textbf{Partie B :}

\medskip

%À partir des données du tableau fourni au début de l'énoncé :
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ donné par la calculatrice est de $0,998$ à $0,001$ près.

Le coefficient est très proche de 1 donc on peut envisager un ajustement affine.

\item L'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = ax + b$, où $a$ et $b$ sont arrondis à $0,1$ près est:
$y=81,6 x + \np{1240,7}$.

\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 82x + \np{1241}$.
	\begin{enumerate}
		\item L'année 2021 correspond à $x=8$; $82\times 8+\np{1241}=\np{1897}$.
		
Le chiffre d'affaires que peut prévoir l'entreprise en 2021 est de $1,897$ million d'euros.

		\item Selon ce modèle, le chiffre d'affaires de l'entreprise dépassera $2,2$ millions d'euros pour $x$ tel que $82x + \np{1241}> \np{2200}$ soit pour $x>11,7$ c'est-à-dire à partir de $x=12$.
		
Le rang 12 correspond à l'année 2025 c'est donc à partir de 2025 que le chiffre d'affaires dépassera $2,2$ millions d'euros..
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\bigskip

%\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise qui fabrique des dragées possède une chaîne de production qui réalise, en fonction des besoins: des dragées blanches ou roses, aux amandes ou au chocolat. Actuellement la machine est réglée de la manière suivante :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 55\,\% de la production sont des dragées blanches;
\item[$\bullet~~$] parmi les dragées blanches, 50\,\% sont aux amandes;
\item[$\bullet~~$] parmi les dragées roses, 60\,\% sont aux amandes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\smallskip

On s'intéresse à une dragée prise au hasard. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[\starredbullet~]$B$ : \og La dragée choisie est blanche \fg{} ;
\item[\starredbullet~]$A$ : \og La dragée choisie est aux amandes \fg{} ;
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le texte, $P(B) = 0,55$, $P_B(A) = 0,50$ et $P_{\overline{B}}(A)=0,60$.

\item On réalise un arbre de probabilité représentant la situation.

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\naput{$0,55$}}
{
\TR{$A$}\naput{$0,5$}
\TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,5=0,5$}	   
}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $1-0,55=0,45$}}
{
\TR{$A$}\naput{$0,6$}
\TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,6=0,4$} 
}
}
\bigskip
\end{center}

\item La probabilité que la dragée choisie soit blanche et aux amandes est

$P(B\cap A) = 0,55\times 0,5 = 0,275$.

\item D'après la formule des probabilités totales:\\
 $P(A) = P(B\cap A) + P\left (\overline{B}\cap A\right ) = 0,55\times 0,5 + 0,45\times 0,6 = 0,545$

\item Le directeur constate que plus de la moitié de ses ventes sont des dragées au chocolat.% Le réglage de la machine lui permet-il de satisfaire l'ensemble de ses clients?

La probabilité que la dragée soit au chocolat est $P\left (\overline{A}\right) = 1 - 0,545 = 0,455$; donc moins de la moitié des dragées sont au chocolat. Le réglage ne permet donc pas de répondre à la demande.

\item Sachant que la dragée est au chocolat, la probabilité qu'elle soit blanche est:

$P_{\overline{A}}(B)= \dfrac{P\left (B \cap \overline{A} \right )}{P\left (\overline{A}\right )}
= \dfrac{0,55\times 0,5}{0,455} = \dfrac{0,275}{0,455}\approx 0,604$ au millième près.

%Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'entreprise réalise des sachets avec un assortiment de $100$ dragées prises au hasard. Ce tirage est assimilé à un tirage avec remise car le nombre de dragées est très grand.

On suppose que la probabilité qu'une dragée soit aux amandes est de $0,545$.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, dans un sachet de $100$ dragées, associe le nombre de dragées aux amandes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Pour chaque dragée il y a deux possibilités: elle est aux amandes avec une probabilité $p=0,545$ ou elle est au chocolat avec une probabilité de $1-p=0,455$.

On effectue un tirage de $n=100$ dragées dans la production, et ce tirage est assimilé à un tirage avec remise donc les tirages sont indépendants.

La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de dragées aux amandes, suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,545$.

\item Le nombre moyen de dragées aux amandes par sachet est
$E(X)=np=100\times 0,545=54,5$.

\item $P(X = 60) = \displaystyle\binom{100}{60}\times 0,545^{60} \times (1-0,545)^{100-60}
\approx 0,044$

Sur un lot de 100 dragées pris au hasard, la probabilité qu'il y en ait exactement 60 aux amandes est de $0,044$.

%, arrondie à 0,001 près. Interpréter ce résultat.

\item La probabilité d'obtenir au moins 50 dragées aux amandes dans un sachet est\\ 
$P(X\geqslant 50) = 1- P(X\leqslant 49) \approx 1 - 0,158 \approx 0,842$.

%Arrondir la probabilité à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'entreprise souhaite proposer une nouvelle gamme de dragées, elle décide donc d'emprunter \np{150000}~\euro{} auprès d'un établissement financier afin de se développer.

L'emprunt, au taux annuel de 3\,\%, sera remboursé en 6 ans par versement annuel constant, nommé annuité $a$.

On rappelle la formule de calcul d'une annuité constante : $a = C \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}$.

où $C$ est le capital emprunté, $t$ le taux annuel et $n$ le nombre d'annuités.

L'établissement financier établit le tableau d'amortissement suivant (la cellule C1 est au format pourcentage) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A		&B			&C			&D			&E\\ \hline
1	&		&Taux annuel&3\,\%		&			&\\ \hline
2	&		&			&			&			&\\ \hline
3	&Année	&\small Capital restant dû en début d'année&\small Intérêts de l'année & \small Amortissement du capital &\small Annuité constante\\ \hline
4	&1		&\np{150000,00} \euro&	&\np{23189,63} \euro&\np{27689,63} \euro\\ \hline
5	&2		& &			\np{3804,31} \euro &\np{23885,31} \euro&\np{27689,63} \euro\\ \hline
6	&3	&\np{102925,05} \euro&\np{3087,75} \euro&\np{24601,87} \euro&\np{27689,63} \euro\\ \hline
7	&4		&\np{78323,19} \euro&\np{2349,70} \euro & &\np{27689,63} \euro\\ \hline
8	&5		&\np{52983,26} \euro	&\np{1589,50} \euro	&\np{26100,13} \euro	&\np{27689,63} \euro\\ \hline
9	&6		&\np{26883,13} \euro	&806,49 \euro	&\np{26883,13} \euro	&\np{27689,53} \euro\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Le montant de l'annuité constante est donné par la formule  $a=C \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}$.

On a $C=\np{150000}$, $t=0,03$ et $n=6$.

Le montant de l'annuité constante est donc  $a=\np{150000} \times \dfrac{0,03}{1 - (1 + 0,03)^{-6}}$, soit au centime près $\np{27689,63}$ euros.

\item %Donner les formules à saisir en cellule C4, D7 et B5, qui, recopiées vers le bas, permettent de compléter le tableau d'amortissement.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item En colonne C, on calcule les intérêts sur le capital restant dû; on entrera donc en C4 la formule \fbox{= B4 * 0,03}.
\item En colonne D, on calcule le montant correspondant à la part du capital que l'on rembourse en payant l'annuité fixe de $\np{27689,63}$; c'est la différence entre le montant de l'annuité et le montant des intérêts payés. On entrera dans D7 la formule \fbox{= E7 -- C7}.
\item En colonne B, on calcule le capital restant dû; c'est la différence entre le capital restant dû l'année précédente et le capital payé l'année précédente. On entrera dans B5 la formule \fbox{= B4 -- D4}.
\end{list}

\item %Calculer les valeurs obtenues en cellules C4, B5 et D7.
\begin{list}{\textbullet}{Avec les formules entrées, on trouve:}
\item en C4 la somme de $\np{4500,00}$~\euro;
\item en D7 la somme de $\np{25339,93}$~\euro;
\item en B5 la somme de $\np{126810,37}$~\euro.
\end{list}
\item Le coût total de ce crédit est de $6\times \np{27689,63}$ soit $\np{166137,78}$~\euro.
\end{enumerate}
\end{document}