\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du BTS Comptabilité et gestion}, pdftitle = {Métropole - 10 mai 2021}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du BTS Métropole} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{10 mai 2021}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[5pt] 10 mai 2021 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres ou établissement privé hors contrat}}} \end{center} \vspace{0.25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \bigskip Dans cet exercice, on s'intéresse d'une part, à l'évolution du chiffre d'affaires d'une entreprise et d'autre part, au développement de son activité. Le tableau suivant, où $x_i$ désigne le rang de l'année mesuré à partir de l'année 2013, donne le chiffre d'affaires $y_i$ (en milliers d'euros) de l'entreprise pour chaque année entre 2013 et 2018. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018\\ \hline Rang $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline Chiffre d'affaires (en milliers d'euros) $y_i$ &\np{1254} &\np{1317} &\np{1395} &\np{1472} &\np{1575} &\np{1655}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes} \bigskip \textbf{Partie A :} \medskip \begin{enumerate} \item Le taux global d'évolution du chiffre d'affaires de cette entreprise entre 2013 et 2018, exprimé en pourcentage, est: $\dfrac{\np{1655} - \np{1254}}{\np{1254}}\times 100 \approx 32\,\%$. \item Il y a 5 années entre 2013 et 2018. Le taux moyen annuel d'évolution du chiffre d'affaires de cette entreprise entre 2013 et 2018, est le nombre $t$ tel que: $\left (1+t\right )^5 = 1+\dfrac{32}{100}$. On a donc $(1+t)^5 = 1,32$ donc $1+t=1,32^{\frac{1}{5}}$ et donc $t= 1,32^{\frac{1}{5}}-1$. Donc $t\approx 0,057$ ce qui correspond à $5,7\,\%$. \item On suppose que le chiffre d'affaires de l'entreprise augmente chaque année de 5,7\,\% à partir de 2018. On note $u_n$ le chiffre d'affaires de l'entreprise pour l'année $2018 +n$. Ainsi $u_0 = \np{1655}$. \begin{enumerate} \item $u_1 = \np{1655}\times \left (1+\dfrac{5,7}{100}\right ) \approx \np{1749}$ % Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. On peut donc estimer à $\np{1749}$ milliers d'euros le chiffre d'affaires en 2019, soit $\np{1,749}$ million d'euros. \item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison. Augmenter de $5,7\,\%$ c'est multiplier par $\left (1+\dfrac{5,7}{100}\right )$ soit $1,057$. Donc, pour tout $n$, on a: $u_{n+1} = 1,057 u_n$; la suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=1,057$ et de premier terme $u_0 = \np{1655}$. \item %Donner, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ en fonction de $n$. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q = 1,057$ et de premier terme $u_0 = \np{1655}$ donc pour tout $n$, on a: $u_n=u_0\times q^n = \np{1655}\times 1,057^n$. \item $2022 = 2018+4$ donc le chiffre d'affaires que peut prévoir l'entreprise en 2022 est: $u_4 = \np{1655}\times 1,057^4 \approx \np{2066}$ milliers d'euros, soit $2,066$ millions d'euros. \item Le chiffre d'affaires de l'entreprise dépassera $2,5$~millions d'euros pour $n$ tel que $u_n>\np{2500}$. À la calculatrice on trouve: $u_7\approx \np{2440}<\np{2500}$ et $u_8 \approx \np{2579}>\np{2500}$. Le chiffre d'affaires de l'entreprise dépassera $2,5$~millions d'euros en $2018+8$ soit en 2026. \end{enumerate} \end{enumerate} %\bigskip \newpage \textbf{Partie B :} \medskip %À partir des données du tableau fourni au début de l'énoncé : % %\medskip \begin{enumerate} \item Le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ donné par la calculatrice est de $0,998$ à $0,001$ près. Le coefficient est très proche de 1 donc on peut envisager un ajustement affine. \item L'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = ax + b$, où $a$ et $b$ sont arrondis à $0,1$ près est: $y=81,6 x + \np{1240,7}$. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 82x + \np{1241}$. \begin{enumerate} \item L'année 2021 correspond à $x=8$; $82\times 8+\np{1241}=\np{1897}$. Le chiffre d'affaires que peut prévoir l'entreprise en 2021 est de $1,897$ million d'euros. \item Selon ce modèle, le chiffre d'affaires de l'entreprise dépassera $2,2$ millions d'euros pour $x$ tel que $82x + \np{1241}> \np{2200}$ soit pour $x>11,7$ c'est-à-dire à partir de $x=12$. Le rang 12 correspond à l'année 2025 c'est donc à partir de 2025 que le chiffre d'affaires dépassera $2,2$ millions d'euros.. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \bigskip %\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} % %\bigskip \textbf{Partie A} \medskip Une entreprise qui fabrique des dragées possède une chaîne de production qui réalise, en fonction des besoins: des dragées blanches ou roses, aux amandes ou au chocolat. Actuellement la machine est réglée de la manière suivante : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 55\,\% de la production sont des dragées blanches; \item[$\bullet~~$] parmi les dragées blanches, 50\,\% sont aux amandes; \item[$\bullet~~$] parmi les dragées roses, 60\,\% sont aux amandes. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \smallskip On s'intéresse à une dragée prise au hasard. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[\starredbullet~]$B$ : \og La dragée choisie est blanche \fg{} ; \item[\starredbullet~]$A$ : \og La dragée choisie est aux amandes \fg{} ; \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item D'après le texte, $P(B) = 0,55$, $P_B(A) = 0,50$ et $P_{\overline{B}}(A)=0,60$. \item On réalise un arbre de probabilité représentant la situation. \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\naput{$0,55$}} { \TR{$A$}\naput{$0,5$} \TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,5=0,5$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $1-0,55=0,45$}} { \TR{$A$}\naput{$0,6$} \TR{$\overline{A}$}\nbput{\blue $1-0,6=0,4$} } } \bigskip \end{center} \item La probabilité que la dragée choisie soit blanche et aux amandes est $P(B\cap A) = 0,55\times 0,5 = 0,275$. \item D'après la formule des probabilités totales:\\ $P(A) = P(B\cap A) + P\left (\overline{B}\cap A\right ) = 0,55\times 0,5 + 0,45\times 0,6 = 0,545$ \item Le directeur constate que plus de la moitié de ses ventes sont des dragées au chocolat.% Le réglage de la machine lui permet-il de satisfaire l'ensemble de ses clients? La probabilité que la dragée soit au chocolat est $P\left (\overline{A}\right) = 1 - 0,545 = 0,455$; donc moins de la moitié des dragées sont au chocolat. Le réglage ne permet donc pas de répondre à la demande. \item Sachant que la dragée est au chocolat, la probabilité qu'elle soit blanche est: $P_{\overline{A}}(B)= \dfrac{P\left (B \cap \overline{A} \right )}{P\left (\overline{A}\right )} = \dfrac{0,55\times 0,5}{0,455} = \dfrac{0,275}{0,455}\approx 0,604$ au millième près. %Arrondir le résultat à $0,001$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'entreprise réalise des sachets avec un assortiment de $100$ dragées prises au hasard. Ce tirage est assimilé à un tirage avec remise car le nombre de dragées est très grand. On suppose que la probabilité qu'une dragée soit aux amandes est de $0,545$. Soit $X$ la variable aléatoire qui, dans un sachet de $100$ dragées, associe le nombre de dragées aux amandes. \medskip \begin{enumerate} \item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Pour chaque dragée il y a deux possibilités: elle est aux amandes avec une probabilité $p=0,545$ ou elle est au chocolat avec une probabilité de $1-p=0,455$. On effectue un tirage de $n=100$ dragées dans la production, et ce tirage est assimilé à un tirage avec remise donc les tirages sont indépendants. La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de dragées aux amandes, suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,545$. \item Le nombre moyen de dragées aux amandes par sachet est $E(X)=np=100\times 0,545=54,5$. \item $P(X = 60) = \displaystyle\binom{100}{60}\times 0,545^{60} \times (1-0,545)^{100-60} \approx 0,044$ Sur un lot de 100 dragées pris au hasard, la probabilité qu'il y en ait exactement 60 aux amandes est de $0,044$. %, arrondie à 0,001 près. Interpréter ce résultat. \item La probabilité d'obtenir au moins 50 dragées aux amandes dans un sachet est\\ $P(X\geqslant 50) = 1- P(X\leqslant 49) \approx 1 - 0,158 \approx 0,842$. %Arrondir la probabilité à $0,001$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip L'entreprise souhaite proposer une nouvelle gamme de dragées, elle décide donc d'emprunter \np{150000}~\euro{} auprès d'un établissement financier afin de se développer. L'emprunt, au taux annuel de 3\,\%, sera remboursé en 6 ans par versement annuel constant, nommé annuité $a$. On rappelle la formule de calcul d'une annuité constante : $a = C \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}$. où $C$ est le capital emprunté, $t$ le taux annuel et $n$ le nombre d'annuités. L'établissement financier établit le tableau d'amortissement suivant (la cellule C1 est au format pourcentage) : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E\\ \hline 1 & &Taux annuel&3\,\% & &\\ \hline 2 & & & & &\\ \hline 3 &Année &\small Capital restant dû en début d'année&\small Intérêts de l'année & \small Amortissement du capital &\small Annuité constante\\ \hline 4 &1 &\np{150000,00} \euro& &\np{23189,63} \euro&\np{27689,63} \euro\\ \hline 5 &2 & & \np{3804,31} \euro &\np{23885,31} \euro&\np{27689,63} \euro\\ \hline 6 &3 &\np{102925,05} \euro&\np{3087,75} \euro&\np{24601,87} \euro&\np{27689,63} \euro\\ \hline 7 &4 &\np{78323,19} \euro&\np{2349,70} \euro & &\np{27689,63} \euro\\ \hline 8 &5 &\np{52983,26} \euro &\np{1589,50} \euro &\np{26100,13} \euro &\np{27689,63} \euro\\ \hline 9 &6 &\np{26883,13} \euro &806,49 \euro &\np{26883,13} \euro &\np{27689,53} \euro\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Le montant de l'annuité constante est donné par la formule $a=C \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}$. On a $C=\np{150000}$, $t=0,03$ et $n=6$. Le montant de l'annuité constante est donc $a=\np{150000} \times \dfrac{0,03}{1 - (1 + 0,03)^{-6}}$, soit au centime près $\np{27689,63}$ euros. \item %Donner les formules à saisir en cellule C4, D7 et B5, qui, recopiées vers le bas, permettent de compléter le tableau d'amortissement. \begin{list}{\textbullet}{} \item En colonne C, on calcule les intérêts sur le capital restant dû; on entrera donc en C4 la formule \fbox{= B4 * 0,03}. \item En colonne D, on calcule le montant correspondant à la part du capital que l'on rembourse en payant l'annuité fixe de $\np{27689,63}$; c'est la différence entre le montant de l'annuité et le montant des intérêts payés. On entrera dans D7 la formule \fbox{= E7 -- C7}. \item En colonne B, on calcule le capital restant dû; c'est la différence entre le capital restant dû l'année précédente et le capital payé l'année précédente. On entrera dans B5 la formule \fbox{= B4 -- D4}. \end{list} \item %Calculer les valeurs obtenues en cellules C4, B5 et D7. \begin{list}{\textbullet}{Avec les formules entrées, on trouve:} \item en C4 la somme de $\np{4500,00}$~\euro; \item en D7 la somme de $\np{25339,93}$~\euro; \item en B5 la somme de $\np{126810,37}$~\euro. \end{list} \item Le coût total de ce crédit est de $6\times \np{27689,63}$ soit $\np{166137,78}$~\euro. \end{enumerate} \end{document}