\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,pstricks-add}% \usepackage{color,colortbl} %\usepackage[table]{xcolor} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Tapuscrit : Denis Vergès % Corrigé : François Hache \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength\headheight{14pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion}, pdftitle = {Métropole - 15 mai 2023}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole - corrigé} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{15 mai 2023}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[7pt]15 mai 2023 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres ou établissement privé hors contrat}}} \end{center} \vspace{0.25cm} \textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 10 points} %\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes} \medskip On s'intéresse à deux aspects des services de communication mobiles en France. \bigskip \textbf{Partie A : Données consommées sur les réseaux mobiles en France} \medskip Le tableau ci-dessous donne le volume total en exaoctets, noté Eo (1 exaoctet $= 10^{18}$ octets), des données consommées sur les réseaux mobiles pour la période 2017--2021. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2017 &2018 &2019 &2020 &2021\\ \hline Rang de l'année $x_i$&0&1&2&3&4\\ \hline Volume de données $y_i$ (en Eo)&2,20 &3,64 &5,24 &7,13 &8,66\\ \hline \multicolumn{6}{r}{(\emph{source: ARCEP }2022)}\\ \end{tabularx} \end{center} %La calculatrice est nécessaire pour la plupart des calculs demandés. % %\medskip \begin{enumerate} \item La droite de régression obtenue par un ajustement affine de $y$ en fonction de $x$ selon la méthode des moindres carrés a pour équation: $y=1,641x + 2,092$. \item On décide d'ajuster le nuage de points de cette série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ par la droite d'équation : $y = 1,6x + 2,1$. %Utiliser ce modèle pour répondre aux questions suivantes: \begin{enumerate} \item $2022$ correspond au rang 5; pour $x=5$, on a $y=1,6\times 5 + 2,1=10,1$. Le volume total des données consommées en 2022 peut être estimé à $10,1$~Eo. \item On cherche $x$ pour que $y>15$: $1,6x+2,1>15 \iff 1,6x > 12,9 \iff x > \dfrac{12,9}{1,6}$ Or $\dfrac{12,9}{1,6} \approx 8,06$ donc on prendra $x=9$. Le rang 9 correspond à l'année 2026, donc c'est à partir de 2026 que le volume total des données dépassera $15$ Eo. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Nombre de SMS émis en France} \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul d'un tableur, donne le nombre de milliards de SMS émis chaque année en France pour la période 2017-2021. Les cellules de la ligne 3 sont au format pourcentage à deux décimales. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\cellcolor{lightgray}A &\cellcolor{lightgray}B&\cellcolor{lightgray}C&\cellcolor{lightgray}D&\cellcolor{lightgray}E&\cellcolor{lightgray}F\\ \hline \cellcolor{lightgray}1&Année&2017 &2018&2019 &2020&2021\\ \hline \cellcolor{lightgray}2&Nombre de SMS émis (en milliards)&184,5& 171,3&159,9 &136,5& 119,6\\ \hline \cellcolor{lightgray}3&Taux d'évolution par rapport à l'année 2017 \newline (en \,\%)&\cellcolor{lightgray}&&&&\\ \hline \multicolumn{7}{r}{(\emph{source: ARCEP }2022)}\\ \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item La formule à saisir en C3 qui permet, par recopie vers la droite, de calculer les taux d'évolution du nombre de SMS émis chaque année par rapport à l'année 2017 est: \texttt{=(C2 - \$B\$2)/\$B\$2} \item $\dfrac{119,6-184,5}{184,5}\approx -35,18$ donc sur la période 2017 à 2021, le nombre de SMS émis a diminué d'environ 35,2\,\%. \item %Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre de SMS émis entre 2017 et 2021. Entre 2017 et 2021 on passe de $184,5$ à $119,6$ milliards de SMS, ce qui fait un coefficient d'évolution de $\dfrac{119,6}{184,5}$. Par année, le coefficient moyen d'évolution est donc de $\left ( \dfrac{119,6}{184,5} \right )^{\frac{1}{4}}$. Cela correspond à une diminution moyenne en pourcentage de $\left ( 1-\left ( \dfrac{119,6}{184,5} \right )^{\frac{1}{4}}\right )\times 100$, soit environ $10,27$. %Arrondir à 0,01\,\% près. \item La suite $\left(u_n\right)$ modélise le nombre de milliards de SMS émis pour l'année $(2021 + n)$. On a ainsi: $u_0 = 119,6$. On suppose qu'à partir de l'année 2021, le nombre $u_n$ de SMS émis diminue chaque année de 10,3\,\%. \begin{enumerate} \item En arrondissant à $0,1$ milliard près: $u_1 = u_0 - u_0\times \dfrac{10,3}{100} = 119,6 -119,6\times \dfrac{10,3}{100} = 107,3$ et $u_2 = u_1 - u_1\times \dfrac{10,3}{100} = 107,3 -107,3\times \dfrac{10,3}{100} =96,2$. D'après ce modèle, on peut estimer à $107,3$ milliards le nombre de SMS émis en 2022, et à $96,2$ le nombre de SMS émis en 2023. %Arrondir à 0,1 milliard près. %Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice. \item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison. Justifier. Diminuer de 10,3\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{10,3}{100}$ soit $0,897$. La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=0,897$ et de premier terme $u_0=119,6$. \item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. On déduit de la question précédente que, pour tout $n$: $u_n=u_0 \times q^n = 119,6\times 0,897^n$. \item %D'après ce modèle, quel serait le nombre de SMS émis en 2027 ? Arrondir à $0,1$~milliard près. $2027 = 2021 +6$ donc, d'après ce modèle, le nombre de SMS émis en 2027 serait: $u_6 = 119,6\times 0,897$, soit $62,3$ en arrondissant à $0,1$ milliard près. \item D'après ce modèle, le nombre de SMS émis passera pour la première fois sous les $50$~milliards quand $u_n<50$; on résout cette inéquation: $u_n<50 \iff 119,6\times 0,897^n < 50 \iff 0,897^n < \dfrac{50}{119,6} \iff \ln\left (0,897^n\right ) < \ln \left ( \dfrac{50}{119,6}\right )\\ \phantom{u_n<50} \iff n\times \ln\left (0,897\right ) < \ln \left ( \dfrac{50}{119,6}\right ) \iff n > \dfrac{\ln \left ( \frac{50}{119,6}\right )}{\ln\left (0,897\right )}$ $\dfrac{\ln \left ( \frac{50}{119,6}\right )}{\ln\left (0,897\right )}\approx 8,02$ donc c'est à partir de $n=9$ que le nombre de SMS émis passera pour la première fois sous les $50$~milliards, soit en 2030. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \medskip On s'intéresse à la production d'un producteur de noix (nuciculteur) du Périgord. \bigskip \textbf{Partie A : Probabilités conditionnelles} \medskip Pour ce nuciculteur, 62\,\% des noix récoltées sont de la variété \og Franquette \fg, 27\,\% des noix récoltées sont de la variété \og Corne \fg{} et le reste sont des noix de la variété \og Marbot \fg, Une étude statistique a montré que 3\,\% des noix de la variété \og Franquette \fg, 4\,\% des noix de la variété \og Corne\fg et 2\,\% des noix de la variété \og Marbot \og{} sont vides quand elles sont récoltées. On choisit une noix au hasard dans la récolte de ce nuciculteur. Toutes les noix ont la même probabilité d'être choisies. On s'intéresse alors aux évènements suivants: \begin{itemize} \item $F$ : la noix est de la variété \og Franquette \fg \item $C$ : la noix est de la variété \og Corne \fg \item $M$ : la noix est de la variété \og Marbot \fg \item $V$ : la noix est vide; $\overline{V}$ est l'évènement contraire de $V$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,treesep=1cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$F$}\naput{$0,62$}} { \TR{$V$}\naput{$0,03$} \TR{$\overline{V}$}\nbput{$\blue 1-0,03=0,97$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$C$}\naput{$\blue 0,27$}} { \TR{$V$}\naput{$\blue 0,04$} \TR{$\overline{V}$}\nbput{$\blue 1-0,04=0,96$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$M$}\nbput{$\blue 1-0,62-0,27=0,11$}} { \TR{$V$}\naput{$\blue 0,02$} \TR{$\overline{V}$}\nbput{$\blue 1-0,02 = 0,98$} } } \bigskip \end{center} \item \begin{enumerate} \item La probabilité que la noix soit de la variété \og Franquette\fg{} et qu'elle soit vide est: $P\left (F\cap V\right ) =P(F)\times P_F(V)=0,62\times 0,03 = \np{0,0186}$. \item $P\left(F \cap \overline{V}\right) = P(F)\times P_F\left (\overline V\right )= 0,62\times 0,97 = \np{0,6014}$ C'est la probabilité que la noix soit de la variété \og Franquette\fg{} et qu'elle ne soit pas vide. % Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. \end{enumerate} \item D'après la formule des probabilités totales: $P(V)=P(F\cap V) + P(C\cap V) + P(M\cap V) = \np{0,0186} + 0,27 \times 0,04 + 0,11 \times 0,02 = \np{0,0316}$. \item On suppose que la noix choisie n'est pas vide. L'arrondi à $0,001$ de la probabilité qu'elle soit de la variété \og Corne\fg{} est: $P_{\overline{V}}(C)=\dfrac{P\left (C\cap \overline V\right )}{P\left (\overline{V}\right )} = \dfrac{0,27\times 0,96}{1-\np{0,0316}} \approx 0,268$. % Arrondir le résultat à $0,001$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Loi binomiale} \medskip On prélève au hasard $100$ noix dans la récolte de ce nuciculteur. La quantité de noix est assez grande pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $100$ noix dans la récolte de ce nuciculteur, associe le nombre de noix vides. On admet que la probabilité pour qu'une noix soit vide est égale à $0,03$. \medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que la variable $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. On est dans le cas d'une répétition dans des conditions identiques d'une expérience qui n'a que deux issues; la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de \og succès \fg{}, c'est-à-dire le nombre de noix vides, suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,03$. \item L'espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=np=100\times 0,03 = 3$. On peut estimer que sur un lot de 100 noix, il y en a en moyenne 3 qui sont vides. \item $P(X = 0)= \ds\binom{100}{0}\times 0,03^0 \times (1-0,03)^{100-0} = 0,97^{100}\approx 0,048$ C'est la probabilité que le lot ne contienne aucune noix vide. %, arrondi à $0,001$ près et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \item D'après la calculatrice $P(X \leqslant 3) \approx 0,647$. %Arrondir à $0,001$ près. \item La probabilité pour que, dans un tel prélèvement, au moins quatre noix soient vides est: $P(X\geqslant 4) = 1 - P(X<4)= 1-P(X\leqslant 3) \approx 1-0,647 \approx 0,353$. %Arrondir à $0,001$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Loi normale} \medskip On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque noix récoltée par ce nuciculteur, associe sa masse en grammes. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu=28$ et d'écart-type $\sigma=4$. \medskip \begin{enumerate} \item Le nuciculteur vend une partie de sa récolte sous la forme de filets contenant 100 noix chacun. %Quelle est la masse moyenne d'un tel filet? Une noix pèse en moyenne 28 grammes donc le filet de 100 noix pèse en moyenne en gramme $100\times 28 =\np{2800}$, soit $2,8$~kg. \item D'après le cours: $P(20 \leqslant Y \leqslant 36) = P(\mu-2\sigma \leqslant Y \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,95$. %. Arrondir à $0,01$ près. \item Le nuciculteur décide de ne pas utiliser les noix dont la masse est inférieure à $18$ grammes. La probabilité pour qu'une noix prise au hasard dans la production soit rejetée est: $P(X<18)\approx 0,06$. %Arrondir à $0,001$ près. \end{enumerate} \end{document}