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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture et corrigé : François Hache
% Merci à Benoit Blaszczyk pour le sujet
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2020 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres}}}

\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

%\bigskip
%
%\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\bigskip

Partie A :

\medskip

Une entreprise, spécialisée dans la fabrication de parfums, souhaite créer deux parfums, l'un
à la rose et l'autre au jasmin.

Elle achète donc les deux variétés de fleurs à deux producteurs, A et B, pour ses créations.

Le directeur passe la commande suivante:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item 65\,\% de la quantité nécessaire provient du producteur A ;
\item parmi la quantité provenant du producteur A, 70\,\% sont des roses;
\item parmi la quantité provenant du producteur B, il y a autant de roses que de jasmin.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On s'intéresse à une fleur au hasard.

\smallskip

\begin{tabular}{@{} l !{\textbullet} l}
On considère les évènements suivants : & $A$ : \og La fleur provient du producteur A \fg{};\\
& $B$ : \og La fleur provient du producteur B \fg{};\\
& $R$ : \og La fleur est une rose \fg.\\
\end{tabular}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item L'événement $B$ est l'événement $\overline A$.
On donne la valeur des probabilités $P(A)$, $P_A(R)$ et $P_{\overline{A}}(R)$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item 65\,\% de la quantité nécessaire provient du producteur A  donc $P(A)=0,65$.
\item Parmi la quantité provenant du producteur A, 70\,\% sont des roses donc $P_A(R)=0,70$.
\item Parmi la quantité provenant du producteur B, il y a autant de roses que de jasmin donc $P_{\overline{A}}(R) = P_{\overline{A}}(\overline R) = 0,50$.
\end{list}

\item On réalise un arbre de probabilités représentant la situation.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$0,65$}}
 	  { 
 		  \TR{$R$}\naput{$0,70$}
 		  \TR{$\overline{R}$}\nbput{\blue $1-0,70=0,30$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline A$}\nbput{\blue $1-0,65=0,35$}}
 	  {
 		  \TR{$R$}\naput{$0,50$}
          \TR{$\overline{R}$}\nbput{$0,50$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item La probabilité que la fleur provienne du producteur A et soit une rose est:

$P\left (A\cap R\right ) = P(A)\times P_A(R)= 0,65\times 0,70 = 0,455$.

\item Le directeur a besoin d'au moins 60\,\% de roses pour ses créations; on calcule $P(R)$: %Sa commande peut-elle convenir? Justifier la réponse.

$P(R) = P\left (A\cap R\vphantom{\overline A}\right ) + P\left (\overline A \cap R\right )
= 0,455 + P\left (\overline A\right )\times P_{\overline{A}}(R)
=0,455 + 0,35\times 0,50
= 0,63$ c'est-à-dire 63\,\%.

Donc la commande du directeur peut convenir.

\item Sachant que la fleur est une rose, la probabilité qu'elle provienne du producteur A est: %Arrondir le résultat à $0,001$ près.

$P_{R}(A)=\dfrac{P(A \cap R)}{P(R)} = \dfrac{0,455}{0,63} \approx 0,722$.

 \end{enumerate}
 
 \bigskip
 
\textbf{Partie B :}
 
 \medskip
 
Un employé prend au hasard $100$ flacons parmi les parfums à la rose ou au jasmin. Ce tirage est assimilé à un tirage avec remise car le nombre de flacons est très grand.
 
On suppose que la probabilité que le flacon contienne du jasmin est de $0,37$.
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui, dans le lot de $100$ flacons, associe te nombre de flacons contenant du jasmin.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item L'épreuve élémentaire consiste à prendre au hasard un flacon de parfum; cette épreuve a deux issues: le flacon contient du jasmin avec une probabilité $p=0,37$ ou le flacon ne contient pas de jasmin.
\item On effectue dans les mêmes conditions cette épreuve 100 fois.
\end{list}

Donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de flacons contenant du jasmin suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,37$.

\item La probabilité d'obtenir dans le lot exactement $40$ flacons contenant du jasmin est:
%Arrondir la probabilité à $0,001$ près.

$P(X=40)= \displaystyle\binom{100}{40}\,0,37^{40}\left (1-0,37\right )^{100-40}
\approx 0,067$

\item La probabilité d'obtenir au moins $30$ flacons contenant du jasmin est:
$P(X\geqslant 30) \approx 0,942$.

\end{enumerate}

 \bigskip
 
\textbf{Partie C :}
 
 \medskip
 
L'entreprise s'intéresse au remplissage de ses flacons de parfum.
 
On note $Y$  la variable aléatoire qui, à chaque flacon prélevé dans la production, associe la
quantité de parfum qu'il contient, exprimée en mL.
 
On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance $50$ et d'écart-type $0,4$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité que le flacon contienne moins de $49$ mL de parfum est:
$P(0\leqslant Y<49)\approx \np{0,0062}$.

\item  On estime qu'un flacon de parfum est conforme lorsque la quantité de parfum qu'il
contient est comprise entre $49$ et $51$ mL.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que le flacon soit non conforme est:
		
$1-P(49 \leqslant Y \leqslant 51) \approx 1- \np{0,9876}  \approx \np{0,0124} $.		
		
		\item L'entreprise a produit \np{120000} flacons. On estime que 1,2\,\% des flacons ne sont pas conformes. 

Le nombre de flacons non conformes est:
$\np{120000}\times \dfrac{1,2}{100} = \np{1440}$.

		\item Un flacon est vendu $30$~\euro;
$\np{1440}\times 30 = \np{43200}$.
		
Donc la perte de chiffre d'affaires pour l'entreprise peut être estimée à $\np{43200}$~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 10 points}

\medskip

Dans ce problème, on s'intéresse au taux d'équipement des ménages en connexion internet.

Le tableau suivant, où $x_i$ désigne le rang de l'année mesuré à partir de l'année 2010, donne le taux d'équipement en connexion internet $y_i$ (en pourcentage) des ménages pour chaque année entre 2011 et 2016.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 		&2011 	&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016\\ \hline
Rang $x_i$	& 1 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6\\ \hline
Taux (en \,\%) d'équipement
 en connexion internet $y_i$&69,2 &73 &75,3&77,9 &79,7 &81,7\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{\emph{Source: Insee}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

%\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} de cet exercice sont indépendantes}

\bigskip

\textbf{Partie A : Premier modèle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux global d'évolution du taux d'équipement en connexion internet des
ménages entre 2011 ($69,2$\,\%) et 2016 (81,7\,\%), exprimé en pourcentage est:
$\dfrac{81,7-69,2}{69,2}\times 100 \approx 18,06\,\%$.

\item On veut calculer le taux moyen annuel d'évolution du taux d'équipement en connexion internet des ménages entre 2011 et 2016, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01%.

Le coefficient multiplicateur qui fait passer du taux en 2011 au taux en 2016 est $1+\dfrac{18,06}{100} = \np{1,1806}$. 
Entre 2011 et 2016 il y a 5 ans donc le coefficient multiplicateur moyen qui fait passer du taux en 2011 au taux en 2016 est $\displaystyle\sqrt[5]{\np{1,1806}} = \left (\np{1,1806}\right )^{\frac{1}{5}}\approx \np{1,0338}$, ce qui correspond à une augmentation annuelle moyenne de $3,38$\,\%.

\item Entre 2016 et 2020 il y a 4 ans.

On suppose que le taux d'équipement en connexion internet des ménages augmente
annuellement de 3,4\,\% depuis 2016, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{3,4}{100} = 1,034$.

Ce taux d'équipement, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,1\,\%, en 2020 est:

$81,7\times 1,034^4 \approx 93,4\,\%$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Deuxième modèle}

\medskip

On suppose que le taux d'équipement en connexion internet des ménages augmente chaque
année de 2,5\,\% à partir de 2016 après avoir constaté cette augmentation entre 2015 et 2016.

On note $u_n$ le taux d'équipement en connexion internet des ménages pour l'année $2016 + n$.

Ainsi $u_0 = 81,7$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_1 = u_0 + \dfrac{2,5}{100} \times u_0 = 81,7 + \dfrac{2,5}{100} \times 81,7 \approx 83,7$.

On peut donc estimer que le taux d'équipement en connexion internet des ménages en 2017 est d'environ $83,7\,\%$.

\item% Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
Augmenter de $2,5\,\%$ c'est multiplier par $1+\dfrac{2,5}{100} = 1,025$, donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $r=1,025$.

%Justifier la réponse et préciser sa raison.

\item% Donner, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ en fonction de $n$.
La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0=81,7$ et de raison $r=1,025$ donc, pour tout $n$, on a:
$u_n=u_0+n\times r = 81,7 + 1,025n$.


\item %Déterminer le taux d'équipement en connexion internet des ménages en 2020, arrondi à $0,1$ près.
Le rang 0 correspond à l'année 2016, donc l'année 2020 correspond au rang 4.

Le taux d'équipement en connexion internet des ménages en 2020 est donc

$u_4 = 81,7 + 1,025\times 4$ soit $85,8\,\%$.


\item On considère l'algorithme ci-dessous.

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{l}
$N \gets 2016$\\
$U \gets 81,7$\\
Tant que $U < 92$\\
\qquad $N\gets N + 1$\\
\qquad $U \gets 1,025 \times U$\\
Fin tant que\\ 
\end{tabular}
}
\end{center}

La valeur de $N$ affichée à la sortie de cet algorithme est 2021. 

Cette valeur représente l'année à partir de laquelle le taux d'équipement en connexion internet des ménages dépasse $92\,\%$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Troisième modèle}

\medskip

À partir des données du tableau fourni au début de l'énoncé :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ donné par la calculatrice et arrondi à $0,001$ près, est $0,992$. 

Le coefficient de corrélation linéaire $r$ est très proche de 1, donc on peut envisager un ajustement affine de cette série statistique.

\item L'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés donnée par la calculatrice, avec des coefficients arrondis au centième est:
$y=2,42x + 67,67$.

\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 2,4x + 67,6$.
	\begin{enumerate}
		\item L'année 2011 correspond à $x=1$ donc l'année 2020 correspond à $x=10$.
		
		À l'aide de ce modèle, une estimation du taux d'équipement en connexion
internet des ménages en 2020 est 
$2,4\times 10 + 67,6 = 91,6$ soit $91,6\,\%$.

		\item Selon ce modèle, pour la première fois, le taux d'équipement en connexion internet des ménages dépassera 95\,\% pour $x$ entier tel que $2,4x + 67,6 > 95$ soit pour $x=12$ donc pour l'année 2022.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : Conclusion}

\medskip

Ces trois modèles ont le même inconvénient: au bout d'un certain nombre d'années, le taux d'équipement va dépasser 100\,\%.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 1\ier{} modèle

 $81,7\times 1,034^{6} \approx 99,8$ et $81,7\times 1,034^{7} \approx 103,2$ donc à partir de $2016+7$ soit 2023, le taux dépasse 100\,\%.
 
\item 2\ieme{} modèle

$u_8=81,7\times 1,025^{8} \approx 99,5$ et $u_9=81,7\times 1,025^{9} \approx 102$ donc à partir de $2016+9$ soit 2025, le taux dépasse 100\,\%.

\item 3\ieme{} modèle

Pour $x=13$, $y=2,4\times 13 + 67,6 = 98,9$, et pour $x=14$, $y=2,4\times 14 + 67,6 = 101,2$, donc à partir de $2011+14$ soit 2025, le taux dépasse 100\,\%.

\end{list}

Aucun de ces trois modèles ne peut convenir à long terme.

%Ces trois modèles peuvent-il convenir ? Justifier la réponse.

\end{document}