\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}% %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture et corrigé : François Hache % Merci à Benoit Blaszczyk pour le sujet \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion}, pdftitle = {Métropole - septembre 2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{septembre 2020}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2020 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres}}} \end{center} \vspace{0.25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} %\bigskip % %\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \bigskip Partie A : \medskip Une entreprise, spécialisée dans la fabrication de parfums, souhaite créer deux parfums, l'un à la rose et l'autre au jasmin. Elle achète donc les deux variétés de fleurs à deux producteurs, A et B, pour ses créations. Le directeur passe la commande suivante: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize}[label=\textbullet] \item 65\,\% de la quantité nécessaire provient du producteur A ; \item parmi la quantité provenant du producteur A, 70\,\% sont des roses; \item parmi la quantité provenant du producteur B, il y a autant de roses que de jasmin. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On s'intéresse à une fleur au hasard. \smallskip \begin{tabular}{@{} l !{\textbullet} l} On considère les évènements suivants : & $A$ : \og La fleur provient du producteur A \fg{};\\ & $B$ : \og La fleur provient du producteur B \fg{};\\ & $R$ : \og La fleur est une rose \fg.\\ \end{tabular} \smallskip \begin{enumerate} \item L'événement $B$ est l'événement $\overline A$. On donne la valeur des probabilités $P(A)$, $P_A(R)$ et $P_{\overline{A}}(R)$. \begin{list}{\textbullet}{} \item 65\,\% de la quantité nécessaire provient du producteur A donc $P(A)=0,65$. \item Parmi la quantité provenant du producteur A, 70\,\% sont des roses donc $P_A(R)=0,70$. \item Parmi la quantité provenant du producteur B, il y a autant de roses que de jasmin donc $P_{\overline{A}}(R) = P_{\overline{A}}(\overline R) = 0,50$. \end{list} \item On réalise un arbre de probabilités représentant la situation. \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$0,65$}} { \TR{$R$}\naput{$0,70$} \TR{$\overline{R}$}\nbput{\blue $1-0,70=0,30$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline A$}\nbput{\blue $1-0,65=0,35$}} { \TR{$R$}\naput{$0,50$} \TR{$\overline{R}$}\nbput{$0,50$} } } \bigskip \end{center} \item La probabilité que la fleur provienne du producteur A et soit une rose est: $P\left (A\cap R\right ) = P(A)\times P_A(R)= 0,65\times 0,70 = 0,455$. \item Le directeur a besoin d'au moins 60\,\% de roses pour ses créations; on calcule $P(R)$: %Sa commande peut-elle convenir? Justifier la réponse. $P(R) = P\left (A\cap R\vphantom{\overline A}\right ) + P\left (\overline A \cap R\right ) = 0,455 + P\left (\overline A\right )\times P_{\overline{A}}(R) =0,455 + 0,35\times 0,50 = 0,63$ c'est-à-dire 63\,\%. Donc la commande du directeur peut convenir. \item Sachant que la fleur est une rose, la probabilité qu'elle provienne du producteur A est: %Arrondir le résultat à $0,001$ près. $P_{R}(A)=\dfrac{P(A \cap R)}{P(R)} = \dfrac{0,455}{0,63} \approx 0,722$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip Un employé prend au hasard $100$ flacons parmi les parfums à la rose ou au jasmin. Ce tirage est assimilé à un tirage avec remise car le nombre de flacons est très grand. On suppose que la probabilité que le flacon contienne du jasmin est de $0,37$. Soit $X$ la variable aléatoire qui, dans le lot de $100$ flacons, associe te nombre de flacons contenant du jasmin. \medskip \begin{enumerate} \item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \begin{list}{\textbullet}{} \item L'épreuve élémentaire consiste à prendre au hasard un flacon de parfum; cette épreuve a deux issues: le flacon contient du jasmin avec une probabilité $p=0,37$ ou le flacon ne contient pas de jasmin. \item On effectue dans les mêmes conditions cette épreuve 100 fois. \end{list} Donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de flacons contenant du jasmin suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,37$. \item La probabilité d'obtenir dans le lot exactement $40$ flacons contenant du jasmin est: %Arrondir la probabilité à $0,001$ près. $P(X=40)= \displaystyle\binom{100}{40}\,0,37^{40}\left (1-0,37\right )^{100-40} \approx 0,067$ \item La probabilité d'obtenir au moins $30$ flacons contenant du jasmin est: $P(X\geqslant 30) \approx 0,942$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C :} \medskip L'entreprise s'intéresse au remplissage de ses flacons de parfum. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque flacon prélevé dans la production, associe la quantité de parfum qu'il contient, exprimée en mL. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance $50$ et d'écart-type $0,4$. \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité que le flacon contienne moins de $49$ mL de parfum est: $P(0\leqslant Y<49)\approx \np{0,0062}$. \item On estime qu'un flacon de parfum est conforme lorsque la quantité de parfum qu'il contient est comprise entre $49$ et $51$ mL. \begin{enumerate} \item La probabilité que le flacon soit non conforme est: $1-P(49 \leqslant Y \leqslant 51) \approx 1- \np{0,9876} \approx \np{0,0124} $. \item L'entreprise a produit \np{120000} flacons. On estime que 1,2\,\% des flacons ne sont pas conformes. Le nombre de flacons non conformes est: $\np{120000}\times \dfrac{1,2}{100} = \np{1440}$. \item Un flacon est vendu $30$~\euro; $\np{1440}\times 30 = \np{43200}$. Donc la perte de chiffre d'affaires pour l'entreprise peut être estimée à $\np{43200}$~\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 : \hfill 10 points} \medskip Dans ce problème, on s'intéresse au taux d'équipement des ménages en connexion internet. Le tableau suivant, où $x_i$ désigne le rang de l'année mesuré à partir de l'année 2010, donne le taux d'équipement en connexion internet $y_i$ (en pourcentage) des ménages pour chaque année entre 2011 et 2016. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline Rang $x_i$ & 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline Taux (en \,\%) d'équipement en connexion internet $y_i$&69,2 &73 &75,3&77,9 &79,7 &81,7\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\emph{Source: Insee}}\\ \end{tabularx} \end{center} %\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} de cet exercice sont indépendantes} \bigskip \textbf{Partie A : Premier modèle} \medskip \begin{enumerate} \item Le taux global d'évolution du taux d'équipement en connexion internet des ménages entre 2011 ($69,2$\,\%) et 2016 (81,7\,\%), exprimé en pourcentage est: $\dfrac{81,7-69,2}{69,2}\times 100 \approx 18,06\,\%$. \item On veut calculer le taux moyen annuel d'évolution du taux d'équipement en connexion internet des ménages entre 2011 et 2016, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01%. Le coefficient multiplicateur qui fait passer du taux en 2011 au taux en 2016 est $1+\dfrac{18,06}{100} = \np{1,1806}$. Entre 2011 et 2016 il y a 5 ans donc le coefficient multiplicateur moyen qui fait passer du taux en 2011 au taux en 2016 est $\displaystyle\sqrt[5]{\np{1,1806}} = \left (\np{1,1806}\right )^{\frac{1}{5}}\approx \np{1,0338}$, ce qui correspond à une augmentation annuelle moyenne de $3,38$\,\%. \item Entre 2016 et 2020 il y a 4 ans. On suppose que le taux d'équipement en connexion internet des ménages augmente annuellement de 3,4\,\% depuis 2016, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{3,4}{100} = 1,034$. Ce taux d'équipement, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,1\,\%, en 2020 est: $81,7\times 1,034^4 \approx 93,4\,\%$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Deuxième modèle} \medskip On suppose que le taux d'équipement en connexion internet des ménages augmente chaque année de 2,5\,\% à partir de 2016 après avoir constaté cette augmentation entre 2015 et 2016. On note $u_n$ le taux d'équipement en connexion internet des ménages pour l'année $2016 + n$. Ainsi $u_0 = 81,7$. \medskip \begin{enumerate} \item $u_1 = u_0 + \dfrac{2,5}{100} \times u_0 = 81,7 + \dfrac{2,5}{100} \times 81,7 \approx 83,7$. On peut donc estimer que le taux d'équipement en connexion internet des ménages en 2017 est d'environ $83,7\,\%$. \item% Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Augmenter de $2,5\,\%$ c'est multiplier par $1+\dfrac{2,5}{100} = 1,025$, donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $r=1,025$. %Justifier la réponse et préciser sa raison. \item% Donner, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ en fonction de $n$. La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0=81,7$ et de raison $r=1,025$ donc, pour tout $n$, on a: $u_n=u_0+n\times r = 81,7 + 1,025n$. \item %Déterminer le taux d'équipement en connexion internet des ménages en 2020, arrondi à $0,1$ près. Le rang 0 correspond à l'année 2016, donc l'année 2020 correspond au rang 4. Le taux d'équipement en connexion internet des ménages en 2020 est donc $u_4 = 81,7 + 1,025\times 4$ soit $85,8\,\%$. \item On considère l'algorithme ci-dessous. \begin{center} \fbox{ \begin{tabular}{l} $N \gets 2016$\\ $U \gets 81,7$\\ Tant que $U < 92$\\ \qquad $N\gets N + 1$\\ \qquad $U \gets 1,025 \times U$\\ Fin tant que\\ \end{tabular} } \end{center} La valeur de $N$ affichée à la sortie de cet algorithme est 2021. Cette valeur représente l'année à partir de laquelle le taux d'équipement en connexion internet des ménages dépasse $92\,\%$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Troisième modèle} \medskip À partir des données du tableau fourni au début de l'énoncé : \medskip \begin{enumerate} \item Le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ donné par la calculatrice et arrondi à $0,001$ près, est $0,992$. Le coefficient de corrélation linéaire $r$ est très proche de 1, donc on peut envisager un ajustement affine de cette série statistique. \item L'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés donnée par la calculatrice, avec des coefficients arrondis au centième est: $y=2,42x + 67,67$. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 2,4x + 67,6$. \begin{enumerate} \item L'année 2011 correspond à $x=1$ donc l'année 2020 correspond à $x=10$. À l'aide de ce modèle, une estimation du taux d'équipement en connexion internet des ménages en 2020 est $2,4\times 10 + 67,6 = 91,6$ soit $91,6\,\%$. \item Selon ce modèle, pour la première fois, le taux d'équipement en connexion internet des ménages dépassera 95\,\% pour $x$ entier tel que $2,4x + 67,6 > 95$ soit pour $x=12$ donc pour l'année 2022. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D : Conclusion} \medskip Ces trois modèles ont le même inconvénient: au bout d'un certain nombre d'années, le taux d'équipement va dépasser 100\,\%. \begin{list}{\textbullet}{} \item 1\ier{} modèle $81,7\times 1,034^{6} \approx 99,8$ et $81,7\times 1,034^{7} \approx 103,2$ donc à partir de $2016+7$ soit 2023, le taux dépasse 100\,\%. \item 2\ieme{} modèle $u_8=81,7\times 1,025^{8} \approx 99,5$ et $u_9=81,7\times 1,025^{9} \approx 102$ donc à partir de $2016+9$ soit 2025, le taux dépasse 100\,\%. \item 3\ieme{} modèle Pour $x=13$, $y=2,4\times 13 + 67,6 = 98,9$, et pour $x=14$, $y=2,4\times 14 + 67,6 = 101,2$, donc à partir de $2011+14$ soit 2025, le taux dépasse 100\,\%. \end{list} Aucun de ces trois modèles ne peut convenir à long terme. %Ces trois modèles peuvent-il convenir ? Justifier la réponse. \end{document}